l. Wprowadzenie W zagadnieniach odwrotnych chodzi nie tyle o wyznaczenie rozwiązania obszaru ograniczonego brzegiem, na którym zadane są

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "l. Wprowadzenie W zagadnieniach odwrotnych chodzi nie tyle o wyznaczenie rozwiązania obszaru ograniczonego brzegiem, na którym zadane są"

Transkrypt

1 Krzepnięcie meta i i stopów t. IX P ISSN ISBN X Ossoineum 1985 Radosław Grzymkowski PRZYBLIŻONA METODA ANALIZY WYMIANY CIEPŁA NA POWIERZCHNI WLEWKA CIĄGŁEGO. Wprowadzenie W praktyce inżynierskiej czę sto zachodzi konieczność modeowania procesu fizycznego ceem wyznaczenia brakujących parametrów procesu ub poznania epiej j ego charakteru. Zagadnienie to jest typowe da procesu wytwarzania wewków sposobem ciągłym..-sfo rmułowan e modee mogą zaiczać się do prostych ub odwrotnych. zagadnień przewodzenia ciepła. W zagadnieniach odwrotnych chodzi nie tye o wyznaczenie rozwiązania Wł!wnątrz obszaru ograniczonego brzegiem, na którym zadane są wartości poszukiwanej funkcji ub jej pochodnych, co o ekstrapoucję tego rozw-ią zania poza ten obszar. Ogónie probemy odwrotne w technice to zagadnienia, które wiążą metody matematyczne, pomiary oraz pewne uwarunkowania techniczne. Przykładowo, pomiarów zwyke dokonuje się w miejscach łatwo dostępnych. Niejednokrotnie poszukiwane wiekości mogą zostać zmierzone tyko pośrednio. Stąd jednym z podstawowych probemów dotyczących zastosowań rozwiązań zagadnień odwrotnych, gdy korzysta się z danych doświadczanych, jest probem pomiarów mało zakłócających przebieg wiekości mierzonych. Wymagana jest tu szczegóna staranność w doborze technik pomiarowych i miejsc pomiarów.

2 64 Radosław Grzymkowski Odwrotne zagadnienia transportu ciepła spotyka się w modeach matematycznych dotyczących optymaizacji procesu wytwarzania wewków ciągłych [ 7 J. Zagadnienie to poega na okreśeniu takich warunków odprowadzania ciepła z powierzchni wewka w obszarze krystaizatora, strefie chłodzenia wtórnego i strefie chłodzenia końcowego, przy których wyrób finany charakteryzuje się najepszą jakością. Jednym z czynników wpływających na jakość wewka ciągłego jest po e temperatury krzepnącego metau. Technoogom i projektantom ur ządzeń do ciągłego odewania znane są postuaty dotyczące charakteru rozkładu temperatury. Można zatem sformułować zagadnienie, w którym poszukuje się warunków brzegowych, tj. warunków wymiany ciepła na powierzchni wewka czyniących zadość ograniczeniom nakładanym na poe temperatury. Badania na możiwością wykorzystania metod rozwiązywania odwrotnych za gadnień brzegowych transportu ciepła przy projektowaniu technoogii COS (ciągłego odewania stai) prowadzone są w ramach Międzyresortowego Probemu Badań P odstawowych nr 20 [ 7 J. Prezentowana praca jest kontynuacją prowadzonych badań i dotyczy metody odtwarzania strumienia ciepła oraz w spółczynnika wymiany ciepła na powierzchni wewka przy zadanych przebiegach temperatury. 2. Założenia W pracy ro zważa się płaskie i okrągłe wewki wytwarzane na urządzeniu pionowym do ciągłego odewania. Modeowane obiekty traktuje się jako obiekty dwuwymiarowe, da których rozkład temperatury da się opisa ć dwuwymiarowym równaniem przewodnictwa ciepła. Przyjmuje się, że wewki o grubości 2r* odewane ze stałą prędkością w, wytwarzane są z metau krzepnącego w przedziae temperatur <T", T'>{T"- temperatura soidus, T' - temp eratura ikwidus ), który wewany do krystaizatora ma temperaturę T* ~ T: Bezawaryjna praca pionowego urządzenia do ciągłego odewania powoduje wygenerowanie się w ewnątrz wewka o długości z* pseudousta:onegc poa temperatury, które w nieruchomym układzie współrzędnych związanym z krzepnącym wewkiem opisuje równanie

3 Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 65 "(?!.w J T= r-m J (rmą. J T). + J (.:>..J T), z r r z z O<r<r* O<z<z*, () gdiie T = T (r, z ) jest temperaturą, ~ = -ae (T ) zastępczą pojemnością ciepną (6], 0, = Y (T ) gęstością masy, A. = A.(T ) współc zynnikiem przewodzenia ciepła, a indeks m okreśa geometrię wew_ka (m = O wewek płaski, m = wewek Ókrągły ). Równanie ( ) można częściowo uprościć pomijając człon J (:.t J T ) (p. 7 ), w czego rezutacie otrzymuje się rówz. z nanie paraboiczne, w którym współrz~dn! z spełni;a roę czasu. Lir I r J,-1 ~~--~ ;" -ł+<-h-h+++ł-h-f-t+hfł+h-i i,., ji~-h-h+++ł++f++~+h t-; -++f+ł++t-h++t++-ł/t1~-t+ J~ H t+f+ł-t+ti - z Rys.. Modeowany obiekt. Siatka różnicowa

