Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 5 Rekurencja
|
|
- Patrycja Małek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 5 Rekurencja
2 Rekurencja z łacińskiego oznacza to przybiec z powrotem - osiągniesz rzecz wielką, jeśli zawrócisz po to, by osiągnąć rzeczy małe Przykład: Małe dziecko otrzymuje polecenie posprzątania rozrzuconych klocków do pudełka. zebrać wszystkie klocki naraz???? - skomplikowane zadanie wziąć jeden klocek, przełożyć go do pudełka, a następnie zrobić to samo z pozostałymi klockami??? - prosta czynność
3 Duży problem został rozłożony na problem elementarny, który umiemy rozwiązać. Problem elementarny jest mniej skomplikowany niż problem początkowy. Zakończenie algorytmu jest jasno określone ( w momencie gdy na podłodze nie ma rozrzuconych klocków )
4
5
6
7 Mamy obliczyć: a n Matematycznie: Wiemy że: a n =a x a n-1 (a n-1 jest łatwiej obliczyć niż a n ) Jeśli jest nadal trudno, to zawsze można wstawić: a n-1 =a x a n-2, gdzie: a n-2 =a x a n-3 itd. wystarczy wiedzieć tylko, że: a 0 =1 aby obliczyć dowolną potęgę a
8 Def: Program rekurencyjny jest to program, który wywołuje sam siebie Problem: Dysponujemy tablicą n liczb całkowitych A(n) o elementach: a(1),a(2), a(3),..., a(n) Zadanie: sprawdzić, czy w tablicy A występuje liczba x Rozwiązanie: wziąć pierwszy niezbadany element tablicy n elementowej, jeśli aktualnie analizowany element tablicy jest równy x to: wypisz sukces i zakończ działanie w przeciwnym wypadku: zbadaj pozostałą część tablicy n-1 elementów
9 W programach rekurencyjnych: zakończenie programu jest jasno określone (znaleziony element, przekroczony zakres tablicy), duży problem zostaje rozłożony na problemy elementarne, które umiemy rozwiązać Podstawowe błędy: złe określenie warunku zakończenia programu, niewłaściwa (nieefektywna) dekompozycja problemu.
10 Algorytmy sortowania danych Najprostsze sortowanie: zamiana dwóch elementów Sortowanie przez selekcję Opis: trzeba wyznaczyć najmniejszy element w ciągu; zamienić go miejscami z pierwszym elementem ciągu, wyznaczyć najmniejszy element w a[2..n] i zamienić go z drugim elementem w ciągu, itd.
11 Sortowanie przez selekcję - algorytm dla i := 1 do n-1 wykonuj początek min := i; dla j := i+1 do n wykonuj jeśli a[ j ] < a[ min ] to min := j; a[ min ] <-> a[ j ] {zamiana miejscami a[ min ] z a[ j ]} koniec
12 Sortowanie przez wstawianie (układanie kart do brydża) Opis: metoda polega na wstawianiu następnej karty we właściwe miejsce uporządkowanych uprzednio kart
13 Sortowanie przez wstawianie - algorytm dla i=2,...,liczba elementów tablicy wykonuj { j :=i podczas gdy j > 1 i x[ j-1 ] > x[ j ] wykonuj { pom := x[ j ] x[ j ] := x[ j-1] x[ j-1] := pom j := j-1 } }
14 Sortowanie bąbelkowe Tablica jest przeszukiwana od dołu. Element zacieniony jest tym, który w pojedynczym przebiegu uleciał do góry jako najlżejszy. Analizowane są zawsze 2 sąsiadujące ze sobą elementy. Jeśli nie są uporządkowane (u góry jest element cięższy ) to następuje ich zamiana.
