h pg fq ph gq f. IdentycznoúÊ:: dla kaødego obiektu B P C istnieje morfizm B 1 B

Transkrypt

1 14. Wyk ad 14: Wprowadzenie do teorii kateorii: produkty, koprodukty, obiekty wolne i morizmy. Deinicja Kateoria C sk ada sií z klasy obiektów ObpCq, oznaczanych przez A, B, C,... oraz klasy morizmów (lub strza ek) ArpCq wraz z: (1) klasπ parami roz πcznych klas HompA, Bq, jednym dla kaødej pary obiektów A, B P ObpCq; element zbioru HompA, Bq nazywamy morizmem z A do B i oznaczamy A Ñ B lub : A Ñ B, (2) unkcjami HompB,Cq ˆHompA, Bq ÑHompA, Cq, dla kaødej trójki A, B, C P ObpCq, zwanej sk adaniem morizmów; dla morizmów A Ñ B oraz B Ñ C wartoúci tej unkcji oznaczamy p, q iñ a morizm A Ñ C nazywamy z oøeniem morizmów A Ñ B i B Ñ C. Ponadto spe nione sπ nastípujπce aksjomaty: πcznoúê: jeúli A Ñ B, B Ñ C oraz C h Ñ D sπ morizmami w C, to h p q ph q. IdentycznoúÊ:: dla kaødeo obiektu B P C istnieje morizm B 1 B Ñ B taki, øe dla dowolnych A Ñ B oraz B Ñ C: 1 B oraz 1 B. Jeøeli klasy ObpCq oraz ArpCq nie sπ klasami w aúciwymi, ale zbiorami, kateorií C nazywamy ma π. Jeúli klasy HompA, Bq, dla kaødej pary obiektów A, B P ObpCq, nie sπ klasami w aúciwymi, ale zbiorami, kateorií C nazywamy lokalnie ma π. Izomorizmem nazywamy morizm A Ñ B taki, øe istnieje morizm B Ñ A taki, øe 1 B oraz 1 A. Jeøeli pomiídzy dwoma obiektami istnieje izomorizm A Ñ B, to obiekty te nazywamy izomoricznymi i oznaczamy A B. Automorizmem nazywamy izomorizm A Ñ A. Endomorizmem nazywamy morizm A Ñ A. (1) Klasa Set wszystkich zbiorów tworzy kateorií, w której morizmami sπ unkcje, a sk adanie morizmów jest sk adaniem unkcji. (2) Klasa Grp wszystkich rup tworzy kateorií, w której morizmami sπ homomorizmy rup, a sk adanie morizmów jest sk adaniem unkcji. (3) Klasa Ab wszystkich rup abelowych tworzy kateorií, w której morizmami sπ homomorizmy rup abelowych, a sk adanie morizmów jest sk adaniem unkcji. (4) Klasa Rn wszystkich pierúcieni tworzy kateorií, w której morizmami sπ homomorizmy pierúcieni, a sk adanie morizmów jest sk adaniem unkcji. (5) Niech R bídzie pierúcieniem Klasa R Mod wszystkich lewych R-modu ów tworzy kateorií, w której morizmami sπ homomorizmy lewych R-modu ów, a sk adanie morizmów jest sk adaniem unkcji. (6) Klasa T op wszystkich przestrzeni topoloicznych tworzy kateorií, w której morizmami sπ unkcje ciπ e, a sk adanie morizmów jest sk adaniem unkcji. (7) Klasa Metr wszystkich przestrzeni metrycznych tworzy kateorií, w której morizmami sπ kontrakcje, a sk adanie morizmów jest sk adaniem unkcji; przypomnijmy, øe kontrakcjπ przestrzeni 69

