jest przemienny. h f J.
|
|
- Czesław Wójcik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 12. Wykład 12: Moduły injektyne. Deinicja Niec będzie pierścieniem, leym -modułem. eżeli dla każdego -modułu M i omomorizmu : M Ñ zacodzi następujący arunek: dla każdego leego -modułu N idlakażdego monomorizmu g : M Ñ N istnieje omomorizm : N Ñ taki, że g (inaczej: diagram 0 M g N którymgórnyierszjestdokładny,jestprzemienny),tomoduł nazyamy modułem injektynym. Tierdzenie Niec będzie pierścieniem, niec t i : i P Iu będzie rodziną leyc -modułó. Wóczas ś ipi i jest modułem injektynym tedy i tylko tedy, gdy i, i P I, sąmodułamiinjektynymi. Doód jest bardzo podobny do doodu analogicznego rezultatu dlamodułóprojektynycipozostaiamy go czytelnikoi jako nietrudne ćiczenie. Ponieaż pojęcia modułu olnego nie da się dualizoać, to znaczy nie istnieje coś takiego jak moduł koolny, ięc nie można udoodnić rezultató dualnyc do Wniosku 11.1 (to znaczy nie istnieje tierdzenie, orzekające że każdy moduł koolny jest modułem injektynym ), ani do Uagi 11.1 (to znaczy nie istnieje tierdzenie orzekająze, że moduł jest injektyny tedy i tylko tedy, gdy jest składnikiem prostym modułu koolnego ). Okazuje się jednak, że można dualizoać Uagę 11.2, to znaczy można udoodnić tierdzenie orzekające, że każdy moduł można zanurzyć peien moduł injektyny, skąd z kolei ynika prosta dualizacja Tierdzenia 11.1(1)i(2).Pozostałą część niniejszego ykładu pośięcimy doodoi takiej dualizacji, ograniczając się szakże do przypadku leyc -modułó unitarnyc nad pierścieniami z jedynką. Zaczniemy od następującej carakteryzacji unitarnyc modułó injektynyc. Tierdzenie 12.2 (lemat Baer a). Niec będzie pierścieniem z jedynką, leym unitarnym - modułem. Wóczas jest injektyny tedy i tylko tedy, gdy dla każdego leostronnego ideału I Ÿ raz z kanonicznym zanurzeniem : I ãñ iomomorizmu : I Ñ istnieje omomorizm : Ñ taki, że. Inaczej: diagram jest przemienny. 0 I Doód. Implikacja pñq ynika prost z deinicji modułu injektynego, pozostaje ięc udoodnić implikację pðq. ozażmydiagramodokładnymierszu: 0 M g N
2 56 Niec S tpn 1, 1 q : N 1 ă N,im g Ă N 1, 1 : N 1 Ñ jest omomorizmem takim, że 1 gæ g 1 pn 1 qu izdeiniujmyzbiorzes relację ă arunkiem pn 1, 1 q ă pn 2, 2 q tedy i tylko tedy, gdy N 1 Ă N 2 ^ 2 æ N 1 1. Złatościąspradzamy,żeS H, ă jest relacją częścioego porządku oraz że każdy łańcuc S ma ograniczenie górne. Tym samym, obec lematu Kuratoskiego-Zorna, S istnieje element maksymalny pn 0, 0 q. Pokażemy, że N 0 N. Naodrót,przypuśćmy,żeistniejen P N taki, że n N 0.NiecN 1 będzie podmodułem generoanym przez zbiór N 0 Ytnu. Wóczas N 1 tn 0 ` rn : n 0 P N 0,r P u. Niec ponadto I tr P : rn P N 0 u.beztruduspradzamy,żei jest leostronnym ideałem pierścienia, zaśodzoroanieα : I Ñ N 0 dane zorem αprq rn jest omomorizmem. ozażmy diagram 0 I 0 α α N 0. 