INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ
|
|
- Maksymilian Rafał Zakrzewski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 BIULETYN INFORMACYJNY INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA TEL w i 1248 NOWOWIEJSKA 25 Nr 14/K.T.M.C.12 luty 1968 Prof.dr Bogumił Staniszewski Katedra Teorii Maszyn Cieplnych ANALIZA ZJAWISK TERMOELEKTRYCZNYCH PRZY ZASTOSOWANIU RÓŻNYCH PRZEPŁYWÓW TERMODYNAMICZNYCH Φ Wykaz oznaczeń β ^ _ ciepło właściwe elektronów e - energia wewnętrzna e? _ parcjalna energia wewnętrzna F^ - przepływ termodynamiczny i. - parcjalna entalpia 1" - entalpia parcjalna elektronów Jq, J'q, JB, J^, Ju - przepływy energii - przepływ substancji - przepływ elektronów j - przepływ entropii L oo q ' L oi 4» L i0 q ' L ii q l 00 E L 0i E L 10 E ' L ii E - L 'Í>o L "oi L»10, L«llt L U 00, L u 01, L U 10, L u ±1 - współczynniki fenomenologiczne ρ - ciśnienie Q q, Q^, Q1", Q^ - ciepło przenoszenia elektronów Q - ciepło Peltiera S.^ - entropia parcjalna S^ - entropia parcjalna elektronów
2 - г - S 1A' S 1B ~ entropia parcjalna elektronów dla przewodników A i В S^4, S^, S^, S u - entropia przenoszenia elektronów t - czas Τ - temperatura v^ - parojalna objętość właściwa - bodziec termodynamiczny SA, ε g - współczynnik efektu Seebecka dla przewodników A i В AB ~ ws PÓ* cz y nni k efektu Seebecka dla zespołu przewodników A i В - przewodność cieplna μ, - potencjał chemiczny μ, μ' ^ - potencjał elektrochemiczny /7д, /7В - współczynnik efektu Peltiera dla przewodników A i В /7ав - współczynnik efektu Peltiera dla zespołu przewodników A i В ę - gęstość в - prze-wodność elektryczna в ~ wydajność źródła entropii τ - współczynnik efektu Thomsona φ - potencjał elektryczny ф - funkcja wydajności źródła entropii
3 1. W s t ę p Termodynamika procesów nieodwracalnych stanowi dziedzinę, która ostatnio bardzo szybko rozwija się i staje się w ooraż większym stopniu narzędziem pracy inżyniera. Powoduje to konieczność stworzenia opracowań o charakterze technicznym, nadających się do zastosowań inżynierskich. Praoa niniejsza ma na celu przedstawienie analizy zjawisk termoelektrycznych, przy zastosowaniu różnyoh rodzajów przepływów termodynamicznych, wprowadzanych w termodynamice procesów nieodwracalnych. Należy przy tym zaznaczyć, że w niektórych publikacjaoh można spotkać nieścisłości, a nawet błędy wynikające z różnorodności pojęć wprowadzanych w termodynamice procesów nieodwracalnych. Przyczynami tej różnorodności pojęć są: a) trudności jednoznacznego zdefiniowania przepływów energii związanyoh z wymianą ciepła i dyfuzją i ich rozdzielenia, b) różne sposoby definiowania prędkości i strumieni dyfuzji. W przypadku analizowania zjawisk termoelektrycznych najdogodniej jest stosować prędkość i strumień dyfuzji, odniesiony do siatki krystalioznej ciała stałego. Przepływ prądu stanowi wówczas przepływ strumienia substanoji, tzn. elektronów. Ten sposób opisu zjawiska dyfuzji został zastosowany w niniejszej přaoy. Pozostaje więc jeszcze możliwość użycia różnych rodzajów przepływów energii. V dalszym ciągu zostaną przedstawione podstawowe zależności opisująoe wymianę ciepła, przepływ prądu óraz efekty termoelektryczne przy zastosowaniu częściej spotykányoh w różnych publikacjaoh przepływów energii.
4 Bodźce i przepływy stosowane w termodynamice procesów nieodwracalnych Punktem wyjścia do określenia bodźców i przepływów jest wyrażenie opisujące wydajność źródła entropii CD co można także zapisać w postaci równoważnej wygodniejszej do zastosowania w zagadnieniach technicznych. Przepływy Jk mogą być różne nawet przy analizowaniu tyoh samych zjawisk, co wynika z trudności, jakie się spotyka przy określaniu "strumienia ciepła" w układzie otwartym. W pracach z dziedziny termodynamiki procesów nieodwracalnych [2], [3], [4] najczęściej są spotykane 3 przepływy charakteryzujące strumienie ciepła w układzie otwartym, które będą oznaczane symbolami JE, j' " 4 oraz J 4 i które są definicwane następująco: a. Przepływ zawiera strumień energii spowodowany dyfuzją oraz przepływem ciepła. Przepływ ten otrzymuje się, rozważając bilans energii dla wydzielonego elementu ośrodka ciągłego. b'. Przepływ stanowiąoy czysty przepływ ciepła bez dyfuzji, tzn. nie związany z przepływem substancji. Wielkość tę otrzymuje się, analizując bilans energetyczny ośrodka ciągłego przy wykorzystaniu postulatu lokalnej równowagi, który pozwala na oddzielenie czystego przepływu ciepła oraz dyfuzji, jakkolwiek należy zwrócić uwagę na fakt, że podział taki nigdy nie jest jednoznaczny. c. Przepływ Jq nazywany także strumieniem wynikającym z II zasady termodynamiki. Ze względu na niemożność jednoznacznego rozdziału strumienia energii związanego z "czystą" dyfu-
