l. Wprowadzenie W zagadnieniach odwrotnych chodzi nie tyle o wyznaczenie rozwiązania obszaru ograniczonego brzegiem, na którym zadane są

Transkrypt

1 Krzepnięcie meta i i stopów t. IX P ISSN ISBN X Ossoineum 1985 Radosław Grzymkowski PRZYBLIŻONA METODA ANALIZY WYMIANY CIEPŁA NA POWIERZCHNI WLEWKA CIĄGŁEGO. Wprowadzenie W praktyce inżynierskiej czę sto zachodzi konieczność modeowania procesu fizycznego ceem wyznaczenia brakujących parametrów procesu ub poznania epiej j ego charakteru. Zagadnienie to jest typowe da procesu wytwarzania wewków sposobem ciągłym..-sfo rmułowan e modee mogą zaiczać się do prostych ub odwrotnych. zagadnień przewodzenia ciepła. W zagadnieniach odwrotnych chodzi nie tye o wyznaczenie rozwiązania Wł!wnątrz obszaru ograniczonego brzegiem, na którym zadane są wartości poszukiwanej funkcji ub jej pochodnych, co o ekstrapoucję tego rozw-ią zania poza ten obszar. Ogónie probemy odwrotne w technice to zagadnienia, które wiążą metody matematyczne, pomiary oraz pewne uwarunkowania techniczne. Przykładowo, pomiarów zwyke dokonuje się w miejscach łatwo dostępnych. Niejednokrotnie poszukiwane wiekości mogą zostać zmierzone tyko pośrednio. Stąd jednym z podstawowych probemów dotyczących zastosowań rozwiązań zagadnień odwrotnych, gdy korzysta się z danych doświadczanych, jest probem pomiarów mało zakłócających przebieg wiekości mierzonych. Wymagana jest tu szczegóna staranność w doborze technik pomiarowych i miejsc pomiarów.

2 64 Radosław Grzymkowski Odwrotne zagadnienia transportu ciepła spotyka się w modeach matematycznych dotyczących optymaizacji procesu wytwarzania wewków ciągłych [ 7 J. Zagadnienie to poega na okreśeniu takich warunków odprowadzania ciepła z powierzchni wewka w obszarze krystaizatora, strefie chłodzenia wtórnego i strefie chłodzenia końcowego, przy których wyrób finany charakteryzuje się najepszą jakością. Jednym z czynników wpływających na jakość wewka ciągłego jest po e temperatury krzepnącego metau. Technoogom i projektantom ur ządzeń do ciągłego odewania znane są postuaty dotyczące charakteru rozkładu temperatury. Można zatem sformułować zagadnienie, w którym poszukuje się warunków brzegowych, tj. warunków wymiany ciepła na powierzchni wewka czyniących zadość ograniczeniom nakładanym na poe temperatury. Badania na możiwością wykorzystania metod rozwiązywania odwrotnych za gadnień brzegowych transportu ciepła przy projektowaniu technoogii COS (ciągłego odewania stai) prowadzone są w ramach Międzyresortowego Probemu Badań P odstawowych nr 20 [ 7 J. Prezentowana praca jest kontynuacją prowadzonych badań i dotyczy metody odtwarzania strumienia ciepła oraz w spółczynnika wymiany ciepła na powierzchni wewka przy zadanych przebiegach temperatury. 2. Założenia W pracy ro zważa się płaskie i okrągłe wewki wytwarzane na urządzeniu pionowym do ciągłego odewania. Modeowane obiekty traktuje się jako obiekty dwuwymiarowe, da których rozkład temperatury da się opisa ć dwuwymiarowym równaniem przewodnictwa ciepła. Przyjmuje się, że wewki o grubości 2r* odewane ze stałą prędkością w, wytwarzane są z metau krzepnącego w przedziae temperatur <T", T'>{T"- temperatura soidus, T' - temp eratura ikwidus ), który wewany do krystaizatora ma temperaturę T* ~ T: Bezawaryjna praca pionowego urządzenia do ciągłego odewania powoduje wygenerowanie się w ewnątrz wewka o długości z* pseudousta:onegc poa temperatury, które w nieruchomym układzie współrzędnych związanym z krzepnącym wewkiem opisuje równanie