0 Wobec założenia istnieje omomorizm : Ñ taki, że 0 α. Zdeiniujmyodzoroanie 1 : N 1 Ñ zorem 1 pn 0 ` nrq 0 pn 0 q`rp1q. Pokażemy, że 1 jest dobrze zdeinioane. Załóżmy boiem, że n 0 `rn n 1 0 `r1 n.wóczaspr r 1 qn n 1 0 n 0 P N 0,ięcr r 1 P I. Stąd 0 pn 1 0 n 0q 0 ppr r 1 qnq 0 αpr r 1 q pr r 1 q pr r 1 qp1q, ięc 0 pn 0 q`rp1q 0 pn 1 0 q`r1 p1q. ónie prosto spradzamy, że 1 jest omomorizmem. Tym samym pn 1, 1 qps oraz pn 0, 0 q ň pn 1, 1 q,codajesprzeczność. Wniosek Niec będzie pierścieniem z jedynką, leym unitarnym -modułem. Wóczas jest injektyny tedy i tylko tedy, gdy dla każdego leostronnego ideału I Ÿ iomomorizmu : I Ñ istnieje element j P taki, że prq rj, dla r P. Doód. pñq: UstalmyleostronnyideałI Ÿ raz z łożeniem : I ãñ irozażmydiagram: Wszczególności,dlaustalonegor P I: imożemyprzyjąćj p1 q. 0 I prq prq pprqq prq r p1 q
3 pðq: UstalmyleostronnyideałI Ÿ raz z łożeniem : I ãñ irozażmydiagram: 0 I gdzie omomorizm : Ñ zdeinioany jest zorem prq rj, dlar P. WobeclematuBaer a moduł jest injektyny. Tierdzenie Niec będzie pierścieniem z jedynką, niec M będzie leym -modułem unitarnym. Wóczas istnieje moduł injektyny, któryzanurzasięm. Doód. Ustalmy pierścień z jedynką i ley unitarny -moduł M. ozażmy rodzinę F tpi,q : I jest ideałem leostronnym pierścienia, : I Ñ M jest omomorizmemu. Niec F ř pi,qpf xx pi,qy, gdziexx pi,q y dla pi,qpf, będziemodułemolnymobazietx pi,q : pi,qpfu. ZdeiniujmymodułQ 1 pmq F ˆ M{xtp rx pi,q,prqq : pi,qpf,r P Iuy oraz oznaczmy przez ν : F ˆ M Ñ Q 1 pmq epimorizm kanoniczny dany zorem νp,mq p,mq`xtp rx pi,q,prqq : pi,qpf,r P Iuy. Wóczas oczyiście ker ν xtp rx pi,q,prqq : pi,qpf,r P Iuy. Zdeiniujmyponadtoomomorizm 1 : M Ñ Q 1 pmq zorem 1 pmq νp0,mq oraz, dla ustalonego pi,qpf, paręomomorizmó : Ñ F ˆ M oraz 1 : Ñ Q 1 pmq zorami: prq prx pi,q, 0q oraz 1 prq ν prq. Wóczas, dla ustalonyc pi,qpf oraz r P : azatem,dlaustalonegopi,qpf, diagram 1 prq νprx pi,q, 0q νp0,prqq 1 pprqq, I M ι 2 F ˆ M ν 1 1 Q 1 pmq jest przemienny, przy czym ι 2 : M Ñ F ˆ M oznacza tu kanoniczne łożenie. Pokażemy, że 1 jest monomorizmem. Ustalmy tym celu m P ker 1.Wóczasp0,mqPker ν, a ięc dla penyc pi 1, 1 q,...,pi n, n qpf idlapenycr 1,...,r n P zacodzi: nÿ p0,mq p r i x pii, i q, i pr i qq. i 1 Ponieaż moduł F jest olny, ięc szczególności r 1... r n 0, skąd i pr i q 0, dlai Pt1,...,nu, atymsamymm 0. 57
4 58 Wobec tego możemy identyikoać elementy m P M i 1 pmq PQ 1 pmq. Tymsamym,dlaustalonego pi,qpf idlar P I: prq 1 pprqq vp prqq r v p1 q, czyli prq r j, dlapenegoj P Q 1 pmq. Zdeiniujmy liczbę α arunkiem ℵ α,gdy jest nieskończony oraz α 1,gdzy jest skończony. Dla doolnej liczby porządkoej ξ ă ω α`1 deiniujemy rekurencyjnie Niec Q 0 pmq M, Q ξ pmq Q 1 pq ζ pmqq, gdyξ ζ ` 1, Q ξ pmq Ť ηăξ Q ηpmq, gdyξ jest graniczna. ď ξăω α`1 Q ξ pmq. Oczyiście M ãñ. Pokażemy, że Q jest injektyny. Ustalmy