5 - 5 zją i "ozystym" przewodzeniem ciepła, w przypadku układu otwartego zachodzi pewna dowolność podziału. Wprowadzone wielkości są ze sobą związane następującymi zależnościami: JE = Jq + Σ V i ' ( 3 ) = J' - Ł J± Ρ Vj, (4) J q "q i oraz J E= J q + C J i V C5) Równanie energii przy pominięciu lepkości i reakcji chemicznych oraz przy zastosowaniu wprowadzonych poprzednio bodźców może być napisane w jednej z trzeoh następujących postaci: <? -ff-= E J i - div Jb, (β) 9-Й-* Ε JÍXÍ - div Jq - divcl е±.а.) = = ^JjX. - div Jq - Øjdiv J± - J ± grad e± (7) <?ff = Ε J i x i - div Jq - div С Ε V i ) = = Ε J ^ - div J - Ε i, div J. - E j, e rad i- C8) ц ^ j. x. ^ x Bodźce.Ig, Jq oraz Jq mogą być także wprowadzone do wyrażenia na strumień entropii, co prowadzi do wzorów: j s =i(j B - Ε μ± J ±) «о
6 «ρ j i]. < ιο > J. - T J q + 5 J i V- Cll > Odpowiednie zależności opisujące wydajność źródła entropii przedstawiają się następująco: φ = -Jggrad (ln T) - ^ j J t grad - x j, (12) 0= -Jq grad (ln Τ) - X Jf[l grad - + g r a d TJ, (13) Φ = -Jq grad (ln Τ)- ζ JA[(grad <ui)t - x j = = Jq grad(ln Τ) - ξ] J^grad,,, /z^), (14) gdzie (grad μ 1)T = grad μ ± + S1 grad T. (15) Wyrażenie, w którym występuje Jq jest niewygodne w zastosowaniach, gdyż bodziec sprzężony ze strumieniem J^ ma wówczas niedogodną postać. Najczęściej wykorzystywane są więc równania zawierające bodźce Jg oráz Odpowiednio wielkośoiami sprzężonymi są więc: Jg i grad (ln T) oraz J± i Τ grad (r^r) - lub Jq i grad (ln T) oraz J± i (grad /"1)T - lub i grad μ'±. Poza wymienionymi bywają również stosowane inne przepływy. Ponadto s w niektórych publikacjach [i], [б] są stosowane jeszoze inne rodzaje przepływów, a mianowicie przepływ zdefiniowany zależnością
7 - 7 - J,, q - TJ s C16) oraz przepływ J związany z przepływem J" równaniem q j n q B j u - ę./i J l (17) Wydajność źródła entropii opisana jest wówczas wzorami grad (ln Ό - Ł (grad μ ± - X±) (18) z odpowiednimi wielkościami sprzężonymi J"q i grad (ln T) oraz Ji i grad μ± - X1 lub Φ = -J grad (ln T) - Ε J. Τ grad i z wielkościami sprzężonymi Ju i grad (ln T) oraz i Τ grad Af^. Wielkości J"q, Ju, JB i Jq są związane ze sobą w sposób następujący J"q = JB - Ε, (19) J"q = J q + Ε J i TS i. (20) Ju = JE + Ji, (21) Ju = Jq + EJÍ[ÍÍ + ( / i - μ ^ ]. (22) Te przepływy są szczególnie dogodne np. przy analizowaniu zjawisk termoelektrycznych. Równanie, energii przy zastosowaniu powyższych przepływów będzie miało odpowiednio jedną z podanych postaci
8 - d i v j "q - d i v c ę ^ ) = - div j»q - - Ł Mi d i v J i - Ε J, gřad μ Λ, (23) i 1 i α. 9 SR- E J i X i - J U + div Σ,ίμ. - μ^ J± = Ε J. A - - div Ju + E ^ ' j - div 3± + Ę*^ grad (μ\~ (24) Warto również zwrócić uwagę na fakt, że w przypadku "czystego" przewodzenia ciepła bez dyfuzji, wartości wszystkich' zdefiniowanych poprzednio przepływów są takie same. Różnica między nimi polega więc na wpływie dyfuzji i różnym sposobie jej uwzględniania. 3. Zastosowanie przepływów Jq oráz J^ do analizy zjawisk termoelektrycznych W dalszym ciągu rozważany będzie przypadek jednowymiarowego przepływu ciepła i prądu w przewodniku prądu elektrycznego. Przepływy Jq oraz J^ pozwalają opisać zjawiska termoelektryczne w sposób najdogodniejszy, jakkolwiek nie ma podstaw, aby uważać je w tym przypadku za uprzywilejowane w porównaniu' z innymi bodźcami. Równanie energii ma postać następującą (8) <? J = L - "ν Jq - Ε 4 div J. - grad i.. Równania fenomenologiczne opisujące wymianę ciepła oraz.dyfuzję, którą stanowi przepływ prądu wyrażają się następująco: -Jq = L 4 00 grad (ln T) + L q 01 gradt <u\, ~ J i = l4 10 grad + L ii 4 eradt μ'±, (25) (26)
9 - 9 - przy czym, zgodnie z zasadą Onsagera zachodzi równość Lq oi = L 4 io C27 > Poszczególne efekty termoelektryczne, elektryczne i cieplne można otrzymać z analizy podanych równań wprowadzając ich pewne modyfikacje. a. Przewodzenie c.iepła Jeśli nie ma przepływu prądu J^ = 0, to _J = Lq Ь \ " α ' 0 ί ) 2 grad Τ, (28) 4 T l4h przy czym wykorzystano tu zasadę Onsagera. Współczynnik,q Tq /т q L 00 L 11 < Ł 01) = λοο (29) Τ jest przewodnością cieplną, przy czym należy dodać, że przewodzenie ciepła zachodzi w obecności gradientu potencjału gradjj, μ ^ wywierającego dodatkowy wpływ na zjawisko przewodzenia. W przypadku ciała będącego przewodnikiem prądu elektrycznego gradient ten wystąpi zawsze i jest powodowany przez gradient temperatury, który warunkuje możliwość przewodzenia ciepła przez ciało. Równanie przepływu ciepła bez przepływu prądu może więc być zapisane następująco (-J ) = λοο grad Τ. (30) 4 J.=0 r i= b. Przewodzenie prądu "Czyste" przewodzenie prądu zachodzić będzie wówczas, gdy w przewodniku nie ma gradientu temperatury, czyli grad Τ = 0,
10 wowozas "^l = L q n grad Τ <"'ί (31) 1 następnie ff 'l 1,, L q <Ί2Υ gradt μ± ь ц oznacza przewodność elektryczną, c. Efekt Thomsona Najpierw wprowadzona zostanie wielkość J L q zwana ciepłem i grad T=0 q < 33 ) L ii przenoszenia. Następnie można zdefiniować entropię przenoszenia S^ Q 4 S i 4 = ~ f ~ + S 1 (34) Wielkości te pozwalają na przekształcenie równań opisujących przepływy Jq oraz J±, a mianowicie Jq = - grad Τ + Q± q J±, (35) = Q1 4 - L grad Τ + <j gradt μ \, (36) przy czym wykorzystano zależhości (29), (32) i (33). Równanie energii (8) dla rozważanego przypadku jednowymiarowego przepływu ciepła i prądu, upraszcza się do postaci 9 "ff" = J 1 grad Ψ - d i v J q - J i grad 4. С 37 ) gdyż dla przewodnika prądu div J = o,