4 66 Rados~aw Grzymkowski Zakłada się ponadto, że znane są zmienne przebiegi temperatury w dowonych ustaonych przemieszczających się wraz z wewkiem punktach kontronych r = r, n = (N, O«r ~ r*, przy czym przyjmuje się, że n n każdej chwii czasu odpowiada tyko je-den taki punkt (rys. 1). Zakładane przebiegi temperatury wynikać mogą z wymogów technoogicznych, pomiarów ub innych ograniczeń nakładanych na modeowany obiekt. Nie znane są natomiast warunki wymiany ciepła na powierzchni wewka r = r*. Fokażerny, że te informacje pozwoą wyznaczyć poe temperatury w całym przekroju obiektu oraz odtworzyć brakujący warunek brzegowy, jaki powinien być zadany aby uzyskać postuowane przebiegi temperatury w punktach kontronych. 3. Układ równań Niech q(z ) będzie poszukiwanym strumieniem ciepła Wówczas korzystając na granicy r = r*. z anaitycznej postaci warunku brzegowego III rodzaju można wyznaczyć współc_zynnik wymiany ciepła 01. (z ). Otrzymuje się. *, O<z~z, (2 ) gdzie T 00 jest temperaturą otoczenia. Datego dasza anaiza probemu ukierunkowana została na rekonstrukcję strumienia ciepła co odpowiada warunkowi brzegowemu II rodzaju postaci q(z),;,- A.[T(r*,z)j ć)r T(r*,z), 0< z~z*. (3) Jednocześnie przyjęte w rozdziae poprzednim założenia pozwaają sformułować zagadnienie brzegowe, które opisują równania E C T z -m m ) r r r. a (i\.r a T, O< z <z*, O< r < r*, (4) T(r,O ) T*(r ), O,.::r~r* (5 ) CJ T (O, z) O, o <z ~z* r (6)

5 Przybiżona metoder anaizy wymiany ciepła 67 T(rn' z)= fn(z), zn_< z~zn' n=,n, (7) gdzie E = E (T ) = -ae(t ) t'(t ) w, z, z, n=,n, oznaczają początn-1 n kowe i końcowe położenie punktów kontronych r = r, przy czym -z = O, n o a zn ~ z*. Natomiast funkcje fn (z ) oznaczają zakładane przebiegi temperatury, pr':! czym przyjmuje się, że fn(z)~t". Funkcje fn(z) zadawane są zazwyczaj w postaci tabei wartości (dziedzina i I>rzeciwdziedzina są zbiorami iczb ) ub w postaci wykresu. Zagadnienie (3) -1- (7) nae ży do grupy odwrotnych nieiniowych zagadnień brzegowych da równania przewodnictwa ciepła [ J. Odwrotne zagadnienia przewodnidwa ciepła naeżą do ka sy zadań źe uwarunkowanych. Oznacza to, że mała niedokładność wiekości wejściowych może powodować dużą niedo~ładnoś ć w rozwiązaniu. I~tnieją różne sposoby łagodzenia wpływu tej właściwości na jakość uzyskiwanych rezutatów [ 3, 4]. W niniejszej pracy ceem źłagodzenia wpływu złego uwarunkowania proponuje się obok metody różnicow e j rozwiązania wykorzystanie spajnów wygładzających. Pode3ście to łagodzi wpływ złego uwarunkowania na wyniki o biczeń ae nie usuwa go całkowicie'" 4. Metoda rozwią z ania Przybiżonego rozwiązania sformułowanego wy że j zagadnienia poszukuje się w c zterech krokach. W kroku pierwszym wygładza się informacje wejściow e, dotyczące zakładanych przebiegów t emperatury w punktach kontronych. Na obszar modeowanego obiektu nałożono równomierną siatkę ró żn i cową QI,J = w 1 (r ) >< w 1 (z ), przy czym w 1 (r ) { r (i ) r (i) L\ r (i- ), i = 1,1 }, L\ z (j-1 ), j =,J}, gdzie, J oznaczają kroki siatki iczby w ęzłów w kierunku r z odpowiednio, L\ r i L\ z

