Pojam matrice je, neovisno o primjenama, uveden potkraj 19. st., a povezuje se s imenima J.J. Sylvester-a i A. Cayley-a;
|
|
|
- Przybysław Filip Włodarczyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 2. MATRICE I DETERMINANTE Matrice (pravokutne sheme brojeva) susrećemo kod raznih problema u matematici, ali i u kemiji, zici, ekonomiji..., jer se s njima relativno jednostavno racuna; Pojam matrice je, neovisno o primjenama, uveden potkraj 19. st., a povezuje se s imenima J.J. Sylvester-a i A. Cayley-a; 2.1 Denicija matrice Denicija 2.1 Neka je F bilo koje polje koje ćemo nazivati osnovno polje, a njegove elemente skalarima. Neka su m; n 2 N i D m;n = f1; 2; :::; mg f1; 2; :::; ng : Svako preslikavanje A : D m;n! F: nazivamo matrica tipa (m; n) nad poljem F. Vrijednost funkcije A na mjestu (tocki) (i; k) oznacavamo sa A (i; k) = ik 2 F:
2 Budući je domena D m;n konacna (ima mn elemenata), tradicionalan zapis matrice je n A = n ; m1 m2 mn ili n B n A ili m1 m2 mn n n. m1 m2 mn : U teoretskim razmatranjima, kad je poznata domena, kraća oznaka je [ ik ] ili ( ik ) ili k ik k : Skalare ik ; i = 1; 2; :::m i k = 1; 2; :::; n; nazivamo matricnim elementima, a ik ; u kraćem zapisu, nazivamo reprezentant matrice. Ure denu n torku ( i1 ; i2 ; ::: in ) nazivamo i ti redak matrice A, a ure denu m torku ( 1k ; 2k ; ::: mk ) nazivamo k ti stupac matrice A.
3 Dakle, matrica tipa (m; n) ima m redaka i n stupaca, i kaemo da se element ik nalazi na presjeku i tog retka i k tog stupaca. Matrica ciji su svi elementi ik = 0 naziva se nulmatrica tipa (m; n). Oznaka: O = Ako je m = 1, tj. ako je matrica tipa (1; n) ; tj. [ 11 ; 12 ; ::: 1n ] ; onda kaemo da je matrica retcana ili matrica redak. Ako je n = 1, tj. ako je matrica tipa (m; 1) ; tj ; m1 onda kaemo da je matrica stupcana ili matrica stupac.
4 Ako je m = n, tj. ako je matrica A tipa (n; n), onda govorimo o kvadratnoj matrici reda n. Ure dena n torku ( 11 ; 22 ; ::: nn ) kvadratne matrice reda n nazivamo glavna dijagonala matrice A, ure denu n torku ( 1n ; 2 n 2 ; ::: n 1 ) nazivamo sporedna dijagonala kvadratne matrice A reda n. Sumu elemenata na glavnoj dijagonali nx tr A = i=1 ii nazivamo trag kvadratne matrice A. Jedini cna matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi van glavne dijagonale jednaki 0; a na dijagonali jednaki 1; tj, kvadratna matrica s elementima ii = i;j (Kroneckerov simbol). Oznaka: E =
5 Kako su matrice funkcije, dvije matrice A = [ ik ] i B = [ ik ] nad istim poljem F su jednake, što pišemo A = B; ako su istog tipa (imaju istu domenu) i ako je ik = ik za sve i = 1; 2; :::m i k = 1; 2; :::; n: Primjer 1 Matrice A = i B = nisu jednake jer nisu istog tipa. Matricom A = [ ik ] tipa (m; n) jednoznacno je odre dena matrica B = [ ki ] tipa (n; m) denirana s ki = ik za svaki i = 1; 2; ::; m i k = 1; 2; :::; n: Tu matricu nazivamo transponirana matrica matrice A i oznacujemo s A 0 (ili A T ): Uo cimo: Po deniciji, transponiranu matricu A 0, dobivamo iz polazne matrice A zamjenom stupaca s retcima, tj. i ti stupac od A 0 podudara se s i tim retkom od A, za svaki i = 1; 2; ::; m:
6 Ocito je (A 0 ) 0 = A: Primjer A = ) A 0 = ) (A 0 ) 0 = : Transponirana matrica kvadratne matrice je opet kvadratna matrica istog reda. Primjer 3 A = ) A 0 = : Skup svih matrica tipa (m; n) nad poljem F oznacimo sa M m;n (F ) (kraće M m;n ); a svih kvadratnih matrica reda n nad poljem F oznacimo sa M n (F ) (kraćem n ): Sada ćemo na tim skupovima denirati standardne algebarske strukture.
7 2.2 Linearni prostor M m;n Neka su A = [ ik ] i B = [ ik ] matrice istog tipa, tj. neka su A; B 2 M m;n. Zbroj matrica (funkcija!) A i B je matrica C = [ ik ] koja je istog tipa kao matrice A i B, gdje je ik = ik + ik za sve i = 1; 2; ::; m i k = 1; 2; :::; n: Pišemo: C = A + B: Primjer = : Propozicija 2.1 Skup M m;n je u odnosu na zbrajanje matrica Abelova grupa. Za 2 F i bilo koju matricu A 2 M m;n ; A = [ ik ] deniramo produkt te matrice sa skalarom kao matricu C = [ ik ] istog tipa kao matrica A, tako da je ik = ik za sve i = 1; 2; ::; m i k = 1; 2; :::; n: Pišemo C = A:
8 Primjer = : Svojstva: Za svaki izbor ; skalara iz F i matrica A, B 2 M m;n vrijedi (dokazati sami!): 1. (A) = () A; 2. 1A = A; 3. (A + B) = A + B; 4. ( + ) A = A + A; Teorem 2.1 Skup M m;n je u odnosu na zbrajanje matrica i mnoenja sa skalarom linearni prostor nad F i dim M m;n = m n: Uo cimo: Po Korolaru 1.5 je M m;n = F mn i M n = F n 2.
9 Specijalno, M 1 = F tj. matrice prvog reda su skalari (uz identikaciju [ 11 ] 11 ). 2.3 Mnoenje matrica. Algebra M n Neka je linearni operator f : U! V i neka su A = fa 1 ; :::; a n g i B = fb 1 ; :::; b m g baze linearnih prostora U i V; redom. Kako je (po Teoremu 1.1) svaki linearni operator jednoznacno zadan svojim djelovanjem na bazi A mx f (a k ) = ik b i ; 8k = 1; :::; n; i=1 onda je linearni operator f jednoznacno zadan skalarima ik 2 F; tj. matricom n n : m1 m2 mn Mnoenje matrica denirat ćemo tako da odgovara produktu (kompoziciji) lineranih operatora.
