Zasady obliczeń przybliżonych

Transkrypt

1 Edward Musiał Zasady obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje niemal wyłącznie obliczenia przybliżone i powinien mieć nieustannie na względzie dokładność, jaką chce uzyskać i jaką może uzyskać. Dane wyjściowe do obliczeń, pochodzące z pomiarów, z innych, wcześniejszych obliczeń, z danych katalogowych urządzeń lub z oszacowań, charakteryzują się określoną dokładnością. Nie można uzyskać dokładności wyników obliczeń większej niż dokładność wprowadzonych danych. Niecelowe jest też wykonywanie obliczeń z dokładnością większą niż jest to potrzebne. Kto bez zastanowienia podaje jako wynik obliczeń liczne cyfry wskazane przez kalkulator lub komputer, naraża się na zarzut, że nie zdaje sobie sprawy z koniecznej i/lub możliwej do uzyskania dokładności albo na zarzut nieuczciwego sugerowania nieosiągalnej dokładności. Błąd przybliżenia. Jeśli zamiast wartości dokładnej (liczby dokładnej) x operujemy jej przybliżeniem (liczbą przybliżoną) a, to: x - a x a a jest błędem bezwzględnym przybliżenia, jest błędem względnym przybliżenia. Jeżeli przy tym wiadomo, że zawsze i bez zbędnego nadmiaru jest spełniona nierówność x a < Δa, to: Δa jest górnym kresem błędu bezwzględnego rozpatrywanego przybliżenia, Δa a δa jest górnym kresem błędu względnego rozpatrywanego przybliżenia. Miarą błędu przybliżenia, a zatem i miarą dokładności, jest wartość błędu względnego. Zwykle wyraża się ją w procentach. Przykład: Liczba 1,41 jest przybliżeniem wartości z błędem 0, Za górny kres błędu bezwzględnego można przyjąć 0,0043, a za górny kres błędu względnego 0,0043:1,41 0,0030 0,30 %. Cyfry znaczące (cyfry wartościowe) przybliżenia dziesiętnego, tzn. podanego w postaci liczby dziesiętnej, są to wszystkie jego cyfry z wyjątkiem zer stojących po lewej stronie przybliżenia. Przykłady: Trzy cyfry znaczące mają następujące liczby: 00 0,0,00 0, ,5 1,85 0,185 0, Sześć cyfr znaczących mają liczby: , ,3700 0, , Cyfry pewne. Jeżeli błąd bezwzględny przybliżenia a nie przekracza jednostki (ew. połowy jednostki) ostatniego rzędu dziesiętnego (cyfry znaczącej ostatniej patrząc z prawej strony) liczby a, to w liczbie a występują tylko cyfry pewne. Przybliżenia dziesiętne należy pisać z zachowaniem

2 jedynie cyfr pewnych; inaczej mówiąc należy odrzucić te cyfry znaczące, które nie są pewne. Liczba cyfr pewnych w danym przybliżeniu dziesiętnym określa stopień dokładności tego przybliżenia. Przykłady: Następujące przybliżenia mają trzeci stopień dokładności (trzy cyfry pewne): 1 stopa sześcienna 0,083 m 3, 1 cal,54 cm. Obliczony prąd zwarciowy początkowy: I k 7,4 ka albo I k 7, A (zapis 7400 A nie jest właściwy, bo zawiera 5 cyfr znaczących i mylnie sugeruje piąty stopień dokładności, a tylko trzy pierwsze cyfry są pewne). Informacja, iż w określonym miejscu systemu moc zwarciowa wynosi GVA nie jest tożsama z informacją, iż wynosi ona 000 MVA. W zapisie 10 n lub 10 -n wskazane jest posługiwanie się wykładnikiem potęgowym będącym wielokrotnością 3, co czyta się: atto-, femto-, piko-, nano-, mikro-, mili-, kilo-, mega-, giga-, tera-, peta-, eksa-. Inżynier woli zapis 7, A (dwadzieścia siedem i cztery dziesiąte kiloampera), chociaż matematyk za równoważne uzna zapisy: A,, A, 0, A, 0, A itd., z których każdy zawiera te same trzy cyfry znaczące pewne. 1 Jeżeli przybliżenie a ma n cyfr znaczących pewnych, to jego błąd względny δ a n 1 z 10, gdzie z jest pierwszą cyfrą znaczącą danego przybliżenia a. Przybliżenie a z błędem względnym δa ma n cyfr znaczących pewnych, gdzie n jest największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 1 1+ z δa 10 ( ) n Przykład: Kalkulator wyświetlił jako wynik końcowy obliczeń wykonywanych z błędem względnym δa 1% wartość a, Ile cyfr n tego wyniku jest pewnych? (1 + ) 0, n 0, n n. Pewne są dwie cyfry. Wynik końcowy obliczeń należy zatem zapisać jako a,5; gdyby to był wynik pośredni obliczeń zapisuje się jedną (zapasową) cyfrę znaczącą więcej: a,54. Zapisywanie liczb dokładnych. Jeżeli trzeba zaznaczyć, że dana liczba jest dokładna, to po tej liczbie należy zamieścić w nawiasie słowo dokładnie lub ostatnią cyfrę znaczącą liczby należy drukować tłustą czcionką. Dopuszcza się podkreślanie ostatniej cyfry liczby dokładnej. Przykłady: 1 litr 1 dm 3 (dokładnie) 1 kwh J (dokładnie) 1 kwh J 1 kwh J Zaokrąglanie liczb. Jeżeli liczba przybliżona zawiera zbędne lub niepewne cyfry, należy ją zaokrąglić zachowując tylko cyfry pewne i tylko tyle cyfr, ile potrzeba. 1* Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to ostatnia pozostawiona cyfra nie ulega zmianie (np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 14,4 14,). * Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest większa niż 5, to ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę (np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 6,48 6,5).