2 70 metrycznej px, X q w py, Y q nazywamy unkcjí : X Ñ Y takπ, y P Xr Y ppxq,pyqq X px, yqs. (8) Niech pg, q bídzie rupπ. Wówczas G jest kateoriπ, w której jedynym obiektem jest zbiór G, zaú morizmami ze zbioru HompG, Gq wszystkie elementy rupy G, a sk adanie morizmów jest mnoøeniem w rupie G. (9) Niech pp, q bídzie preporzπdkiem, tzn. zbiorem z okreúlonπ na nim relacjπ, która jest zwrotna i przechodnia. Wówczas P jest kateoriπ, w której obiektami sπ elementy zbioru P, zaú zbiór morizmów ze zbioru Hompa, bq jest co najwyøej jednoelementowy i zdeiniowany warunkiem: a Ñ b wtedy i tylko wtedy, dy a b. Poniewaø relacja jest przechodnia, wiíc sk adanie morizmów jest dobrze okreúlone. (10) Niech n bídzie liczbπ porzπdkowπ, tzn. typem porzπdkowym zbioru dobrze uporzπdkowaneo; przypomnijmy, øe porzπdek pp, q jest dobry, jeøeli relacja jest antysymetryczna, przechodnia, zupe na i kaødy niepusty podzbiór S zbioru P ma wzlídem niej element najmniejszy, z kolei dwa porzπdki pp 1, 1 q oraz pp 2, 2 q majπ ten sam typ, jeøeli istnieje bijekcja : P 1 Ñ P 2 taka, b P P 1 ra 1 b ñ paq 2 pbqs; okreúlona w ten sposób relacja pomiídzy zbiorami uporzπdkowanymi jest relacjπ równowaønoúci, a jej klasy abstrakcji nazywamy typami porzπdkowymi. SkoÒczonπ liczbí porzπdkowπ n bídziemy rozwaøaê jako dobrze uporzπdkowany zbiór poprzedzajπcych jπ liczb porzπdkowych: n t0, 1, 2,...,n 1u, 0 bídziemy traktowaê jako zbiór pusty, a pierwszπ nieskoòczonπ liczbí porzπdkowπ! (tzn. typ porzπdkowy zbioru liczb naturalnych N) bídziemy utoøsamiali z dobrze uporzπdkowanym zbiorem:! t0, 1, 2,...u. W szczeólnoúci kaøda liczba porzπdkowa jest kateoriπ. Na przyk ad 3 jest kateoriπ, w której obiektami sπ elementy zbioru t0, 1, 2u, zaú zbiorem morizmów sπ nastípujπce strza ki: 0 Ñ 1 Ñ 2 wraz ze wszystkimi swoimi z oøeniami. Podobnie! jest kateoriπ, w której obiektami sπ elementy zbioru t0, 1, 2,...u, zaú zbiorem morizmów sπ strza ki: 0 Ñ 1 Ñ 2 Ñ 3 Ñ... wraz ze wszystkimi swoimi z oøeniami. (11) Klasa Ord wszystkich skoòczonych liczb porzπdkowych tworzy kateorií, w której morizmami sπ unkcje zachowujπce porzπdek, tzn., dla danych skoòczonych liczb porzπdkowych m t0, 1, 2,...,m 1u oraz n t0, 1, 2,...,n 1u, unkcje : m Ñ n takie, j P mri j ñ piq pjqs. Poniewaø z oøenie dwóch unkcji zachowujπcych porzπdek jest unkcjπ zachowujπcπ porzπdek, wiíc sk adanie morizmów jest dobrze okreúlone. KateoriÍ Ord, w zaleønoúci od kontekstu, oznacza sií teø przez i nazywa kateoriπ sympleksu.

3 (12) Niech C bídzie dowolnπ kateoriπ. Klasa C Ñ wszystkich strza ek kateorii C jest kateoriπ, której obiektami sπ morizmy kateorii C, a morizmy okreúlone sπ nastípujπco: jeøeli, P ObpC Ñ q, przy czym A Ñ B oraz C Ñ D, tohomp,q sk ada sií z wszystkich par p, q takich, øe A Ñ C, B Ñ D oraz ; innymi s owy diaram A / B C / D jest przemienny. (13) Niech I bídzie dowolnπ klasπ. Klasa I jest kateoriπ, której obiektami sπ elementy klasy I, a morizmami odwzorowania identycznoúciowe. Kateoria ta nazywana jest kateoriπ dyskretnπ. Deinicja Niech C bídzie kateoriπ, niech ta i : i P Iu bídzie rodzinπ obiektów kateorii C. Produktem rodziny ta i : i P Iu nazywamy obiekt P wraz z rodzinπ morizmów tp i Ñ A i : i P Iu takie, øe dla dowolneo obiektu B i dowolnej rodziny morizmów tb morizm B Ñ P taki, øe i i, dla i P I. Innymi s owy, nastípujπcy diaram jest przemienny: Produkt P oznaczamy przez ± ipi A i. B _ i i A i 71 Ñ i A i : i P Iu istnieje dok adnie jeden (14) Produkty istniejπ w kateorii Set, sπ nimi produkty kartezjaòskie wraz z epimorizmami kanonicznymi. (15) Produkty istniejπ w kateorii Grp, sπ nimi produkty rup wraz z epimorizmami kanonicznymi. (16) Produkty istniejπ w kateorii Ab, sπ nimi produkty rup abelowych wraz z epimorizmami kanonicznymi. (17) Produkty istniejπ w kateorii Rn. (18) Produkty istniejπ w kateorii R Mod. (19) Produkty istniejπ w kateorii T op. (20) Produkty nie istniejπ w kateorii Metr. (21) Produkty istniejπ w kateorii Ord. Deinicja Niech C bídzie kateoriπ, niech ta i : i P Iu bídzie rodzinπ obiektów kateorii C. Produktem rodziny ta i : i P Iu nazywamy obiekt S wraz z rodzinπ morizmów ta i i Ñ S : i P Iu takie, øe dla i dowolneo obiektu B i dowolnej rodziny morizmów ta i Ñ S : i P Iu istnieje dok adnie jeden morizm S Ñ B taki, øe i i,