10 Za ure den par matrica (A; B) kaemo da je ulancan ako matrica A ima onoliko stupaca koliko B ima redaka. Na primjer, A i B su ulancane matrice ako je A tipa (m; p) a B tipa (p; n). Uo cimo: Dvije kvadratne matrice istog reda su uvijek ulancane; Ako je ure den par matrica (A; B) ulancan, ne slijedi da je i ure den par (B; A) ulancan (osim ako je m = n); Denicija 2.2 Neka su A = [ ik ] tipa (m; p) i B = [ ik ] tipa (p; n) ulancane matrice nad istim poljem F: Tada je umnoak (produkt) matrica A i B matrica C = [ ik ] tipa (m; n) ; gdje je ik = px ij jk = i1 1k + i2 2k + ::: + ip pk j=1 za sve i = 1; 2; ::; m i k = 1; 2; :::; n: Pišemo C = AB: Zaklju cak: Mnoenje matrica je preslikavanje (operator) M m;p M p;n! M m;n :
11 Uo cimo: Općenito matrice istog tipa se ne mogu mnoiti. To je moguće onda i samo onda ako su kvadratne istog reda; Mnoenje matrica nije komutativno jer: - ako je AB denirano, ne mora biti denirano i BA; - ako je denirano AB i BA; to ne moraju biti matrice istog tipa; - ako je denirano AB i BA i ako su to matrice istog tipa (reda), općetito je AB 6= BA; - specijalno, ako je AB = BA; onda kaemo da A i B komutiraju. Primjer 6 Ako je 0 1 A = AB = i B = ) i BA = ) AB 6= BA 0 0
12 Ako je A = AB = BA = i B = ) ) A i B komutiraju. Propozicija 2.2 Mnoenje matrica je asocijativno, tj. vrijedi A (BC) = (AB) C; kad god su ti produkti denirani. Propozicija 2.3 Mnoenje matrica je i) kvaziasocijativno, tj. vrijedi (AB) = (A) B = A (B) ; 8 2 F ; ii) distributivno prema zbrajanju, tj. vrijedi (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC kad god su ti produkti denirani. Napomena: Moe se pokazati da za transponiranje vrijedi (AB) 0 = B 0 A 0 (sami dokazati!).
13 Budući je: M n svih kvadratnih matrica reda n vektorski prostor nad poljem F (Teorem 2.1); matrice iz M n se mogu mnoiti i umnoak je opet iz M n, dakle dobro je denirana binarna operacija : M n M n! M n na skupu M n ; operacija mnoenja ima svojstva i) i ii) iz Propozicije 2.3, onda M n ima strukturu algebre nad poljem F: Uocimo: Mnoenje u algebri M n : je asocijativno (Propozicija 2.2); operacija mnoenja ima jedinicu (jedinicna matrica E 2 M n ) jer vrijedi AE = EA = A; za svaki A 2 M n ; operacija mnoenja nije komutativna (osim za n = 1). Zakljucak: Linearni prostor M n (n > 1) nad poljem F s obzirom na mnoenje matrica, je asocijativna, nekomutativna algebra s jedinicom nad poljem F:
14 2.4 Regularne matrice. Opća linerana grupa Promotrimo strukturu (M n ; ) : To je nekomutativan monoid, a u toj strukturi moe se uvesti pojam inverznog elementa. Denicija 2.3 Neka je A 2 M n : Za matricu A kaemo da je regularna (invertibilna) ako postoji matrica X za koju vrijedi AX = XA = E: Budući da je matrica X jedinstvena (jer ako inverz u monoidu postoji, onda je jedinstven), uvodimo oznaku X = A 1 i matricu A 1 nazivamo inverzna martica ili inverz matrice A: Za matricu A kaemo da je singularna ukoliko nije regularna. Budući da skup svih invertibilnih elemenata u monoidu cini grupu vrijedi: Teorem 2.2 Skup svih regularnih matrica reda n nad poljem F cini, u odnosu na mnoenje, (nekomutativnu) grupu. Napomena: Dokaz ovog teorema se moe provesti i direktno u ovom specijalnom slucaju (sami).
15 Grupu svih regularnih matrica reda n nad poljem F obicno oznacujemo sa GL (n; F ) i nazivamo opća linearna grupa (matrica reda n nad poljem F ). Denicija 2.4 Neka je A 2 M n : Za matricu A kaemo da je ortogonalna ako vrijedi AA 0 = A 0 A = E: Uocimo: Iz Denicije 2.3 slijedi da je svaka ortogonalna matrica regularana i da je A 1 = A 0 : Dakle, alternativna denicija je: A 2 M n je ortogonalna matrica ako je A 1 = A 0 : Primjer 7 Neka je za 2 R sin cos A = ) A 0 = cos sin AA 0 = A 0 A = sin cos cos sin = E ) A je ortogonalna.
16 Teorem 2.3 Skup svih ortogonalnih matrica reda n nad poljem F cini, podgrupu od GL (n; F ). Grupu svih ortogonalnih matrica reda n nad poljem F obicno oznacujemo sa O (n; F ) i nazivamo ortogonalna grupa (matrica reda n nad poljem F ). Struktura ortogonalne matrice: Propozicija 2.4 Neka je A = [ ik ] ortogonalna matrica. Onda je i nx ij kj = ik j=1 nx ji jk = ik j=1 za sve i = 1; 2; ::; n i k = 1; 2; :::; n:
17 Uocimo: Ako je A = [ ik ] ortogonalna matrica, iz Propozicije 2.4 slijedi: Za i = k je nx 2 ij = 1 j=1 (suma kvadata elemenata nekog retka je 1); Za i 6= k je nx ij kj = 0 j=1 (suma produkata odgovarajućih elemenata dva razlicita retka (skalarni produkt) je 0); Analogno vrijedi i za stupce; Zbog ovoga kaemo da retci (stupci) u ortogonalnoj matrici cine ortonormirani sustav (analog. sa V 3 ): Obrat Propozicije 2.4: Propozicija 2.5 Neka je A = [ ik ] kvadratna matrica kojoj retci i stupci cine ortonormirani sustav. Onda je A ortogonalna matrica.
