Jednowskaźnikowy model Sharpe`a

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Jednowskaźnikowy model Sharpe`a"

Transkrypt

1 Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych Milena Jamroziak i Paweł Androszczuk Model ekonometryczny Jednowskaźnikowy model Sharpe`a dla akcji Amici Praca zaliczeniowa napisana pod kierunkiem mgr S. Cichockiego Warszawa 005

2 R i = α i + β i R M + u i (1) 1.Jednowskaźnikowy model Sharpe`a Od momentu kiedy akcje spółek zostały notowane na giełdzie, starano się znaleźć zależność opisującą stopę zwrotu z danego papieru wartościowgo od czynników, które na nią wpływają. Sharpe uzależnił stopę zwrotu zysku od działania jednego czynnika, który można określić jako czynnik giełdy (rynku). Propozycja ta wyniknęła z zaobserwowania na dużych giełdach pewnej prawidłowości, polegającej na tym, iż hossie na giełdzie (mierzonej np. wzrostem indeksu giełdowego) towarzyszy na ogół wzrost cen większości akcji. Innymi słowy, stopy zwrotu z akcji zależą od pewngo czynnika, który można nazwać czynnikiem rynkowym. Indeks giełdowy można traktować jako pewien sztucznie skonstruowany papier wartościowy, za pomocą którego opisujemy ogólną sytuację na rynku. Ponieważ wielkość indeksu, którą można przyjąć za jego cenę, zmienia się na każdej sesji, to możemy wyznaczyć dla niego stopę zwrotu. Na podstawie tych rozważań skonsktuowano równanie (1) przedstawiające zależność stopy zysku z akcji od stopy zysku z indeksu giełdowego: Ri - stopa zysku i-tej akcji R M stopa zysku indeksu giełdowego α i, βi - parametry równania u i - składnik losowy i-tej akcji Składnik losowy (u i ) ma za zadanie uwzględnienić wpływ innych, poza indeksem giełdowym, czynników oddziałujących na rozpatrywaną akcję. Równanie (1) nazwane zostało linią charakterystyczną papieru wartościowego. Z punktu widzenia interpretacji, bardzo ważną rolę odgrywa parametr β i, nazywany współczynnikiem beta. Wskazuje on, o ile procent, przeciętnie, wzrośnie stopa zysku i-tej akcji, jeżeli stopa zysku indeksu giełdowego zwrośnie o 1 %. Współczynnik beta wyraża stopień wrażliwości danej akcji na zmiany stopy zysku indeksu giełdowego. Im wyższa wartość tego współczynnika, tym większy stopień wrażliwości i-tej akcji na zmiany zachodzące na rynku. Współczynnik ten może być także utożsamiany z miarą ryzyka systematycznego (rynkowego) rozpatrywanej akcji. Biorąc pod uwagę wartości, jakie może przyjmować ten współczynnik, możemy wyróżnić kilka charakterystycznych przypadków:

3 β i < 0 oznacza, że stopa zysku akcji zmienia się w przyciwnym kierunku niż stopa zysku indeksu giełdowego. β i = 0 oznacza, że stopa zysku nie jest zależna od zmian dokonujących się na rynku (nie reaguje na zmiany) 0<β i <1 oznacza, że stopa zysku danej akcji w niewielkim stopniu zależy od zmian zachodzących na giełdzie. Taką akcję zwykle nazywa się defensywną. Β i = 1 oznacza, że stopa zysku akcji podlega takim samym zmianom jak cała giełda Β i >1 oznacza, że stopa zwrotu danej akcji zmienia się szybciej niż stopa zwrotu indeksu giełdowego. Tego typu akcje nazywa się agresywnymi..model Sharpe`a dla spółki Amica Celem naszego modelu jest sprawdzenie, czy stopę zwrotu z akcji Amici można szacować za pomocą stopy zwrotu z indeksu WIG0, który uznajemy za pewne przybliżenie portfela rynkowego. Chcemy również oszacować współczynnik beta dla akcji tej spółki i dzięki temu określić czy akcje Amici mają charakter agresywny czy defensywny. Amica jest spółką produkującą sprzęt AGD. Program inwestycyjny skłonił Zarząd Spółki Amica Wronki S.A. do uaktywnienia się na publicznym rynku kapitałowym. Akcje wronieckiej spółki są notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A od 1997 roku. WIG0 jest indeksem typu cenowego Warszawskiej Giełdy Papierów Wartościowych obejmującym akcje 0 spółek rynku podstawowego o największej kapitalizacji i najwyższych obrotach giełdowych, liczonym od r. Ważnym dla oszacowań faktem jest to, że akcje Amici nie wchodzą w skład WIG0. 3.Baza danych Analizowane przez nas dane spółki Amica i WIG0 pochodzą ze strony Dotyczą one okresu od stycznia do grudnia 004 r. Na ich podstawie obliczono stopy zwrotu z akcji oraz z indeksu za pomocą następującej formuły ():

4 R t stopa zwrotu w okresie t P t cena akcji (wielkość indeksu) w okresie t R t = [(P t P t-1 )/P t ]*100% () Zgodnie z modelem Sharpe`a równanie to powinno być jeszcze roszerzone o wypłacone dywidendy, ale aby uprościć estymację, założono, że w badanym okresie zarówno Amica jak i spółki wchodzące w skład WIG0 nie wypłaciły swoim akcjonariuszom dywidend. 4.Regresja Estymacja modelu za pomocą MNK daje następujące wyniki: Source SS df MS Number of obs = F( 1, 46) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = Amica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] WIG _cons Oszacowany współczynnik beta wynosi , co można intepretować, że 1 % wzrost zwrotu z indeksu WIG0 powoduje % wzrost stopy zwrotu z akcji spółki Amica. Zgodnie z teorią jest to akcja defensywna. W związku z tym, że dane mają charakter dynamiczny, bardziej wskazane jest użycie modelu autoregresyjnego (ADL). Dzięki temu uzyskamy model o lepszym dopasowaniu. W modelu tym oprócz zmiennych z danego okresu występują również zmienne opóźnione.