3 Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 65 "(?!.w J T= r-m J (rmą. J T). + J (.:>..J T), z r r z z O<r<r* O<z<z*, () gdiie T = T (r, z ) jest temperaturą, ~ = -ae (T ) zastępczą pojemnością ciepną (6], 0, = Y (T ) gęstością masy, A. = A.(T ) współc zynnikiem przewodzenia ciepła, a indeks m okreśa geometrię wew_ka (m = O wewek płaski, m = wewek Ókrągły ). Równanie ( ) można częściowo uprościć pomijając człon J (:.t J T ) (p. 7 ), w czego rezutacie otrzymuje się rówz. z nanie paraboiczne, w którym współrz~dn! z spełni;a roę czasu. Lir I r J,-1 ~~--~ ;" -ł+<-h-h+++ł-h-f-t+hfł+h-i i,., ji~-h-h+++ł++f++~+h t-; -++f+ł++t-h++t++-ł/t1~-t+ J~ H t+f+ł-t+ti - z Rys.. Modeowany obiekt. Siatka różnicowa

4 66 Rados~aw Grzymkowski Zakłada się ponadto, że znane są zmienne przebiegi temperatury w dowonych ustaonych przemieszczających się wraz z wewkiem punktach kontronych r = r, n = (N, O«r ~ r*, przy czym przyjmuje się, że n n każdej chwii czasu odpowiada tyko je-den taki punkt (rys. 1). Zakładane przebiegi temperatury wynikać mogą z wymogów technoogicznych, pomiarów ub innych ograniczeń nakładanych na modeowany obiekt. Nie znane są natomiast warunki wymiany ciepła na powierzchni wewka r = r*. Fokażerny, że te informacje pozwoą wyznaczyć poe temperatury w całym przekroju obiektu oraz odtworzyć brakujący warunek brzegowy, jaki powinien być zadany aby uzyskać postuowane przebiegi temperatury w punktach kontronych. 3. Układ równań Niech q(z ) będzie poszukiwanym strumieniem ciepła Wówczas korzystając na granicy r = r*. z anaitycznej postaci warunku brzegowego III rodzaju można wyznaczyć współc_zynnik wymiany ciepła 01. (z ). Otrzymuje się. *, O<z~z, (2 ) gdzie T 00 jest temperaturą otoczenia. Datego dasza anaiza probemu ukierunkowana została na rekonstrukcję strumienia ciepła co odpowiada warunkowi brzegowemu II rodzaju postaci q(z),;,- A.[T(r*,z)j ć)r T(r*,z), 0< z~z*. (3) Jednocześnie przyjęte w rozdziae poprzednim założenia pozwaają sformułować zagadnienie brzegowe, które opisują równania E C T z -m m ) r r r. a (i\.r a T, O< z <z*, O< r < r*, (4) T(r,O ) T*(r ), O,.::r~r* (5 ) CJ T (O, z) O, o <z ~z* r (6)

5 Przybiżona metoder anaizy wymiany ciepła 67 T(rn' z)= fn(z), zn_< z~zn' n=,n, (7) gdzie E = E (T ) = -ae(t ) t'(t ) w, z, z, n=,n, oznaczają początn-1 n kowe i końcowe położenie punktów kontronych r = r, przy czym -z = O, n o a zn ~ z*. Natomiast funkcje fn (z ) oznaczają zakładane przebiegi temperatury, pr':! czym przyjmuje się, że fn(z)~t". Funkcje fn(z) zadawane są zazwyczaj w postaci tabei wartości (dziedzina i I>rzeciwdziedzina są zbiorami iczb ) ub w postaci wykresu. Zagadnienie (3) -1- (7) nae ży do grupy odwrotnych nieiniowych zagadnień brzegowych da równania przewodnictwa ciepła [ J. Odwrotne zagadnienia przewodnidwa ciepła naeżą do ka sy zadań źe uwarunkowanych. Oznacza to, że mała niedokładność wiekości wejściowych może powodować dużą niedo~ładnoś ć w rozwiązaniu. I~tnieją różne sposoby łagodzenia wpływu tej właściwości na jakość uzyskiwanych rezutatów [ 3, 4]. W niniejszej pracy ceem źłagodzenia wpływu złego uwarunkowania proponuje się obok metody różnicow e j rozwiązania wykorzystanie spajnów wygładzających. Pode3ście to łagodzi wpływ złego uwarunkowania na wyniki o biczeń ae nie usuwa go całkowicie'" 4. Metoda rozwią z ania Przybiżonego rozwiązania sformułowanego wy że j zagadnienia poszukuje się w c zterech krokach. W kroku pierwszym wygładza się informacje wejściow e, dotyczące zakładanych przebiegów t emperatury w punktach kontronych. Na obszar modeowanego obiektu nałożono równomierną siatkę ró żn i cową QI,J = w 1 (r ) >< w 1 (z ), przy czym w 1 (r ) { r (i ) r (i) L\ r (i- ), i = 1,1 }, L\ z (j-1 ), j =,J}, gdzie, J oznaczają kroki siatki iczby w ęzłów w kierunku r z odpowiednio, L\ r i L\ z