leostronny ideał I Ÿ i omomorizmu : I Ñ. Wóczas im ďℵ α,ięcdlapenejliczbyporządkoejξ ă ω α`1 zacodzi im Ă Q ξ pmq. ozażmy diagram: I F ˆ Q ξ pmq 1 ν im ι 2 Q ξ pmq Q 1 pq ξ pmqq Q ξ`1 pmq Istnieje zatem przedłużenie 1 : Ñ Q ξ`1 pmq Ă omomorizmu, aięc jest postaci 1 prq r j, dla penego j P. WobecWniosku12.1,moduł jest injektyny. Tierdzenie 11.1 (1) i (2) można teraz prosto zdualizoać następujący sposób: Tierdzenie Niec będzie pierścieniem z jedynką, leym unitarnym -modułem. Następujące arunki są rónoażne: (1) moduł jest injektyny; (2) każdy ciąg dokładny 0 Ñ ÝÑ M g ÝÑ N Ñ 0 rozszczepia się; (3) jest składnikiem prostym każdego modułu, którego jest podmodułem. Doód. p1q ñp2q: Załóżmy,żeciąg 0 Ñ ÝÑ M g ÝÑ N Ñ 0
5 59 jest dokładny. W szczególności, diagramie 0 id M iersz jest dokładny, istnieje ięc omomorizm : M Ñ taki, że id.wobectierdzenia9.3 ciąg 0 Ñ ÝÑ M g ÝÑ N Ñ 0 rozszczepia się. p2q ñp3q: DladoolnegomodułuM, dlaktórego jest podmodułem, ciąg 0 Ñ Ă ÝÑ M κ ÝÑ M{ Ñ 0 jest rozszczepialnym ciągiem dokładnym, ięc im jest składnikiem prostym M. p3q ñp1q: WobecTierdzenia12.3 jest podmodułem penego modułu injektynego Q. Wobec(3) oraz Tierdzenia 12.1, jest injektyny. Na zakończenie podamy jeszcze zastosoanie Wniosku 12.1 (a ięc, pośrednio, lematu Baer a) do skazania ażnego przykładu modułó injektynyc. Deinicja Niec pd, `q będzie grupą abeloą. Grupę D nazyamy podzielną, jeżeli Przykład: (1) Grupa Q jest P D@n P Zzt0uDx P Dpnx yq. Uaga Każda grupa abeloa podzielna jest Z-modułem injektynym. Doód. Niec pd, `q będzie grupą abeloą podzielną. edynymi ideałami pierścienia Z są ideały głóne pnq, n P Z, azatemjeżeli : pnq ÑD jest omomorizmem, to istnieje x P D takie, że pnq nx. Zdeiniujmy : Z Ñ D zorem pmq mx. Wóczas jest omomorizmem oraz, gdzie : pnq ãñ Z jest kanonicznym łożeniem.
P f h. M g N 0 w którym dolny wiersz jest dokładny, jest przemienny; (2) każdy ciąg dokładny
7. Wykład 7: Moduły projektyne i injektyne. Tierdzenie 7.1. Niec R będzie pierścieniem, P leym R-modułem. Następujące arunki są rónoażne: (1) dla każdego R-modułu N i omomorizmu : P Ñ N zacodzi następujący
Bardziej szczegółowoBaza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
Bardziej szczegółowoPodciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia teorii podzielności.
Podstawowe pojęcia teorii podzielności. Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem 1 całkowitym. Mówimy, że element a dzieli b, a, b P R, (lub że a jest dzielnikiem b, lub że b jest wielokrotnością a)
Bardziej szczegółowoWielomiany wielu zmiennych.
Wielomiany wielu zmiennych. Definicja i uwaga: Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R będziemy nazywali wyrażenie postaci ÿ a i1...i
Bardziej szczegółowoPojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowoWniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu.