5 5.Sprawdzenie stacjonarności Rozważania na temat ustalenia odpowiedniej formy zmiennych do modelu dynamicznego należy rozpocząć od sprawdzenia czy zmienne mają charakter stacjonarny czy niestacjonarny. Do tego celu wykorzystuje się test Dickey Fullera (DF). Amica Przeprowadzamy regresję pierwszych różnic na pierwsze opóźnienie. Wyniki są następujące: Source SS df MS Number of obs = F( 1, 45) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = DAmica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Amica L _cons Jednak aby można było zinterpetować uzyskane wyniki, trzeba sprawdzić czy w oszacowanym modelu występuję problem autokorelacji błędu losowgo. Posłużymy się testem Breusch Godfreya. Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi H0: no serial correlation

6 Ponieważ autokorelacja występuje (przy poziomie istotności równym 5 % odrzucimy hipotezę o braku autokorelacji składnika losowego: , < 0.05), musimy wprowadzić do modelu dodatkową zmienną niezależną, którą jest pierwsze opóźnionie pierwszych różnic i tym samym użyjemy roszerzonego testu Dickey-Fullera (ADF). Source SS df MS Number of obs = F(, 43) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = DAmica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Amica L DAmica L _cons bgodfrey, lags(1 3) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi H0: no serial correlation Dzięki dodaniu dodatkowej zmiennej niezależnej usunęliśmy autokorelację z modelu (0.4564, , > 0.05 brak podstaw do odrzucenia hipozety o braku autokorelacji).

7 Teraz możemy przywołać wartości krytyczne dla testu Dickey Fullera: Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = Na podstawie przeprawadzonej procedury otrzymaliśmy wartość statystki testowej równą (jest to wartość statystyki t dla parametru związanego z pierwszym opóźnieniem zmiennej), którą porównujemy z wartością krytyczną testu ADF równą.880, co przy poziomie istotności równym 5 % daje postawy do odrzucenia hipotezy zerowej o niestacjonarności zmiennej. Przyjmujemy, że zmienna jest stacjonarna. WIG0 Przeprowadzając identyczną procedurę dla WIG0, otrzymujemy: Source SS df MS Number of obs = F( 1, 45) = 17.4 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = DWIG Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] WIG0 L _cons

8 Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi H0: no serial correlation Ponieważ 0.00, 0.004, < 0.05 odrzucamy hipotezę zerową o braku autokorelacji między błędami losowymi. Należy rozszerzyć model o opóźnienie pierwszych różnic, dzięki czemu pozbywamy się autokorelacji z modelu (0.63, , > 0.05 brak podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji). Source SS df MS Number of obs = F(, 43) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = DWIG Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] WIG0 L DWIG L _cons Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi H0: no serial correlation

9 Wywołołane wartości krytyczne dla testu ADF wynoszą: Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = Na podstawie przeprowadzonego testu odrzucamy hipotezę zerową o niestacjonarności zmiennej WIG0 przy poziomie istności 5 % (-11.59<-.880). Zmienna jest stacjonarna. 7.Ustalenie liczby opóźnień W celu ustalenia liczby opóźnień posłużymy się metodą od ogólnego do szczegółowego. Wychodzimy od modelu, w którym zarówno zmienna zależna jak i niezależna ma pięć opóźnień, gdyż wydaje się, iż większa liczba opóźnień jest nieistotna statystycznie. Source SS df MS Number of obs = F( 11, 31) = 4.17 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = Amica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Amica L L L L L WIG L

10 L L L L _cons Należy przeprowadzić test na sprawdzenie wystąpienia autokoralcji, gdyż w przypadku gdy w modelu występuję opóźniona zmienna zależna i autokoralcja, to pojawia się problem równoczesności i parametry są niezgodne. Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi H0: no serial correlation Na podstawie testu Breusch-Godgreya otrzymujemy brak podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji (0.4605>0.05). Aby uzyskać prawidłowy model przeprowadzamy testy sprawdzające istotność poszczególnych opóźnień. Zaczynamy od piątego opóźnienia Amici. ( 1) L5.Amica = 0 F( 1, 31) = 1.84 Prob > F = Przy poziomie istności 5 % jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o nieistności tej zmiennej (0.1763>0.05). Sprawdzamy kolejne zmienne: ( 1) L5.Amica = 0 ( ) L4.Amica = 0 F(, 31) = 1.57 Prob > F = 0.096

11 Ponownie jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy o nieistności (0.096>0.05). otrzymujemy : Przeprowadzając regresję bez usuniętych zmiennych i test sprawdzający autokorelajcę, Source SS df MS Number of obs = F( 9, 33) = 4.73 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = Amica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Amica L L L WIG L L L L L _cons Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi H0: no serial correlation Ponieważ autokorelacja nie występuje, model bez usuniętych zmiennych jest lepiej dopasowany. Podobnie przeprowadzamy kolejne testy sprawdzające nieistność pozostałych zmiennych. W końcu dochodzimy do modelu, w którym nie występuje problem autokorelacji (0.1391>0.05), a