6 68 Radosław Grzymkowski /:). r = r* (I - )!::J. z = z*" (J - ) J (8) W modeu założono, że położenie punktów kontronych okreśają te węzły siatki da których i in' ~ jn-' jn' n =, N, gdzie in' =-rn!::j.r +, a j = Z!::J. Z +. n n } Węzły te naeżą do zbiorów W~(z) = {z(:j ) jn-' jn,n =,N. Każdy z tych zbiorów można traktować jako okaną siatkę, na której zadane są z pewnymi błędami wartości funkcji f (z.) = f (:j ). Z uwagi n J n na błędy w okreśeniu wartości funkcji f (j) naeży skonstruować nowe n funkcje F n (z), tak by ich pf.zebieg w otoczeniu zadanyc). punktów był bardziej "płynny" niż funkcji interpoujących. Funkcje takie nazywamy funkcjami wygładzającymi. Żądając aby szukane funkcje wygładzające f (z ) okreśone w przen działach < zn-, z n> minimaizowały funkcjonały n = 1, N gdzie P n (j ), j. = jn-, jn jest zadanym. układem iczb dodatnich - wymusza się przebieg konstruowanych krzywych w pobiżu zadanych punktów oraz gwarantuje się ich minimane "wygięcia". 1m większe są wartości współczynników wagowych P (j ), tym więks c: ' - roę odgrywają warunki n interpoacyjne i tym biżej zadanych punktów przebiega funkcja wygładzająca [ 8]. Rozwiązaniami zadań wariacyjnych (9) są spajny sześcienne (funkcje skejane trzeci_ego stopnia )[ 8], które konstruuje się. w sposób podany w pracy [s]. Wyznaczenie spajnów Fn(z), n= i";n, a dokładniej ich wartości iczbowych F (j ) w węzłach siatki Wn(z), koiczy pierwszy n J etap poszukiwania przybi żonego rozwiązania zagadnienia (3 ) + _ (7 ). Krok drugi poega na ro -związaniu prostego zagadnienia brzegowego (4 ) + (7 ), tzn. na wyznaczeniu poa temperatury w obszarze od osi wewka do inii r = rn' n =, N. Wykorzystać do tego ceu można opra "

7 Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 69 cowane specjanie da tego typu zagadnień metody różnicowe, których szczegółowy opis można znaeźć w pracach [ J. Stosując proponowane metody.~najduje się w węzłach siatki Q, J naieiących do rozważanego obszaru tj. gdy i =, i, n =, N a. j =,J dyskretne poe n temperatury T(i,j) =T [.6r(i-),.6z(j- )]. Jednocześnie zrozumiałe. jest,~e 'da węzłów naeżących do W~(z), tzn. gdy i = in' n =,N a j =,J zachodzi T(i,j ) =F (j..). Wyznaczenie powyższego poa tempen ratury zamyka drugi etap obiczeń. W kroku trzecim otrzymane na poprzednim etapie dyskretne rozwiązanie przedłuża się na cały rozpatrywany obszar oraz wyznacza się temperaturę powierzchni wewka (tam, gdzie nie jest ona zadana). W pracy [ 13 J omówiono szereg stabinych, o wysokim rzędzie ksymacji s c hematów różnicowych da równania prźewodnictwa. Sposób budowy wspomnianych schematów różnicowych okazał się pomocny p_rzy przedłużaniu znaezionego w kroku poprzednim rozwiązania. Da węzłów naeżących do obszaru poło żonego od inii r = r, n =, N do powierz-. :n. chni wewkar = r* (tj. gdy i=~. n=,n aj = 2,J ) różnicową n aproksymację ewej strony równania (4 ) przyjęto w postaci apro [ E J T].. -;~:~ z,j ( " <::1 E (i,j )[ 3T (i+, i+ ) - 4T (i+ 1 i ) + T (i+ 1 j-1 ) 24 b z T (i 1 j+ ) - 20 T (id ) + ST{id - ) 2Lh T {i-1 2 j+ ) - 4 T (i-1 2 i ) + T {i-1 2 j-1 ) ] 24.6z (10 ) gdzie E (i,j) = E [T (i,j)j. Natomiast prawą stronę równania (4) aproksymowano zgodnie z zasadami podanymi w pracaci [9,11,.12]. Przyjmując,, że w rozważanym obszarze A. = const. można napisać [ r-m d (rma.d. T)].. "' r r 1, J /

8 70 Radosław Grzymkowski A. [(i-0,5_\m T( ) 2T( ) (i-1,5)m T( ) ] (11) ""' /:,. r 2 i- ) + ' J - ' J + i- - 'J Związki (10 ) i (11 ) wstawione do równania (4) pozwaają po przekształceniach uzyskać da każdej i-tej warstwy i "' i +, i i "' i 1 +, układ równań n n-1, n "' N, 2 oraz e.t(i,j-1) - 4a (i,j) T(i,j) + 3?T(i,j+) ~ j "' j n- +, 1 - b(i,j )' (12) Występujące w równaniach (12) w spółczynniki mają postać a (i, j)? 2 o! - ' "' jn ' j ~ jn "' 1 - jjj-1 m + 6H(i,j) (~- 1 5 ) - 2, (13) (14) (15) gdzie (16 ) Jednocześnie b(i,j ) "'24H(i,j ) [c-=_'~)m T(i-2, j)- 2T(i-1, j )]+ [3T(i-2, j+ ) - 4T(i-2,j) + T(i-2), j-j] + / - 10[3T(i-1, j+ ) - 4T(i-,j ) + T(i-1, j-1 ) ] + + (1-t )T(i, j+ ) + (1-? ) T(i,J), (17 ) przy czym T(i,J ) = ( ~=i. 5 )m[ T(i-,J ) - T(i-,_ J-1 )] /H(i-1, j ) +