3 3* Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równa 5, lecz następuje po niej co najmniej jeszcze jedna cyfra inna niż zero, ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę (np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 1, ,1). 4* Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równa 5, i nie następuje po niej żadna cyfra inna niż zero, to ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę, jeśli jest to cyfra nieparzysta (zero uważa się za cyfrę parzystą), a nie zmienia się jej, jeśli jest to cyfra parzysta. Inaczej mówiąc ostatnia pozostawiona cyfra powinna być parzysta (np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 0,05 0,0; 0,15 0,; 0,5 0,; 0, ,4). 5* W przypadku odrzucania więcej niż jednej cyfry, nie należy zaokrąglać w kilku etapach, lecz od razu odrzucić wszystkie zbędne cyfry zgodnie z podanymi powyżej zasadami, np.: źle 15, ,455 15,46 15,5 16 dobrze 15, * Liczby całkowite należy zaokrąglać zgodnie z zasadami 1* 5* z tym, że cyfry nie będą odrzucane, lecz zastępowane przez zero, np. zaokrąglanie do setek zaokrąglanie do dziesiątek * Jeśli liczbę zaokrągla się do 50, 5, 0,5 lub 0,05 itd., to najpierw należy ją podwoić, otrzymany iloczyn zaokrąglić odpowiednio do 100, 10, 1, 0,1 itd. zgodnie z zasadami 1* 6*, a następnie podzielić przez dwa, np.: Aby zaokrąglić liczbę 60,5 do 0,5 należy podwoić ją (10,50), zaokrąglić do jedności (10) i podzielić przez dwa (60) 60,5 60 podobnie: 60,75 (11,5 1 ) 61 8* Jeśli liczbę zaokrągla się do, 0, lub 0,0 itd., to najpierw należy ją pomnożyć przez pięć, otrzymany iloczyn zaokrąglić odpowiednio do 10; 1; 0,1 itd. zgodnie z zasadami 1* 6*, a następnie podzielić przez pięć, np.: Aby zaokrąglić liczbę 8,30 do 0,, należy pomnożyć ją przez pięć (41,50), zaokrąglić do jedności (4) i podzielić przez pięć (8,4) 8,30 8,4 Błąd działania na liczbach przybliżonych. Wynik działań na liczbach przybliżonych jest także liczbą przybliżoną. Błąd wyniku może być wyrażony przez błędy poszczególnych danych. Zwykle oblicza się górny kres błędu w konwencji the worst case, tzn. przy założeniu, że poszczególne błędy składowe kumulują się w sposób najbardziej niekorzystny: mają największą możliwą wartość bezwzględną i ten sam znak. 1 o. Górny kres błędu sumy lub różnicy przybliżeń równa się sumie górnych kresów błędów poszczególnych składników, np. Δ(a - b + c - d) Δa + Δb +Δc +Δd o. Błąd względny sumy przybliżeń jest zawarty między najmniejszym i największym z błędów względnych poszczególnych składników, np. jeżeli δa < δb < δc < δd, to 3