12 liczba opóźnień została ustalona na jedno dla WIG0 i zero dla Amici. Source SS df MS Number of obs = F(, 44) = 1.73 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = Amica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] WIG L _cons Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi H0: no serial correlation Model można przedstawić za pomocą równania (3): Amica = α + β 0 *WIG0 + β 1 *l.wig0+ u i (3) 8.Istotność modelu i interpretacja R Oszacowanie modelu jest istotne, ponieważ otrzymaliśmy p-value na poziomie < 0.05 czyli na tej podstawie odrzucamy hipotezę zerową o łącznej nieistności wszystkich zmiennych niezależnych. Poszczególne zmienne w modelu są istotne (p- value dla nich jest mniejsze od 0.05) oprócz stałej, dla której p-value wynosi > 0.05 czyli jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy

13 zerowej o jej nieistotności. R dopasowany wynosi 14.4 %, co można interpretować, że 14.4 % zmienności zmiennej zależnej jest wytłumaczone zmiennością zmiennych niezależnych. 9.Mnożniki W modelu tym możemy wyróżnić dwa rodzaje mnożników: mnożnik bezpośredni i mnożnik długookresowy. Mnożnik bezpośredni jest to parametr stojący przy nieopóźnionej zmiennej niezależnej i wynosi on , co oznacza, że wraz ze wzrostem stopy zwrotu z WIG0 o 1 % stopa zwrotu z Amici rośnie o %. Mnożnik długookresowy jest określany jako suma parametrów przy opóźnionej i nieopóźnionej zmiennej niezależnej i wynosi on , co daje i oznacza, że w długim okresie jednoprocentowemu wzrostowi stopy zwrotu z WIG0 towarzyszy 0.83 % wzrost stopy zwrotu z Amici. Porównując otrzymane wielkości z oszacowaniem, które otrzymaliśmy w modelu bez uwzględnienia opóźnień, można zauważyć, że wielkości te są dość zbliżone, aczkolwiek w długim okresie stopa zwrotu z Amici wykazuje większe powiązanie z WIG0 niż początkowo wyestymowaliśmy. Jednak ciągle akcje Amici mają charakter defensywny. 10.Przyczynowość w sensie Grangera Definicja. Zmienna jest przyczyną w sensie Grangera, jeśli bieżące wartości zmiennej zależnej można dokładniej prognozować przy użyciu opóźnionych zmiennych niezależnych niż bez ich użycia. Ponieważ w naszym modelu występuje tylko jedno opóźnienie zmiennej niezależnej, więc aby sprawdzić czy zmienna jest przyczyną w sensie Grangera, wystarczy posłużyć się statystyką t dla tej zmiennej. Ponieważ statystyka t wynosi.45, co daje p-value na poziomie (<0.05), czyli hipotezę zerową mówiącą o tym, że stopa zwrotu z WIG0 nie jest przyczyną w sensie

14 Grangera - odrzucamy. Stąd otrzymujemy, że stopa zwrotu z WIG0 jest przyczyną w sensie Grangera stopy zwrotu z Amici. 11.Diagnostyka Homoskedastyczność Przeprowadzony test Breusch-Pagana na homoskedastyczność błędy losowego daje następujące wyniki: Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: WIG0 L.WIG0 chi() = 5.15 Prob > chi = Na jego podstawie stwierdzamy, że jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o homoskedastyczność składnika losowego (0.0763>0.05). Podobne wyniki daje test White`a, ponieważ również na jego podstawie stwierdzamy, że składnik losowy jest homoskedastyczny (0.5951>0.05). White's test for Ho: homoskedasticity against Ha: unrestricted heteroskedasticity chi(5) = 3.69 Prob > chi = Cameron & Trivedi's decomposition of IM-test Source chi df p Heteroskedasticity Skewness Kurtosis Total

15 Normalność składnika losowego Do sprawdzenia normalności składnika losowgo posłużymy się testem Jarque a-bery (JB). Skewness/Kurtosis tests for Normality joint Variable Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi() Prob>chi E Na podstawie wyniku tego testu odrzucamy hipotezę zerową mówiącą o tym, że składnik losowy ma rozkład normalny (0.0000<0.05). Poniższy wykres przedstawia porównanie rzeczywistego rozkładu reszt z modelu z rozkładem normalnym (Wykres 1). Również on potwierdza odrzucenie hipotezy o normalności składnika losowego. Density Residuals Kernel density estimate Normal density Wykres 1. Porównanie rozkładu reszt z rozkładem normalnym Stabilność strukturalna Do przetestowania stabilności strukturalnej użyjemy testu Chowa. Aby tego dokonać wprowadzamy do modelu dodatkowe zmienne, które dzielą obserwacje na trzy grupy: poniżej 80, powyżej 160 i grupę pośrednią. Po przeprowadzeniu testu na nieistnotność wprowadzonych zmiennych mamy podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej o stabilności parametrów

16 (0.0019<0.05), czyli występują istotne różnice w wielkości parametrów pomiędzy tymi trzema grupami. test (d=0) (d1=0) (dx1=0) (dx=0) ( 1) d = 0 ( ) d1 = 0 ( 3) dx1 = 0 ( 4) dx = 0 F( 4, 40) = 4.39 Prob > F = Gdybyśmy jednak podzielili badaną próbę tylko na dwie części, a nie na trzy tak, jak wyjściowo, to otrzymujemy odmienny wynik. Na podstawie tego testu jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerwej mówiącej o stabilności parametrów pomiędzy grupami ( > 0.05). ( 1) d = 0 ( ) dx3 = 0 F(, 4) =.83 Prob > F = Heteroskedastyczność warunkowa W przypadku szeregów czasowych często zdarza się tak, że mimo iż nie wykazują one autokoralcji, to wariancja może być zmienna w czasie. Problem ten nazywa się heteroskedastycznością warunkową. Aby sprawdzić, czy w naszym modelu pojawia się ten problem, przeprowadzimy najpierw test LM, który odpowie nam na pytanie, czy jest w ogóle sens zajmowania się tą kwestią w kontekście naszego modelu. Hipoteza zerowa tego testu mówi o tym, że w modelu nie występuje heteroskdastyczność warunkowa. Dla naszego modelu otrzymujemy następujące wyniki: LM test for autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) lags(p) chi df Prob > chi H0: no ARCH effects vs. H1: ARCH(p) disturbance