6 68 Radosław Grzymkowski /:). r = r* (I - )!::J. z = z*" (J - ) J (8) W modeu założono, że położenie punktów kontronych okreśają te węzły siatki da których i in' ~ jn-' jn' n =, N, gdzie in' =-rn!::j.r +, a j = Z!::J. Z +. n n } Węzły te naeżą do zbiorów W~(z) = {z(:j ) jn-' jn,n =,N. Każdy z tych zbiorów można traktować jako okaną siatkę, na której zadane są z pewnymi błędami wartości funkcji f (z.) = f (:j ). Z uwagi n J n na błędy w okreśeniu wartości funkcji f (j) naeży skonstruować nowe n funkcje F n (z), tak by ich pf.zebieg w otoczeniu zadanyc). punktów był bardziej "płynny" niż funkcji interpoujących. Funkcje takie nazywamy funkcjami wygładzającymi. Żądając aby szukane funkcje wygładzające f (z ) okreśone w przen działach < zn-, z n> minimaizowały funkcjonały n = 1, N gdzie P n (j ), j. = jn-, jn jest zadanym. układem iczb dodatnich - wymusza się przebieg konstruowanych krzywych w pobiżu zadanych punktów oraz gwarantuje się ich minimane "wygięcia". 1m większe są wartości współczynników wagowych P (j ), tym więks c: ' - roę odgrywają warunki n interpoacyjne i tym biżej zadanych punktów przebiega funkcja wygładzająca [ 8]. Rozwiązaniami zadań wariacyjnych (9) są spajny sześcienne (funkcje skejane trzeci_ego stopnia )[ 8], które konstruuje się. w sposób podany w pracy [s]. Wyznaczenie spajnów Fn(z), n= i";n, a dokładniej ich wartości iczbowych F (j ) w węzłach siatki Wn(z), koiczy pierwszy n J etap poszukiwania przybi żonego rozwiązania zagadnienia (3 ) + _ (7 ). Krok drugi poega na ro -związaniu prostego zagadnienia brzegowego (4 ) + (7 ), tzn. na wyznaczeniu poa temperatury w obszarze od osi wewka do inii r = rn' n =, N. Wykorzystać do tego ceu można opra "