11. Wykład 11: Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne. 11.1. Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Definicja i Uwaga 11.1. Niech R będzie pierścieniem,
Bardziej szczegółowoÜŮ ÚÍ ń Ż ń ń ń Ż Ĺ ý ý ń ń ľ ý ń ń ń Ż ń Ż Ż Ą
ń ňń Ż ý ń ľ ń Ć ÜŮ ÚÍ ń Ż ń ń ń Ż Ĺ ý ý ń ń ľ ý ń ń ń Ż ń Ż Ż Ą ý ď ý ý ń ć ý Á Ć ď ć ď á áń ń ř ć á ć ć Ż ć ŻŻ Ł Ą ń ń ľ Ú Ł Ł ć ő ď ŻŻ ń Ż Ź ć ý ć ć í Ż Ż ń á ä Ż őź ń ő Đ ď ń ć ń ý ä Ż ź ä é ń ŕ ń
Bardziej szczegółowoŹ Ą Ś ć ć Ą Ś Í ć Ł ć ć
Í ć í ć Ź Ą Ś ć ć Ą Ś Í ć Ł ć ć ć í í í ć Ś ć Ó ć Ó Ó ć Ś Ó ć ő Ć ć Ó ć Ś ć ć ć Ś ć Ś ć ć Ść ć ć ć Ó ć ľ ć Ó ć ć Ć ć Ó ć Ś ľ Ś ć ć ć ć ć Ą ć Ó Ś ć Ą ć ć Ó ć Á Í ć Ź ć ľ ľ ľ ť ć ć Ó ŚÓ ľ ć í Ś Ś ć ľ Ó Ś
Bardziej szczegółowoŻ Ż Ż Ż ś ď ő ő ĺ ś ĺ ď ś ś Ż ď ś Ę ć Ż ć ś đ ĺ ć ś ĺ ś ś ć Ż Ż Ż Ż ď ś đ ĺ ĺ ć ć ś ś ć ĺ ć Ż
ś Ę Ż ő ń ś ő í ő ĺ ď őźĺ ő ď Ż ĺ ś ď ĺ Ż ś ś ď Żĺ Ż Ż Ż Ż ś ď ő ő ĺ ś ĺ ď ś ś Ż ď ś Ę ć Ż ć ś đ ĺ ć ś ĺ ś ś ć Ż Ż Ż Ż ď ś đ ĺ ĺ ć ć ś ś ć ĺ ć Ż ĺ ś ĺ ś ś Í ś ĺ ś Í Ż ő Ę Ś Í ść Ż ś đ ťĺ ń ś ś ő ő ś ĺ
Bardziej szczegółowoΦ(f) ={g 1,...,g n }, jeżeli f ma przedstawienie f = x j g j dla pewnych x i R \{0}.
10. Wykład 10: Moduły wolne. Definicja 10.1. Niech R będzie pierścienie z jedynką. Lewy unitarny R-oduł M nazyway odułe wolny, gdy M = i I f i, gdzie f i = R, i I. Rodzinę {f i : i I} nazyway bazą (lub
Bardziej szczegółowoľ ľ ż ľ ż ľ ż ť ŕ ľ ľ ľ ľ ľ ý ľ ľ ľ ľ ľ ń ľ ý
Ł ľ ľ ľ ľ ľ ľ ľ ľ ľ ń ľ ń ľ ľ ľ ľ ć ć ľ ż ľ ľ ľ ż ľ ľ ľ ń Ł ľí ć ő ż ľ ż Ł đ ľ ľ ż ľ ż ľ ż ť ŕ ľ ľ ľ ľ ľ ý ľ ľ ľ ľ ľ ń ľ ý Ł Í Ź ń ń á ľ Ä Ž ń ń Ą ń ż Ą Ż ď ż Ż ď ń ć ż Ż Ż Ę Ę Ń Í Ł Ż ć ń Ź Ł ń Ó á
Bardziej szczegółowoť ś ś ś ś ą Ł ń ý ś ń ť ą Ż ą ą ą ą ś ą ś đ ą ś ź ś Ś ń ś ś ś ć ą ą Ż ą ą Ś Ż Í ź
ć Ĺ Ĺ ś ń Ą ą ą Ż ś ń đ ś ą Ż Ż ő ą ą ą ą ś ą ś ś ą ő ő ń ś ť ś ś ś ś ą Ł ń ý ś ń ť ą Ż ą ą ą ą ś ą ś đ ą ś ź ś Ś ń ś ś ś ć ą ą Ż ą ą Ś Ż Í ź ś Ż ą ő ś ą ą ď ą Ť ą Ż ś ś đ ś Ś ś ś ą ą ś Ż ść ą í ť ť ń
Bardziej szczegółowoDefinicja. Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G,
Grupy rozwiązalne. Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G, G piq rg pi 1q, G pi 1q s, dla i P N nazywamy górnym ciągiem centralnym grupy
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoim = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.