4 3 o. Błąd względny iloczynu lub ilorazu przybliżeń jest równy sumie błędów względnych tych przybliżeń: a δ(a b) δa + δb δ δa + δb b 4 o. Błąd względny m-tej potęgi liczby przybliżonej jest m razy większy niż błąd względny podstawy potęgi: δ(a m ) m δa. 5 o. Błąd względny pierwiastka stopnia m z liczby przybliżonej równa się 1/m błędu względnego liczby podpierwiastkowej: m 1 δ( a ) δa m Przykłady Określić błąd wyniku obliczenia wykonanego według wzoru: V r h Błąd bezwzględny: Błąd względny: δv δ r + δh Δr Δh ΔV V δ V V + r h Określić błąd wyniku obliczenia wykonanego według wzoru: x z 1+ y Błąd bezwzględny: Δz z δ z z Δx Δy + x 1+ y Błąd względny: δ z [ δx + δ( 1+ y) ] 1 Zagadnienie odwrotne rachunku przybliżeń. Jaka powinna być dokładność wprowadzanych danych, aby otrzymany wynik obliczeń miał założoną dokładność? Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy wyprowadzić wzór określający błąd wyniku, po czym posługując się podanymi wyżej prawidłami obliczyć, jakie są dopuszczalne błędy danych wejściowych, by błąd nie przekraczał żądane wartości. Problem może mieć różne rozwiązania, zależnie od przyjętych założeń. Przykład Z jaką dokładnością powinny być zmierzone przyprostokątne trójkąta prostokątnego, z których jedna jest około trzy razy mniejsza od drugiej, aby błąd kąta wyznaczonego za pośrednictwem tangensa nie przekraczał 1 (jednej minuty kątowej)? b Δa + a Δb Kąt będzie obliczony ze wzoru: ϕ arctg(a/b) z błędem względnym: Δϕ a + b Podstawiając b 3 a i zakładając, że Δa Δb, otrzymuje się Δϕ 0,4 Δa/a, a ponieważ założono Δϕ 1 0, rd, więc δa Δa/a 0,0007 0,07 %. Zatem przy założeniu jednakowych błędów bezwzględnych pomiaru obu przyprostokątnych, dopuszczalny błąd względny pomiaru mniejszej przyprostokątnej wynosi 0,07 %. 4

5 Obliczenia przybliżone bez dokładnego uwzględniania błędów. Przy wykonywaniu zwykłych obliczeń inżynierskich nie określa się błędu każdego wyniku z osobna, lecz przestrzega się prostych reguł zapewniających, że wyniki mają na ogół wszystkie cyfry pewne, a błąd nie przekracza kilku jednostek ostatniego rzędu. 1) Przy dodawaniu i odejmowaniu przybliżeń dziesiętnych należy zachować w wyniku tyle cyfr po przecinku, ile ich jest w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą liczbę cyfr po przecinku, np. 14,7 + 37,084 0, ,1 14,7 0, ,7 ) Przy mnożeniu i dzieleniu przybliżeń dziesiętnych należy zachować w wyniku tyle cyfr znaczących, ile jest ich w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą liczbę cyfr znaczących, np. 13, 74, ,8 1,33333, , 3) Przy podnoszeniu przybliżenia dziesiętnego do kwadratu lub sześcianu należy wziąć w wyniku tyle cyfr znaczących, ile ma ich dane przybliżenie, czyli należy zachować jego stopień dokładności. Błąd względny kwadratu i sześcianu przybliżenia dziesiętnego jest odpowiednio około i 3 razy większy niż błąd względny samego przybliżenia, a więc błąd wyniku potęgowania może przekraczać jednostkę ostatniego zachowanego w nim rzędu. 3,541 1,54 3,00 3 7,0 4) Przy wyciąganiu pierwiastka kwadratowego lub sześciennego z przybliżenia dziesiętnego należy zachować w wyniku tyle cyfr znaczących, ile ma ich dane przybliżenie. Błąd względny takiego pierwiastka jest odpowiednio lub 3 razy mniejszy niż błąd względny samego przybliżenia , ,544 5) We wszystkich obliczeniach pośrednich należy zachować o jedną cyfrę znaczącą więcej niż to wynika z powyższych prawideł; przy zapisywaniu końcowego wyniku tę zapasową cyfrę należy odrzucić. 6) Jeśli pewne przybliżenia dziesiętne mają w dodawaniu i odejmowaniu więcej cyfr po przecinku, a w mnożeniu i dzieleniu, potęgowaniu i pierwiastkowaniu więcej cyfr znaczących niż inne przybliżenia, to przed wykonaniem obliczeń należy je zaokrąglić z zachowaniem dodatkowej cyfry (zapasowej); w końcowym wyniku tę zapasową cyfrę należy odrzucić. 7) Jeżeli można brać dane z dowolną dokładnością, to dla otrzymania wyniku o k cyfrach znaczących pewnych należy wziąć te dane z taką liczbą cyfr znaczących, która zgodnie z zasadami od 1) do 4) daje w wyniku k +1 cyfr pewnych. Materiały źródłowe 1. Bronsztejn I.N., Siemiendiajew K.A.: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. PWN, Warszawa, Położy G.N. i inni: Metody przybliżonych obliczeń. Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa, Wilkinson J.H.: Błędy zaokrągleń w procesach algebraicznych. PWN, Warszawa, PN-68/N-01050: Podstawowe oznaczenia matematyczne (w roku 007 norma nadal aktualna). 5. PN-70/N-010: Zasady zaokrąglania i zapisywania liczb (w roku 007 norma nadal aktualna). 5