15 Wynik sortowania bąbelkowego
16 Algorytm sortowania bąbelkowego TAB : Tablica [1..n] elementów typu rzeczywistego i,j : całkowite pom: rzeczywiste Początek {programu} Dla i:=1 do n-1 wykonuj dla j:=n do i+1 z krokiem -1wykonuj Jeśli TAB[j]<TAB[j-1] to początek pom:=tab[j-1]; TAB[j-1]:=TAB[j]; TAB[j]:=pom koniec Koniec {programu}.
17 Dość często zdarzają się puste przebiegi (nie jest dokonywana żadna wymiana, bowiem elementy są już posortowane. Algorytm jest bardzo wrażliwy na konfigurację początkową danych. Wersja 1: Wersja 2: (wersja 1 wymaga jednej zamiany, a wersja 2 wymaga aż sześciu przebiegów)
18 Wieża Hanoi A B C Chcemy przenieść krążki z A na B, wykorzystując kołek C. Przenosimy po 1 krążku. Większy krążek nigdy nie może być umieszczony na mniejszym krążku..
19 A B C A -> B; A -> C; B -> C; A -> B; C -> A; C -> B; A -> B;
20 A B C 1. A -> B; 8. A -> C; 2. A -> C; 9. B -> C; 3. B -> C; 10. B -> A; 4. A -> B; 11. C -> A; 5. C -> A; 12. B -> C; 6. C -> B; 13. A -> B; 7. A -> B; 14. A -> C; 15. B -> C;
21 A B C Legenda Tybetu: po przeniesieniu 64 krążków nastąpi koniec świata. Liczba pojedynczych przeniesień: minimum 2 N - 1 (2 3-1 = 8-1 = 7 dla 3 krążków). Dla 64 to jest tj Jeżeli przeniesienie 1 krążka wymaga 2 sekund, to na przeniesienie 64 krążków potrzeba 1 biliona lat (4,5 miliarda lat temu powstała ziemia). Przy szybkości przenoszenia 1 miliona krążków na sekundę, całkowity czas przeniesienia 64 krążków wynosi minimum pół miliona lat..
22 Wieża Hanoi - algorytm Podprogram przenieś N z X na Y używając Z; jeżeli N=1, to wypisz X -> Y ; w przeciwnym razie (tj. jeżeli N>1) wykonaj, co następuje: wywołaj przenieś N-1 z X na Z używając Y; wypisz X->Y ; wywołaj przenieś N-1 z Z na Y używając X; wróć. Na stronie: jest aplikacja do gry w wieże Hanoi
23 Jak wykonują się programy rekurencyjne? Zadanie: Obliczyć n! 0! = 1 N! = N*(n-1)! Dla n>=1 Jak to wygląda w praktyce dla n = 3 (3! =?) n = 0? nie 3*2! n = 0? nie 2*1! n = 0? nie 1*0! n = 0? tak 1 -pionowe strzałki oznaczają zagłębianie się programu z poziomu n na n-1, itd., aż do przypadku elementarnego 0!, - pozioma strzałka oznacza obliczanie wyników cząstkowych, - ukośna strzałka prezentuje przekazywanie wyniku cząstkowego z poziomu niższego na wyższy)
24 Nie rekurencyjne, ale ciekawe algorytmy
25 Algorytm sprawdzania czy trójkąt jest prostokątny We: a,b,c boki trójkąta d = a*a + b*b WY: trójkąt nie jest prostokątny N? d=c*c T WY: trójkąt jest prostokątny
26 Algorytm sprawdzania czy trójkąt jest prostokątny Program trojkat prostokatny; { Deklaracja zmiennych } a,b,c,d: całkowita; Początek pisz( podaj boki a,b,c); d:=a*a+b*b; jeżeli (d=c*c) to pisz ( trójkąt prostokątny ) Gdzie tkwi błąd? Jak poprawić ten program? koniec.. w przeciwnym razie pisz ( trójkąt nie jest prostokątny )
27 Algorytm sprawdzania parzystości liczby We: sprawdzana liczba x y = (x/2)*2 WY: x nieparzyste N? x=y T WY: x parzyste
28 Algorytm sprawdzania parzystości liczby Program parzystosc; { Deklaracja zmiennych } x,y: całkowita; Początek pisz( podaj liczbe x ); czytaj(x); y := x/2; y := y*2; jeżeli (x=y) to pisz ( liczba x jest parzysta ) w przeciwnym razie pisz ( liczba x jest nieparzysta ) koniec. Uwaga: Program ma sens tylko dzięki własności dzielenia liczb całkowitych.