61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,
Bardziej szczegółowoŁ Ü Ľ Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ż Ł Ś Ń Ć Ł Ł Ł Ń Ł ý Ł Ł Ł ý Ł Ł Ó Ł ý ý Đ Ł Ł ý Ł Ć ý Đ Ł Ł Ł Ó Ż Ż í Ü Ĺ Ĺ ť í Ü
Ĺ Đ Ó Ü Ł Ł Ł Ü Ľ Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ż Ł Ś Ń Ć Ł Ł Ł Ń Ł ý Ł Ł Ł ý Ł Ł Ó Ł ý ý Đ Ł Ł ý Ł Ć ý Đ Ł Ł Ł Ó Ż Ż í Ü Ĺ Ĺ ť í Ü Ł Ł Ä Ć ź Ż Ż í ő ć ć ć Ť ő Đ Ü ü Ú ý Ĺ ć ď Ł Ż Ż ŕ ć ý Ż Ż Ĺ ý ť Ż ä Ĺ ź Ż ý Ż őő Ł
Bardziej szczegółowoí ś Ś ż ś ż ś ń Ś đ ś ś Ż ć ń í ć ś ń í ś ć Ą Ż ś ń ő Ż ő ć ś Ł ż Ż ő ś Ż Ż Ż ś Ż
ÔÍ ú ż ü Ó ść ś ő Đ Í Ż í ż Ś Ż ń ś Ł Ść ő ś ś ő ś ś ś ść ý Ś ść Í í ś Ś ż ś ż ś ń Ś đ ś ś Ż ć ń í ć ś ń í ś ć Ą Ż ś ń ő Ż ő ć ś Ł ż Ż ő ś Ż Ż Ż ś Ż ż ś ś Ł Ł á ć ś Ż Ą ő Ż ż ő ő Ż Ż ś Ż ś ż ś ż őź ś ś
Bardziej szczegółowoNiniejsza wersja jest wersją elektroniczną Krajowej Oceny Technicznej CNBOP-PIB nr CNBOP-PIB-KOT-2017/ wydanie 1, wydanej w formie
ń ń ż Ä Ä ż ń Ę Ę ľ Ä ŕ ż ń ř ő ő Ę ż ż ń Ę Ź ř ý ż É ż Ę ń ń ń Ę ľ ż Ż ń ż ż ż Ę ż ć ć ý ż Ę ż ż ý ć Ę ż ć ć ż Ę Ę Ę ż ż ć ź Ą Ł Ł Ł Ł ľ Ł Ł Ł ź ý ľ ż Ł ż Ł ń ý ż ż Ł Ł ý ľ Ł ż Ł Á Ż Ż Ł Ę Ź ż ż ż Á ż
Bardziej szczegółowoĘ ľü ď Ż Ż ć Ż ď ż ď ď Ą Ż ć Ą Ą í Ą ý Ź Ź ŕ Ą Ą Ą Ą Ż ż Ż Ą ď ż ľ Ż Ż
Ę ľ ľ Ł ż Ą í Ą Ą í í Í Ź ż ż Ę ľü ď Ż Ż ć Ż ď ż ď ď Ą Ż ć Ą Ą í Ą ý Ź Ź ŕ Ą Ą Ą Ą Ż ż Ż Ą ď ż ľ Ż Ż ď Ź Ę ż ż Ę Ą Í Ł Ł Ę í ż ď Ą ď Ź ý Ż Ż Ż Ź ż ż Ć ď ÁĄ ď ď Ą ď ď Ą ď Ż ď Ą ŕ Ł Ł Ę í í ż ż ý ý ć á Ż
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoŁ ŁÓ í đ í Í Í đ đ őżĺ ę ę ń ń ę ę ż Ą ĺ ŻŻ ĺ ĺ Ż í ĺ ĺ ő ý ĺ ý Ę ő ż ő ý ę Ż Ę Ź ń ę ż żý ę ę ý Ź ż ő Ę ę ę ę ő Í żý ę ĺ ę ż Í ĺ żý ż Ę ĺ ĺ ę ę ĺ Ę ę Đ Żý Đ Ż ý ę Ę Ę ż ý ý ĺ ý ę é ő ę ń ę ż Ą ż Ä
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoŁ Ł Ł Ł Ł Ą Ó Ł Ł Ł Ś Ń Ą Ć Ł Ó Ł Ł Ą Ą Ł Ł ý Ď Ł ŕ Ł Ł Ł Ł Ó Ó Ł Ł Ł Ł Ć Ł Ń Ó Ż Ł Ł Ą Ł Ł Ą Ł Ą ŕ
