Wykład 4. Sortowanie

Transkrypt

1 Wykład 4 Sortowanie 1

2 Sortowanie - zadanie Definicja (dla liczb): wejście: ciąg n liczb A = (a 1, a 2,, a n ) wyjście: permutacja (a 1,, a n ) taka, że a 1 a n Po co sortować? Podstawowy problem dla algorytmiki Wiele algorytmów wykorzystuje sortowanie jako procedurę pomocniczą Pozwala pokazać wiele technik Dobrze zbadane (czas) 2

3 Sortowanie taksonomia Ø Wewnętrzne i zewnętrzne Zależnie od miejsca przechowywania zbioru: (RAM czy dysk) Ø Sortowanie tablic i sortowanie list łączonych zależnie od struktury danych (pliku); różny sposób dostępu (bezpośredni dla tablicy, sekwencyjny dla listy). Ø W miejscu lub nie Nie wymaga dodatkowej pamięci Ø Stabilne i niestabilne Kolejność elementów o tych samych wartościach klucza nie zmienia się. Inaczej kolejne sortowanie dla złożonych obiektów nie psuje efektów poprzedniego sortowania. Ø Bezpośrednie i pośrednie zależnie od tego przemieszczamy całe obiekty, czy tylko wskaźniki (indeksy) do nich 3

4 Zestawienie czasów działania Ø Przez wybór: O(N 2 ) zawsze Ø Bąbelkowe: O(N 2 ) najgorszy przypadek; O(N) najlepszy przyp. Ø Wstawianie: O(N 2 ) średnio; O(N) najlepszy przypadek Ø Shellsort: O(N 3/2 ) Ø Heapsort: O(NlogN) zawsze Ø Mergesort: O(NlogN) zawsze Ø Quicksort: O(NlogN) średnio; O(N 2 ) najgorszy przypadek Ø Zliczanie: O(N) zawsze Ø Radix sort: O(N) zawsze Ø zewnętrzne: O(b logb)) dla pliku o b stronach. 4

5 Sortowanie przez wybór pomysł Ø Znajdujemy najmniejszy element ciągu i zamieniamy go z pierwszym elementem. Powtarzamy to dla podciągu bez pierwszego elementu, itd. X X Znajdź minimum i zamień z pierwszym elementem 5

6 Sortowanie przez wybór pseudokod Selection_Sort(int A) 1 for i 1 to length[a] 2 do min i; 3 for j i+1 to length[a] 4 do if A[j] < A[min] then min j; 5 Exchange A[min] A[i] 6

7 Sortowanie przez wybór przykład iteracja ciąg: EASYQUESTION - rozmiar 12 znaków #porównań #zamian EASYQUESTION AESYQUESTION 11 1 AESYQUESTION 10 1 AEEYQUSSTION 9 1 AEEIQUSSTYON 8 1 AEEINUSSTYOQ 7 1 AEEINOSSTYUQ 6 1 AEEINOQSTYUS 5 1 AEEINOQSTYUS 4 1 AEEINOQSSYUT 3 1 AEEINOQSSTUY 2 1 AEEINOQSSTUY 1 1 Razem

8 Sortowanie przez wybór czas działania Ø Zależność od danych wejściowych: Ilość przebiegów: nie (zawsze N-1) Ilość porównań: nie Ilość zamian: nie Ø O(N 2 ) zawsze (bez znaczenia jaki jest układ elementów w danych ważna tylko ilość) 8

9 Sortowanie bąbelkowe (przez zamianę) Ø Przechodzimy przez ciąg od jego końca, porównując sąsiadujące elementy i ewentualnie zamieniając je miejscami. Powtarzamy te procedurę aż do uporządkowania całego ciągu. Po pierwszym przejściu element minimalny znajduje się na początku a[0], po drugim na drugim miejscu znajduje się drugi co do wielkości a[1], po itd. Porównanie do wypływających bąbelków stąd nazwa. 9

10 Sortowanie bąbelkowe pseudokod BUBBLE_SORT(A) 1 for i 1 to length[a] 2 do for j length[a] downto i do if A[j] < A[j - 1] 4 then exchange A[j] A[j - 1] 10

11 Sortowanie bąbelkowe przykład iteracja Ciąg: EASYQUESTION, (12 znaków) porównańzamian EASYQUESTION (najgorszy przyp) AEESYQUISTNO 11 (11) 8 (11) AEEISYQUNSTO 10 (10) 6 (10) AEEINSYQUOST 9 (9) 6 (9) AEEINOSYQUST 8 (8) 4 (8) AEEINOQSYSUT 7 (7) 3 (7) AEEINOQSSYTU 6 (6) 2 (6) AEEINOQSSTYU 5 (5) 1 (5) AEEINOQSSTUY 4 (4) 1 (4) AEEINOQSSTUY 3 (3) 0 (3) (2) (2) (1) (1) razem 63 (66) 31 (66) 11