18 2.5 Rang matrice Svakoj matrici n A = n ; (1) m1 m2 mn pridruit ćemo nenegativan cijeli broj, njezin rang, koji govori o stupnju "nedegeneriranosti" te matrice. Promotrimo linearan prostor >< M m;1 = >: m 7 5 : i 2 F 9 >= (vektori su stupci). Ovaj prostor je izomorfan sa M m;1 = F m i dimenzije je dim M m;1 = m: >;
19 Matrici A 2 M m;n danoj s (1), pridruimo stupcane matrice 2 3 1k S k = 6 2k ; k = 1; :::; n; mk odre dene stupcima matrice A: Na taj nacin je matrici A pridruen jednoznacno odre den n clani skup stupaca iz M m;1 A 7! fs1; :::; Sng Mm;1: To je tzv. stup cana reprezentacija matrice A. Ako maksimalni linearno nezavisni podskup u stupcanoj reprezentaciji fs 1 ; :::; S n g ima r vektora (stupaca), onda taj broj r (A) = r nazivamo rang po stupcima matrice A. Uo cimo: r (A) = dim [fs 1 ; :::; S n g] gdje je [fs 1 ; :::; S n g] potprostor od M m;1 razapet vektorima (stupcima) S 1 ; :::; S n ;
20 Ako je matrica A tipa (m; n) onda je r (A) min fm; ng : Analogno, promotrimo linearan prostor M 1;n = 1 2 n : i 2 F (vektori su retci). Ovaj prostor je izomorfan sa M 1;n = F n i dimenzije je dim M 1;n = n: Matrici A 2 M m;n danoj s (1), pridruimo redcane matrice R i = i1 i2 in ; i = 1; :::; m; odre dene retcima matrice A: Na taj nacin je matrici A pridruen jednoznacno odre dena m clani skup redaka iz M 1;n A 7! fr 1 ; :::; R m g M 1;n : To je tzv. ret cana reprezentacija matrice A. Ako maksimalni linearno nezavisni podskup u retcanoj reprezentaciji fr 1 ; :::; R m g ima r 0 vektora (redaka), onda taj broj r 0 (A) = r 0 nazivamo rang po retcima matrice A.
21 Analogno, vrijedi: r 0 (A) = dim [fr 1 ; :::; R m g] gdje je [fr 1 ; :::; R m g] potprostor od M 1;n razapet vektorima (stupcima) R 1 ; :::; R m ; Ako je matrica A tipa (m; n) onda je r 0 (A) min fm; ng : Moe se pokazati da je: r (A) = r 0 (A) = r; pa broj r = r (A) nazivamo rang matrice A. Posljedica: r (A) min fm; ng ; Matrica A i njoj transponirana matrica A 0 imaju isti rang, tj. r (A) = r (A 0 ) :
22 Primjer A = 2 ) r A = 1 ) r = 2 = 1 r (O) = 0, gdje je O nulmatrica bilo kojeg tipa i to je jedina ranga 0; r (E) = n, gdje je E jedinicna matrica reda n;
23 Efektivno racunanje ranga Elementarne transformacije nad matricom A: 1. Zamjena dva retka (stupca) matrice A; 2. Mnoenje nekog retaka (stupca) matrice A skalarom razlicitim od 0; 3. Dodavanje nekog retka (stupca) matrice A nekom drugom retku (stupcu) te matrice. Neka su matrice A, B 2 M m;n dvije matrice istog tipa. Kaemo da je matrica A ekvivalentna matrici B i pišemo A s B; ako postoji konacan niz matrica A = A 1 ; A 2 ; :::; A k 1 ; A k = B sa svojstvom da se matrica A i dobiva primjenom jedne od elementarnih transformacija na matricu A i 1 ; za svaki i = 2; 3; :::; k. Ocito je s realacija ekvivalencije na skupu M m;n. Propozicija 2.6 Ekvivalentne matrice imaju isti rang.
24 Cilj: Matricu svesti na njoj ekvivalentnu kojoj je rang evidentan. Neka je r m; n nenegativan cijeli broj, a D r = [ ik ] matrica tipa (m; n) kojoj su elementi dani sa ik = 1; i = k r 0; inace ; tj. matrica oblika D r = Ova matrica ima rang r i nazivamo je kanonska matrica ranga r tipa (m; n) : Ocito je D 0 = O: Teorem 2.4 Svaka matrica je ekvivalentna kanonskoj matrici D r istog tipa, za neki r. Korolar 2.1 Matrica A ima rang r ako i samo ako je ekvivalentna kanonskoj matrici D r istog tipa.
25 Primjer 9 A = 2I r+iir: s 1Is+IIIs: s I r: II r: s 2Is+IIs: s IIs: IIIs: s =) r (A) = 2: = D 2 Uo cimo: Rang ne ovisi o nacinu svo denja na kanonski oblik; Rang karakterizira ekvivalentne matrice. Korolar 2.2 Dvije matrice istog tipa su ekvivalentne ako i samo ako imaju isti rang. Zakljucak: Na skupu M m;n ima tocno k + 1 klasa ekvivalencije, gdje je k = min fm; ng ; a klase su reprezentirane kanonskim matricama D 0 ; D 1 ; :::; D k :
26 2.6 Pojam determinante. Osnovna svojstva Detarminanta je prvo u algebru uvedena kao sredstvo za rješavanje sustava linearnih jednadbi; Danas detreminanta igra vanu ulogu u teoriji matrica. Pomoću nje dobivamo vane informacije o rangu i regularnosti dane matrice; Prisjetimo se: Neka je S = f1; 2; :::; ng : Svaku bijekciju p : S! S nazivamo permutacija od S: Oznaka 1 2 ::: n p = ; p (1) p (2) ::: p (n) Skup svih permutacija S n od S cini grupu s obzirom na kompoziciju kao binarnu operaciju i ta grupa je reda n!; Neka je p 2 S n : Inverzija u p je svaki slucaj kada je i < j i p (i) > p (j) : Ukupan broj inverzija u p oznacujemo sa I (p) i deniramo
27 sign(p) = ( 1) I(p) kao parnost permutacije (p parna sign(p) = 1; p neparna sign(p) = 1): Denicija 2.5 Neka je A = [ ik ] 2 M n (F ) : Preslikavanje denirano sa det : M n (F )! F det A = X p2s n ( 1) I(p) 1p(1) 2p(2) ::: np(n) nazivamo determinantnom funkcijom, a njenu vrijednost det A na matrici A nazivamo determinantnom matrice A (det A 2 F ). Uocimo: Osnovni sumand ( 1) I(p) 1p(1) 2p(2) ::: np(n) (ima ih n!) dobiva se od n elemenata, od kojih nikoja dva nisu u istom retku i istom stupcu, a predznak ovisi o parnosti permutacije p drugih indeksa.