29 Sito Erastotenesa Sito Erastotenesa Wyszukiwanie liczb pierwszych
30 Sito Erastotenesa Kiedy koniec? Dla n
31 program sito a: tablica [ ] elementów całkowitych i,j,n,m,x,y:całkowite pisz 'podaj górną granicę przedziału, max 1000' czytaj n m=int(sqrt(n)) {maksymalny mnoznik pierwiastek z n) dla i=1 do n wykonuj a[i]=i {podstawienie kolejnych liczb do tablicy} dla j=2 do m wykonuj początek jeśli a[j] <>0 to początek dla i=j+1 do n wykonuj początek x=a[i] y=(x/j)*j {sprawdzanie podzielności} jeśli x=y to a[i]=0 koniec koniec koniec
32 pisz 'w podanym zakresie liczby pierwsze to:' dla i=2 do n jeśli a[i] <>0 to drukuj a[i] koniec
33 Optymalizacja algorytmów Zawsze poszukujemy najlepszego algorytmu ze względu na czas i złożoność obliczeń. Wydajność czasowa algorytmu: - funkcja O(n), określająca ile czasu potrzebuje dany algorytm na rozwiązanie problemu o rozmiarze n (parametr n zależy od analizowanego zagadnienia, np. dla sortowania tablicy, n jest liczbą danych do sortowania, itp.) Przykład: Program zliczający sumę elementów tablicy A[n]: Suma :=0 dla i:=0 do i:=n suma := suma + A[i] Jedna instrukcja wymaga jednej jednostki czasu. Złożoność obliczeniowa O(n) = n+2. Ponieważ najbardziej znaczącym składnikiem jest n, więc, O(n) = n.
34 Złożoność obliczeniowa, c.d. Przykład: Program obliczający sumę elementów tablicy dwuwymiarowej A[n,n]: Suma :=0 // 1 dla i:=0 do i:=n //1 dla j:=0 do j:=n //n suma := suma + A[i,j] //n^2 Jedna instrukcja wymaga jednej jednostki czasu. Złożoność obliczeniowa O(n) = n^2 + n + 2 Przyjmujemy, że złożoność obliczeniowa O(n) = n^2 + n.
35 Czas pracy algorytmów różnych klas c(n) c(n) N N n N! * * *10 57 Czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych, ale również od ich wartości lub układu (rozmieszczenia)..
36 Skrócenie czasu obliczeń Wielokrotne mnożenie zamiast potęgowania Przykład: y=x 5 y=x*x*x*x*x jest szybsze i dokładniejsze niż: y=x^5 gdyż funkcja potęgowania jest rozwijana jako: y=e 5*ln(x) a dodatkowo, funkcje ln i e x są obliczane jako sumy określonych ciągów. Ze zrozumiałych przyczyn zaniedbuje się dalsze wyrazy ciągu, co zmniejsza dokładność. Tak więc często otrzymujemy wyniki: 3^3= itp
37 Obliczenia numeryczne Obliczanie pierwiastka kwadratowego: Przykład: Jak obliczyć pierwiastek z x? Metoda Newtona: y= y+ 2 yx x- liczba pierwiastkowana y - wynik pierwiastkowania.