4 O 72 dla i P I. Innymi s owy, nastípujπcy diaram jest przemienny: Koprodukt S oznaczamy przez ipi A i. S _ ~~~~~~~> / B i ~ i A i (22) Koprodukty istniejπ w kateorii Set, sπ nimi roz πczne sumy wraz z monomorizmami kanonicznymi. (23) Koprodukty istniejπ w kateorii Ab, sπ nimi (zewnítrzne) sumy proste rup abelowych wraz z monomorizmami kanonicznymi. (24) Koprodukty istniejπ w kateorii Grp, sπ nimi (zewnítrzne) iloczyny wolne rup wraz z monomorizmami kanonicznymi. (25) Koprodukty istniejπ w kateorii R Mod. Deinicja Niech C bídzie kateoriπ. KateoriÍ C nazywamy kateoriπ konkretnπ, jeøeli istnieje unkcja : ObpCqÑObpSetq taka, øe (1) kaødy morizm A Ñ B jest unkcjπ pomiídzy zbiorami : paq Ñ pbq; (2) morizm identycznoúciowy A 1 A Ñ A jest unkcjπ identycznoúciowπ 1 A : paq Ñ paq; (3) sk adanie morizmów jest sk adaniem unkcji. Jako øe o unkcji moøemy myúleê jako o utoøsamieniu obiektów kateorii z odpowiadajπcymi im zbiorami, powyøsza deinicja oznacza po prostu, øe kateoria konkretna jest kateoriπ, w której obiekty sπ zbiorami, a morizmy unkcjami. (26) Kateorie Set, Ab, Grp, R Mod sπ konkretne. (27) Grupa G postrzeana jako kateoria z jednym obiektem nie jest konkretna. Deinicja Niech C bídzie kateoriπ konkretnπ, niech F bídzie obiektem kateorii C, niech X bídzie niepustym zbiorem, niech : X Ñ F bídzie odwzorowaniem zbiorów. Obiekt F nazywamy wolnym o bazie X wtedy i tylko wtedy, dy dla dowolneo obiektu H i dowolnej unkcji zbiorów h : X Ñ H istnieje dok adnie jeden morizm F Ñ H taki, øe h. (28) Obiekty wolne istniejπ w kateorii Grp, sπ nimi rupy wolne. (29) Obiekty wolne istniejπ w kateorii Ab, sπ nimi wolne rupy abelowe. (30) Obiekty wolne istniejπ w kateorii modu ów unitarnych nad pierúcieniami z jedynkπ, sπ nimi modu y wolne. Deinicja Niech C bídzie kateoriπ. Obiekt I kateorii C nazywamy obiektem poczπtkowym (lub uniwersalnym), jeøeli dla kaødeo obiektu C kateorii C istnieje dok adnie jeden morizm I i Ñ C. Obiekt T kateorii C nazywamy obiektem koòcowym (lub kouniwersalnym), jeøeli dla kaødeo obiektu C kateorii C istnieje dok adnie jeden morizm C t Ñ T. Obiekt Z kateorii C nazywamy obiektem zerowym, jeøeli jest równoczeúnie obiektem poczπtkowym i koòcowym.