É ý đ Ł Ł Ł Ł Ł Ą Ó Ł Ł Ł Ś Ń Ą Ć Ł Ó Ł Ł Ą Ą Ł Ł ý Ď Ł ŕ Ł Ł Ł Ł Ó Ó Ł Ł Ł Ł Ć Ł Ń Ó Ż Ł Ł Ą Ł Ł Ą Ł Ą ŕ Ł Ż Ł Ż őź á í ň Ż ű ä Ľ ô ď ŕ ć ć ć éŕ Ż ŕ ć Ł Ż Đ ŕ Ü É í ć Ł ŕ ź Ł Ł Ł ć Ó ő á ť Ó ĐŃ Üŕ ŁÓ
Bardziej szczegółowoRozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
Bardziej szczegółowoż Í ś ý ż
Ś ź Ś ż ś Ę Ż Ż ń ń ś ś ć ý đ Ż ż ż ć đ í ć ń ż Í ś ý ż ż ż ś ń ś ż ś ś Ź ś ń ś ń ń ż ś ś ń ż ż ś Ż ć ŕ ś Ż Ó ż Ó ć ż ś Ż ż Ó ś ń ń ś ś Ó Ść ń Ż ś ń ń ŕ ż ś Ż ć Ś ń ż ń ż ń ż Ż ż Ó ś Ż Ó Ś ś ń ż ż Ż ż
Bardziej szczegółowoľľ ń í ü ď ż Ż ć ć ń Ż ż ć ż ż ć ż ń ń ć Ł š ć Á Đ ľ Ż ü Í ľ ľ
ń Š ô Í ń Đ ż ľ ľ ń ń ľ ń ć ń ć ć ż ć ć í Ą í Ľ ľ Ü ü Í ü í ť đ Ü ô ř í Đ ľľ ń í ü ď ż Ż ć ć ń Ż ż ć ż ż ć ż ń ń ć Ł š ć Á Đ ľ Ż ü Í ľ ľ ń ü ľ í Í ň ż ż ń ż ż ć ż ć ń ż ć Í ć ć ż ć ć ć ż ż Ź Ö Ĺ Đ í Ĺ
Bardziej szczegółowoĺ ą Ł ĺĺ ĺ ĺĺĺ ĺ ĺ ę Żĺ ĺĺĺĺ ę ĺ ĺ ĺĺ ĺ ą ę ś Ść Ą ę ę ś ś ś ę ý ś ż ę ś ý ę ę ń ę ą Ż ę ę ý ś ń ą ĺ ż ż ś ć ż Ż ś ć ś ś ś ą ę ś ę ę Ś ęś ś ś ś ę ęć ż
Ą ą ą ż ą ę ń ĺ Ą ą ĺ ń ą ú ĺ ń ĺ Ż ĺ ĺ Ą ę ś ę ę ń ĺ ĺ ĺ ĺ ą ĺ ń ś đ ę ą ĺ ń ą Ż ę ĺ ż í ĺĺ ż ę ĺ ĺ ĺ Ź ę ĺ Ż Ż ĺ ĺ ą Ł ĺĺ ĺ ĺĺĺ ĺ ĺ ę Żĺ ĺĺĺĺ ę ĺ ĺ ĺĺ ĺ ą ę ś Ść Ą ę ę ś ś ś ę ý ś ż ę ś ý ę ę ń ę ą Ż
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoÍ ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć
ń Í ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć Í ń Ó Ń Ń Ń Ó ľ ęż Ń Á ęż Ń Ą ę Ż ć ę ę Ż ć ę ć Ś ę ę Ś Ż Ż Ż Ż ę ę Ż ń Ż ń ę ę ć Ś ę Ż ć Ż ć Ż Ż ć ń Ż ľ ę ę ę ę Ś ę ę ľ ę Ę Ĺ Í ľ ď ý Ę ń ľ ę ń Ó Ń ć Í ô Ó ľ ü
Bardziej szczegółowoŻ ż Ź ś ż ż ś Ą Ą Ź ż Ż ś ż ż Ż Ż ż ć ś ś ć ć Ń ź ś Ż ć ż ż ś ś ś
ś ż ź ż ś Ż ż Ź ś ż ż ś Ą Ą Ź ż Ż ś ż ż Ż Ż ż ć ś ś ć ć Ń ź ś Ż ć ż ż ś ś ś ż ż ś ź Ą ż Ń ż ż ż Ż ź ż ść Ż ś ź ź ś Ś ź ś ś Ą Ż ś Ż ś Ż ś ż ż ś ż ść ś ż ż ś ż ś ż ć ś ś ź ś ż ś ż ź ż ż ź ź Ó ż ć ż ż ż ź
Bardziej szczegółowoĄ Ą Ś Ń Ć Ó Ą Ą