38 Obliczanie pierwiastka kwadratowego - algorytm: Program pierwiastek kwadratowy; { Deklaracja zmiennych } x,y: i : Początek. koniec. rzeczywista; całkowita; pisz( podaj x); y := 1; dla i:=0 do i:= 20 y:=(y+x/y)/2; pisz ( pierwiastek z, x, =, y)
Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Rekurencja. skomplikowane zadanie. Rekurencja
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Rekurencja z łacińskiego oznacza to przybiec z powrotem - osiągniesz rzecz wielką, jeśli zawrócisz po to, by osiągnąć rzeczy małe Małe dziecko otrzymuje polecenie
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 9 Rekurencja
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 9 Rekurencja Rekurencja z łacińskiego oznacza to przybiec z powrotem - osiągniesz rzecz wielką, jeśli zawrócisz po to, by osiągnąć rzeczy małe Przykład:
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Iteracja warunkowadopóki(while) Blok instrukcji. Pascal: begin instrukcja1; C: { end;
Podstawy Informatyki Inżyria Ciepła, I rok Wykład 8 Algorytmy, cd Instrukcja decyzyjna wybierz Zda wybierz służy do wyboru jednej z kilku możliwości Ma ono postać: wybierz przełącznik z wartość_1: zda_1
Bardziej szczegółowoRekurencja. Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów.
Rekurencja Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów. Zgodnie ze znaczeniem informatycznym algorytm rekurencyjny to taki który korzysta z samego
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok niestacjonarne Wykład 3 Rekurencja Krótki kurs C++ Rekurencja z łacińskiego oznacza to przybiec z powrotem - osiągniesz rzecz wielką, jeśli zawrócisz po to, by osiągnąć
Bardziej szczegółowoRekurencja. Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów.
Rekurencja Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów. Zgodnie ze znaczeniem informatycznym algorytm rekurencyjny to taki który korzysta z samego
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoJeszcze o algorytmach
Jeszcze o algorytmach Przykłady różnych, podstawowych algorytmów 11.01.2018 M. Rad Plan Powtórka Znajdowanie najmniejszego elementu Segregowanie Poszukiwanie przez połowienie Wstawianie Inne algorytmy
Bardziej szczegółowoStruktury Danych i Złożoność Obliczeniowa
Struktury Danych i Złożoność Obliczeniowa Zajęcia 2 Algorytmy wyszukiwania, sortowania i selekcji Sortowanie bąbelkowe Jedna z prostszych metod sortowania, sortowanie w miejscu? Sortowanie bąbelkowe Pierwsze
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Bardziej szczegółowoInformatyka A. Algorytmy
Informatyka A Algorytmy Spis algorytmów 1 Algorytm Euklidesa....................................... 2 2 Rozszerzony algorytm Euklidesa................................ 2 3 Wyszukiwanie min w tablicy..................................
Bardziej szczegółowoALGORYTMY Algorytm poprawny jednoznaczny szczegółowy uniwersalny skończoność efektywność (sprawność) zmiennych liniowy warunkowy iteracyjny
ALGORYMY Algorytm to przepis; zestawienie kolejnych kroków prowadzących do wykonania określonego zadania; to uporządkowany sposób postępowania przy rozwiązywaniu zadania, problemu, z uwzględnieniem opisu
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 1. i 2.
Laboratorium nr 1. i 2. Celem laboratorium jest zapoznanie się ze zintegrowanym środowiskiem programistycznym, na przykładzie podstawowych aplikacji z obsługą standardowego wejścia wyjścia, podstawowych
Bardziej szczegółowoIteracje. Algorytm z iteracją to taki, w którym trzeba wielokrotnie powtarzać instrukcję, aby warunek został spełniony.
Iteracje Algorytm z iteracją to taki, w którym trzeba wielokrotnie powtarzać instrukcję, aby warunek został spełniony. Iteracja inaczej zwana jest pętlą i oznacza wielokrotne wykonywanie instrukcji. Iteracje
Bardziej szczegółowo1.1. Uzupełnij poniższą tabelę: i wynik(i)
Zadanie 1. Krzysztof, Kamil Wiązka zadań Ciągi rekurencyjne Dana jest następująca funkcja rekurencyjna: funkcja wynik( i ) jeżeli i < 3 zwróć 1 i zakończ; w przeciwnym razie jeżeli i mod 2 = 0 zwróć wynik(i
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7 Sortowanie
Laboratorium nr 7 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) Materiały Wyróżniamy następujące metody sortowania: 1. Przez prostą zamianę
Bardziej szczegółowoZadania do wykonania. Rozwiązując poniższe zadania użyj pętlę for.