7 Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 69 cowane specjanie da tego typu zagadnień metody różnicowe, których szczegółowy opis można znaeźć w pracach [ J. Stosując proponowane metody.~najduje się w węzłach siatki Q, J naieiących do rozważanego obszaru tj. gdy i =, i, n =, N a. j =,J dyskretne poe n temperatury T(i,j) =T [.6r(i-),.6z(j- )]. Jednocześnie zrozumiałe. jest,~e 'da węzłów naeżących do W~(z), tzn. gdy i = in' n =,N a j =,J zachodzi T(i,j ) =F (j..). Wyznaczenie powyższego poa tempen ratury zamyka drugi etap obiczeń. W kroku trzecim otrzymane na poprzednim etapie dyskretne rozwiązanie przedłuża się na cały rozpatrywany obszar oraz wyznacza się temperaturę powierzchni wewka (tam, gdzie nie jest ona zadana). W pracy [ 13 J omówiono szereg stabinych, o wysokim rzędzie ksymacji s c hematów różnicowych da równania prźewodnictwa. Sposób budowy wspomnianych schematów różnicowych okazał się pomocny p_rzy przedłużaniu znaezionego w kroku poprzednim rozwiązania. Da węzłów naeżących do obszaru poło żonego od inii r = r, n =, N do powierz-. :n. chni wewkar = r* (tj. gdy i=~. n=,n aj = 2,J ) różnicową n aproksymację ewej strony równania (4 ) przyjęto w postaci apro [ E J T].. -;~:~ z,j ( " <::1 E (i,j )[ 3T (i+, i+ ) - 4T (i+ 1 i ) + T (i+ 1 j-1 ) 24 b z T (i 1 j+ ) - 20 T (id ) + ST{id - ) 2Lh T {i-1 2 j+ ) - 4 T (i-1 2 i ) + T {i-1 2 j-1 ) ] 24.6z (10 ) gdzie E (i,j) = E [T (i,j)j. Natomiast prawą stronę równania (4) aproksymowano zgodnie z zasadami podanymi w pracaci [9,11,.12]. Przyjmując,, że w rozważanym obszarze A. = const. można napisać [ r-m d (rma.d. T)].. "' r r 1, J /

8 70 Radosław Grzymkowski A. [(i-0,5_\m T( ) 2T( ) (i-1,5)m T( ) ] (11) ""' /:,. r 2 i- ) + ' J - ' J + i- - 'J Związki (10 ) i (11 ) wstawione do równania (4) pozwaają po przekształceniach uzyskać da każdej i-tej warstwy i "' i +, i i "' i 1 +, układ równań n n-1, n "' N, 2 oraz e.t(i,j-1) - 4a (i,j) T(i,j) + 3?T(i,j+) ~ j "' j n- +, 1 - b(i,j )' (12) Występujące w równaniach (12) w spółczynniki mają postać a (i, j)? 2 o! - ' "' jn ' j ~ jn "' 1 - jjj-1 m + 6H(i,j) (~- 1 5 ) - 2, (13) (14) (15) gdzie (16 ) Jednocześnie b(i,j ) "'24H(i,j ) [c-=_'~)m T(i-2, j)- 2T(i-1, j )]+ [3T(i-2, j+ ) - 4T(i-2,j) + T(i-2), j-j] + / - 10[3T(i-1, j+ ) - 4T(i-,j ) + T(i-1, j-1 ) ] + + (1-t )T(i, j+ ) + (1-? ) T(i,J), (17 ) przy czym T(i,J ) = ( ~=i. 5 )m[ T(i-,J ) - T(i-,_ J-1 )] /H(i-1, j ) +

9 .. Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 71 C:~, s) m T (i-1, J) (18) oraz T (1, ) (i ) ' (19 ) gdzie T* (i) = T* [ir (i- )]. Ponieważ macierze główne układów równań (12 ) są macierzami trójdiagonanymi do rozwiązania w /w układów można z astosować agorytm Thomasa [14]. Uzyskane na tym etapie poe temperatury jest przedłużeniem rozwiązania zagadnienia prostego (4) + (7) na obszar położony od inii r = r, \ n n =, N do powierzchni wewka r = r*. Znaezione wyżej rozwiązanie pozwaa w ostatnim kroku wyznaczyć w postaci dyskretnej poszukiwany strumień ciepła q (z ). Da wyznaczenia strumienia iciepła wykorzystuje się wynikającą z biansu energii zaeżno..ś ć [ 7 J q (j ) A.(,J-1 ) ( 2ij"1) m T(,j ) - T(I-1,j ) ir m + T (,J-1 ) ae(,j-1 )r ( ~) \T(,j ) -T(,j-1 ) ( 0) 2z ' j= 2,J ' 2 gdzie q (j ) q [ Lz(j-1 )] dyskretne wartości poszukiwanego strumienia ciepła. S. Przykład Przedstawiony agorytm posłużył do opracowania programu obiczeń w języku BASIC do reaizacji na EMC W ANG Opracowany program, pozwaający odtworzyć strumienie ciepła na' powierzchni wewka, przetestowano na icznych przykładach uzyskując zadowaające wyniki. Z du żą dokładnością odtwarzane są strumienie ciepła, gdy punkty kontrone eżą na powierzc4ni wewka ub w jej pobiżu. trone eżą W przypadku gdy punkty kon- na powierzchni, to nawet znaczne zaburzenia w danych wejściowych nie zakłócają w sposób istotny wyników obiczeń. '