17 Na podstawie uzyskanych wyników (0.0198<0.05) odrzucamy hipotezę zerową - w modelu uzasadnione wydaje się stosowanie modeli z rodziny ARCH. Model ARCH Modelem, od którego rozpoczniemy nasze rozważania jest model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedacity). Oszacujemy jego postać, a potem będziemy go rozszerzać o dodatkowe elementy. Model ARCH zakłada, że błąd losowy ma następująco postać: ε t = u t * (θ 0 + θ 1 *ε t-1) 1/ gdzie u t ~ N(0,1), u t jest niezależne i E(ε t x t, ε t -1 ) = 0 Jego ogólna postać wygląda w taki sposób: gdzie q określa ilość opóźnień. y t = x t *β + ε t ε t = u t * σ t σ t = θ 0 + θ 1 *ε t θ q *ε t-q, Naszym zadaniem jest ustalenie q. Dla q=3 otrzymujemy poniższy model: ARCH family regression Sample: to 48 Number of obs = 47 Wald chi() = Log likelihood = Prob > chi = OPG Amica Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Amica WIG L _cons

18 ARCH arch L L L _cons Z oszacowania wynika, że model jest istotny statystycznie (0.000<0.05). Przy poziomie istotności 5 % tylko trzecie opóźnienie ARCH jest istone (0.000<0.05). A pierwsze i drugie mają p- value większe od założoneogo poziomu istności (0.050, 0.488>0.05). Gdy przetestujemy istotność tych zmiennych, to na podstawie otrzymanego wyniku orzekamy, że jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej o łącznej nieistności tych dwóch opóźnień (0.1081>0.05). ( 1) [ARCH]L.arch = 0 ( ) [ARCH]L.arch = 0 chi( ) = 4.45 Prob > chi = Oszacowanie modelu z usuniętymi nieistnotnymi zmiennymi wygląda następująco: ARCH family regression Sample: to 48 Number of obs = 47 Wald chi() = Log likelihood = Prob > chi = OPG Amica Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Amica WIG L _cons ARCH arch L _cons

19 Tak jak przypuszczaliśmy, trzecie opóźnienie jest istotne statystycznie (0.000<0.05), również cały model jest istotny (0.000<0.05). Dzięki temu możemy zapisać, że wariancja błędu losowego ma następującą postać: σ t = θ 0 + θ 1 *ε t -3, gdzie za θ podstawimy oszacowane parametry. (4) Model GARCH Teraz do modelu, który udało nam się ustalić powyżej, dodamy dodatkowe elementy. Będą nimi opóźnienia wariancji. Owy model nazywa się GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedacity) i jego założenia są następujące: y t = x t *β + ε t ε t = u t * σ t σ t = α 1 *σ t-1 + α *σ t α p *σ t-p + θ 0 + θ 1 *ε t θ q *ε t-q Wyniki dla GARCH (1,4): ARCH family regression Sample: to 48 Number of obs = 47 Wald chi() = Log likelihood = Prob > chi = OPG Amica Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Amica WIG L _cons

20 ARCH arch L garch L L L L _cons Ponieważ wszystkie zmienne są istotne (0.000<0.05), to w ten sposób otrzymaliśmy następujące rozszerzenie dla oszacowania wariancji błędu losowego: σ t = α 1 *σ t-1 + α *σ t- +α 3 *σ t-3 + α 4 *σ t θ 0 + θ 1 *ε t-3 (5) ARCH w średnich Rozpatrzmy teraz kolejny model z rodziny ARCH. Model ten dodatkowo w wyjściowej regresji uwzględnia wariancję błędu losowego. Wygląda to w następujący sposób: y t = x t *β + δ*σ t +ε t ε t = u t * σ t σ t = θ 0 + θ 1 *ε t θ q *ε t-q Założenia te są szczególnie interesujące w przypadku szacowanego przez nas modelu, ponieważ szacujemy w nim stopę zwrtotu, która w oczywisty sposób powinna wiązać się z ryzykiem, a parametr δ jest związany z awersją do ryzyka. Ponieważ wyższe ryzyko wiąże się z większą stopą zwrotu, więc parametr ten powinien być dodatni. Poniżej znajdują się wyniki dla ARCH z uwzględnieniem średnich.