Zadania do wykonania Rozwiązując poniższe zadania użyj pętlę for. 1. apisz program, który przesuwa w prawo o dwie pozycje zawartość tablicy 10-cio elementowej liczb całkowitych tzn. element t[i] dla i=2,..,9
Bardziej szczegółowoZADANIE 1. Ważenie (14 pkt)
ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt) Danych jest n przedmiotów o niewielkich gabarytach i różnych wagach. Jest też do dyspozycji waga z dwiema szalkami, ale nie ma odważników. Kładąc na wadze przedmioty a i b,
Bardziej szczegółowoDefinicja. Ciąg wejściowy: Funkcja uporządkowująca: Sortowanie polega na: a 1, a 2,, a n-1, a n. f(a 1 ) f(a 2 ) f(a n )
SORTOWANIE 1 SORTOWANIE Proces ustawiania zbioru elementów w określonym porządku. Stosuje się w celu ułatwienia późniejszego wyszukiwania elementów sortowanego zbioru. 2 Definicja Ciąg wejściowy: a 1,
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe 15 stycznia 2019 Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r P Jaka wartość zostanie zwrócona
Bardziej szczegółowoAlgorytm - pojęcie algorytmu, sposób zapisu, poziom szczegółowości, czynności proste i strukturalne. Pojęcie procedury i funkcji.
Algorytm - pojęcie algorytmu, sposób zapisu, poziom szczegółowości, czynności proste i strukturalne. Pojęcie procedury i funkcji. Maria Górska 9 stycznia 2010 1 Spis treści 1 Pojęcie algorytmu 3 2 Sposób
Bardziej szczegółowoInformacje wstępne #include <nazwa> - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char
Programowanie C++ Informacje wstępne #include - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char = -128 do 127, unsigned char = od
Bardziej szczegółowoInformatyka wprowadzenie do algorytmów (II) dr hab. inż. Mikołaj Morzy
Informatyka wprowadze do algorytmów (II) dr hab. inż. Mikołaj Morzy plan wykładu cechy algorytmów sposoby zapisu algorytmów klasyfikacja algorytmów przykłady algorytmów sumowa przeszukiwa ciągu liczb sortowa
Bardziej szczegółowoUwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].
Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoStrategia "dziel i zwyciężaj"
Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9
Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz
Bardziej szczegółowoWykład 3. Metoda dziel i zwyciężaj
Wykład 3 Metoda dziel i zwyciężaj 1 Wprowadzenie Technika konstrukcji algorytmów dziel i zwyciężaj. przykładowe problemy: Wypełnianie planszy Poszukiwanie (binarne) Sortowanie (sortowanie przez łączenie
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie w VB Proste algorytmy sortowania
Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania Sortowanie bąbelkowe Algorytm sortowania bąbelkowego polega na porównywaniu par elementów leżących obok siebie i, jeśli jest to potrzebne, zmienianiu ich
Bardziej szczegółowoRekurencja. Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów.
Rekurencja Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów. Zgodnie ze znaczeniem informatycznym algorytm rekurencyjny to taki który korzysta z samego
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.
Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy
Bardziej szczegółowoWykład 8. Rekurencja. Iterować jest rzeczą ludzką, wykonywać rekursywnie boską. L. Peter Deutsch
Wykład 8 Iterować jest rzeczą ludzką, wykonywać rekursywnie boską. Smok podsuszony zmok (patrz: Zmok). Zmok zmoczony smok (patrz: Smok). L. Peter Deutsch Stanisław Lem Wizja lokalna J. Cichoń, P. Kobylański
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoZłożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki
Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoProgramowanie strukturalne i obiektowe. Funkcje
Funkcje Często w programach spotykamy się z sytuacją, kiedy chcemy wykonać określoną czynność kilka razy np. dodać dwie liczby w trzech miejscach w programie. Oczywiście moglibyśmy to zrobić pisząc trzy
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoSchematy blokowe I. 1. Dostępne bloki: 2. Prosty program drukujący tekst.
Schematy blokowe I Jeżeli po schematach blokowych będzie używany język C, to należy używać operatorów: '&&', ' ', '!=', '%' natomiast jeśli Ruby to 'and', 'or', '%', '!='. 1. Dostępne bloki: a) początek:
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019 Zadanie z wykładu i ćwiczeń Dany jest ciąg rekurencyjny: x 1 = 1, x n+1 = x n 2 + 1 x n dla n 1. Ograniczoność.
Bardziej szczegółowoRekurencja/rekursja. Iluzja istnienia wielu kopii tego samego algorytmu (aktywacji) Tylko jedna aktywacja jest aktywna w danej chwili
rekurencja 1 Rekurencja/rekursja Alternatywny dla pętli sposób powtarzania pewnych czynności; kolejny etap podzadanie poprzedniego Rekursja może być zamieniona na iteracje Cechy rekurencji Rozłożenie problemu
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowooperacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je.
Problem porządkowania zwanego również sortowaniem jest jednym z najważniejszych i najpopularniejszych zagadnień informatycznych. Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,, x n. Wynik: Uporządkowanie
Bardziej szczegółowoRekurencja. Przygotowała: Agnieszka Reiter
Rekurencja Przygotowała: Agnieszka Reiter Definicja Charakterystyczną cechą funkcji (procedury) rekurencyjnej jest to, że wywołuje ona samą siebie. Drugą cechą rekursji jest jej dziedzina, którą mogą być
Bardziej szczegółowoAlgorytmy sortujące. sortowanie kubełkowe, sortowanie grzebieniowe
Algorytmy sortujące sortowanie kubełkowe, sortowanie grzebieniowe Sortowanie kubełkowe (bucket sort) Jest to jeden z najbardziej popularnych algorytmów sortowania. Został wynaleziony w 1956 r. przez E.J.
Bardziej szczegółowoO rekurencji i nie tylko
O rekurencji i nie tylko dr Krzysztof Bryś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 10 grudnia 2011 Intuicyjnie: rekurencja sprowadzenie rozwiązania danego problemu do rozwiązania
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Bardziej szczegółowoSortowanie przez scalanie
Sortowanie przez scalanie Wykład 2 12 marca 2019 (Wykład 2) Sortowanie przez scalanie 12 marca 2019 1 / 17 Outline 1 Metoda dziel i zwyciężaj 2 Scalanie Niezmiennik pętli - poprawność algorytmu 3 Sortowanie
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Algorytmy na tablicach Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk (Wydział Fizyki) WP w. III Jesień 2013 1 / 23 Dwadzieścia pytań Zasady 1 Osoba 1 wymyśla hasło z ustalonej
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to
Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to wprowadzili J. Hartmanis i R. Stearns. Najczęściej przez zasób rozumie się czas oraz pamięć dlatego
Bardziej szczegółowoZadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa
Łukasz Przywarty 171018 Data utworzenia: 24.03.2010r. Mariusz Kacała 171058 Prowadzący: prof. dr hab. inż. Adam Janiak oraz dr inż. Tomiasz Krysiak Zadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoZa pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Rekurencja, metoda dziel i zwyciężaj Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. VIII Jesień 2014 1 / 27 Rekurencja Recursion See Recursion. P. Daniluk(Wydział
Bardziej szczegółowoPrzeglad podstawowych pojęć (3) Podstawy informatyki (3) dr inż. Sebastian Pluta. Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej
Przeglad podstawowych pojęć (1) Podstawy informatyki (3) dr inż. Sebastian Pluta pluta@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Program komputerowy to sekwencja instrukcji wykonywanych
Bardziej szczegółowoRozwiązanie. #include <cstdlib> #include <iostream> using namespace std;
Programowanie C++ Zadanie 1 Napisz program do obliczenia sumy i iloczynu ciągu liczb zakooczonego liczbą zero. Zakładamy, że ciąg zawiera co najmniej jedną liczbę (założenie to jest konieczne przy obliczeniu
Bardziej szczegółowoRekurencja. Przykład. Rozważmy ciąg
Rekurencja Definicje rekurencyjne Definicja: Mówimy, iż ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli: (P) Określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu, zwykle jest to pierwszy wyraz tego ciągu
Bardziej szczegółowo1. Informatyka - dyscyplina naukowa i techniczna zajmująca się przetwarzaniem informacji.