10 72 Radosław. Grzymkowski A B i j 2 o= o ~ E ~. ; "' g, c E o.c; "i "i o.q c.. 'O {'j ~ o :c u ~ u,.. f ~ ;;; ~ ~ i:' ~ :: ":! ,. 50 R ~ p o roż enie pun któw kontronych... Rys. 2. Siatka różnicowa. Dwa przykłady okaizacji punktów kontror~ych(a, B ) Na rysunkach 2 t 7 zamie s zczono wyniki obiczeń uzyskane da płaskiego wewka o grubości 0,21 m, wytwarzanego ze stai bardze> miękkiej, odew a nego z prędkością w = 0, m/s. Obiczenia testowe prąwadzono w ten spos.ób, ż e najpierw rozwiązano proste zagadnienie brzegowe (p. np. [ 9, 10, 11 J) przy założonych warunka'ch chłodzenia, a uzyskane tą drogą po- "-... e temperatury (rys. 3 ) wykorzystano przy konstruowaniu postuowanych. pr'zebie gów temperatury w. punktach kontronych da zagadnienia odwrotnego. Uzyskane wyniki zamieszczono na rysunkach Podsumowanie W pracy przedstawiono dogodny do r eai zac ~ i na EMC agorytm rekonstrukcji warunkow brzegowych da kr zepnącego wewka. W modeu wykorzystuje się informa cj ę o _p r zebiegach t emperatury w ustaonych, pr zemi e szc zających się.wraz z wewkiem punktach kontronych, umiejscowionyc h w z ąkrz epłej czę ś c-i wewka.

11 Prz;rbiżona metoda anai~ wymian;r cieeła 73 Poe temperatury s ex o o ~ o o So o S o o : S L SO i , Q L ' : Rys. 3. Fragment poa temperatury (obszar krystaizatora + sektor strefy chłodzenia wtórnego); - odegłość od górnej powierzchni (m ), s - strefa chłodzenia, at.- współczynnik wymiany ciepła (W /m 2 K )

12 74 Radosław Grzymkowski Poe temperatury Ot SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1S S50 1S SSO ISSO ISSO 1548 I 52 S I292 I I5SO 1550 I550 I550 I5SO I550 ISSO I546 IS2I 117I I I5SO I S 50 I5SO I550 I550 I550 ISSO I544 -I5I6 109I I I5SO I S 50 1S50 1S50 ISSO I5SO IS49 I542 1S11 OS I I I S 50 I550 I550 I I550 I548 IS40 IS06 104I I I ISSO 1SSO ISSO I5SO I550 ISSO I 54& O.S8 1SSO ISSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO IS47 IS3I 1441 I034 11SO 0.6S I ISSO 1SSO 1SSO S4S 152I I o. 73 ISSO 1SSO 1SSO 1S50 1SSO 1S49 1S43 15I9 13S ISSO ISSO ISSO ISSO ISSO IS49 IS42 IS17 I331 I SO 1SSO 1SSO 1SSO ISSO IS48 IS40,ISIS S ISSQ 1SSO I5SO ISSO ISSO IS47 1S39 ISI3 I293 ' 98I 94I SO I I550 1SSO 1S I I S I550 I I LF 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO IS49 1S45 1S34 ISOS SSO 1S50 1SSO 1SSO I549 I54S IS32 1S I.~2 15SO 1S I550 IS49 I544 IS3I ISOO S I550 1SSO 1S50 ISSO 1S4t3 IS43 1S27 ' 1466 I I S 50 I S ISSO I ' 1S26 I440 12f Q I.54 1SSO 1S I547 I I I 15SO 1550 I ;1.40I I SO I I I550 I I546 I538 I I I S I550 I549 I545 I536 ISI I5I ISSO ISSO IS48 ~544 1S35 I I2 ISSO ISSO 1550 IS48 1S S SSO SSO 1S S32 1S I ISSO 1SSO S SSO 15SO 1S I S I079 8I SO 1SSO 1S I S S S sos S S S S46 1S : S S S S3S S S S S43 1S S S S S S S S48 1S Rys. 4. Odtworzone poe temperatury.i współczynnik wymiany ciepła na powierzchni wewka - wariant A (por. rys. 2 ). Dane wejściowe za burzone osowo w koumnie 9 w granicach : SK a w koumnie 10 w granicach.:: OK /