9 .. Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 71 C:~, s) m T (i-1, J) (18) oraz T (1, ) (i ) ' (19 ) gdzie T* (i) = T* [ir (i- )]. Ponieważ macierze główne układów równań (12 ) są macierzami trójdiagonanymi do rozwiązania w /w układów można z astosować agorytm Thomasa [14]. Uzyskane na tym etapie poe temperatury jest przedłużeniem rozwiązania zagadnienia prostego (4) + (7) na obszar położony od inii r = r, \ n n =, N do powierzchni wewka r = r*. Znaezione wyżej rozwiązanie pozwaa w ostatnim kroku wyznaczyć w postaci dyskretnej poszukiwany strumień ciepła q (z ). Da wyznaczenia strumienia iciepła wykorzystuje się wynikającą z biansu energii zaeżno..ś ć [ 7 J q (j ) A.(,J-1 ) ( 2ij"1) m T(,j ) - T(I-1,j ) ir m + T (,J-1 ) ae(,j-1 )r ( ~) \T(,j ) -T(,j-1 ) ( 0) 2z ' j= 2,J ' 2 gdzie q (j ) q [ Lz(j-1 )] dyskretne wartości poszukiwanego strumienia ciepła. S. Przykład Przedstawiony agorytm posłużył do opracowania programu obiczeń w języku BASIC do reaizacji na EMC W ANG Opracowany program, pozwaający odtworzyć strumienie ciepła na' powierzchni wewka, przetestowano na icznych przykładach uzyskując zadowaające wyniki. Z du żą dokładnością odtwarzane są strumienie ciepła, gdy punkty kontrone eżą na powierzc4ni wewka ub w jej pobiżu. trone eżą W przypadku gdy punkty kon- na powierzchni, to nawet znaczne zaburzenia w danych wejściowych nie zakłócają w sposób istotny wyników obiczeń. '

10 72 Radosław. Grzymkowski A B i j 2 o= o ~ E ~. ; "' g, c E o.c; "i "i o.q c.. 'O {'j ~ o :c u ~ u,.. f ~ ;;; ~ ~ i:' ~ :: ":! ,. 50 R ~ p o roż enie pun któw kontronych... Rys. 2. Siatka różnicowa. Dwa przykłady okaizacji punktów kontror~ych(a, B ) Na rysunkach 2 t 7 zamie s zczono wyniki obiczeń uzyskane da płaskiego wewka o grubości 0,21 m, wytwarzanego ze stai bardze> miękkiej, odew a nego z prędkością w = 0, m/s. Obiczenia testowe prąwadzono w ten spos.ób, ż e najpierw rozwiązano proste zagadnienie brzegowe (p. np. [ 9, 10, 11 J) przy założonych warunka'ch chłodzenia, a uzyskane tą drogą po- "-... e temperatury (rys. 3 ) wykorzystano przy konstruowaniu postuowanych. pr'zebie gów temperatury w. punktach kontronych da zagadnienia odwrotnego. Uzyskane wyniki zamieszczono na rysunkach Podsumowanie W pracy przedstawiono dogodny do r eai zac ~ i na EMC agorytm rekonstrukcji warunkow brzegowych da kr zepnącego wewka. W modeu wykorzystuje się informa cj ę o _p r zebiegach t emperatury w ustaonych, pr zemi e szc zających się.wraz z wewkiem punktach kontronych, umiejscowionyc h w z ąkrz epłej czę ś c-i wewka.

11 Prz;rbiżona metoda anai~ wymian;r cieeła 73 Poe temperatury s ex o o ~ o o So o S o o : S L SO i , Q L ' : Rys. 3. Fragment poa temperatury (obszar krystaizatora + sektor strefy chłodzenia wtórnego); - odegłość od górnej powierzchni (m ), s - strefa chłodzenia, at.- współczynnik wymiany ciepła (W /m 2 K )

12 74 Radosław Grzymkowski Poe temperatury Ot SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1S S50 1S SSO ISSO ISSO 1548 I 52 S I292 I I5SO 1550 I550 I550 I5SO I550 ISSO I546 IS2I 117I I I5SO I S 50 I5SO I550 I550 I550 ISSO I544 -I5I6 109I I I5SO I S 50 1S50 1S50 ISSO I5SO IS49 I542 1S11 OS I I I S 50 I550 I550 I I550 I548 IS40 IS06 104I I I ISSO 1SSO ISSO I5SO I550 ISSO I 54& O.S8 1SSO ISSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO IS47 IS3I 1441 I034 11SO 0.6S I ISSO 1SSO 1SSO S4S 152I I o. 73 ISSO 1SSO 1SSO 1S50 1SSO 1S49 1S43 15I9 13S ISSO ISSO ISSO ISSO ISSO IS49 IS42 IS17 I331 I SO 1SSO 1SSO 1SSO ISSO IS48 IS40,ISIS S ISSQ 1SSO I5SO ISSO ISSO IS47 1S39 ISI3 I293 ' 98I 94I SO I I550 1SSO 1S I I S I550 I I LF 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO IS49 1S45 1S34 ISOS SSO 1S50 1SSO 1SSO I549 I54S IS32 1S I.~2 15SO 1S I550 IS49 I544 IS3I ISOO S I550 1SSO 1S50 ISSO 1S4t3 IS43 1S27 ' 1466 I I S 50 I S ISSO I ' 1S26 I440 12f Q I.54 1SSO 1S I547 I I I 15SO 1550 I ;1.40I I SO I I I550 I I546 I538 I I I S I550 I549 I545 I536 ISI I5I ISSO ISSO IS48 ~544 1S35 I I2 ISSO ISSO 1550 IS48 1S S SSO SSO 1S S32 1S I ISSO 1SSO S SSO 15SO 1S I S I079 8I SO 1SSO 1S I S S S sos S S S S46 1S : S S S S3S S S S S43 1S S S S S S S S48 1S Rys. 4. Odtworzone poe temperatury.i współczynnik wymiany ciepła na powierzchni wewka - wariant A (por. rys. 2 ). Dane wejściowe za burzone osowo w koumnie 9 w granicach : SK a w koumnie 10 w granicach.:: OK /