11 Gradient entalpii parcjalnej elektronów 'i można zapisać następująco (przy pominięciu pochodnej cząstkowej entalpii względem ciśnienia, gdyż w układzie ciśnienie jest stałe): grad i± = epl grad Τ + (grad p, (38) gdzie (grad p oznacza składowy grad i^ przy stałych p i T. To ostatnie wyrażenie, w przewodniku jednorodnym, jest równe zeru i przejawia się na granicy różnych przewodników. W związku z tym, po uwzględnieniu równań (37) oraz (38), równanie energii dla przewodnika jednorodnego przyjmuje następującą postać?- f-= J± grad φ - div Jq - J± 0 ± grad T. (39) Z równania (36) wynika, że w rozważanym przypadku - ' J i Q i 4 gradt μ ± = - - grad Τ = -grad φ, (40) co wynika z definicji potencjału elektrycznego przewodnika. Korzystając ponadto z wyrażeń (35) i (36) można przekształcić równanie (39) do postaci następującej j 2 Q q d i v C rad T ) - d i v CQ1 q J1) + J1 gradt + " J l C pi grad Τ Ponieważ div (Q± q J±) = J± grad Q., 4 + Q^ div J± = = J^^ grad Q^4 wobec div J± = o, oraz o q -J± grad Q± 4 + J1 ψ grad Τ = -J±T Q± q grad Τ - Τ grad Q Q Q 4 ^ 'i* grad-f-,
12 ostatecznie de J 1 4 Q4 q?ďt = d l v ( rad J i( T grad- -+Cpl grad Τ). (42) Z równania (38) wynika, że zmiana temperatury elementu nieizotermlcznego przewodnika spowodowana jest trzema przyczynami: 1) przewodnością cieplną ( λ ), 2) przewodnictwem elektrycznym (5), 3) dodatkowym efektem, wyrażającym się trzecim wyrazem po prawej stronie równania (42), zwanym ciepłem Thomsona. Ponieważ as. Q q τ( -ΊΓΊ^ρ - c pi o r a z - f - = s i q - s i. więc po wprowadzeniu oznaczenia as. 4 г - - τ (-yf-)p (43) otrzymuje się V Τ grad -γ- + Cpl grad Τ = - τ grad Τ, co pozwala na zmodyfikowanie równania energii J 2 9 -ff-= div ( λ«, grad Τ) + + Γ grad Т. (44) W równaniu (44) ostatnie wyrażenie po prawej Ptronie stanowi ciepło Thomsona, wyrażone w zależności od współczynnika τ. d. Efekt Seebecka Z równania (40) wynika, że w przypadku, gdy nie ma przepływu prądu, zachodzi zależność Q q gradt = - -jr- grad Τ i -(S^ - S±) grad T, (45)
13 co oznacza, że η przewodniku nieizotermicznym powstaje różnica potencjałów elektrycznych, związana z ciepłem przenoszenia elektronów. Wielkość ta nosi nazwę potencjału termoelektrycznego, który w praktyce jest na ogół wykorzystywany w obwodzie złożonym z 2 różnych przewodników A i B. Współczynnik efektu Seebecka, opisujący potencjał termoelektryczny dla przewodnika definiuje się następująco a = lim C-f^j = - lim (* ). (46) 1 1 Korzystając z zależności (15) (34) oraz (36) można otrzymać następujące wyrażenie - grad μ\ = (S1 q - S1) grad Τ + S± grad Τ = S1 q grad Τ i następnie grad μ\ S^ 4 grad Τ q e A = grad Τ = grad Τ = S 1A ΔΊ!-*Ό J^=0 Tak określony współczynnik ед uwzględnia wpływ\zmiany koncentracji elektronów, scharakteryzowanej potencjałem elektrochemicznym μ'. Efekt ten staje się istotny dopiero wówczas, gdy obwód złożony jest z różnych przewodników. Współczynnik А, В jest równy efektu Seebecka dla układu 2 przewodników AB = A - B = S ia 4 - S 1B 4. ( 48 > co wynika z addytywności potencjałów. Korzystając z równań (39) i (43) otrzymuje się (49)
14 θ. Efekt Peltiera Efekt Peltiera polega na zjawisku pochłaniania lub wydzielania się ciepła w miej3cu połączenia dwóch różnych przewodników, przy czym połączenie to ma stałą temperaturę, a więc zachodzi w nim warunek grad Τ = 0. Ponadto na połączeniu zachowane są dodatkowe warunki, a mianowicie J^ = const (w obu przewodnikach) oraz μ'^д = μ' Istotą efektu Peltiera jest różnica przepływów energii w obu przewodnikach. Z bilansu energetycznego elementu zawierającego miejsce połączenia przewodników wynika, że należy brać różnicę przepływów J"q lub Ju, gdyż przepływy te zawierają wielkość Jg, która stanowi strumień energii przenoszonej przez wymianę ciepła i dyfuzję oraz strumień energii związany z przepływem prądu przy pokonaniu kontaktowej różnicy potencjałów w miejscu zetknięcia się obu przewodników. Ciepło Peltiera jest więc równe Q p = ( J "qa " J "qb^grad Τ = 0 * (50) Z definicji pojęcia ciepła przenoszenie wynika, że ^"qa^grad T=0 = J i Q "la ' ^"qb^gra'd T=0 = J l Q "ib (51) (62) Z równania (20) oraz (34) otrzymuje się Q 1A 4 + TS 1A - TS 1A 4 > (53) Q"IB - <*IB 4 + ts IB = t s \B. (54) a więc % - J l T i S la q - V ) ' (55) Wielkość "AB - T < S 1A 4 - S ib 4 ) (56)
15 nosi nazwę współczynnika efektu Peltiera i ciepło Peltiera może być wyrażone następująco Q p=n A BJ ±. (57) Współczynnik Π bywa również określany dla pojedynczego przewodnika, a jego definicja jest następująca Π Α = TS 1A 4 ' < 58 > Пв = TS1B*. (59) Ze wzoru (48) wynika ponadto zależność między współczynnikami Г?дв oraz дв Π Α Β = ΐ Α Β. (60) 4. Zastosowanie przepływów J oraz J^ do analizy zjawisk termoelektrycznych Podobnie jak poprzednio w dalszym ciągu zostaną przeanalizowane zjawiska termoelektryczne przy użyciu przepływów oraz J^. Równanie energii ma postać następującą (6) 9-ff = Ε Ji Xi - div JE, zaś równania fenomenologiczne - J E = L E 0 0 grad (ln T) + L 0 1 B [Τ grad(^-) X J, (61) -J± = L10 E grad (ln T) + L±1 B [τ grad^) - x j, (62) przy czym zgodnie z zasadą Onsagera L oi B - L io B C63 >