21 ARCH family regression Sample: to 48 Number of obs = 47 Wald chi(3) = 49.5 Log likelihood = Prob > chi = OPG Amica Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Amica WIG L _cons ARCHM sigma ARCH arch L _cons Na podstawie oszacowania możemy stwierdzić, że w naszym modelu σ jest nieistotna statystycznie (0.971>0.05 znaczny brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o nieistności parametru). Zresztą parametr przy nim stojący jest bardzo bliski zeru ( ). W związku z tym nie można rozszerzyć naszego modelu o parametr związany z ryzykiem. 13. Podsumowanie Po wyestymowaniu modelu stwierdzamy, że stopę zwrotu z Amici można wyjaśniać przy pomocy stopy zwrotu z WIG0. Model Sharpe`a możemy rozszerzyć, dodając jedno opóźnienie WIG0. Początkowo zakładaliśmy, że będzie to model typu ADL jednak w trakcie ustalenia liczby opóźnień okazało się, że zmienna zależna nie będzie opóźniana, w związku z tym otrzymaliśmy model DL. Fakt, że do modelu nie udało nam się wprowadzić opóźnień zmiennej zależnej nie wydaje się być zaskakujący, ponieważ gdyby nam się to udało, to dzięki temu moglibyśmy w pewien sposób prognozować przyszłe stopy zwrotu dla Amici, co mogło by zostać wykorzystane do

22 osiągnięcia zysków przy zmniejszonym ryzyku. Oszacowanie, które uzyskaliśmy jest zadowalające: błędy nie są skorelowane, homoskedastyczne. Co prawda stabilność parametrów jest dość kontrowersyjna, ale należy pamiętać, że dane te pochodzą z giełdy, co samo w sobie gwarantuje dużą zmienność parametrów. Jedyny istotny problem jaki wystąpił w diagnostyce modelu to fakt, że błędy losowe nie mają rozkładu normalnego. Dość ciekawym uzupełnieniem oszacowania modelu wydaje się być uwzględnienie problemu heteroskdastyczność warunkowej. Otrzymane przez nas wyniki są interesujące i świadczą o tym, że rzeczywiście model ten powinien być estymowany za pomocą modelu z rodziny ARCH. Dzięki temu uzyskujemy szersze spojrzenie na model niż wyjściowo. Szczególnie dobre oszacowanie wariancji błędu losowego daje model GARCH. Co można zauważyć wariancja błędu losowego zależy od wariancji z aż czterech okresów poprzednich, co można tłumaczyć tym, że wahania stopy zwrotu zależą od tego jak wyglądały te wahania w okresach poprzedzających dany moment i wahania te przechodzą etapami, co wydaje się być zgodne z intuicją, biorąc pod uwagę zmienny charakter rynku giełdowego i to, że giełda wykazuje ogólną tendencję w danym okresie czasu do wzrotu (hossa) lub spadku (bessa). Zgodnie z oszacowaniami możemy stwierdzić, że akcje Amici mają charakter defensywny w stosunku do WIG0, co oznacza, że stopa zwrotu z Amici w niewielkim stopniu zależy od zmian zachodzących na giełdzie. Wykres przedstawia, jak na przestrzeni czasu zmieniała się stopa zwrotu z Amici i WIG0 dla pierwszych 40 obserwacji. Można zauważyć, że Amica wykazuje dużo wieksze odchylenia niż WIG0, co wydaje się zrozumiałe, gdyż na WIG0 składa się 0 spółek, których notowania mogły zarówno spadać jak i wzrastać. Amica/WIG index Amica WIG0 Wykres. Zmiany stopy zwrotu z Amici i WIG0 dla obserwacji 1-40.

23 Bibliografia 1. Dębski W., Rynek finansowy i jego mechanizmy, PWN, Warszawa 00. Gadowska D., Finanse cz. II, Warszawa Greene W. H., Econometric Analysis, Hull J. C., Option, Future, and Other Financial Instruments, Prentice - Hall, 1998

Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh

Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh Czesto zakłada się, że szeregi czasowe wykazuja autokorelację ae sa homoskedastyczne W rzeczywistości jednak często wariancja zmienia się w czasie Dobrym przykładem

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka w Pakiecie Stata

Diagnostyka w Pakiecie Stata Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka w Pakiecie Stata

Diagnostyka w Pakiecie Stata Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Ćwiczenia 19/01/05

Ekonometria Ćwiczenia 19/01/05 Oszacowano regresję stopy bezrobocia (unemp) na wzroście realnego PKB (pkb) i stopie inflacji (cpi) oraz na zmiennych zero-jedynkowych związanymi z kwartałami (season). Regresję przeprowadzono na danych

Bardziej szczegółowo

Modele warunkowej heteroscedastyczności

Modele warunkowej heteroscedastyczności Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Racjonalne oczekiwania inwestorów P t = E(P t+1 I t ) 1 + R (1) Teoria Przykład - zwroty

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej: test RESET Testowanie normalności składników losowych: test Jarque-Berra Testowanie stabilności

Bardziej szczegółowo

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 1 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie stabilności parametrów modelu: test Chowa. Heteroskedastyczność Konsekwencje Testowanie heteroskedastyczności 1. Testy

Bardziej szczegółowo

Testy własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu

Testy własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu Część 2 Test Durbina-Watsona Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε

Bardziej szczegółowo

1 Modele ADL - interpretacja współczynników

1 Modele ADL - interpretacja współczynników 1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Modele o opóźnieniach rozłożonych Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych. Modele dynamiczne.

Wprowadzenie Modele o opóźnieniach rozłożonych Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych. Modele dynamiczne. opisują kształtowanie się zjawiska w czasie opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi

Bardziej szczegółowo

Analiza Szeregów Czasowych. Egzamin

Analiza Szeregów Czasowych. Egzamin Analiza Szeregów Czasowych Egzamin 12-06-2018 Zadanie 1: Zadanie 2: Zadanie 3: Zadanie 4: / 12 pkt. / 12 pkt. / 12 pkt. / 14 pkt. Projekt zaliczeniowy: Razem: / 100 pkt. / 50 pkt. Regulamin egzaminu 1.