13 Prz~biżona metoda anaizy w~iany cieeła 75 ALFA RZECZ. ALFA ODTW. BŁ\,D W ZGL. (% ) E g ) ~ , b Rys. 5. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego - wariant A

14 76 Radosław Grzvmkowski Poe temperatury O t;(. Q ~ 11)"7' , ~ ' ' S ' ' ~ ~ S G $ U * _ i Rys. 6. Odtworzone poe temperatury i współczynnik wymiany ciepła na powierzchni wewka - wariant B (por. rys. 2 ). Dane wejściowe za burzono osowe w granicach + OK w koumnie 10

15 Prz,rbiżona metoda anai~ wymian,r cieeła 77 ALFA RZECZ. ALFA ODTW. BLĄD W ZGL. (%) ' i : :) J ! ' Rys. 7. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego -wariant B

16 78 Radosław Grzymkowski Prezentowany agorytm oparto na rozwiązaniu odwrotnego nieiniowego zagadnienia brzegowego da równania przewodnictwa. Rozwiązania w/w zagadnienia pozwaa da z góry ustaonych przebiegów temperatury w punktach kontronych wyznaczyć warunki chłodzenia powierzchni wewka. Wyznaczone na podstawie modeu 'reane strumienie ciepła mogą być wykor"zystane przy konstruowaniu urządzeń do ciągłego odewania, optymanych ze wzgędu na okreśone wc~eśniej potrzeby jakościowe wewka. Na przykład właściwe chłodzenie wtórne powinno być tak przeprowadzone, aby na całym obwodzie wewka była utrzymywana równomierna temperatura. R.,ównież temperatura powierzchni wewka- po jego wyjściu z krystatzatora aż do skrzepn-lęcia na całym przekroju powinna spadać stae i równomiernie. Ten drugi postuat może być z powodzeniem testowari.y przy pomocy omawianej w pracy metody. 7. Literatura [1] Tichonow A. N.; nż. Fiz. Żurna, 34, 2(1975) (2] Woska- Bochenek J. i in.: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych, PWN, Warszawa [3] Tichonow A. N.: Mietody nieszenija niekorriektnych zadacz, Nauka Moskwa [4] His R.G. i in.: nt.journa of Heat and Mass Transfer, 22, 8 (1979 ) [SJ Zawiałow J. S., i in. Metody spajn-funkcji, Nauka, Moskwa [6] Samejłowicz J.A.: Formirowanije sitka, Metaurgija, Moskwa ] Sprawozdanie z reaizacji zadania "Optymaizacja procesów prze- [8] pływu ciepła w układzie odewu i formy", Międzyresortowy Probem Badań Podstawowych nr 20, Giwice , Marczuk G. I.: Anaiza numeryczna zagadnień -fizyki matematycznej, PWN, Warszawa [9] Grzymkow ski R.: Modeowanie procesów odewania i krystaizacji wewków ciągłych, Praca doktorska, Giwice [10] Sprawozdanie z reaizacji zadania "Podstawy krystaizacji w procesie odewania ciągłego", Międzyresortowy Probem Badań Podstawowych nr 20, Giwice

17 Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 79 [11] Grzymkowski R., Mochnacki B.: Krzepnięcie Metai Stopów, 2 (1980) [12J Mochnacki B.: Arch. Hutn., 28, zesz. (1983) [13] Richtmyer R. D.: Difference methods for initia - rane probems uterscince Pubisher s, New York [14] Rosenberg D. V.: Methods for the Numerica soution of partia! differentia equations, American Esevir Pubishing Company, New York 1969.

Projekt 9: Dyfuzja ciepła - metoda Cranck-Nicloson.