5 (31) Rozwaømy kateorií Grp. Obiektem poczπtkowym i jednoczeúnie koòcowym jest rupa trywialna t1u. (32) Rozwaømy kateorií Ab. Obiektem poczπtkowym i jednoczeúnie koòcowym jest rupa trywialna t1u. (33) Rozwaømy kateorií R Mod. Obiektem poczπtkowym i jednoczeúnie koòcowym jest modu trywialny t0u. Uwaa Niech C bídzie kateoriπ, niech ta i : i P Iu bídzie rodzinπ obiektów kateorii C. Niech D bídzie kateoriπ, której obiektami sπ pary pb,t i : i P Iuq, dzie B i Ñ A i sπ morizmami w kateorii C, i P I, zaú morizmy z klasy HomppB,t i : i P Iuq, pc, t i : i P Iuqq zdeiniowane sπ jako morizmy B Ñ h C z kateorii C takie, øe i h i. Wówczas produkt ± ipi A i istnieje w kateorii C wtedy i tylko wtedy, dy istnieje obiekt koòcowy p ± ipi A i, t i : i P Iuq w kateorii D. Uwaa Niech C bídzie kateoriπ, niech ta i : i P Iu bídzie rodzinπ obiektów kateorii C. Niech D bídzie kateoriπ, której obiektami sπ pary pb,t i : i P Iuq, dzie A i i Ñ B sπ morizmami w kateorii C, i P I, zaú morizmy z klasy HomppB,t i : i P Iuq, pc, t i : i P Iuqq zdeiniowane sπ jako morizmy B Ñ h C z kateorii C takie, øe h i i. Wówczas koprodukt ipi A i istnieje w kateorii C wtedy i tylko wtedy, dy istnieje obiekt poczπtkowy p ipi A i, t i : i P Iuq w kateorii D. Uwaa Niech C bídzie kateoriπ konkretnπ, niech F bídzie obiektem kateorii C, niech X bídzie niepustym zbiorem, niech : X Ñ F bídzie odwzorowaniem zbiorów. Niech D bídzie kateoriπ, której obiektami sπ pary pb,q, dzie : X Ñ B sπ unkcjami miídzy zbiorami, zaú morizmy z klasy HomppB,q, pc, hqq zdeiniowane sπ jako morizmy B Ñ C z kateorii C takie, øe h. Wówczas F jest obiektem wolnym w kateorii C wtedy i tylko wtedy, dy istnieje obiekt poczπtkowy pf, q w kateorii D. Deinicja Niech C bídzie kateoriπ, niech B,C P ObpCq. Morizm B Ñ C nazywamy monomorizmem kateoryjnym (lub monikiem), jeúli dla dowolnych obiektu A i morizmów A 1 Ñ jeúli 1 2 to 1 2. Momorizm B Ñ C nazywamy epimorizmem kateoryjnym (lub epikiem), jeúli dla dowolnych obiektu D i morizmów C 1 Ñ 2 D: jeúli 1 2 to B: 73

6 74 (34) Rozwaømy kateorií Grp. Wówczas morizm B Ñ C jest monomorizmem kateoryjnym wtedy i tylko wtedy, dy jest róønowartoúciowym homomorizmem oraz jest epimorizmem kateoryjnym wtedy i tylko wtedy, dy jest surjektywnym homomorizmem. (35) Rozwaømy kateorií Rn. Wówczas morizm B Ñ C jest monomorizmem kateoryjnym wtedy i tylko wtedy, dy jest róønowartoúciowym homomorizmem. (36) Rozwaømy kateorií R Mod. Wówczas morizm B Ñ C jest monomorizmem kateoryjnym wtedy i tylko wtedy, dy jest róønowartoúciowym homomorizmem oraz jest epimorizmem kateoryjnym wtedy i tylko wtedy, dy jest surjektywnym homomorizmem. Uwaa Niech C bídzie kateoriπ, niech B,C,D P ObpCq, niech B Ñ C i C Ñ D bídπ morizmami. Wówczas: (1) jeúli i sπ monomorizmami kateoryjnymi, to jest monomorizmem kateoryjnym; (2) jeúli jest monomorizmem kateoryjnym, to jest monomorizmem kateoryjnym; (3) jeúli i sπ epimorizmami kateoryjnymi, to jest epimorizmem kateoryjnym; (4) jeúli jest epimorizmem kateoryjnym, to jest epimorizmem kateoryjnym; (5) jeúli jest izomorizmem, to jest monomorizmem kateoryjnym i epimorizmem kateoryjnym. Uwaa Niech C bídzie kateoriπ, niech C P ObpCq, niech 0 bídzie obiektem zerowym. Wówczas: (1) jednoznacznie wyznaczony morizm 0 Ñ C jest monomorizmem kateoryjnym; (2) jednoznacznie wyznaczony morizm C Ñ 0 jest epimorizmem kateoryjnym. Deinicja i uwaa Niech C bídzie kateoriπ, niech 0 bídzie obiektem zerowym. Wówczas dla kaødej pary obiektów C, D P ObpCq istnieje dok adnie jeden morizm C 0 C,D Ñ D taki, øe 0 C,D 0 C,E oraz 0 C,D 0 B,D, dla dowolnych morizmów h P HompD, Eq oraz P HompB,Cq. Morizm 0 C,D nazywamy morizmem zerowym. Deinicja Niech C bídzie kateoriπ, niech C, D P ObpCq, niech C Ñ D bídπ morizmami. Ekwalizatorem (lub jπdrem róønicy) pary, nazywamy parí pe,eq z oøonπ z obiektu E i morizmu E Ñ e C takich, øe (1) e e; (2) jeúli A jest dowolnym obiektem, a A h Ñ C jest morizmem takim, øe h h, to wówczas istnieje dok adnie jeden morizm A h Ñ E taki, øe e h h.