28 Uobicajena oznaka za je ili kraće det A = det A = jaj = j ik j ; n n... : m1 m2 mn U ovoj oznaci, red determinante, elemente, retke, stupce, dijagonale, deniramo analogno kao kod pripadne matrice. Iz denicije imamo: Za n = 1, tj. za matricu A = [ 11 ] imamo det A = j 11 j = 11 ; Za n = 2 imamo = ( 1) ( 1) ;
29 Za n = 3 imamo = = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = = : Ili lakše pamtljivo, tzv. Sarrusovo pravilo = Uocimo: = : Efektivno racunanje determinante, po deniciji, već za n 3; je vrlo komplicirano (problem raste s n - za n = 10 imamo 10! 3; 6 milijuna osnovnih sumanada);
30 Pojednostavljenje: korištenjem nekih svojstava determinante. Propozicija 2.7 Neka je A = [ ik ] 2 M n (F ) tada je det A = X q2s n ( 1) I(q) q(1)1 q(2)2 ::: q(n)n (u osnovnom sumandu su faktori svrstani po prirodnom poretku stupaca). Korolar 2.3 Za svaki A = [ ik ] 2 M n (F )je det A = det A 0 : Propozicija 2.8 Ako je matrica B dobivena iz A zamjenom njezinih susjednih redaka (stupaca), onda je det B = det A: Korolar 2.4 Ako je matrica B dobivena iz A zamjenom bilo koja dva redaka (stupaca), onda je det B = det A:
31 Uocimo: Determinanta primjenom elementarne transformacije 1. mijenja predznak. Korolar 2.5 Ako matrica A ima dva ista redaka (stupaca), onda je det A = 0: Propozicija 2.9 Ako je matrica B dobivena iz A mnoenjem jednog njezinog redaka (stupaca) skalarom 2 F, onda je det B = det A: Uocimo: Determinanta primjenom elementarne transformacije 2. promijeni se za faktor. Korolar 2.6 Ako matrica A ima dva proporcionalna retka (stupaca), onda je det A = 0:
32 Korolar 2.7 Ako je A matrica reda n i 2 F bilo koji skalar tada je det A = n det A: Propozicija 2.10 Neka su A = [ ik ] ; B = [ ik ] ; C = [ ik ] matrice istog reda n, sa svojstvom ik = ik + ik ; i = s ik = ik ; i 6= s ; za odabrani s n i za sve k: Onda je det C = det A + det B: Isto vrijedi i za odabrani stupac. Uocimo: Općenito je det (A + B) 6= det A + det B; ali se det (A + B) moe prikazati kao suma 2 n determinanti.
33 Korolar 2.8 Ako je matrica B dobivena iz A dodavanjem nekog njezinog redaka (stupaca) nekom drugom retku (supcu), onda je det B = det A: Uocimo: Determinanta se, primjenom elementarne transformacije 3., ne mijenja. Korolar 2.9 Ako se nekom retku (stupcu) matrice doda linearna kombinacija ostalih redaka (stupaca), njezina se determinanta ne mijenja. Ako je neki redak (stupac) matrice linearna kombinacija ostalih redaka (stupaca), njena determinanta je jednaka nuli.
34 2.7 Binet-Cauchyjev teorem. Svojstva determinante det A = n det A det (A + B) 6= det A + det B (općenito), pokazuju da preslikavanje (funkcional) det : M n (F )! F nije linearni funkcional na M n (F ). Ali ovo preslikavanje (funkcional) "poštuje mnoenje", tj. vrijedi: Teorem 2.5 (Binet-Cauchy) Za svaki par matrica A, B 2 M n (F ) vrijedi det (AB) = det A det B: Korolar 2.10 Za svaki par matrica A, B 2 M n (F ) vrijedi det (AB) = det (BA)
35 Propozicija 2.11 Ako je matrica ortogonalna, onda je det A = 1: Uocimo: Obrat ove propozicije ne vrijedi. Npr. za 2 1 A = 1 1 je det A = 1; ali A nije ortogonalna jer je joj retci (stupci) ne cine ortonormirani sustav. 2.8 Laplaceov razvoj determinante. Determinantu reda 3 racunali smo pomoću determinanti reda 2 na sljedeći nacin: = = (razvoj po prvom retku). Generalizirajmo ovo:
36 Neka je A = [ ik ] kvadratna matrica reda n i n det A = n... = n1 n2 nn = X ( 1) I(p) 1p(1) 2p(2) ::: np(n) (1) p2s n njena determinanta. Izdvojimo i ti redak f i1 ; i2 ; in g : (2) Svaki osnovni sumand u (1) sadri tocno jedan element iz skupa (2); Element ik sadri tocno (n sumanada; 1)! osnovnih Izlucimo element ik iz tih (n 1)! osnovnih sumanada. U zagradi ostaje suma produkata od n 1 elementa dane determinante, od kojih niti jedan nije iz i tog retka i k tog stupca. Izraz u zagradi nazivamo algebarski komplement ili kofaktor elementa ik kojeg oznacujemo sa A ik :
37 Primjer: Za n = 3 imamo = = : Izdvojimo prvi redak i element 13 : Njegov algebarski komplement nalazimo na sljedeći nacin = 13 ( ) ) A ik = Analogno vrijedi za ksikrani odabrani k ti stupac; Kako je determinanta suma svih svojih osnovnih sumanada, imamo:
38 Propozicija 2.12 (Laplace) Za matricu A = [ ik ] vrijedi: 1) det A = n P j=1 2) det A = n P j=1 ij A ij za svaki i = 1; :::; n; jk A jk za svaki k = 1; :::; n: Kaemo da je 1) razvoj det A po njenom i 2) razvoj det A po njenom k tom stupcu. Struktura algebarskih komplemenata A ik : Neka je ik bilo koji element matrice A; to retku, a Uocimo submatricu od A koja se dobije ispuštanjem i tog retka i k tog stupca iz A; Oznacimo njenu determinantu sa ;k 1 1;k+1 1n.... ik = det i 1;1 i 1;k 1 i 1;k+1 i 1;n 6 i+i;1 i+i;k 1 i+i;k+1 i+i;n : n1 n;k 1 n;k+1 nn
39 Ovo je determinanta (n 1) reda, a nazivamo je subdeterminanta ili minora matrice A odre dena elementom ik : Teorem 2.6 Za svaki i; k = 1; :::; n vrijedi A ik = ( 1) i+k ik : Iz Propozicije 2.12 i Teorema 2.6 slijedi: za matricu A = [ ik ] 2 M n je: 1) det A = n P j=1 2) det A = n P j=1 ( 1) i+j ij ij za svaki i = 1; :::; n; ( 1) j+k jk jk za svaki k = 1; :::; n: Primjer = (drugi redak) = ( 1)2+1 2 j 3j + ( 1) j1j = ( 1) 2 ( 3) = 10