Projekt 9: Dyfuzja ciepła - metoda Cranck-Nicloson. Projekt 9: Dyfuzja ciepła - metoda Cranck-Nicoson. Tomasz Chwiej stycznia 9 Wstęp n y ρ j= i= n x Rysunek : Siatka węzłów użyta w obiczeniach z zaznaczonymi warunkami brzegowymi: Diricheta (czerwony) i

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

OPORY PRZEPŁYWU TRANSPORTU PNEUMATYCZNEGO MATERIAŁÓW WILGOTNYCH

OPORY PRZEPŁYWU TRANSPORTU PNEUMATYCZNEGO MATERIAŁÓW WILGOTNYCH /39 Soidification of Metas and Aoys, Year 999, Voume, Book No. 39 Krzepnięcie Metai i Stopów, Rok 999, Rocznik, Nr 39 PAN Katowice PL ISSN 008-9386 OPORY PRZEPŁYWU TRANSPORTU PNEUMATYCZNEGO MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Teoria cieplna procesów odlewniczych

Teoria cieplna procesów odlewniczych Ćw. aboratoryjne nr 4 Teoria ciepna procesów odewniczych Wyznaczanie współczynnika wymiany ciepła podczas chłodzenie form metaowych (koki) w warunkach konwekcji naturanej I. Wprowadzenie SYSTEMY CHŁODZENIA

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

ZMODYFIKOWANA PRÓBA JOMINY ".J-M"

ZMODYFIKOWANA PRÓBA JOMINY .J-M 32/23 Soiditikation of Metais nnd Aoys, No. 32, 1997 Krzepnięcie Metai i Stopów, Nr 32, 1997 PAN- Oddział Katowice PL ISSN 0201!-9386 ZMODYFIKOWANA PRÓBA JOMINY ".J-M" JURA Stanisaw, JURA Zbigniew, LABĘCKI

Bardziej szczegółowo

Metody rozwiązania równania Schrödingera

Metody rozwiązania równania Schrödingera Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH.

CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH. Podstawy modeowania i syntezy mechanizmów. CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH. Charakterystyki kinematyczne to zapis parametrów ruchu

Bardziej szczegółowo

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd. 4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające

Bardziej szczegółowo

3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1)

3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1) Temat 3 Metoda Fouriera da równań hiperboicznych 3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe da struny ograniczonej Rozważać będziemy następujące zagadnienie. Znaeźć funkcję u (x, t) spełniającą równanie wraz

Bardziej szczegółowo

33/28 BADANIA MODELOWE CERAMICZNYCH FILTRÓW PIANKOWYCH. PIECH Krystyna ST ACHAŃCZYK Jerzy Instytut Odlewnictwa Kraków, ul.

33/28 BADANIA MODELOWE CERAMICZNYCH FILTRÓW PIANKOWYCH. PIECH Krystyna ST ACHAŃCZYK Jerzy Instytut Odlewnictwa Kraków, ul. 33/28 Soidifikation or Metais and Aoys, No. 33, 1997 Krzcrmięcic Metai i Stopów, Nr 33, 1997 PAN- Oddział Katowice PL ISSN 020!1-9386 BADANIA MODELOWE CERAMICZNYCH FILTRÓW PIANKOWYCH PIECH Krystyna ST

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Wprowadzenie Metoda Elementów Skończonych (MES) należy do numerycznych metod otrzymywania przybliżonych rozwiązań

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 7 a szeregi Fouriera (zarówno w przypadku ciągłym, jak i dyskretnym) jest szczegónym przypadkiem aproksymacji funkcjami ortogonanymi. Anaitycznie rozwiązanie zadania aproksymacji trygonometrycznej

Bardziej szczegółowo

Teoria cieplna procesów odlewniczych

Teoria cieplna procesów odlewniczych Teoria ciepna procesów odewniczych Ćw. aboratoryjne nr 5 Okreśanie stopnia zwiżania powietrza oraz entapii właściwej powietrza wigotnego I. Wprowadzenie ENTALPIA WILGOTNEGO POWIETRZA Entapię wigotnego

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

1 Symulacja procesów cieplnych 1. 2 Algorytm MES 2. 3 Implementacja rozwiązania 2. 4 Całkowanie numeryczne w MES 3. k z (t) t ) k y (t) t )

1 Symulacja procesów cieplnych 1. 2 Algorytm MES 2. 3 Implementacja rozwiązania 2. 4 Całkowanie numeryczne w MES 3. k z (t) t ) k y (t) t ) pis treści ymulacja procesów cieplnych Algorytm ME 3 Implementacja rozwiązania 4 Całkowanie numeryczne w ME 3 ymulacja procesów cieplnych Procesy cieplne opisuje równanie różniczkowe w postaci: ( k x (t)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej. Część 1 Odwzorowanie drgań oscylatora liniowego na płaszczyźnie fazowej

Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej. Część 1 Odwzorowanie drgań oscylatora liniowego na płaszczyźnie fazowej WYKŁAD 5 Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej Część 1 Odwzorowanie drgań oscyatora iniowego na płaszczyźnie fazowej 3.1. Płaszczyzna fazowa, trajektoria fazowa, obraz fazowy

Bardziej szczegółowo

V. MODELE MATEMATYCZNE KIERUNKOWEJ. KRYST ALlZACJl STOPÓW

V. MODELE MATEMATYCZNE KIERUNKOWEJ. KRYST ALlZACJl STOPÓW Krzepnięcie metai i stopciw t. VII PL ISSN 0208-9386 ISBN 83-0 4-01 500-5 Os s o i neum 198 4 Bohdan Mochnacki V. MODELE MATEMATYCZNE KIERUNKOWEJ KRYST ALZACJ STOPÓW Tematem niniejszego rozdziału. są metody