16 a. Przewodzenie ciepła W przypadku, gdy J^ = O, zachodzi zależność Ε Б Ε 2 L 00 L il ~ ^L01 ) - l Ε grad Τ, 11 przy czym wówczas Jg = a więc Е Е Ε ^ Ł oo Ł n - C Ł 0i) = λοο ( 6 4 ) i następnie C-J ) = Λο. grad Τ. (65) E 1=0 b. Przewodzenie prądu Warunkiem "czystego" przewodzenia prądu jest grad Τ =0, a wówczas " J 1 = l ii E ( g r a d " X l ) ' ( 6 6 ) Przewodność elektryczna J = - ^ 'gradt(ííjl grad- д^ - X± X.^ grad T=0 czyli L±1 B. (67) с. Efekt Thomsona Ciepło przenoszenia jest obecnie równe J L E Q i E = grad T=0 = ( 6 8 ) 11 zaś entropia przenoszenia
17 Q E St B S±. (69) Wielkości oraz Q^ są związane ze sobą następującą zależnością O ε _ (% _ ( W l ^ _ Λ + i ) Ч 1 ~ J^ grad Τ=0 ~ ^ J± 'grad Τ=0 ~ + ł l'grad Τ=0, ą więc «i = Q± q + i±, (то) oraz s i E - s i 4 C71) Ε Korzystając z wyrażeń na S' oraz, można, podobnie jak poprzednio, przedstawić zależności opisujące Jg oraz J.^ w formie następującej: JB = - λοο grad Τ + Q± B J±, (72) lub - J i = (Q i B - Vf" g r a ť l T + ff rad T ^'l ' C73) -Ji = (Q± B -^p-l-grad Τ + <? grad μ\. (74) Równanie (6) dla rozważanego jednowymiarowego zagadnienia upraszcza się do postaci 9 "TT" = J L X L ~ DIV J E lub? "ff = J i grad ψ - div JB. (75)
18 Korzystając z równania (72) można wyeliminować Jg i następnie podstawić z (73) wartość - i, -grad φ = --ψ ^-if grad Τ = gradt μ' χ, co prowadzi do nowej postaci równania energii j i 2. V «i E - V <?-gf- = div ( λοο grad Τ) + + * X T grad Τ - - div (Q1 E J±), ponieważ div ( Q ^ ) = J t grad Q± S + Q± E div J± = J± grad Q± B, więc po przekształceniach analogicznych do poprzedzających wzór (42) otrzymuje się j 2 Q Б <?-ff = div ( λ^ grad Τ) - J1(T grad + grad, (76) albo po uwzględnieniu zależności (38) wzór (42). Równanie to, po wprowadzeniu współczynnika Τ zdefiniowanego wzorem (43), prowadzi do zależności (44), wyprowadzonej już poprzednio. Współczynnik Γ można też wyrazić w funkcji ciepła prze- Ε noszenia Q±, a mianowicie Г grad Τ = Τ grad -^-η, + cpl grad Τ (77) lub, korzystając ze wzorów (43) oraz (71) 9 S- E i«a τ p 1
19 d. Efekt Seebecka Współczynnik efektu Seebecka, zgodnie z równaniem (47), jest równy grad fi 'д 6 A = grad Τ ' /IT-» O J±=0 Korzystając z zależności (74) otrzymuje się następnie Ε с Q 1A "^1 _ ς 'E ς (1Q-) А Ť ΙΑ - ΙΑ " ψ -» albo Współczynnik efektu Seebecka dla układu 2 przewodników A, В wynosi, zgodnie z równaniem (48) *AB = A - B = < S i/ - S ib B > - < 81 > Warto zauważyć, że podobnie jak poprzednio, słuszna jest zależność (49) wiążąoa współczynniki efektów Thomsona i Seebeoka ~ T ^Τϊ^ρ ' e. Efekt Peltiera Korzystając z zależności (58), (59) i (60) oraz (7i), otrzymuje się następujące wyrażenia, wiążące współczynnik ε efektu Peltiera z entropią przenoszenia S^ ' Π Α = TS 1A E - ť la ' ( 8 2 ) п в = TS ib B - Чв- ( 8 3 ) "ab = t^sia B - s IB B > - - i«) '
20 f Oczywiście spełniona jest również zależność (60) Π ΑΒ = T AB 5. Zastosowanie przepływów J"q oraz J^ do analizy zjawisk termoelektrycznych Równanie energii ma postać (23) <? f-= X-J^i - div J"q - Σμ ± div J± - LJj. grad μ ±, a wobec div J. = 0 i rozpatrywania tylko jednego strumienia J± może być ono przedstawione następująco?1t= l - d i v J " q ' - J l grad ^ 1 Równania fenomenologiczne przedstawiają wyrażenia: -J»q = L"00 grad (ln T) + L01" (grad μχ - Χ±), (85) -J = L"10 grad (ln T) + L±1" (grad μ± - Χ±) (86) i zgodnie z zależnością Onsagera L 0 1"=L» 1 0. (87) a. Przewodzenie ciepła W przypadku J^ = 0 zachodzi zależność r, «т ÍL 11 _ J %. Ł oo L 11 / Ł 01 grad T f ( 8 8 ) q ii przy czym wówczas J"q = Jq = Jg, a więc
21 i następnie (-J"q)j 0 = grad Τ. n 1 (90) a b. Przewodzenie prądu Warunkiem "czystego" przewodzenia prądu jest grad Τ = 0, wówczas " J i = L ii" (s rad Λΐ ~ (91) i przewodność elektryczna <*= - С ^ / Л X^grad T=0 = L li" C92) с. Efekt Thomsona Ciepło przenoszenia jest równe Q l" = (j^grad T=0 - L11" (93) zaś entropia przenoszenia Q " V " "T" + s i ' C94) Wielkości Q± q oraz Q1" są związane ze sobą następującą zależnością j" J + TJ1S1 Qj:" = (j^^grad T=0 = ζ J±. } grad T=0 " J = ("jj" + ' rs i>grad T=0, a więc Q±" = Q1 q + TS± (95) oraz Sl" = S1 q + S±. (96)
22 Korzystająo z (wyrażeń na 3" oraz <ł±" można przedstawić zależności opisujące J"q oraz J± w formie następującej Jq" = - λ«, grad Τ + Q1", (97) -J± m Q1"- -grad Τ + ff grad /ł'±. (98) Równanie energii móżna przekształcić η dalszym ciągu ^St 3 1 J i grad ψ ~ dlv J "q " J l grad (99) Podstawiając do tego równania wartość J"q z wyrażenia (97) oraz z (98) wartość - grad φ = gradt μ'± = grad μ ± + S± grad Τ = J Q " = grad Τ + S± grad Τ otrzymuje się J i 2 «M V - TS l> ę l = div ( λοο grad Τ) +-5- = - ^ grad Τ - - diviq^ Jt) - J± grad μ ±, następnie div (Q±" Jt) = Jt grad QA" + Qj" div J t = J± grad Q^' i ostatecznie J ^ Q " div ( λ«grad Τ) - J±(T grad + S± grad Τ + + grad μ ±), (100) zaś po uwzględnieniu definicji współczynnika Τ otrzymuje się zależność (44).