40 = (treći stupac) = ( 1) ( 1) ( 1) = = 0 1 (1 2) + 0 = 1: Propozicija 2.13 Za matricu A = [ ik ] je, uz i 6= j, nx ik A jk = 0: k=1 Korolar 2.11 Za bilo koju matricu A = [ ik ] je np 1) ik A jk = ij det A; k=1 P 2) n ik A jl = kl det A: i=1
41 Neka je matrica A = [ ik ] 2 M n ; a [A ik ] matrica algebarskih komplemenata matrice A. Transponiranu matricu te matrice, tj. matricu ~A = [A ik ] 0 = [A ki ] : nazivamo adjunkta matrice A. Propozicija 2.14 Za svaku matricu A 2 M n A ~ A = ~ AA = det A E; gdje je E jedinicna matrica reda n. Korolar 2.12 Za svaku matricu A 2 M n je det A det ~ A = (det A) n :
42 2.9 Još o rangu i inverzu matrice Pomoću determinante moemo utvrditi je li matrica regularna ili nije, te odrediti njezin rang, odnosno inverz ako je regularna. Teorem 2.6 Matricu A 2 M n je regularna onda i samo onda ako je det A 6= 0: Korolar 2.13 Ako je A 2 M n je regularna, njen inverz je dan formulom A 1 = (det A) 1 ~ A; gdje je ~ A adjunkta matrice A. Korolar 2.14 Neka je A 2 M n. Onda je: a) det A 6= 0 ako i samo ako skup njezinih stupaca (redaka) linearno nezavisan; b) det A = 0 ako i samo ako skup njezinih stupaca (redaka) linearno zavisan.
Neprekidnost i limes. Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija. f : I {c} R
4 Neprekidnost i es Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija f : I {c} R ima es u točki c jednak L R ako za svaki niz ( n ) u I {c} vrijedi n = c = n + f( n) = L. n + Može se pokazati
Baze podataka (vježbe) SQL - uvod i osnove naredbe SELECT. Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek
Baze podataka (vježbe) SQL - uvod i osnove naredbe SELECT Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Kako započeti? Ulogirajte se na student (bilo kojim ssh klijentom). Kako započeti? Ulogirajte se na
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. , odnosno
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. Odrediti Košijevo rešenje parijalne diferenijalne jednačine : p + q + 0 koje adovoljava uslov : 0 i p + q + 0 Najpre moramo da prebaimo na drugu stranu! p + q Sada
Vježba 2 Regularni izrazi I (eng. regex)
Ponavljanje: tipovi podataka i funkcije Funkcija za provjeru regex-a REGEX Funkcije search() i match() Kvantifikatori Klase/razredi uzoraka Uvod u skupine (grupe) uzoraka Domaća zadaća Rad s regularnim
Hotellingova T 2 statistika. Mia Franić 6. srpnja 2016.
Hotellingova T statistika Mia Franić 6. srpnja 06. Sadržaj Uvod 3. Linearni model više varijabli..................... 3. Hotellingova statistika........................ 4 Hotellingov T test za dva normalna
1. UVOD U TEORIJU FORMALNIH JEZIKA
1. UVOD U TEORIJU FORMALNIH JEZIKA 17 1.1 ZNAKOVI I NIZOVI ZNAKOVA 19 1.2 DEFINICIJA FORMALNOG JEZIKA 20 Formalni jezik 20 Svojstvo prefiksa 21 Operacije nad jezicima 21 Produkt jezika 21 Zatvarač jezika
Druxtvo matematiqara Srbije REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjA IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija AC + AC 1.
Druxtvo matematiqara Srbije REXENj ZDTK OPXTINSKOG TKMIQENj IZ MTEMTIKE Prvi razred kategorija. Rexenje : Taqka K je sredixte duжi,teje + K =. Vektori K i M su kolinearni, tj. K = λ M ikakoje sredixte duжi
Udruženje matematičara TK - (b a) (c a) + C. a + b c = x, b + c a = y, c + a b = z. x + y = 2b, z + x = 2a i y + z = 2c.
Prvi razred Zadaci i rješenja Zadatak 1. Odrediti vrijednost izraza w = (a + b c) (b + c a) (c + a b) + + (a c) (b c) (b a) (c a) (c b) (a b). Rješenje 1. Izraz je definisan ako i samo ako je a b, b c
dt dt 2 2t = 3 (1 + t). y (x) = x. ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ]
![dt dt 2 2t = 3 (1 + t). y (x) = x. ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ]](/thumbs/93/118020274.jpg "dt dt 2 2t = 3 (1 + t). y (x) = x. ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ]")
168 Glava 3. Diferencijalni račun 487. Funkcija y = f(x) je zadata parametarskim jednačinama: Naći y (x). x = 2t t 2, y = 3t t 3 (t > 1). y (x) = dy dx = dy dt dt dx = ẏ ẋ = 3 3t2 2 2t = 3 (1 + t). 2 Iz
0. OSNOVE
0.1 JEZIK Operacije nad jezicima Simboli i nizovi simbola Klasifikacija jezika Regularni skupovi SVOJSTVA REGULARNIH SKUPOVA 0.2 REGULARNI IZRAZI Algebarska svojstva regularnih izraza 0.3 GRAMATIKE Gramatika
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Algoritmi i strukture podataka
Algoritmi i strukture podataka vežbe 4 Mirko Stojadinović 27. oktobar 2013 1 Hip Hip je binarno stablo koje zadovoljava uslov hipa: ključ svakog čvora veći je ili jednak od ključeva njegovih sinova. Pored
2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
![2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I](/thumbs/88/115575416.jpg "2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I")
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Prvi razred, A kategorija )+ 1 ( ( AH + AB + AC 3 AH + BH + CH 3 AO+ OH + BO+ OH + CO + OH 3 AO+ BO + CO + OH. ( BH + BC + BA
REXENj ZDTK OPXTINSKOG TKMIQENjENj IZ MTEMTIKE UQENIK SREDNjIH XKOL, 001 Prvi razred, kategorija Kako za proizvoljan trougao XYZ, njegovo teжixte T i proizvoljnu taqku P vaжi PX + PY + PZ = PT, to je G 1 + G
BAZE PODATAKA. Neđeljko Lekić.