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale

Bardziej szczegółowo

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego

Bardziej szczegółowo

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych

Bardziej szczegółowo

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania

Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Projekt: Modelowanie i symulacja zagadnień biomedycznych Program: COMSOL Multiphysics 3.4, 5.0, 5.1 Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk Instytut

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę: Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 7 - obiekty regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Obiekty regulacji Obiekt regulacji Obiektem regulacji nazywamy proces technologiczny podlegający oddziaływaniu zakłóceń, zachodzący

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki

Bardziej szczegółowo

ż ż ż ż ż ż ż Ś ż ń ż ż Ę ż ż ż ż ń ż ż Ś ż ż ż ż ń Ł

ż ż ż ż ż ż ż Ś ż ń ż ż Ę ż ż ż ż ń ż ż Ś ż ż ż ż ń Ł Ś ż Ś Ą ż ż Ą ńż ń ż ż ż ż ż ż Ą ż żń ź Ś ż Ę ż ń ź ń ż Ę ź ń ż ż Ś ż ń ż ż ż ż ż ż ż Ś ż ń ż ż Ę ż ż ż ż ń ż ż Ś ż ż ż ż ń Ł Ś ż ż ż ż ż ż ż ń ń żń ż ż Ę ż Ś ż ż ż ż ć ń Ą ż ż ń ż ż ż ń ż ż ż ż ć Ł ż

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.

UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego. Metody obiczeniowe w biomechanice UTRATA STATECZNOŚCI STATECZNOŚĆ odpornośćna małe zaburzenia. Układ stabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi powrót do pierwotnego położenia. Układ niestabiny po małym

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 11

MECHANIKA BUDOWLI 11 Oga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech awłowski, Michał łotkowiak, Krzysztof Tymper Konsutacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI oznań / MECHANIKA BUDOWLI rzykład iczbowy: Dana beka, po której porusza

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

opisu procesu przewodzenia ciepła w ośrodkach porowatych. We wszystkich modelach związków konstytutywnych występują właściwości efektywne

opisu procesu przewodzenia ciepła w ośrodkach porowatych. We wszystkich modelach związków konstytutywnych występują właściwości efektywne Warszawa, 2018-12-09 Prof. dr hab. inż. Piotr Furmański Instytut Techniki Cieplnej Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechnika Warszawska ul. Nowowiejska 25 Tel: +48-22-234-5276 Fax: +48-22-825-05-65

Bardziej szczegółowo

Metoda rozdzielania zmiennych

Metoda rozdzielania zmiennych Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Automatyka i sterowania

Automatyka i sterowania Automatyka i sterowania Układy regulacji Regulacja i sterowanie Przykłady regulacji i sterowania Funkcje realizowane przez automatykę: regulacja sterowanie zabezpieczenie optymalizacja Automatyka i sterowanie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia

LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE RĘTÓW ŚCISKANYCH 8.1. Ce ćwiczenia Ceem ćwiczenia jest doświadczane wyznaczenie siły krytycznej pręta ściskanego podpartego przegubowo na obu

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

27/10 PROFIL TWARDOŚCI W FUNKCJI ZMIAN STEREOLOGICZNYCH STRUKTURY NA PRZEKROJU WALCÓW ŻELIWNYCH 2. WYNIKI BADAŃ

27/10 PROFIL TWARDOŚCI W FUNKCJI ZMIAN STEREOLOGICZNYCH STRUKTURY NA PRZEKROJU WALCÓW ŻELIWNYCH 2. WYNIKI BADAŃ 27/10 Soidification ofmetas and Aoys, No.27, 1996 Knepnięcie Metai i Stopów, Nr 27, 1996 PAN- Oddział Katowice PL ISSN 0208-9386 PROFIL TWARDOŚCI W FUNKCJI ZMIAN STEREOLOGICZNYCH STRUKTURY NA PRZEKROJU

Bardziej szczegółowo

z wykorzystaniem pakiet MARC/MENTAT.

z wykorzystaniem pakiet MARC/MENTAT. KAEDRA WYRZYMAŁOŚCI MAERIAŁÓW I MEOD KOMPUEROWYCH MECHANIKI Wydział Mechaniczny echnologiczny POIECHNIKA ŚĄSKA W GIWICACH PRACA DYPOMOWA MAGISERSKA emat: Modelowanie procesu krzepnięcia żeliwa z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 LABORATORIUM ELEKTRONIKI POLITECHNIKA ŁÓDZKA KATEDRA PRZYRZĄDÓW PÓŁPRZEWODNIKOWYCH I OPTOELEKTRONICZNYCH

Ćwiczenie 2 LABORATORIUM ELEKTRONIKI POLITECHNIKA ŁÓDZKA KATEDRA PRZYRZĄDÓW PÓŁPRZEWODNIKOWYCH I OPTOELEKTRONICZNYCH LABORATORIUM LKTRONIKI Ćwiczenie Parametry statyczne tranzystorów bipolarnych el ćwiczenia Podstawowym celem ćwiczenia jest poznanie statycznych charakterystyk tranzystorów bipolarnych oraz metod identyfikacji

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

LINIOWA MECHANIKA PĘKANIA

LINIOWA MECHANIKA PĘKANIA Podstawowe informacje nt. LNOWA MECHANKA PĘKANA Wytrzymałość materiałów J. German PRZYKŁADY Przykład Przeanaizować szczeinę o długości, która tworzy kąt α z kierunkiem x, znajdującą się w nieograniczonym