12 Sortowanie bąbelkowe czas wykonania Ø Zależność od danych wejściowych: Ilość potrzebnych przejść: tak Ilość porównań w jednym przejściu: nie Ilość zamian: tak Ø Najlepszy przypadek: O(N) Jeśli elementy są już posortowane, np.: ABCDEFGHIJ. Tylko jedno przejście. Stąd mamy N-1 porównań i 0 zamian. Ø Najgorszy przypadek: O(N 2 ) Dane odwrotnie posortowane, np.: JIHGFEDCBA. N-1 przejść (N-1)N/2 porównań i (N-1)N/2 zamian 12

13 Sortowanie przez wstawianie pomysł Ø Dla każdego elementu ciągu (od lewej do prawej), wstawiamy go we właściwe miejsce ciągu elementów poprzedzających go (już posortowanych). 13

14 Sortowanie przez wstawianie pseudokod INSERTION_SORT(A) 1 for j 2 to length[a] 2 do key A[j] 3 i j-1 4 while i>0 and A[i]>key 5 do A[i+1] A[i] 6 i i-1 7 A[i+1] key 14

15 Sortowanie przez wstawianie przykład iteracja Ciąg: EASYQUESTION, (12 znaków) porównań zamian (najgorszy przyp.) EASYQUESTION AESYQUESTION 1 (1) 1 (1) AESYQUESTION 1 (2) 0 (2) AESYQUESTION 1 (3) 0 (3) AEQSYUESTION 3 (4) 2 (4) AEQSUYESTION 2 (5) 1 (5) AEEQSUYSTION 5 (6) 4 (6) AEEQSSUYTION 3 (7) 2 (7) AEEQSSTUYION 3 (8) 2 (8) AEEIQSSTUYON 7 (9) 6 (9) AEEIOQSSTUYN 7 (10) 6 (10) AEEINOQSSTUY 8 (11) 7 (11) razem 41 (66) 31 (66) 15

16 Sortowanie przez wstawianie czas działania Ø Zależność od danych wejściowych: Ilość iteracji: nie (zawsze N-1) Ilość porównań: tak Ilość zamian: tak Ø Najgorszy przypadek: O(N 2 ) Elementy odwrotnie posortowane np.: JIHGFEDCBA. (N-1)N/2 porównań i (N-1)N/2 zamian. Ø Najlepszy przypadek: O(N) Elementy już posortowane np.: ABCDEFGHIJ. Jedno porównanie i 0 zamian w każdej iteracji. Razem, N-1 porównań i brak zamian. 16

17 Shellsort pomysł Ø Modyfikacja (rozszerzona wersja) sortowania przez wstawianie Ø Dążymy do zmniejszenia ilości zamian albo ciągi krótkie, albo lepsze ( bliższe posortowania). Ø Shellsort wykonuje sortowanie podciągów: Wybieramy ciąg liczb (zwany ciągiem przyrostów) h t,, h 2, h 1 ; h 1 =1; h t > > h 2 >h 1 ; Sortujemy ciągi elementów odległych o h t, h t-1, h t-2,,h 1. 17

18 Shellsort kod w C shellsort(itemtype a[], int l, int r) { int i, j, k, h; itemtype v; } int incs[16] = { , , , 86961, 33936, 13776, 4592, 1968, 861, 336, 112, 48, 21, 7, 3, 1 }; for ( k = 0; k < 16; k++) for (h = incs[k], i = l+h; i <= r; i++) { } v = a[i]; j = i; while (j >= h && a[j-h] > v) { a[j] = a[j-h]; j -= h; } a[j] = v; 18

19 Shellsort przykład ciąg: EASYQUESTION (12 znaków) ciąg przyrostów 4, 1. faza 1: przyrost = 4 porównań zamian EASYQUESTION EASYQUESTION 2 0 EASYQIESTUON 3 1 EAEYQIOSTUSN 3 2 EAENQIOSTUSY 3 3 Razem w tej fazie

20 Shellsort przykład faza 2: przyrost= 1 porównań zamian EAENQIOSTUSY AEENQIOSTUSY 1 1 AEENQIOSTUSY 1 0 AEENQIOSTUSY 1 0 AEENQIOSTUSY 1 0 AEEINQOSTUSY 3 2 AEEINOQSTUSY 2 1 AEEINOQSTUSY 1 0 AEEINOQSTUSY 1 0 AEEINOQSTUSY 1 0 AEEINOQSSTUY 3 2 AEEINOQSSTUY 1 0 Razem w tej fazie

21 Shellsort przykład Ø Razem 27 porównań i 12 zamian. Ø Dla sortowania przez wstawiania odpowiednio 41 i 31!!! Polepszenie dostajemy przez wstępne posortowanie, krótkich podciągów Ø Zwykle stosuje się ciągi przyrostów o więcej niż 2 elementach. 21

22 Shellsort czas działania Ø Nie ma możliwości przeprowadzenie dokładnej analizy dla przypadki ogólnego (wyniki są oparte o badania empiryczne). Ø Wybór ciągu przyrostów ma zasadniczy wpływ na czas sortowania. Dla ciągu podanego przez Shell a: O(N 2 ) I max = Floor(N/2), I k = Floor(I k+1 /2). np N=64:1, 2, 4, 8, 16, 32 Dla ciągu podanego przez Knuth a: O(N 3/2 ) I 1 =1, I k+1 = 1+3*I k. 1, 4, 13, 40, 121, 364, 22