Temat: Technologia informacyjna a informatyka 1. Informatyka - dyscyplina naukowa i techniczna zajmująca się przetwarzaniem informacji. Technologia informacyjna (ang.) Information Technology, IT jedna
Bardziej szczegółowofunkcje rekurencyjne Wykład 12. Podstawy programowania (język C) Funkcje rekurencyjne (1) Funkcje rekurencyjne (2)
Podstawy programowania (język C) funkcje rekurencyjne Wykład 12. Tomasz Marks - Wydział MiNI PW -1- Tomasz Marks - Wydział MiNI PW -2- Funkcje rekurencyjne (1) W języku C funkcja moŝe wywoływać samą siebie.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowo9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu
Bardziej szczegółowoAlgorytmy sortujące i wyszukujące
Algorytmy sortujące i wyszukujące Zadaniem algorytmów sortujących jest ułożenie elementów danego zbioru w ściśle określonej kolejności. Najczęściej wykorzystywany jest porządek numeryczny lub leksykograficzny.
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoEfektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie
Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Metoda dziel i zwycięŝaj Dzielimy
Bardziej szczegółowo4. Funkcje. Przykłady
4. Funkcje Przykłady 4.1. Napisz funkcję kwadrat, która przyjmuje jeden argument: długość boku kwadratu i zwraca pole jego powierzchni. Używając tej funkcji napisz program, który obliczy pole powierzchni
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 INFORMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 2012 INFORMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 2 Zadanie 1. a) (0 2) Egzamin maturalny z informatyki CZĘŚĆ I Obszar standardów
Bardziej szczegółowoTemat 7. Najlżejsze i najcięższe algorytmy sortowania
Temat 7 Najlżejsze i najcięższe algorytmy sortowania Streszczenie Komputery są często używane porządkowania różnych danych, na przykład nazwisk (w porządku alfabetycznym), terminów spotkań lub e-maili
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Metoda Dziel i zwyciężaj. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy. wer Wojciech Myszka 30 listopada 2008
Algorytmy Część IV wer. 1.2 Wojciech Myszka 30 listopada 2008 Spis treści I Spis treści Jak się tworzy algorytmy? Poszukiwania i wędrówki Dziel i zwyciężaj Rekurencja Definicje Przykład Schemat blokowy
Bardziej szczegółowo1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:
1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i złożoność obliczeniowa. Wojciech Horzelski
Algorytmy i złożoność obliczeniowa Wojciech Horzelski 1 Tematyka wykładu Ø Ø Ø Ø Ø Wprowadzenie Poprawność algorytmów (elementy analizy algorytmów) Wyszukiwanie Sortowanie Elementarne i abstrakcyjne struktury
Bardziej szczegółowo1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.