23 Współczynnik г и funkcji ciepła przenoszenia Q^1 przedstawia się następująco Q " - r grad Τ = Τ grad -γ-, (101) lub г эs." as. ι - - T [(-Trh - HnrbJ d. Efekt Seebecka Współczynnik efektu Seebecka jest równy grad μ'. - - grad Τ (l03 > ΔΤ Ο J±=0 Korzystając ζ zależności (98), otrzymuje się następnie С _ "* _ С II о Α Τ ~ ΙΑ 1А ' Współczynnik efektu Seebecka dla układu z przewodników A, В wynosi *AB = f A - f B = < S 1A" - S 1B"> - - S ib) Podobnie jak poprzednio spełniona jest zależność Γ = - Τ. e. Efekt Peltiera Z zależności (58), (59) i (60) oraz (96) wynikają następujące wyrażenia opisujące zależność współczynników efektu Peltiera od entropii przenoszenia Sj": Π Α = T < S 1A" * S 1A>. Cl05) /7B = T(S1B" - S1B), (106) "AB - T^1a" - S 1b") - T < S ia - S ib> ' (107)
24 Podobnie jak poprzednio słuszna jest zależność Π ΑΒ = T 6 AB ' 6. Zastosowanie przepływów Ju oraz Ji do analizy zjawisk termoelektrycznych Równanie energii ma postać następującą 3 * ę s i - ę j i x i - d i v j u + ę c / i -' u i ) d i v J i + + s rad c/ A. i co można uprościć, podobnie jak poprzednio, do postaci <? f ł = J l X i - d i v J u + J i srad - ' Równania fenomenologiczne przedstawiają wyrażenia - Ju = L00 u grad (ln T) + L01 u Τ grad, (Ю8) - = L10 u grad (ln T) + L1±" Τ grad, (109) Zależność Onsagera a. Przewodzenie ciepła Gdy <1^=0, zachodzi związek u = 2 T u. U ( T L ~ 01 J grad τ Clii) ЧЪ1± а i następnie
25 L oo U L ii U - а б1 Ц) _ λ{ TL lb il U (112) oraz C-Ju)j = λoo grad Τ 1=0 (113) b. Przewodzenie prądu W warunkach "czystego" przewodzenia prądu grad T=0 i z zależności (109) otrzymuje się - J u = L ii U T grad "Ť 1 zaś przewodność elektryczna, i γ u o = - ( - Γ - ' grad T=0 ~ Ь 11 ' grad ^ ± & (114) c. Efekt Thomsona Ciepło przenoszenia jest równe o a - flit) = 01, Ч 1 ~ Jj^grad 'i T=0 τ L u 11 (115) zaś entropia przenoszenia Q «S1 = + s1 (116) Wielkości Q± q oraz C^11 są związane zależnością 0 u - ( ) 4 1 " J/ grad T=0 J q + V i * grad T=0, Q± U = Q± 4 + ii - ψ = Qi 4 + TS i +, (117) zaś entropia przenoszenia
26 ч u - ч ч x-ii. ψ - ч ч. Ч, M'l Гл*а\ i 1 + ΪΓ S i + S 1 + (118) Korzy s taj ąo z wyrażeń na б" oraz Q^, można przedstawić zależności opisujące <ТЦ oraz J1 w formie następującej: Ju - - λ o grad Τ + Q1 U J1, (119) -J± = - μ\) -fr grad Τ * <? grad μ\. (120) Równanie energii może być przekształcone do postaci de 9-jjr = J± grad ψ - div Ju - J± grad φ = -div Ju, wobec (119) zachodzi związek 9-jff- = div ( λοο grad Τ) - div (Q± u J±), i następnie div (Q± u J±) - J± grad Q± u + Q1 u div J± = J ± grad Q^. Ostatecznie więc Ж = d i v C λο srad T) ~ J i grad Q i U ' Współczynnik г można przedstawić następująco u J 1 - τ grad Τ = grad Qi czyli grad Q l" Jt, grad Τ čí grad Τ ' op po uwzględnieniu wzoru (120) prowadzi do wyniku
27 τ = -τ ss^ as1. T_a (JLl ) Э Т Т " (1.21) d. Efekt Seebecka Współczynnik efektu Seebecka jest równy grad- μ'ы S A = grad Τ * 4Τ Ο J±=0 Korzystając ζ zależności (120) otrzymuje się Q 1A - ^ 1A u ч A P- ia Ε Α = Ť " ΙΑ ~ 1 Τ (122) Współczynnik efektu Seebecka dla układu 2 przewodników *AB - - B - ^ S1A U - S 1B U > - < S 1A ~ *1B> ' ( L 2 3 ) gdyż wówczas \a = ι^'ιβ" Słuszna jest także zależność τ = - τ ("Η")ρ. d. Efekt Peltiera Z.zależności (58), (59) i (60) óraz (118) wynikają następujące wzory: μ ία Π Α = T ~ S 1A " Τ τ ) ' (124) " В = T C S IB U - S 1B У IB iji J ι (125) "ab = T ( S^ '1A U - S "IB -«U) - TCS 1A -- S 1B), (126) gdyż ^ ib Podobnie jak poprzednio słuszna jest zależność П АВ = T C AB '
28 Bibliografia 1. Cailen H.B.: Thermodynamics. J.Wiley, New York, I Pitts D.O.: Nonequilibrium Thermodynamics. Mo Grav Hill, New York, 1962, 3. De Groot S.R., Mazur P.: Nonequilibrium Thermodynamics, North-Holland Publishing Company, Haase R.: Thermodynamik der irreversiblen Prozesse, Steinkopf Verlag, Darmstadt, Ilatsopoulos G.N., Keenan J.H.: Principles of General Thermodynamics, J.Wiley, New York, Wyk. ZG PW. z.394, n
INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ
BIULETYN INFORMACYJNY INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA TEL. 215021 w. 32 i 48 NOWOWIEJSKA 25 Nr.i/K.T.M.C.i czerwiec 1965 Doc.dr Bogumił Staniszewski Katedra Teorii Maszyn
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Nasze wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczyły układów w równowadze termodynamicznej lub
Bardziej szczegółowo3. Równania konstytutywne
3. Równania konstytutywne 3.1. Strumienie w zjawiskach transportowych Podczas poprzednich zajęć wprowadziliśmy pojęcie strumienia masy J. W większości zjawisk transportowych występuje analogiczna wielkość
Bardziej szczegółowoZjawisko termoelektryczne
34 Zjawisko Peltiera polega na tym, że w obwodzie składającym się z różnych przewodników lub półprzewodników wytworzenie różnicy temperatur między złączami wywołuje przepływ prądu spowodowany różnicą potencjałów
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA PROCESOWA
TERMODYNAMIKA PROCESOWA Wykład III Podstawy termodynamiki nierównowagowej Prof. Antoni Kozioł Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Uwagi ogólne Większość zagadnień związanych z przemianami różnych
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