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Za pomocą jakiego testu weryfikowana jest normalność składnika losowego? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada w tym teście? Jakie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Testy własności składnika losowego. Diagnostyka modelu. Część 1. Diagnostyka modelu

Wprowadzenie Testy własności składnika losowego. Diagnostyka modelu. Część 1. Diagnostyka modelu Część 1 Testy i ich rodzaje Statystyka NR 2 Cel testowania Testy i ich rodzaje Statystyka NR 2 Cel testowania Testy małej próby Testy i ich rodzaje Statystyka NR 2 Cel testowania Testy małej próby Testy

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych bezrobocia i inflacji w Danii

Analiza szeregów czasowych bezrobocia i inflacji w Danii Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych Mateusz Błażej Nr albumu: 308521 Analiza szeregów czasowych bezrobocia i inflacji w Danii Projekt zaliczeniowy z przedmiotu: Analiza Szeregów Czasowych

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 12 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne 2. Autokorelacja o Testowanie autokorelacji 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne

Bardziej szczegółowo

Czasowy wymiar danych

Czasowy wymiar danych Problem autokorelacji Model regresji dla szeregów czasowych Model regresji dla szeregów czasowych y t = X t β + ε t Zasadnicze różnice 1 Budowa prognoz 2 Problem stabilności parametrów 3 Problem autokorelacji

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10 Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Autokorelacja Konsekwencje Testowanie autokorelacji 2. Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością i autokorelacją Uogólniona Metoda Najmniejszych

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10 Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii wersja ogolna

Egzamin z ekonometrii wersja ogolna Egzamin z ekonometrii wersja ogolna 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Wymienić założenia Klasycznego Modelu Regresji Liniowej (KMRL). 2. Wyprowadzić estymator MNK dla modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi.

Bardziej szczegółowo

Autoregresyjne modele o rozłożonych opóźnieniach - Autoregressive Distributed Lags models

Autoregresyjne modele o rozłożonych opóźnieniach - Autoregressive Distributed Lags models Autoregresyjne modele o rozłożonych opóźnieniach - Autoregressive Distributed Lags models ADL ADL Ogólna postać modelu ADL o p-opóźnieniach zmiennej zależnej i r-opóźnieniach zmiennej/zmiennych objaśniających

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13 Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 02022015 Pytania teoretyczne 1. Podać treść twierdzenia GaussaMarkowa i wyjaśnić jego znaczenie. 2. Za pomocą jakich testów testuje się autokorelację? Jakiemu założeniu

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora. imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 0/0/0. Egzamin trwa 90 minut.. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu. Złamanie

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT Pytania teoretyczne Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 08-02-2017 1. W jaki sposób przeprowadzamy test Chowa? 2. Pokazać, że jest nieobciążonym estymatorem. 3. Udowodnić, że w modelu ze stałą TSSESS+RSS.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cihcocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cihcocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cihcocki Natalia Nehrebecka 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji w modelu 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia IV

Ćwiczenia IV Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Część 2 Hipoteza złożona Testowanie hipotez łącznych Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Hipoteza łączna H 0 : Rβ = q Hipoteza złożona Testowanie hipotez łącznych Zapis matematyczny Rozkład

Bardziej szczegółowo

Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski

Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski Dane krótko i długookresowe stopy procentowe Co wiemy z teorii? Krótkookresowe stopy powodują stopami długookresowymi (toteż taka jest idea bezpośredniego celu

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Ekonometrii

Egzamin z Ekonometrii Pytania teoretyczne Egzamin z Ekonometrii 18.06.2015 1. Opisać procedurę od ogólnego do szczegółowego na przykładzie doboru liczby opóźnień w modelu. 2. Na czym polega najważniejsza różnica między testowaniem

Bardziej szczegółowo

Problem równoczesności w MNK

Problem równoczesności w MNK Problem równoczesności w MNK O problemie równoczesności mówimy, gdy występuje korelacja między wartościa oczekiwana ε i i równoczesnym x i Model liniowy y = Xβ + ε, E (u) = 0 Powiedzmy, że występuje w

Bardziej szczegółowo

1. Pokaż, że estymator MNW parametru β ma postać β = nieobciążony. Znajdź estymator parametru σ 2.

1. Pokaż, że estymator MNW parametru β ma postać β = nieobciążony. Znajdź estymator parametru σ 2. Zadanie 1 Niech y t ma rozkład logarytmiczno normalny o funkcji gęstości postaci [ ] 1 f (y t ) = y exp (ln y t β ln x t ) 2 t 2πσ 2 2σ 2 Zakładamy, że x t jest nielosowe a y t są nieskorelowane w czasie.

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMat Pytania teoretyczne

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMat Pytania teoretyczne Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMat 31-01-2014 Pytania teoretyczne 1. Podać postać przekształcenia Boxa-Coxa i wyjaśnić, do czego jest stosowane w ekonometrii. 2. Wyjaśnić, jakie korzyści i niebezpieczeństwa

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Testowanie autokorelacji 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 3.Problemy z danymi Zmienne pominięte

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 14 1 1.Problemy z danymi Współliniowość 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością

Bardziej szczegółowo

Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski

Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski 10000 2000 4000 6000 8000 M3 use C:\Users\as\Desktop\Money.dta, clear format t %tm (oznaczamy tsset t tsline M3 0 1960m1 1970m1 1980m1 1990m1 2000m1 2010m1 t tsline

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora. imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 02/02/2011 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.