1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:
Bardziej szczegółowoAlgorytmika i programowanie. Wykład 2 inż. Barbara Fryc Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Algorytmika i programowanie Wykład 2 inż. Barbara Fryc Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie Tablice Tablica jest zbiorem elementów tego samego typu. Każdy element jest identyfikowany (numer
Bardziej szczegółowoSortowanie. LABORKA Piotr Ciskowski
Sortowanie LABORKA Piotr Ciskowski main Zaimplementuj metody sortowania przedstawione w następnych zadaniach Dla każdej metody osobna funkcja Nagłówek funkcji wg uznania ale wszystkie razem powinny być
Bardziej szczegółowoProgramowanie - instrukcje sterujące
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Laborki środowisko NetBeans, tworzenie nowego projektu; okno projekty; główne okno programu; package - budowanie paczek z klas; public class JavaApplication
Bardziej szczegółowoAlgorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych
Algorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2014/15 Znajdowanie maksimum w zbiorze
Bardziej szczegółowoWykład 1_2 Algorytmy sortowania tablic Sortowanie bąbelkowe
I. Struktury sterujące.bezpośrednie następstwo (A,B-czynności) Wykład _2 Algorytmy sortowania tablic Sortowanie bąbelkowe Elementy języka stosowanego do opisu algorytmu Elementy Poziom koncepcji Poziom
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński
Bardziej szczegółowoCo to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu,
wprowadzenie Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, w przepisie tym podaje się opis czynności, które trzeba wykonać, oraz dane, dla których algorytm będzie określony.
Bardziej szczegółowodo instrukcja while (wyrażenie);
Instrukcje pętli -ćwiczenia Instrukcja while Pętla while (póki) powoduje powtarzanie zawartej w niej sekwencji instrukcji tak długo, jak długo zaczynające pętlę wyrażenie pozostaje prawdziwe. while ( wyrażenie
Bardziej szczegółowoProgramowanie proceduralne INP001210WL rok akademicki 2017/18 semestr letni. Wykład 3. Karol Tarnowski A-1 p.
Programowanie proceduralne INP001210WL rok akademicki 2017/18 semestr letni Wykład 3 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Co to jest algorytm? Zapis algorytmów Algorytmy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 WYPEŁNIANIE OBSZARÓW. Plan wykładu: 1. Wypełnianie wieloboku
WYKŁ 3 WYPŁNINI OSZRÓW. Wypełnianie wieloboku Zasada parzystości: Prosta, która nie przechodzi przez wierzchołek przecina wielobok parzystą ilość razy. Plan wykładu: Wypełnianie wieloboku Wypełnianie konturu
Bardziej szczegółowoznalezienia elementu w zbiorze, gdy w nim jest; dołączenia nowego elementu w odpowiednie miejsce, aby zbiór pozostał nadal uporządkowany.
Przedstawiamy algorytmy porządkowania dowolnej liczby elementów, którymi mogą być liczby, jak również elementy o bardziej złożonej postaci (takie jak słowa i daty). Porządkowanie, nazywane również często
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoAlgorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus
Algorytm selekcji Hoare a Łukasz Miemus 1 lutego 2006 Rozdział 1 O algorytmie 1.1 Problem Mamy tablicę A[N] różnych elementów i zmienną int K, takie że 1 K N. Oczekiwane rozwiązanie to określenie K-tego
Bardziej szczegółowoWykład 2. Poprawność algorytmów
Wykład 2 Poprawność algorytmów 1 Przegląd Ø Poprawność algorytmów Ø Podstawy matematyczne: Przyrost funkcji i notacje asymptotyczne Sumowanie szeregów Indukcja matematyczna 2 Poprawność algorytmów Ø Algorytm
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/10 rekurencja Wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1. Oto wartości silni
Bardziej szczegółowoGimnazjum w Tęgoborzy - Algorytmika Strona 1 z 22 mgr Zofia Czech
ALGORYMY Algorytm to przepis; zestawienie kolejnych kroków prowadzących do wykonania określonego zadania; to uporządkowany sposób postępowania przy rozwiązywaniu zadania, problemu, z uwzględnieniem opisu
Bardziej szczegółowo