Z E S Z Y T Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ TADEUSZ BURCZYŃSKI METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH ECHANIKA Z. 97 GLIWICE 1989 POLITECHNIKA
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
ANALIZA PRZEKAZYWANIA CIEPŁA I FORMOWANIA SIĘ PROFILU TEMPERATURY DLA NIEŚCIŚLIWEGO, LEPKIEGO PRZEPŁYWU LAMINARNEGO W PRZEWODZIE ZAMKNIĘTYM Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie obserwacja procesu formowania
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoWykład Temperatura termodynamiczna 6.4 Nierówno
ykład 8 6.3 emperatura termodynamiczna 6.4 Nierówność Clausiusa 6.5 Makroskopowa definicja entropii oraz zasada wzrostu entropii 6.6 Entropia dla czystej substancji 6.8 Cykl Carnota 6.7 Entropia dla gazu
Bardziej szczegółowoZJAWISKA TERMOELEKTRYCZNE
Wstęp W ZJAWISKA ERMOELEKRYCZNE W.1. Wstęp Do zjawisk termoelektrycznych zaliczamy: zjawisko Seebecka - efekt powstawania różnicy potencjałów elektrycznych na styku metali lub półprzewodników, zjawisko
Bardziej szczegółowoDr inż. Bogusław Ferens Katedra Teorii Maszyn Cieplnych. Politechniki Warszawskiej
Nr 5/K.T.M.C.6 Dr inż. Bogusław Ferens Katedra Teorii Maszyn Cieplnych. Politechniki Warszawskiej ANALIZA PORÓWNAWCZA. METOD POMIAROWYCH HARMANA I HARMANA-JOFFEGO DLA POMIARÓW PARAMETRÓW FIZYCZNYCH I TERMOELEKTRYCZNYCH
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny
Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne
Termodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Postulat Nernsta (1906):
Bardziej szczegółowoAerodynamika I. wykład 3: Ściśliwy opływ profilu. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa A E R O D Y N A M I K A I
Aerodynamika I Ściśliwy opływ profilu transoniczny przepływ wokół RAE-8 M = 0.73, Re = 6.5 10 6, α = 3.19 Ściśliwe przepływy potencjalne Teoria pełnego potencjału Wprowadźmy potencjał prędkości (zakładamy
Bardziej szczegółowoBIBLIOTEKA PARAMETRÓW CIEPLNYCH FREONU 22 (dla emc R-32)
BIULETYN INFORMACYJNY INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ Nr 67 1985 Mieczysław Poniewski Instytut Techniki Cieplnej Politechniki Warszawskiej Jacek Szypliński Instytut Podstawowych Problemów
Bardziej szczegółowowymiana energii ciepła
wymiana energii ciepła Karolina Kurtz-Orecka dr inż., arch. Wydział Budownictwa i Architektury Katedra Dróg, Mostów i Materiałów Budowlanych 1 rodzaje energii magnetyczna kinetyczna cieplna światło dźwięk
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 4. Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 4 Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Pierwsza zasada termodynamiki procesy kwazistatyczne Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki,
Bardziej szczegółowoDRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI
DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne
Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach
Bardziej szczegółowoAerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.
Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych. przepłw wokół profilu RAE-2822 (M = 0.85, Re = 6.5 10 6, α = 2 ) Efekty lepkie w przepływach ściśliwych Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego Całkowe
Bardziej szczegółowoRozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:
Bardziej szczegółowoDRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI
DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy
Bardziej szczegółowoTermodynamika systemów otwartych - informacja (2)
Wykład 2 Termodynamika systemów otwartych - informacja (2) Bogdan Walkowiak Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka 1 Potencjały i bodźce termodynamiczne Potencjał termodynamiczny
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 12. Procesy transportu. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 12 Procesy transportu Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Zjawiska transportu Zjawiska transportu są typowymi procesami nieodwracalnymi zachodzącymi w przyrodzie. Zjawiska te polegają
Bardziej szczegółowoBogdan Walkowiak. Zakład Biofizyki
Bogdan Walkowiak Zakład Biofizyki Politechnika Łódzka Potencjał termodynamiczny - jest to taka funkcja termodynamiczna, której zmiana w procesie odwracalnym jest równa różnicy całkowitej pracy wykonanej
Bardziej szczegółowoWykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego
Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 RÓWNANIE EULERA I JEGO CAŁKI PIERWSZE 1/14
WYKŁAD 5 RÓWNANIE EULERA I JEGO CAŁKI PIERWSZE /4 RÓWNANIE EULERA W Wykładzie nr 4 wyprowadziliśmy ogólne r-nie ruchu płynu i pokazaliśmy jego szczególny (de facto najprostszy) wariant zwany Równaniem
Bardziej szczegółowoPrzegląd termodynamiki II
Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15
WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15 Fundamentalne Zasady Zachowania/Zmienności w Mechanice mówią nam co dzieję się z: masą pędem krętem (momentem pędu)
Bardziej szczegółowoZasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski
Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa Mariusz Adamski 1. Zasady zachowania. Znaczna część fizyki, a w szczególności fizyki klasycznej, opiera się na sformułowaniach wypływających z zasad zachowania.