7 O / / Innymi s owy diaram E e ~~~~~~~ / C / D h ~ h A jest przemienny. Koekwalizatorem (lub kojπdrem róønicy) pary, nazywamy parí pq, qq z oøonπ z obiektu E i morizmu D Ñ q Q takich, øe (1) q q ; (2) jeúli F jest dowolnym obiektem, a D Ñ k F jest morizmem takim, øe k k, to wówczas istnieje dok adnie jeden morizm Q k Ñ F taki, øe Innymi s owy diaram jest przemienny. C k q k. / D q / Q k k F (37) Rozwaømy kateorií Set. Niech C, D P ObpSetq, niech C Ñ E tc P C : pcq pcqu D bídπ morizmami. Zdeiniujmy oraz E e Ñ C niech bídzie inkluzjπ. Wówczas pe,eq jest ekwalizatorem pary,. (38) Rozwaømy kateorií Grp. Niech C, D P ObpGrpq, niech C Ñ E tc P C : pcq pcqu D bídπ morizmami. Zdeiniujmy oraz E e Ñ C niech bídzie inkluzjπ. Wówczas pe,eq jest ekwalizatorem pary,. (39) Rozwaømy kateorií Rn. Niech C, D P ObpRnq, niech C Ñ E tc P C : pcq pcqu 75 D bídπ morizmami. Zdeiniujmy oraz E e Ñ C niech bídzie inkluzjπ. Wówczas pe,eq jest ekwalizatorem pary,. (40) Rozwaømy kateorií R Mod. Niech C, D P ObpR Modq, niech C Ñ Zdeiniujmy E tc P C : pcq pcqu oraz E e Ñ C niech bídzie inkluzjπ. Wówczas pe,eq jest ekwalizatorem pary,. D bídπ morizmami.

8 76 (41) Rozwaømy kateorií Grp. Niech C, D P ObpSetq, niech C Ñ D bídπ morizmami. Zdeiniujmy Q 1 najmniejsza podrupa normalna rupy D zawierajπca tpcqpcq 1 : c P Cu oraz D q Ñ D{Q 1 Q niech bídzie epimorizmem kanonicznym. Wówczas pq, qq jest koekwalizatorem pary,. Uwaa Niech C bídzie kateoriπ, niech C, D P ObpCq, niech C Ñ bídzie ekwalizatorem, a pq, qq koekwalizatorem pary,. Wówczas: (1) e jest monomorizmem kateoryjnym; (2) q jest epimorizmem kateoryjnym. D bídπ morizmami, niech pe,eq Deinicja Niech C bídzie kateoriπ, niech 0 bídzie obiektem zerowym, niech C, D P ObpCq, niech C Ñ D bídzie morizmem. Jπdrem morizmu nazywamy ekwalizator pe,eq pary,0 C,D. Ekwalizator pe,eq oznaczamy wówczas pker,ker q. Kojπdrem morizmu nazywamy koekwalizator pq, qq pary,0 C,D. Koekwalizator pq, qq oznaczamy wówczas pcoker,coker q. Wniosek Niech C bídzie kateoriπ, niech 0 bídzie obiektem zerowym, niech C, D P ObpCq, niech C Ñ D bídzie morizmem. Wówczas: (1) ker jest monomorizmem oraz ker 0 Ker,D ; (2) coker jest epimorizmem oraz coker 0 C,Coker. Prosty dowód powyøszeo wniosku pozostawiamy jako Êwiczenie Czytelnikowi. (42) Rozwaømy kateorií Grp. Niech C, D P ObpGrpq, niech C Ñ D bídzie morizmem. Jπdrem jest para pker,ker q, dzie Ker tc P C : pcq 0u oraz oraz Ker ker Ñ C jest inkluzjπ. (43) Rozwaømy kateorií Grp. Niech C, D P ObpGrpq, niech C Ñ D bídzie morizmem. Kojπdrem jest para pcoker,coker q, dzie Coker D{Im oraz D coker Ñ Coker jest epimorizmem kanonicznym. Deinicja Niech C bídzie kateoriπ, niech A, B, Z P ObpCq. (1) Niech A Ñ Z oraz B Ñ Z bídπ morizmami. Pulbakiem (lub produktem w óknistym albo kwadratem kartezjaòskim) pary, nazywamy trójkí pp, p, qq z oøonπ z obiektu P oraz morizmów P p Ñ A oraz P q Ñ B takich, øe: (a) p q;