BAZE PODATAKA SQL SELECT (I dio) Neđeljko Lekić Irena Orović ć www.etf.ac.me www.elektronika.t-com.me t me U OVOJ LEKCIJI SQL SELECT WHERE klauzula SELECT iz više tabela Povezivanje tabela SELECT SQL SELECT:
REXENjA ZADATAKA Prvi razred A kategorija
REXENjA ZADATAKA OKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE 4.0.007. Prvi razred A kategorija 1. Na i ostatak pri deljenju broja 3 1000 + 4 1000 sa 13. Tangenta 38, str. 41. Rexenje: Nađimo ostatke deljenja brojeva oblika
Podstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Darko Drakulić. Osnove programskog jezika C sa zbirkom zadataka -skripta-
Darko Drakulić Osnove programskog jezika C sa zbirkom zadataka -skripta- Rad u Code::Blocks okruženju Da bi se napisao i izvršio program napisan na programskom jeziku C, potreban je tekst editor u kojem
ś ź Ą ś Ą ś ś Ę Ą ń ń ń ś ń ńś ś ń ć ń ś ś ź ć ś ś ź ź Ę Ę ś ć ś ś ć ś ść ń Ę ć ć ć ś ń ć ć ć ś ś Ą ź ść ĘĄ ś ś ć ść ć Ś ś ś ś Ą ś ź ś ś ź ń Ą ś ź Ń ś ś ś Ń ń ź ć ś ś ś ć Ń ś ń ś ź ś ń ń ć ć ś ń ć ń ć
Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ę Ą Ę ŚĘ Ę Ś ń Ę Ę Ą Ł Ż Ń Ł ć Ą ć Ł Ę Ó ć Ź ć ź ń Ń ń Ś Ą Ę Ł Ę Ą Ę ń ć ń Ź ć ń ć ń Ś ń ŚĆ ć ź Ł Ę Ę Ś Ę Ę Ę ń ŚĘ Ń Ę Ę ń ŚĘ Ę Ę Ś Ś ć ń Ę ń Ś Ę ć ć Ę Ę ć ź ć ń Ę Ń ń ć Ł Ę Ę Ę Ę ć Ę ć ć ź
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Ą Ś Ś ż Ż ć Ś Ż Ś Ń Ó Ż ć Ź ć ć Ż Ź Ś Ą Ą Ż Ś Ą ĘĄ Ś Ę ŚĘ Ę Ó Ś Ą ć Ś ź Ś ż Ż Ź ć ć ć Ą ć ć Ź ć ć ć ć Ś ć Ż ć ć Ą ć Ż ć Ż ć Ż Ż Ż ć Ż ć Ż ć Ż ż ź Ą ż ć Ż Ź Ż Ś Ż Ś Ą ż Ą Ż ź Ż ż ć Ż Ż Ą Ś Ź ć Ś ż Ź ż Ł
Ź Ź Ó Ł Ś Ź Ń Ż Ę Ę ź Ę Ź ĘĄ ż ź Ę Ź Ż ź Ź Ł ź Ę Ż ż Ż Ą ź ż Ż Ż ż Ź ż ć ć ć Ż ż ż Ź ż ż Ź Ź Ż ć ć Ą Ż ć Ż Ń Ó ż ć ż Ż ż Ż Ź Ż ż ż Ę ż Ź Ź Ź Ź Ź ĄĄ ź Ż Ź Ź Ź Ż Ź Ź ź Ż Ź ź ź ź Ś Ź Ę ĘĄ ż Ż Ę ż ć Ś ĄĄ Ę
ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 5 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r z e g l» d ó w k o n s e r w a c y j n o -
1 />>»^>^>í. yz yz y É H K S. tófegffi»i. / f // .Z í J y z Z z Z ^ u ^ y, / ZZZ ' / / / y r/ y^ y ís. Z / < -/^r . -<T-. / Vt-l?
41 j J f Z cx cz tr{ st C Z 'Z i { 'C< t- Z e Zf t is C L o t Z 1 'ZZZcLCL( 'j C l * 1\.Z í J z Z z Z u, Z Z Z cz Z e > Z ËÊ & iû r i ista sá V.V? ; ZZZ ' ÿ r ís 'ÿ Z Z f,u-trzs% 1 >>»>>í xtastfízsiss
Macierze. Układy równań.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie
ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
- :!" # $%&' &() : & *+, &( -. % /0 ( 1 $+ #2 ( #2 ) !( # ;<= &( ) >- % ( &( $+ #&( #2 A &? -4
- :!" # $%&' &() : 1. 8 -& *+, &( -. % /0 ( 1 $+ #2 ( #2 ) 3 45 167-1.!( # ;- % ( &(- 17 #(?!@- 167 1 $+ &( #&( #2 A &? -2.!"7 # ;- % #&( #2 A &? -3.!( # ;
Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu
O p i s i z a k r e s c z y n n o c is p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o C e n t r u m S p o r t u I S t a d i o n p i ł k a r s k i w G d y n i I A S p r z» t a n i e p r z e d m e c
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
M& ( " A;P M ' ">? Z>? :JZ>? "UVM >? " ; = ;FY O " & M >? [S A\ A E D, 8 "V* >? " # ) "V* >? " 678>? ( 9/ I JK 4? 9RS/ > " " P &' ` &
9 789 45M&(" A;P M ' ">? Z>?:JZ>?"UVM >?" ; > @, = ;FYO" & M >? [SA\ )@ A ED, 8 "V* >?" # ) "V* >?" 678>?( 9/ IJK 4? 9RS/> " " P &' ` & > " P &' ) G 9 + :;J K : H 34I!JK Y 4 \ < 3b 2 I \ $GH ( 9 9"3?F
Matematička analiza 4
Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 21.3.213. 2 Sadržaj 1 Integrali 5 1.1 Dvostruki integrali........................ 5 1.2 Trostruki integrali......................... 9 1.3 Nesvojstveni
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Matematička analiza 4
Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 1.3.13. Glava 1 Integrali Izračunati sledeće dvostruke integrale: 1.1. I(a) = G ( + y) a, gde je skup G odre den nejednačinama: >, y >, < a +
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
![, A T = A + B = [a ij + b ij ].](/thumbs/98/137554993.jpg ", A T = A + B = [a ij + b ij ].")