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoPodstawy termodynamiki
Podstawy termodynamiki Organizm żywy z punktu widzenia termodynamiki Parametry stanu Funkcje stanu: U, H, F, G, S I zasada termodynamiki i prawo Hessa II zasada termodynamiki Kierunek przemian w warunkach
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowo1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH
1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH Ośrodki materialne charakteryzują dwa rodzaje różniących się zasadniczo od siebie wielkości fizycznych: globalne (ekstensywne) przypisane obszarowi przestrzeni fizycznej,
Bardziej szczegółowoPomiar przewodności cieplnej i elektrycznej metali
ĆWICZENIE 27 Pomiar przewodności cieplnej i elektrycznej metali Cel ćwiczenia: wyznaczenia współczynnika przewodzenia ciepła pręta metalowego metodą statyczną, wyznaczanie ciepła właściwego badanych materiałów
Bardziej szczegółowoZARYS LINIOWEJ TERMODYNAMIKI NIERÓWNOWAGOWEJ UKŁADÓW CIĄGŁYCH I MEMBRANOWYCH
UNIWERSYTET MIKO AJA KOPERNIKA JÓZEF CEYNOWA ZARYS LINIOWEJ TERMODYNAMIKI NIERÓWNOWAGOWEJ UKŁADÓW CIĄGŁYCH I MEMBRANOWYCH TORUŃ 1997 Recenzenci Bogdan Baranowski, Maciej Leszko ISBN 83-231-0808-0 Printed
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe
Bardziej szczegółowoChłodnictwo i Kriogenika - Ćwiczenia Lista 3
Chłodnictwo i Kriogenika - Ćwiczenia Lista 3 dr hab. nż. Bartosz Zajączkowski bartosz.zajaczkowski@pwr.edu.pl Politechnika Wrocławska Wydział Mechaniczno-Energetyczny Katedra Termodynamiki, Teorii Maszyn
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoWykład Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.10 Gęstość energii pola elektrycznego
Wykład 7 8.9 Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.0 Gęstość energii pola elektrycznego 9. Prąd elektryczny 9. Natężenie prądu, wektor gęstości prądu 9. Prawo zachowania ładunku 9.3 Model przewodnictwa
Bardziej szczegółowoAerodynamika I. wykład 2: 2: Skośne fale uderzeniowe iifale rozrzedzeniowe. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa
Aerodynamika I Skośne fale uderzeniowe i fale rozrzedzeniowe naddźwiękowy przepływ w kanale dla M = 2 (rozkład liczby Macha) 19 maja 2014 Linie Macha Do tej pory, rozważaliśmy problemy dynamiki gazu, które
Bardziej szczegółowoRoztwory rzeczywiste (1)
Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 Roztwory rzeczywiste (2) Tym razem dla (CH 3 ) 2 CO () i CHCl
Bardziej szczegółowoSKORYGOWANY WZÓR SUTHERLANDA DO OBLICZEŃ PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ GAZÓW
BIULETYN INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ Nr 85 1997 Krzysztof Badyda Instytut Techniki Cieplnej SKORYGOWANY WZÓR SUTHERLANDA DO OBLICZEŃ PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ GAZÓW W artykule przedstawiono
Bardziej szczegółowoZastosowanie programu DICTRA do symulacji numerycznej przemian fazowych w stopach technicznych kontrolowanych procesem dyfuzji" Roman Kuziak
Zastosowanie programu DICTRA do symulacji numerycznej przemian fazowych w stopach technicznych kontrolowanych procesem dyfuzji" Roman Kuziak Instytut Metalurgii Żelaza DICTRA jest pakietem komputerowym
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa
Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1 Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:
Bardziej szczegółowoModele matematyczne procesów, podobieństwo i zmiana skali
Modele matematyczne procesów, podobieństwo i zmiana skali 20 kwietnia 2015 Zadanie 1 konstrukcji balonu o zadanej sile oporu w ruchu. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 1) opisany jest następującą F = Φ(d,
Bardziej szczegółowoFizyka współczesna. Zmienne pole magnetyczne a prąd. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego
Zmienne pole magnetyczne a prąd Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego Zmienne pole magnetyczne a prąd Wnioski (które wyciągnęlibyśmy, wykonując doświadczenia
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 5 stycznia 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 5 stycznia 2019 1 / 27 Wielkości
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak
Bardziej szczegółowoWSPÓŁCZYNNIKI TRANSPORTOWE W GAZACH PROSTYCH I ICH MIESZANINACH Z UWZGLĘDNIENIEM DYSOCJACJI
83 1996 Jacek Bzowski Instytut Techniki Cieplnej Politechniki Warszawskiej WSPÓŁCZYNNIKI TRANSPORTOWE W GAZACH PROSTYCH I ICH MIESZANINACH Z UWZGLĘDNIENIEM DYSOCJACJI W pracy omówiono metodę obliczania
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA. Poszukiwanie optymalnej średnicy rurociągu oraz grubości izolacji
POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA Instytut Maszyn Cieplnych Optymalizacja Procesów Cieplnych Ćwiczenie nr 3 Poszukiwanie optymalnej średnicy rurociągu oraz grubości izolacji Częstochowa 2002 Wstęp. Ze względu
Bardziej szczegółowoZADANIE 28. Wyznaczanie przewodnictwa cieplnego miedzi
ZADANIE 28 Wyznaczanie przewodnictwa cieplnego miedzi Wstęp Pomiędzy ciałami ogrzanymi do różnych temperatur zachodzi wymiana ciepła. Ciało o wyższej temperaturze traci ciepło, a ciało o niższej temperaturze
Bardziej szczegółowoWSPÓŁCZYNNIKI TRANSPORTOWE W GAZACH PROSTYCH I ICH MIESZANINACH. DYFUZJA W MIESZANINACH WIELOSKŁADNIKOWYCH
BIULETYN INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ 82 1996 Jacek Bzowski Instytut Techniki Cieplnej WSPÓŁCZYNNIKI TRANSPORTOWE W GAZACH PROSTYCH I ICH MIESZANINACH. DYFUZJA W MIESZANINACH WIELOSKŁADNIKOWYCH
Bardziej szczegółowoSymetrie i prawa zachowania Wykład 6
Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym
Bardziej szczegółowoRoztwory rzeczywiste (1)
Roztwory rzeczywiste (1) Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 () i CH 3 OH (). 2 15 1 5-5 -1-15 Τ S H,2,4,6,8 1 G -2 Chem. Fiz. TCH II/12 1 rzyczyny dodatnich i ujemnych odchyleń od prawa Raoulta konsekwencja
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA
TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów
Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe
Bardziej szczegółowoPrzemiany termodynamiczne
Przemiany termodynamiczne.:: Przemiana adiabatyczna ::. Przemiana adiabatyczna (Proces adiabatyczny) - proces termodynamiczny, podczas którego wyizolowany układ nie nawiązuje wymiany ciepła, lecz całość
Bardziej szczegółowoWykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna
Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoTermodynamika techniczna i chemiczna, 2015/16, zadania do kol. 1, zadanie nr 1 1
Termodynamika techniczna i chemiczna, 2015/16, zadania do kol. 1, zadanie nr 1 1 [Imię, nazwisko, grupa] prowadzący 1. Obliczyć zmianę entalpii dla izobarycznej (p = 1 bar) reakcji chemicznej zapoczątkowanej
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoEFEKTY TERMOELEKTRYCZNE W CIAŁACH STAŁYCH
LABORATORIUM INŻYNIERII MATERIAŁOWEJ W ENERGETYCE Ćwiczenie 2 Instrukcja zawiera: EFEKTY TERMOELEKTRYCZNE W CIAŁACH STAŁYCH 1. Cel ćwiczenia 2. Wprowadzenie teoretyczne; definicje i wzory 3. Opis wykonania
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 12 ENTROPIA I NIERÓWNOŚĆ THERMODYNAMICZNA 1/10
WYKŁAD 12 ENROPIA I NIERÓWNOŚĆ HERMODYNAMICZNA 1/10 ENROPIA PŁYNU IDEALNEGO W PRZEPŁYWIE BEZ NIECIĄGŁOŚCI Załóżmy, że przepływ płynu idealnego jest gładki, tj. wszystkie pola wielkości kinematycznych i
Bardziej szczegółowoTermodynamiczny opis układu
ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny
Bardziej szczegółowoStany równowagi i zjawiska transportu w układach termodynamicznych
Stany równowagi i zjawiska transportu w układach termodynamicznych dr hab. Jerzy Nakielski Katedra Biofizyki i Biologii Komórki plan wykładu: 1. Funkcje stanu dla termodynamicznego układu otwartego 2.
Bardziej szczegółowou«w VH TUMJ : U-U'.U s = w eii5gfshimi>i "l >55 = gc»fgs5jf - 2» - > => -... >.- Z 5C " -' "- K,, 5H IIHli!gi5h-i-m!l!.5 = H i"" i ii; V «i» > 1 J} - - -f.-'".-"f"f.f; vr-.'"--
Bardziej szczegółowoSZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ W ARKUSZU II
SZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ W ARKUSZU II Nr zadania PUNKTOWANE ELEMENTY ODPOWIEDZI.1 Za czynność Podanie nazwy przemiany (AB przemiana izochoryczna) Podanie nazwy przemiany (BC
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowoInstrukcja stanowiskowa
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Budownictwa, Mechaniki i Petrochemii Instytut Inżynierii Mechanicznej w Płocku Zakład Aparatury Przemysłowej LABORATORIUM WYMIANY CIEPŁA I MASY Instrukcja stanowiskowa Temat:
Bardziej szczegółowoIN ŻYNIE R IA S R O D O W IS K A
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ JANUARY BIEŃ KONWENCJONALNE I NIEKONWENCJONALNE PRZYGOTOWANIE OSADÓW ŚCIEKOWYCH DO ODWADNIANIA IN ŻYNIE R IA S R O D O W IS K A Z. 27 A GLIWICE 1986 POLITECHNIKA ŚLĄSKA
Bardziej szczegółowoLinia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej
Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne
Bardziej szczegółowoDyrektor oraz pracownicy Miejsko - Gminnego Ośrodka Kultury w Kowalewie Pomorskim
Wszystkim Nauczycielom i pracownikom oświaty z okazji Dnia Edukacji Narodowej moc najserdeczniejszych życzeń, spełnienia najskrytszych marzeń oraz byście mogli w pełni realizować swoje plany życiowe i
Bardziej szczegółowoKontakt,informacja i konsultacje
Kontakt,informacja i konsultacje Chemia A ; pokój 307 elefon: 347-2769 E-mail: wojtek@chem.pg.gda.pl tablica ogłoszeń Katedry Chemii Fizycznej http://www.pg.gda.pl/chem/dydaktyka/ lub http://www.pg.gda.pl/chem/katedry/fizyczna
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Cel. Opis układu niezależny od jego struktury mikroskopowej Uniwersalne prawa. William Thomson 1. Baron Kelvin
Cel Termodynamika Opis układu niezależny od jego struktury mikroskopowej Uniwersalne prawa Nicolas Léonard Sadi Carnot 1796 1832 Rudolf Clausius 1822 1888 William Thomson 1. Baron Kelvin 1824 1907 i inni...
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna................ 3 7.2
Bardziej szczegółowoRównowagi fazowe. Zakład Chemii Medycznej Pomorski Uniwersytet Medyczny
Równowagi fazowe Zakład Chemii Medycznej Pomorski Uniwersytet Medyczny Równowaga termodynamiczna Przemianom fazowym towarzyszą procesy, podczas których nie zmienia się skład chemiczny układu, polegają
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółoworeakcja niespontaniczna reakcja w równowadze
Warunek spontaniczności proces. Zdecydowana większość przemian o znaczeniu biologicznym w których zachodzą duże zmiany energii wewnętrznej i entalpii zachodzą przy stałym ciśnieniu i temperaturze. Dotychczas
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych
dr inż. Ryszard Rębowski 1 OPIS ZJAWISKA Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych 8 listopada 2015 1 Opis zjawiska Będziemy obserwowali proces tworzenia
Bardziej szczegółowoEfekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowoZnaki alfabetu białoruskiego Znaki alfabetu polskiego
ROZPORZĄDZENIE MINISTRA SPRAW WEWNĘTRZNYCH I ADMINISTRACJI z dnia 30 maja 2005 r. w sprawie sposobu transliteracji imion i nazwisk osób należących do mniejszości narodowych i etnicznych zapisanych w alfabecie
Bardziej szczegółowo