9 m _ o (b) dla dowolneo obiektu Q wraz z morizmami Q r Ñ A oraz Q s Ñ B takimi, øe r s, istnieje dok adnie jeden morizm Q u Ñ P taki, øe r p u oraz s q u; innymi s owy nastípujπcy diaram: Q r u P p s q / B A / Z jest przemienny. Obiekt P oznaczamy przez A ˆZ B, o morizmie p mówimy, øe jest pulbakiem wzd uø, a o morizmie q, øe jest pulbakiem wzd uø. (2) Niech Z Ñ A oraz Z Ñ B bídπ morizmami. Puszautem (lub koproduktem w óknistym albo kwadratem kokartezjaòskim) pary, nazywamy trójkí pp, p, qq z oøonπ z obiektu P oraz morizmów A Ñ p P oraz B Ñ q P takich, øe: (a) p q ; (b) dla dowolneo obiektu Q wraz z morizmami A Ñ r Q oraz B Ñ s Q takimi, øe r s, istnieje dok adnie jeden morizm P Ñ u Q taki, øe r u p oraz s u q; innymi s owy nastípujπcy diaram: Q Q r u P O p s A o q jest przemienny. Obiekt P oznaczamy przez A Y Z B, o morizmie p mówimy, øe jest puszautem wzd uø, a o morizmie q, øe jest puszautem wzd uø. Uwaa Niech C bídzie kateoriπ. Wówczas w kateorii C istniejπ produkty binarne i ekwalizatory wtedy i tylko wtedy, dy istniejπ w niej pulbaki. Dowód. pñq: Za óømy, øe w kateorii C istniejπ produkty dwóch elementów oraz ekwalizatory. Ustalmy A, B, Z P ObpCq wraz z morizmami A Ñ Z oraz B Ñ Z i rozwaømy produkt A ˆ B obiektów A i B wraz z rzutowaniami kanonicznymi A ˆ B 1 Ñ A oraz A ˆ B 2 Ñ B. Rozwaømy diaram B O Z A ˆ B 1 Ñ 2 Z. Niech pp, eq bídzie ekwalizatorem pary 1 i 2 : P e Ñ A ˆ B 1 Ñ 2 Z. Wówczas pp, 1 e, 2 eq jest pulbakiem pary,. Istotnie, oczywiúcie 1 e 2 e. Ustalmy obiekt Q wraz z morizmami Q r Ñ A oraz Q s Ñ B takimi, øe r s. Wobec w asnoúci uniwersalnej 77

10 78 produktu istnieje dok adnie jeden morizm Q Ñ A ˆ B taki, øe 1 r oraz 2 s. Wobec w asnoúci uniwersalnej ekwalizatora istnieje dok adnie jeden morizm Q Ñ P taki, øe diaram jest przemienny. Wobec teo diaram P e 1 / / A ˆ B / O xxxxxxxx < 2 Z x Q Q r P 1 e s 2 e / B A / Z równieø jest przemienny. pappleq: Êwiczenie. Uwaa Niech C bídzie kateoriπ. Wówczas w kateorii C istniejπ koprodukty binarne i koekwalizatory wtedy i tylko wtedy, dy istniejπ w niej puszauty. (44) Rozwaømy kateorií Set. Niech A, B, Z P ObpGrpq, niech A Ñ Z oraz B Ñ Z bídπ morizmami. Pulbakiem pary, jest zbiór: A ˆZ B tpa, bq PA ˆ B : paq pbqu wraz z morizmami A ˆZ B p Ñ A i A ˆZ B q Ñ B bídπcymi zwíøeniem kanonicznych rzutowaò do zbioru A ˆZ B.