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'
!" #! $%&' $ &!!$ :;!"# $ %& ' ( )* %+,-./0 1 +( :; :, ( BC+=D E -./0% : > / F-.FG91"# H F IH F+J K L M N O + F+PQ"# RS*T"U VW6
!" #! $%&' $ &!!$ :;!"# $ %& ' ( )* %+,-./0 1 +( 234 56 2789 :; :, ,?@6A ( BC+=D E -./0% : > / F-.FG91"# H F IH F+J K L M N O + F+PQ"# RS*T"U VW6 &+ F XY * ZL[ \ 6]M^ F _,`ab bc :&+ FX FY F c = ] F
MATEMATIČKA ANALIZA 2
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVOD ZA PRIMIJENJENU MATEMATIKU MATEMATIČKA ANALIZA 2 Zadaci za vježbu Zagreb, 23. Sadržaj Funkcije više varijabli 3 2 Diferencijalni račun
INTEGRALI I TEORIJA POLJA. - zadaci za vežbu -
INTEGRALI I TEORIJA POLJA - zadaci za vežbu -. Izračunati direktno krivolinijski integral: ydx x dy zdz duž presečne krive površi: C z x a y b i x a y b x a y b, orjentisane u pozitivnom smeru ako se posmatra
Krakov Zagrebu. Album posvećen stradalnicima potresa godine. Kraków Zagrzebiowi Album poświęcony ofiarom trzęsienia ziemi z 1880 roku
Krakov Zagrebu Album posvećen stradalnicima potresa 1880. godine Kraków Zagrzebiowi Album poświęcony ofiarom trzęsienia ziemi z 1880 roku Krakov Zagrebu Kraków Zagrzebiowi Autorska prava 2011 Autori i
Uchwała Nr... Rady Miasta Ostrowca Świętokrzyskiego z dnia 2016 r.
Uchwała Nr... Rady Miasta Ostrowca Świętokrzyskiego z dnia 2016 r. w sprawie: uchwalenia Zintegrowanej strategii dla obszarów funkcjonalnych miast tracących funkcje społeczno-gospodarcze Ostrowiec Świętokrzyski,
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1
O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e ks r e a c j i I S t a d i
Obliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Ą ń ń ć Ę Ę ć ć ń ń Ż ń ń Ą Ą ń Ż Ń Ż ć Ą ń ŚĆ ć Ę Ę Ą ń Ś ń ć Ę Ą ń Ę ń ń ń ń ć ń ń Ś Ź ń ć ć ń ć ń Ś Ż Ę Ń ń ń ń ń ń ć Ń Ę Ę Ę Ę Ę ńń ź ĄĘ Ę ź ń Ąń Ę Ę Ę Ź Ę Ę Ą Ś Ę Ę ć Ś Ą Ń ć ń ń ć Ś ć Ń Ó ń ń ć
Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa
W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y n i w d n i u 2 0 1 4 r po m i d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j i j e d n o s t k a b u d e t o w a ( 8 1-5 3 8 G d y n i a ), l
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
WYNIKI MISTRZOSTW KATOWIC W PŁYWANIU SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH ( R.)
WYNIKI MISTRZOSTW KATOWIC W PŁYWANIU SZKÓŁ PONADPODSTAWOWYCH (12.10.2018 R.) 100 metrów stylem zmiennym dziewcząt 1 WB X LO 1:25,52 17 2 KK I LO 1:25,77 15 3 MZ II LO 1:28,70 14 4 AP III LO 1:30,81 13
HR Ujedinjena u raznolikosti HR A8-0205/224
21.3.2019 A8-0205/224 Amandman 224 Članak 2. stavak 1. točka 1. Članak 8. stavak 1. alineja 2. Tekst koji je predložila Komisija svaka tri sata akumuliranog vremena vožnje i svaki put kada vozilo prijeđe
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
8 =<?? <8<=28<< )!! " (!"# $"% &' ()*+,! "#$ $ "%& #%$! ' &$ ()*+,-.-$ */01$)( / $ *1$) + 1 $ *$ )!2 3 *)1)*.$!"#$%&'! " "#$!%& "%# ' '!!' $!%&! " 2 #
8 =
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
parati trbuh.nekoliko puta zareze i opazi kako se zasija crvena kapica;zareze on jos nekoliko puta i djevojcica iskoci iz vucije utrobe.
Bajke Crvenkapica Bila jednom mlada,draga djevojcica koju bi svako zavolio cim bi je ugledao,a njena je baka voljela tako da nije znala,kako da djetetu ugodi.jednom joj poklonila kapicu od crvena barsuna,sto
Egzamin z GAL-u (Informatyka) 2. termin 19/02/2019 CzÍúÊ teoretyczna I
ImiÍ i nazwisko: Numer albumu: CzÍúÊ teoretyczna I Instrukcja: Odpowiedzi naleøy pisaê na arkuszu z pytaniami. W zadaniach 1-10 naleøy udzielaê odpowiedzi TAK lub NIE, przy czym nawet jedna niepoprawna
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami
, , , , 0
S T E R O W N I K G R E E N M I L L A Q U A S Y S T E M 2 4 V 4 S E K C J I G B 6 9 6 4 C, 8 S E K C J I G B 6 9 6 8 C I n s t r u k c j a i n s t a l a c j i i o b s ł u g i P r z e d r o z p o c z ę
!"#$%& ' ()*+,-./-%+01( % (2 3 % :; % 5 - +B% 5; CDE :? F-. GHIJ%KLMN%=O PQRST 1 #U% VW XY % Z VW%+[\]\^_`a\]\bc " L+ > J % a -.K V )
![!#$%& ' ()*+,-./-%+01( % (2 3 % :; % 5 - +B% 5; CDE :? F-. GHIJ%KLMN%=O PQRST 1 #U% VW XY % Z VW%+[\]\^_`a\]\bc L+ > J % a -.K V )](/thumbs/94/118819365.jpg "!#$%& ' ()*+,-./-%+01( % (2 3 % :; % 5 - +B% 5; CDE :? F-. GHIJ%KLMN%=O PQRST 1 #U% VW XY % Z VW%+[\]\^_`a\]\bc L+ > J % a -.K V )")
!"#$%& '()*+,-./-%+01( %(23 %456789 +:;% 5 - ?%@A +B% 5;CDE :?F-. GHIJ%KLMN%=OPQRST 1 #U%VW XY% Z VW%+[\]\^_`a\]\bc" L+ > J%a -.K V)*%+01( VW +:# %H % ( 1# VW+:% %K1.UJ+:%=O V^% B +[ %BH %VW67V ^