13 Prz~biżona metoda anaizy w~iany cieeła 75 ALFA RZECZ. ALFA ODTW. BŁ\,D W ZGL. (% ) E g ) ~ , b Rys. 5. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego - wariant A

14 76 Radosław Grzvmkowski Poe temperatury O t;(. Q ~ 11)"7' , ~ ' ' S ' ' ~ ~ S G $ U * _ i Rys. 6. Odtworzone poe temperatury i współczynnik wymiany ciepła na powierzchni wewka - wariant B (por. rys. 2 ). Dane wejściowe za burzono osowe w granicach + OK w koumnie 10

15 Prz,rbiżona metoda anai~ wymian,r cieeła 77 ALFA RZECZ. ALFA ODTW. BLĄD W ZGL. (%) ' i : :) J ! ' Rys. 7. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego -wariant B

16 78 Radosław Grzymkowski Prezentowany agorytm oparto na rozwiązaniu odwrotnego nieiniowego zagadnienia brzegowego da równania przewodnictwa. Rozwiązania w/w zagadnienia pozwaa da z góry ustaonych przebiegów temperatury w punktach kontronych wyznaczyć warunki chłodzenia powierzchni wewka. Wyznaczone na podstawie modeu 'reane strumienie ciepła mogą być wykor"zystane przy konstruowaniu urządzeń do ciągłego odewania, optymanych ze wzgędu na okreśone wc~eśniej potrzeby jakościowe wewka. Na przykład właściwe chłodzenie wtórne powinno być tak przeprowadzone, aby na całym obwodzie wewka była utrzymywana równomierna temperatura. R.,ównież temperatura powierzchni wewka- po jego wyjściu z krystatzatora aż do skrzepn-lęcia na całym przekroju powinna spadać stae i równomiernie. Ten drugi postuat może być z powodzeniem testowari.y przy pomocy omawianej w pracy metody. 7. Literatura [1] Tichonow A. N.; nż. Fiz. Żurna, 34, 2(1975) (2] Woska- Bochenek J. i in.: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych, PWN, Warszawa [3] Tichonow A. N.: Mietody nieszenija niekorriektnych zadacz, Nauka Moskwa [4] His R.G. i in.: nt.journa of Heat and Mass Transfer, 22, 8 (1979 ) [SJ Zawiałow J. S., i in. Metody spajn-funkcji, Nauka, Moskwa [6] Samejłowicz J.A.: Formirowanije sitka, Metaurgija, Moskwa ] Sprawozdanie z reaizacji zadania "Optymaizacja procesów prze- [8] pływu ciepła w układzie odewu i formy", Międzyresortowy Probem Badań Podstawowych nr 20, Giwice , Marczuk G. I.: Anaiza numeryczna zagadnień -fizyki matematycznej, PWN, Warszawa [9] Grzymkow ski R.: Modeowanie procesów odewania i krystaizacji wewków ciągłych, Praca doktorska, Giwice [10] Sprawozdanie z reaizacji zadania "Podstawy krystaizacji w procesie odewania ciągłego", Międzyresortowy Probem Badań Podstawowych nr 20, Giwice

17 Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 79 [11] Grzymkowski R., Mochnacki B.: Krzepnięcie Metai Stopów, 2 (1980) [12J Mochnacki B.: Arch. Hutn., 28, zesz. (1983) [13] Richtmyer R. D.: Difference methods for initia - rane probems uterscince Pubisher s, New York [14] Rosenberg D. V.: Methods for the Numerica soution of partia! differentia equations, American Esevir Pubishing Company, New York 1969.