Bardziej szczegółowo

Budowa modelu i testowanie hipotez

Budowa modelu i testowanie hipotez Problemy metodologiczne Gdzie jest problem? Obciążenie Lovella Dysponujemy oszacowaniami parametrów następującego modelu y t = β 0 + β 1 x 1 +... + β k x k + ε t Gdzie jest problem? Obciążenie Lovella

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA

Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka

Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka 13 marca 2010 1 1. Kryteria informacyjne 2. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach (ADL) 3. Analiza

Bardziej szczegółowo

Ekonometria dla IiE i MSEMat Z12

Ekonometria dla IiE i MSEMat Z12 Ekonometria dla IiE i MSEMat Z12 Rafał Woźniak Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Warszawa, 09-01-2017 Test RESET Ramsey a W pierwszym etapie estymujemy współczynniki regresji w modelu:

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii wersja ogólna Pytania teoretyczne

Egzamin z ekonometrii wersja ogólna Pytania teoretyczne Egzamin z ekonometrii wersja ogólna 08-02-2017 Pytania teoretyczne 1. Za pomocą którego testu testujemy stabilność parametrów? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada H0 w tym teście? Jaka jest hipoteza alternatywna

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna

Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna 06-02-2019 Regulamin egzaminu 1. Egzamin trwa 90 min. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. 18 maja 2010

Natalia Nehrebecka. 18 maja 2010 Natalia Nehrebecka 18 maja 2010 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów 5. Testowanie

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 Diagnostyka a) Test RESET b) Test Jarque-Bera c) Testowanie heteroskedastyczności a) groupwise heteroscedasticity b) cross-sectional correlation d) Testowanie autokorelacji

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE ZADANIE 1 Oszacowano zależność między luką popytowa a stopą inflacji dla gospodarki niemieckiej. Wyniki estymacji są następujące: Estymacja KMNK,

Bardziej szczegółowo

1.8 Diagnostyka modelu

1.8 Diagnostyka modelu 1.8 Diagnostyka modelu Dotychczas zajmowaliśmy się własnościami estymatorów przy spełnionych założeniach KMRL. W praktyce nie zawsze spełnione są wszystkie założenia modelu. Jeżeli któreś z nich nie jest

Bardziej szczegółowo

1 Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) 2 Interpretacja parametrów modelu. 3 Klasyczny Model Regresji Liniowej (KMRL)

1 Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) 2 Interpretacja parametrów modelu. 3 Klasyczny Model Regresji Liniowej (KMRL) 1 Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) 1. Co to jest zmienna endogeniczna, a co to zmienne egzogeniczna? 2. Podaj postać macierzy obserwacji dla modelu y t = a + bt + ε t 3. Co to jest wartość dopasowana,

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 4

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 4 Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 4 1 1. Badanie sacjonarności: o o o Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) Tes KPSS 2. Modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) 3. Modele auoregresyjne

Bardziej szczegółowo

O sezonowości mówimy wtedy, gdy zmienna zmienia się w pewnym cyklu zwykle zwiazanym z cyklem rocznym

O sezonowości mówimy wtedy, gdy zmienna zmienia się w pewnym cyklu zwykle zwiazanym z cyklem rocznym Sezonowość O sezonowości mówimy wtedy, gdy zmienna zmienia się w pewnym cyklu zwykle zwiazanym z cyklem rocznym Na przykład zmienne kwartalne charakteryzuja się zwykle sezonowościa kwartalna a zmienne

Bardziej szczegółowo

Ekonometria dla IiE i MSEMat Z7

Ekonometria dla IiE i MSEMat Z7 Ekonometria dla IiE i MSEMat Z7 Rafał Woźniak Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Warszawa, 21-11-2016 Na podstawie zbioru danych cps_small.dat z książki Principles of Econometrics oszacowany

Bardziej szczegółowo

Stacjonarność Integracja. Integracja. Integracja

Stacjonarność Integracja. Integracja. Integracja Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli: Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli:

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii wersja ogólna Pytania teoretyczne

Egzamin z ekonometrii wersja ogólna Pytania teoretyczne Egzamin z ekonometrii wersja ogólna 31-01-2014 Pytania teoretyczne 1. Podać postać przekształcenia Boxa-Coxa i wyjaśnić, do czego jest stosowane w ekonometrii. 2. Porównaj zastosowania znanych ci kontrastów

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 8 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów

Bardziej szczegółowo

, a reszta dla pominiętej obserwacji wynosi 0, RSS jest stałe, T SS rośnie, więc zarówno R 2 jak i R2 rosną. R 2 = 1 n 1 n. rosnie. n 2 (1 R2 ) = 1 59

, a reszta dla pominiętej obserwacji wynosi 0, RSS jest stałe, T SS rośnie, więc zarówno R 2 jak i R2 rosną. R 2 = 1 n 1 n. rosnie. n 2 (1 R2 ) = 1 59 Zadanie 1. Ekonometryk szacując funkcję konsumpcji przeprowadził estymację osobno dla tzw. Polski A oraz Polski B. Dla Polski A posiadał n 1 = 40 obserwacji i uzyskał współczynnik dopasowania RA 2 = 0.4,

Bardziej szczegółowo

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów Własności algebraiczne Model liniowy Zapis modelu zarobki = β 0 + β 1 plec + β 2 wiek + ε Oszacowania wartości współczynników zarobki = b 0 + b 1 plec + b 2 wiek + e Model liniowy Tabela: Oszacowania współczynników

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Stopa bezrobocia

Przykład 2. Stopa bezrobocia Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 4

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 4 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 4 1 1. Własności hiperpłaszczyzny regresji 2. Dobroć dopasowania równania regresji. Współczynnik determinacji R 2 Dekompozycja wariancji zmiennej zależnej Współczynnik

Bardziej szczegółowo

1.9 Czasowy wymiar danych

1.9 Czasowy wymiar danych 1.9 Czasowy wymiar danych Do tej pory rozpatrywaliśmy jedynie modele tworzone na podstawie danych empirycznych pochodzących z prób przekrojowych. Teraz zajmiemy się zagadnieniem budowy modeli regresji,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora. imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 01/02/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.