6 Przykład obliczeń przybliżonych Obliczyć początkowy prąd zwarciowy przy zwarciu trójfazowym na szynach 15 kv stacji: 110 kv S kq " 1500 MVA 110/16,5 kv/kv 16 MVA u kr 0,11 15 kv Na błąd końcowego wyniku składają się: błąd z tytułu pominięcia rezystancji obwodu (tu błąd < 0,5 %), błąd z tytułu przybliżenia wartości mocy zwarciowej na szynach 110 kv (tu błąd << 0,5 %), błąd przybliżenia wartości napięcia zwarcia transformatora (według PN-83/E górny kres błędu względnego przy pracy z przekładnią znamionową wynosi 10 %, a przy innym położeniu przełącznika zaczepów błąd może być większy). Ten ostatni błąd ma znaczenie decydujące i sprawia, że można oczekiwać w końcowym wyniku najwyżej dwóch cyfr znaczących pewnych. Reaktancja systemu poprzedzającego: cmax U n 1, ,5 1,1 16,5 X Q ϑt 0, ,00 Ω trzy cyfry znaczące '' S 1500 kq Reaktancja transformatora: U nt 16,5 X T ukr 0,11 1,87 Ω trzy cyfry znaczące S 16 nt Początkowy prąd zwarciowy na szynach 15 kv: '' cmax U n 1,10 15 I k 4,6 ka dwie cyfry znaczące ( X + X ) 3 ( 0,0 + 1,87) 3 Q T Niektóre zasady poprawnej prezentacji obliczeń: 1) Wpisując wartości liczbowe do wzoru należy je wpisywać dokładnie w tej kolejności, w tych miejscach, gdzie występują odpowiadające im oznaczenia wielkości w poprzedzającym wzorze ogólnym. ) W miarę możności należy wpisywać do wzoru wartości przybliżone bez cyfr zbędnych (w ostatnim wzorze znalazła się wartość 0,0, a nie 0,00, bo ma być ona dodana do liczby 1,87 o dwóch cyfrach znaczących po przecinku). 3) Podstawiając dane liczbowe do wzoru należy wpisywać liczby dokładne 3,, π, e..., a nie ich przybliżenia. 6

7 Pytania kontrolne 1. Podać zaokrąglenia następujących liczb, zawierające kolejno 6, 5, 4, 3 i cyfry znaczące: π 0, e /3 15, (! ). Zaokrąglić do pierwszego miejsca dziesiętnego liczby: 0,05 0,450 0,75 1,17 0,85 3, Obliczyć: 1,5 + 1,743 1,5 1,743 1,743 1,5,5 0,0004,5 + 0,0004 8,7451 π 8,745 π 8,745,1 8,745 8,745 : 8,745 :,1 8,745 8, ,75 8,7 + 8,745 +,1750 3,7 4,51 4. W przepisach o ochronie przeciwporażeniowej można napisać, że w określonych warunkach dopuszczalny czas trwania napięcia dotykowego 50 V wynosi 5,0 s albo można napisać, że wynosi on 5 s. Jakie są konsekwencje tej różnicy w zapisie wymagania przepisowego? 7

8 5. Która z podanych wersji zapisu warunków technicznych odbioru wyrobów jest poprawna? a) 17 ± 0, czy 17,0 ± 0, czy 17,00 ± 0, b) 46,4 ± 0,15 czy 46,40 ± 0,15 czy 46,40 ± 0,15 c) 80,555 kg ± g czy 80,555 ± 0,00 kg d) 5 mm ± % czy 5,0 ± 0,1 mm 6. W przypadku wielkości związanych zależnością potęgową y k x m niewielka zmiana wielkości x o p [%] wywołuje zmianę w tym samym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m p [%]. Przykład: obniżenie napięcia zasilającego silnik indukcyjny o 3% wywołuje ceteris paribus zmniejszenie momentu napędowego o około 3 6 %, jako że M k U ) Uzasadnić tę prawidłowość i określić popełniany błąd. 7. Dwoma woltomierzami klasy 1,5, o zakresie pomiarowym 300 V, pomierzono jednocześnie napięcie na początku i na końcu linii, by określić występujący w niej spadek napięcia: V. Określić górny kres błędu tego obliczenia (jego wartość bezwzględną i wartość względną). 8