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

STOPU ODLEWNICZEGO NA BAZIE PEWNEJ METODY KOLLOKACYJNEJ

STOPU ODLEWNICZEGO NA BAZIE PEWNEJ METODY KOLLOKACYJNEJ Krzepnięcie metai i stopów t. VI PL ISSN 0208-9386 ISBN 83-04-01501-3 Ossoineum 1983 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mochnacki, Józef Suchy SYMULACJA KINETYKI KRZEPNIĘCIA STOPU ODLEWNICZEGO NA BAZIE PEWNEJ

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia

Bardziej szczegółowo

( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją

( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją ..7. Płaskie ramy i łuki paraboiczne Wstęp W bieżącym podpunkcie omówimy kika przykładów zastosowania metody sił do obiczeń sił wewnętrznych w płaskich ramach i łukach paraboicznych statycznie niewyznaczanych,

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE

METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania

Bardziej szczegółowo

Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu

Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu I. Część teoretyczna Ciepło jest formą przekazywana energii, która jest spowodowana różnicą temperatur (inną formą przekazywania energii

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać

x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać 3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Wielomiany Legendre a, itp.

Wielomiany Legendre a, itp. 3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez

Bardziej szczegółowo

Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową

Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Daniel Pęcak 16 sierpnia 9 1 Wstęp Być może zastanawiałeś się kiedyś drogi czytelniku nad kształtem, jaki kształt przyjmuje zwisający swobodnie łańcuch lub sznur

Bardziej szczegółowo

1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH 1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH Ośrodki materialne charakteryzują dwa rodzaje różniących się zasadniczo od siebie wielkości fizycznych: globalne (ekstensywne) przypisane obszarowi przestrzeni fizycznej,

Bardziej szczegółowo

KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium. Mechaniki Technicznej

KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium. Mechaniki Technicznej KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie 4 Badanie masowych momentów bezwładności Ce ćwiczenia Wyznaczanie masowego momentu bezwładności bryły metodą

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Sztuczna Inteligencja Tematy projektów Sieci Neuronowe

Sztuczna Inteligencja Tematy projektów Sieci Neuronowe PB, 2009 2010 Sztuczna Inteligencja Tematy projektów Sieci Neuronowe Projekt 1 Stwórz projekt implementujący jednokierunkową sztuczną neuronową złożoną z neuronów typu sigmoidalnego z algorytmem uczenia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

x y

x y Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA NUMERYCZNA KRZEPNIĘCIA Z UWZGLĘDNIENIEM RUCHÓW KONWEKCYJNYCH W STREFIE CIEKŁEJ I STAŁO-CIEKŁEJ

SYMULACJA NUMERYCZNA KRZEPNIĘCIA Z UWZGLĘDNIENIEM RUCHÓW KONWEKCYJNYCH W STREFIE CIEKŁEJ I STAŁO-CIEKŁEJ 73/14 Archive of Foundry, Year 2004, Voume 4, 14 Archiwum O dewnictwa, Rok 2004, Rocznik 4, Nr 14 PAN Katowice PL ISSN 1642-5308 SYMULACJA NUMERYCZNA KRZEPNIĘCIA Z UWZGLĘDNIENIEM RUCHÓW KONWEKCYJNYCH W

Bardziej szczegółowo

4. Właściwości eksploatacyjne układów regulacji Wprowadzenie. Hs () Ys () Ws () Es () Go () s. Vs ()

4. Właściwości eksploatacyjne układów regulacji Wprowadzenie. Hs () Ys () Ws () Es () Go () s. Vs () 4. Właściwości eksploatacyjne układów regulacji 4.1. Wprowadzenie Zu () s Zy ( s ) Ws () Es () Gr () s Us () Go () s Ys () Vs () Hs () Rys. 4.1. Schemat blokowy układu regulacji z funkcjami przejścia 1

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA PROCESU KIERUNKOWEGO l JEDNOCZESNEGO

SYMULACJA PROCESU KIERUNKOWEGO l JEDNOCZESNEGO Soidifiaction of Metais and Aoys Krzepnięcie Metai i Stopów, 18 PL ISSN 0208-9386 SYMULACJA PROCESU KIERUNKOWEGO JEDNOCZESNEGO KRZEPNIĘCIA DLA ODLEWNICZYCH STOPÓW CYNKU Adam Micker Wydział Meczaicmy, Wyższa

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach

Bardziej szczegółowo

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA WPŁYWU EFEKTYWNOSC JEGO ZASILANIA

ANALIZA NUMERYCZNA WPŁYWU EFEKTYWNOSC JEGO ZASILANIA Krzepnięcie meta i i stopów t. IX PL ISSN 0208 9386 ISBN 83 04 2019-X Ossoineum 1985 W ojciec h Kapturkiewicz ANALIZA NUMERYCZNA WPŁYWU EFEKTYWNOSC EGO ZASILANIA ZBIEŻNOSCI WLEWKA NA Typow: obecnie technoogią

Bardziej szczegółowo