Bardziej szczegółowo

Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16 Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE 2018 Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) 2018 1 / 16 Warunkowa heteroskedastyczność O warunkowej autoregresyjnej heteroskedastyczności mówimy, gdy σ

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 14 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne Obserwacje nietypowe i błędne Współliniowość - Mamy 2 modele: y X u 1 1 (1) y X X 1 1 2 2 (2)

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin 31/01/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria egzamin 31/01/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora. imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 31/01/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.

Bardziej szczegółowo

Modele wielorównaniowe (forma strukturalna)

Modele wielorównaniowe (forma strukturalna) Modele wielorównaniowe (forma strukturalna) Formę strukturalna modelu o G równaniach AY t = BX t + u t, gdzie Y t = [y 1t,..., y Gt ] X t = [x 1t,..., x Kt ] u t = [u 1t,..., u Gt ] E (u t ) = 0 Var (u

Bardziej szczegółowo

dr hab. Renata Karkowska 1

dr hab. Renata Karkowska 1 dr hab. Renata Karkowska 1 Miary zmienności: obrazują zmiany cen, stóp zwrotu instrumentów finansowych, opierają się na rozproszeniu ich rozkładu, tym samym uśredniają ryzyko: wariancja stopy zwrotu, odchylenie

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin 07/03/2018

Ekonometria egzamin 07/03/2018 imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 07/03/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10 Stanisław Cichoci Natalia Nehrebeca Wyład 10 1 1. Testowanie hipotez prostych Rozład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyi t Przedziały ufności Badamy czy hipotezy teoretyczne

Bardziej szczegółowo

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu

Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3 Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 3 1 1. Regresja pozorna 2. Funkcje ACF i PACF 3. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) 2 1. Regresja pozorna 2. Funkcje

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 26/06/08

Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 26/06/08 imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 26/06/08 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH

Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH Raport 10/2015 Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 1

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 1 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 1 1 1. Sprawy organizacyjne Zasady zaliczenia Ćwiczenia Literatura 2. Obciążenie Lovella 3. Metoda od ogólnego do szczególnego 4. Kryteria informacyjne 2 1.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Metodologia budowy modelu. Jerzy Mycielski. Luty, 2011 WNE, UW. Jerzy Mycielski (WNE, UW) Ekonometria Luty, / 18

Ekonometria. Metodologia budowy modelu. Jerzy Mycielski. Luty, 2011 WNE, UW. Jerzy Mycielski (WNE, UW) Ekonometria Luty, / 18 Ekonometria Metodologia budowy modelu Jerzy Mycielski WNE, UW Luty, 2011 Jerzy Mycielski (WNE, UW) Ekonometria Luty, 2011 1 / 18 Sprawy organizacyjne Dyżur: środa godz. 14-15 w sali 302. Strona internetowa

Bardziej szczegółowo

Autokorelacja i heteroskedastyczność

Autokorelacja i heteroskedastyczność Autokorelacja i heteroskedastyczność Założenie o braku autokorelacji Cov (ε i, ε j ) = E (ε i ε j ) = 0 dla i j Oczekiwana wielkość elementu losowego nie zależy od wielkości elementu losowego dla innych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin semestr drugi 14/06/09

Ekonometria egzamin semestr drugi 14/06/09 imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin semestr drugi 14/06/09 1. Przed przystąpieniem do pisania egzaminu należy podpisać wszystkie kartki arkusza egzaminacyjnego (na dole w przewidzianym miejscu).

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin 06/03/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria egzamin 06/03/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora. imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 06/03/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wprowadzenie do danych panelowych a) Charakterystyka danych panelowych b) Zalety i ograniczenia 2. Modele ekonometryczne danych panelowych a) Model efektów nieobserwowalnych

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość?

Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość? Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość? Wykres stopy bezrobocia rejestrowanego w okresie 01.1998 12.2008, dane Polskie 22 20 18 16 stopa 14 12

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015

Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015 Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 29/01/08

Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 29/01/08 imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 29/0/08. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa wprowadzenie

Regresja liniowa wprowadzenie Regresja liniowa wprowadzenie a) Model regresji liniowej ma postać: gdzie jest zmienną objaśnianą (zależną); są zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi); natomiast są parametrami modelu. jest składnikiem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Zajęcia

Ekonometria. Zajęcia Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t

Bardziej szczegółowo

4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej

4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej 4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej 1. Średnia w próbie uczącej Własności: y = y = 1 N y = y t = 1, 2, T s = s = 1 N 1 y y R = 0 v = s 1 +, 2. Przykład. Miesięczna sprzedaż żelazek (szt.)

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin wersja ogólna 29/01/08

Ekonometria egzamin wersja ogólna 29/01/08 imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin wersja ogólna 29/0/08. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników

Bardziej szczegółowo

Magdalena Gańko Rafał Janaczek. Model ekonometryczny. Zastosowanie mechanizmu korekty błędem w modelowaniu kursu walutowego

Magdalena Gańko Rafał Janaczek. Model ekonometryczny. Zastosowanie mechanizmu korekty błędem w modelowaniu kursu walutowego Magdalena Gańko Rafał Janaczek Model ekonometryczny Zastosowanie mechanizmu korekty błędem w modelowaniu kursu walutowego Warszawa 2006 Spis treści Wstęp...3 Rozdział I Podstawowe informacje teoretyczne...4

Bardziej szczegółowo