!!" # " $ $ $ %&'(!! " # " $%%&'$%()* +!! ", -. /
!!" # " $ $ $ %&'(!! " +!. / #! " ", $%%&'$%()* - )*+$,* -.* %&'(.%&%&/ #"$ $$ 0* $ 1 + + 23 3 40 05 # %&'(.%&%& * *6 * * 6 7 2* $ 8 * 239. 6 39 0 *6 39 *6 6 *6 39 8 7$ 7 + *$ * + 6 6 7 * + $ * + * * #
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S i R D Z P I 2 7 1 0 3 62 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A Z a p e w n i e n i e z a s i l a n i ea n e r g e t y c z ne g o
Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe
opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i
Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru
Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Luka Nenadović Visoka tehnološka škola, Šabac lnenadovic@ipb.ac.rs Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 1
Zadania kinematyki mechanizmów
Zadania kinematyki mechanizmów struktura mechanizmu wymiary ogniw ruch ogniw napędowych związki kinematyczne położeń, prędkości, przyspieszeń ogniw zadanie proste kinematyki zadanie odwrotne kinematyki
Przekształcenia liniowe
Algebra Przekształcenia liniowe Aleksandr Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra
I n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p
A d r e s s t r o n y i n t e r n e t o w e j, n a k t ó r e j z a m i e s z c z o n a b d z i e s p e c y f i k a c j a i s t o t n y c h w a r u n k ó w z a m ó w i e n i a ( j e e ld io t y c z y )
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
"###1#': 9&#"# 9#&:#$1& "%1 ' * ' 6 #$%&'!"!!"#$%&'"##$%"! "# $%# & $ ' $! ' ' % "##$%" " &#"#(#'(#% &#"#(#%(#%!"#" $%&' % % & % & ' & % %( )% % %( *
"###1#': 9&#"# 9#&:#$1& "%1 ' #$%&'!"!!"#$%&'"##$%"! "# $%# & $ ' $! ' ' % "##$%" " &#"#(#'(#% &#"#(#%(#%!"#" $%&' % %& % & ' & % %( )% % %( * %+% &, % % -, % )!./!0#1!00 &!!( )!*+!, -.+( +/ 0 )! (( 0-1!+!.+(!
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
9984H. Fig. Shank ISO-No. 9984H HP 658 104 372 503 120
Ýëàñòè íûå ïîëèðû Polerki elastyczne Fleksibilni polireri MEISINGER 9983H mm 7,0 9983H HP 658 04 9 503 045 RA 658 04 9 503 045 45 ïîëèðû äëÿ êîìïîçèòîâ Gumki do kompozytów Polireri za kompozit 974S 5 9984H
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
!!" #! $ %&'!&!"#$ %&' ()*+,-./ / :; 9: 8 7 5B C D E F B C D G H I J) > 67 8 KL./01 8 M N O P Q R ' ( - ) * +, ST B CD;
!!" #!$ %&'!&!"#$ %&'()*+,-./0 1 2 3 4 5. / 2 6 7 8 9 :; 9: 87 ?@A34 5B C D E F B C D G H I J) > 67 8KL./018 M N O P Q R ' ( - ) * +, ST B CD;U3V 3W-X'YCZ -GHIJ)9:[\ 3 4 5]^ 67 8 _`abc ) = L) a] -U
!"#$ %&!'"()$*+$",&%-!.,*/
!" #!"#$ %&!'"($*+$",&%-!.,*/! "'* 0 $% & ' ((#* #*" % % +,-./+0 ((#* #*" % % (1" # 11 2 +,-./+0 ((#* #*" % % (1" # 3 456*/%&("& %4 7$%&!./'*!4%%,4-58*/.98 $*58!6(,.'(3333333333333333333333333333333333333333333333333:!"#$%&'("*+$,",'-."/0"
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 4 52 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A W y k o n a n i e p o m i a r ó w i n s t a l a c j i e l e k t r y c
Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
BAZE PODATAKA. Model Objekti/Veze. Neđeljko Lekić. Dr. Peter Chen
BAZE PODATAKA Model Objekti/Veze Dr. Peter Chen Neđeljko Lekić Irena Orović www.etf.ac.me, www.elektronika.t-com.me TEME Model Objekti/Veze (Entity/Relationship model) Entiteti i atributi Veze M/V dijagrami
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)
![[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)](/thumbs/71/66132002.jpg "[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)")
. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy
); );+ ) +994-,9+ 4)- &&5 6 E PQ 5 ' 6 6 LR P&Q 1.R 0 4 *)4B 2 3/ $ /?4 2 K <= / & 5$ 4.I- %6 ]^ -. N+?G N + a H / 0 3 T `
![); );+ ) +994-,9+ 4)- &&5 6 E PQ 5 ' 6 6 LR P&Q 1.R 0 4 *)4B 2 3/ $ /?4 2 K <= / & 5$ 4.I- %6 ]^ -. N+?G N + a H / 0 3 T `](/thumbs/94/118801212.jpg "); );+ ) +994-,9+ 4)- &&5 6 E PQ 5 ' 6 6 LR P&Q 1.R 0 4 *)4B 2 3/ $ /?4 2 K <= / & 5$ 4.I- %6 ]^ -. N+?G N + a H / 0 3 T `")
234 +);+494-4 +);+ )+994-,9+4)- &&6 EPQ '66 LRP&Q1.R0 4*)4B 2 3/ 04 6 789 $ /?42 K?a6S F4% -.N+a+,NV=
!" #$% &'!" %"!"#$ ( )!" *!(" #$% %(& #$%&' ()*+,-.%/01 #$% &' 23#$% &', ,:; <=. &' >3? ), ABCD E, 9 #$% &',457:; <F GH,IJKL&' 9:; + ),ABCMN
!" #$% &'!" %"!"#$ )!" *!" #$% %& #$%&' )*+,-.%/01 #$% &' 23#$% &',4567 89,:;
token DOT WORD dve vrednosti
Skener Skener je zadužen za leksičku analizu Skener preuzima (skenira) znak po znak (programskog) teksta radi prepoznavanja simbola sastavljenih od zadanih znakova ili njihovih sekvenci. Pri tome: ignoriše