9 Odpowiedzi na pytania kontrolne 1. Podać zaokrąglenia następujących liczb, zawierające kolejno 6, 5, 4, 3 i cyfry znaczące: π 3, , ,1416 3,14 3,14 3,1 e,718818,7188,7183,718,7,7 1, ,4141 1,414 1,414 1,41 1,4 /3 0, , , ,6667 0,667 0,67 0, , , ,1735 0,174 0, , , ,455 15,45 15,5 15. Zaokrąglić do pierwszego miejsca dziesiętnego liczby: 0,05 0,0 0,450 0,4 0,75 0,8 1,17 1, 0,85 0,8 3,500 3,3 3. Obliczyć: 1,5 + 1,743 14, 1,5 1,743 10,8 1,743 1,5 10,8,5 0,0004,5,5 + 0,0004,5 8,7451 π 7,4739 8,745 π 7,47 8,745 17,490,1 8,745 18,5 8,745 : 4,376 8,745 :,1 4, 8,745 76,479 8, ,8 8,75 76,6 8,7 + 8,745 +,1750 3,7 4,51 75,7 + 76,4785 +, ,

10 4. W przepisach o ochronie przeciwporażeniowej można napisać, że w określonych warunkach dopuszczalny czas trwania napięcia dotykowego 50 V wynosi 5,0 s albo można napisać, że wynosi on 5 s. Jakie są konsekwencje tej różnicy w zapisie wymagania przepisowego? W pierwszym wypadku (5,0 s) niedopuszczalny jest czas trwania napięcia dotykowego, który po zaokrągleniu do pierwszego miejsca dziesiętnego byłby większy niż 5,0 s, tzn. czas t > 5,05 s. W drugim wypadku (5 s) niedopuszczalny jest czas trwania napięcia dotykowego, który po zaokrągleniu do jedności byłby większy niż 5 s, tzn. czas t 5,5 s. 5. Która z podanych wersji zapisu warunków technicznych odbioru wyrobów jest poprawna? Niepoprawne są wersje przekreślone: a) 17 ±0, 17,0 ± 0, 17,00 ± 0, b) 46,4 ± 0,15 46,40 ± 0,15 46,40 ± 0,15 c) 80,555 kg ± g 80,555 ± 0,00 kg d) 5 mm ± % 5,0 ± 0,1 mm 6. W przypadku wielkości związanych zależnością potęgową y k x m niewielka zmiana wielkości x o p [%] wywołuje zmianę w tym samym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m p [%]. Przykład: obniżenie napięcia zasilającego silnik indukcyjny o 3% wywołuje ceteris paribus zmniejszenie momentu napędowego o około 3 6 %, jako że M k U ) Uzasadnić tę prawidłowość i określić popełniany błąd. Jeżeli względna wartość wielkości x wynosi (1 ± p), to względna wartość wielkości y wynosi (1 ± p) m, co po rozpisaniu w szereg potęgowy Maclaurina daje wyrażenie: ( 1 ) ( 1) m( m 1)( m ) m( m 1)( m )( m 3) m m 3 ± p m 1 ± m p + p ± p + p! 3! 4! Uproszczenie, o którym mowa, polega na wzięciu z powyższego rozwinięcia tylko dwóch pierwszych wyrazów, błąd polega na pominięciu pozostałych. Błąd względny przybliżenia wynosi: ( 1± p) m ( 1± m p) 1± m p 7. Dwoma woltomierzami klasy 1,5, o zakresie pomiarowym 300 V, pomierzono jednocześnie napięcie na początku i na końcu linii, by określić występujący w niej spadek napięcia: V. Określić górny kres błędu tego obliczenia (jego wartość bezwzględną i wartość względną). Wykonano obliczenie: ΔU U 1 U V Błąd bezwzględny pomiaru każdego z napięć wynosi Δ(U 1 ) Δ(U ) 0, ,5 V Górny kres błędu obliczenia spadku napięcia wynosi: błąd bezwzględny: Δ(ΔU) Δ(U 1 ) + Δ(U ) 4,5 + 4,5 9,0 V, a błąd względny: ( ΔU ) Δ ΔU 9,0 10 0,9 90 % Uzyskany wynik: ΔU 10 ± 9 V, tzn. ΔU 1 19 V, nie przedstawia żadnej wartości. Tak się kończą pomiary polegające na odejmowaniu dwóch wielkości o zbliżonej wartości. 4 ±... 10