Ń Ś Ą Ż Ż Ś Ż Ź Ń Ą Ą Ś Ń Ć Ó Ą Ą Ś Ą Ź Ń Ó Ś Ć Ż Ą Ą Ć Ż Ó Ą Ó Ą Ć Ś Ą Ą Ń Ń Ń Ń Ń Ą Ń Ą Ń Ń Ń Ń Ą Ń Ń Ń Ń Ń Ń Ń Ń Ś Ą Ń Ś Ś Ó Ś Ó Ą Ń Ś Ą Ś Ą Ś Ś Ż Ą Ą Ą Ą Ą Ś Ą Ś Ó Ą Ś Ś Ś Ń Ń Ż Ą Ś Ś Ą Ń Ż
Bardziej szczegółowoń Ł ń ź ń ć Ż Ż ć Ż Ż ć Ą Ź ń Ś ń Ż ź ć Ż ź Ż Ż ć Ż Ź Ś Ż Ł Ź Ż ć Ś ń Ż ń Ść ń Ż Ś Ż Ś ć Ź ń Ł Ż ć Ż Ż Ś ć Ł ń Ż ć Ś ń Ł ć Ż Ż ć ć ć Ż ć ń ź Ż Ż Ż ń Ż Ż ń Ć Ź ń Ź ć Ż ć ć ć Ń ć Ł Ż Ż ć Ż Ż Ż ć Ż ć Ś ć
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoŻ ż ż ź ś ż ś ż ż ż ż ż ś ż ź ś ś ż ść ż ś ż ż ż Ż ż ż ż ż ć ś ż ż ż ć ż ż ż ś Ż ć ś ż ś ż ż ż ś ż ś ż ś ś ż ż ś ś ść ż ść ść ś ś ś ś ś ś ż ć ż Ł ż Ń ź ź ś ś ś ż ć ś Ź ść ść ż ż ć ż ż Ą Ż ś Ń Ł ż ś ż ż
Bardziej szczegółowoŃ Ś Ó Ó Ć Ś ŃŃ Ó Ą
Ń Ó Ń Ń Ś Ń Ą Ń Ą Ź Ź Ą Ś Ż Ń Ć Ń Ń Ń Ń Ń Ś Ó Ó Ć Ś ŃŃ Ó Ą Ń Ń Ź Ś ĄŃ Ż Ń Ą Ć Ś Ą Ą Ń Ó Ą Ą Ś Ó Ą Ń Ą Ą Ą Ą Ń Ą Ś Ś Ą Ń Ą Ć Ó Ą Ś Ń Ą Ą Ą Ą Ń Ą Ń Ą Ą Ą Ą Ż Ż Ś Ń Ń Ń Ó Ó Ś Ż Ó Ą Ń Ń Ń Ń Ń Ą Ą Ń Ą Ń Ą Ą
Bardziej szczegółowoÓ Ż Ń Ń ć ż ć Ż Ż ć ż Ż ć
ż ż Ą ż Ż Ć Ó Ż Ń Ń ć ż ć Ż Ż ć ż Ż ć Ż ć Ż ć Ż Ó Ż ć Ó Ą ż ć Ż Ż ć ż ć Ż ć Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ó Ż Ż Ó Ż Ż Ś Ś Ś ż Ż Ś Ó ż Ż Ż Ń Ż ż ć ż ż ż ż Ń Ś Ó Ż Ś Ż ć Ś Ś ć ż Ś Ą Ż Ś Ń Ń Ś Ż ż Ś ż Ż Ą Ż Ś Ż ż Ś ć Ś Ś Ż
Bardziej szczegółowoŚ
ź Ś ź Ż Ż Ż Ż ć Ś Ó Ń ć ć Ż Ż Ż Ż ń ć Ż Ż Ż Ż Ą Ś ć Ź Ż ć ć Ż ć ć Ż Ż Ż Ż Ż ć Ó Ó ź Ż Ż ź ź Ś Ż ć Ż ć ć Ą Ż ź Ż ź Ż ć Ż Ż Ż Ź Ż Ż ź ć ć ć ć Ż ć ć ć ć Ż Ż ź ź Ż Ż Ś ć Ź ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ć Ż ć ć ć Ż Ń
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoŚ ż Ó ż ż ć Ż Ą Ą ć Ż Ż ć Ż ż ć Ż ż
Ś ż Ó ż ż ć Ż Ą Ą ć Ż Ż ć Ż ż ć Ż ż Ż Ź Ż ż ż ż ć Ź ż ć Ż ć Ż Ó ż Ż Ż ć Ż Ż ć ż ć Ż Ż ż ć ż Ż ż ż ż ż ż Ó ć ż ż ż Ź ż ż Ź Ż ż ź Ó Ó ć ć ć ć Ź ć ż ć ć Ó ż ż Ń Ż Ó ć ć ć ć ć ć ć Ź Ż ż Ż Ó ż ż Ź ć Ą ż ż Ż
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoż ż ż ń ń Ł ń ń ż Ż ń ż ń Ż Ż
Ó Ń ń ż Ń ż ż ż ń ń Ł ń ń ż Ż ń ż ń Ż Ż ń ć ż ń ż ń ż Ą Ż ć ż ć ć ź ć ć ń Ż Ż ć Ż Ą Ż ć ń ć ć ż ć ć ć ć ć ć ż ć ć ż ć ń ć ć ż ć ć ż ż ć ż ć Ż ż ć Ż Ż Ż ż ż ć Ą ń Ż Ń ń Ą Ą ż Ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż
Bardziej szczegółowoLXX Olimpiada Matematyczna
LXX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 09 r. (pierwszy dzień zawodów). Punkty X i Y leżą odpowiednio wewnątrz boków i trójkąta ostrokątnego, przy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoŻ Ś Ń Ą Ą ć
Ż Ś Ń Ą Ą ć Ń ź Ż Ń Ą Ń Ń ć Ń ć ź Ń ć ć ć Ł Ń Ń ć ć Ą Ą ć ć Ń ź Ą ć ć ć ć ć ć ć ć Ż źć ć ć Ą ć ć ć ź Ą ć ź ź ź ź Ź ć ć Ż ć Ą ć ź Ą Ą ź Ń ź ź ź Ś ź Ż Ń ć ź Ń Ł ć ć ć ć ć Ą Ń Ń ć Ń źć Ż Ń ć ć Ą ć ć Ń ć Ń
Bardziej szczegółowoć ć Ń Ę
ż ź ć ć Ń Ę ć Ś Ę Ś ć ć ż ć ż ż ż ć ć ć ż ź ć ż ż ż ż ć ż ż Ś ź ż ć Ą ż ż ż ż ż ż ź ć ż ć ż Ś ż ć ż ż Ą ż ż Ę ć Ż ż ć Ż ż ż ż ż ć ż ż ż ż ż ź ć ż ż ć ż ź Ś ż ż ć ż ż ż ż ć ćż ż ć ż ż ż ź ż ć ż ż ż Ś
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoĄ Ś Ń Ś Ą Ś Ń
ź Ż Ą Ę Ą Ś Ń Ś Ą Ś Ń Ą Ś Ś Ś Ś Ą Ś Ś ź Ś Ś ŚĆ Ń Ń Ń Ś Ń Ń Ń ć Ń Ń Ó Ą Ś Ą Ń Ń Ń ź ć Ń Ń Ń ć Ń Ę Ę Ś ć Ę Ń Ń ź Ą ć Ń Ą Ś Ń Ę Ń Ę Ę Ż Ś Ń Ń Ń ć Ę Ę Ę ć Ę Ą ć Ń Ą ć Ś Ń Ń Ń ć Ń Ę Ń Ń Ę ź Ń Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ę
Bardziej szczegółowoŹ Ź ź Ś Ą Ź ć Ś
ć ź ć ć ć ć Ć ć Ę ć ć ć Ś ć Ć ć ć ć Ź Ź ź Ś Ą Ź ć Ś ć Ź Ę Ź ć ć Ą Ą Ą ć Ć Ą ć Ź Ś ź ć Ź ć Ź Ś Ź Ź Ą ć Ą Ź ć Ć Ź Ę Ą Ą Ś ć Ć ć ć Ś Ń Ą Ń Ś Ś Ę Ź Ą Ą Ą Ś ć Ź Ź Ś Ś ź ŚŚ Ć Ś Ś Ą Ą ć ć Ź ź Ź ć Ź Ź ź Ź ć Ć
Bardziej szczegółowoż
ż ż ż ń Ł Ń Ś Ę ż Ą ż ż ż Ż ż Ę ń ż ż ż Ą Ą ż Ą ń ż ń ć ż ć ć Ę Ą ż Ń Ę Ę Ę ż ź ż ż ć ż ż ć ć Ę Ą ż Ę ż ć ż ć ż Ę Ą ż Ę Ę Ę ż Ę ż ż ż Ż ż ć ż ń ć ń ż ż ż Ą Ę Ą ń ń ń ń ń ż Ą ć ż Ź ż ć Ą Ż ż Ś Ą ż Ą Ą ż
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 13
Spis treści Podstaoe struktury algebraiczne Grupa, pierścień, ciało Grupy permutacji 4 3 Pierścień ielomianó, algorytm Euklidesa, najiększy spólny dzielnik 6 4 Zadania 7 Rachunek macierzoy, metoda eliminacji
Bardziej szczegółowo