Wykład Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.10 Gęstość energii pola elektrycznego

Transkrypt

1 Wykład Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.0 Gęstość energii pola elektrycznego 9. Prąd elektryczny 9. Natężenie prądu, wektor gęstości prądu 9. Prawo zachowania ładunku 9.3 Model przewodnictwa elektrycznego 9.4 Techniczna postać prawa Ohma. Opór elektryczny Reinhard Kulessa

2 8.9 Pole elektryczne na powierzchniach granicznych. Zastanówmy się jak wygląda pole elektryczne na granicy przewodnika i izolatora. σ 0 D 0 0 σ/εε 0 przewodnik D 0 D εε 0 0 σ izolator. Granica dwóch izolatorów Reinhard Kulessa

3 da ε L ε da Powierzchnia graniczna jest neutralna, czyli nie ma ładunku. Stosując prawo Gaussa mamy: 0 D da D da D ds Wobec tego mamy D D ε ε Reinhard Kulessa 3 p. boczna 0 gdy L 0

4 Oznacza to, że składowa normalna wektora D przechodzi w sposób ciągły przez powierzchnię graniczną. Składowa normalna wektora zmienia skokowo. ε A B ε C D Ponieważ pole jest polem zachowawczym, możemy napisać; ds 0 ABCD Liczymy wartość tej całki dążąc z odcinkami AC i BD do zera. Równocześnie ponieważ ABCD otrzymujemy: Reinhard Kulessa 4

5 D / ε D / ε Na granicy dwóch ośrodków zmienia się kierunek wektora natężenia pola. Mamy bowiem, ε / ε. ε > ε ε α α tgα tgα Reinhard Kulessa 5 / / (8.7) ε ε

6 8.0 Gęstość energii pola elektrycznego -Q Rozważmy jednorodne pole elektryczne zawarte pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego naładowanego ładunkiem Q. Przeniesienie z okładki na okładkę ładunku dq wymaga wykonania pracy dw. ε L dq V A powierzchnia Q dw Jeżeli przeniesiemy z ujemnej płyty ładunek dq na dodatnią płytę, to wykonamy pracę przeciwko polu elektrycznemu równą dq l dl dq V L L dq V Na wskutek przeniesienia ładunku z okładki ujemnej na dodatnią napięcie na kondensatorze wzrośnie o dv Reinhard Kulessa 6

7 -(QdQ) L ε dq VdV (QdQ) Wobec tego dq C dv. Możemy więc napisać: dw C V dv. Po wycałkowaniu, otrzymujemy: Q W V C V dv CV 0 C Wykonana praca została zmagazynowana w kondensatorze jako energia potencjalna (W U ). Może ona zostać wykorzystana do wykonania pracy przez kondensator. Czyli, Pamiętając, że C εε 0 A/L, a VL, U C V U εε 0 { A L} Reinhard Kulessa 7

8 Możemy więc wyliczyć gęstość energii pola elektrycznego, która wynosi: p U εε i dalej: 0 A L U D (8.8) Ponieważ dowolne pole można na małym obszarze traktować jako jednorodne, wzór ten stosuje się również do pól niejednorodnych. dτ mikro-objętość pola, którą można uważać za mały kondensator. Linie ekwipotencjalne Reinhard Kulessa 8

9 Rozważmy dwa zastosowania energii pola elektrycznego. A). Pomiędzy okładkami kondensatora działają siły, które można wykorzystać do dokładnego pomiaru napięcia. Wirtualne rozsunięcie okładek o d powoduje d Q zmniejszenie energii pola. V F Ładunek spływa z powrotem do baterii. -Q Wiemy, że energia pola jest A równa U C V. Pamiętamy, że C εε 0 A/. Otrzymamy więc: U du εε εε 0 0 A A V Reinhard Kulessa 9 V ( d )

10 Obliczona strata energii du związana z rozsunięciem okładek o d jest równoważona przez wykonana pracę mechaniczną na rozsunięcie tych okładek. F d εε 0 A V d Siła działająca pomiędzy płytkami kondensatora jest więc równa: V F εε 0 A (8.9) Wyrażenie to może służyć do dokładnego pomiaru różnic potencjałów. Służy do tego tzw. Waga Thomsona Reinhard Kulessa 0

11 L A V Waga Thomsona B). Zmiana energii pola elektrycznego może również posłużyć do wyznaczania stałej dielektrycznej dielektryków ciekłych. b Jeśli poziom cieczy podniesie się o d wtedy objętość wypełniona dielektrykiem wzrasta o a b d. Można policzyć, że ciecz podniesie się o V ε 0 ( ε ρg a ) Reinhard Kulessa a

12 Przyrost energii pola elektrycznego wynosi jest równy; du ε 0 ab d ( ε ) Praca na podniesie nie poziomu cieczy jest równa: dw g ρ g ab d Praca, którą musi wykonać bateria aby dostarczyć dodatkowego ładunku dq jest dwrówna: V dq B du dw du dw Z porównania: B g. oraz wiedząc, że V/a, otrzymujemy następujące wyrażenie na wysokość słupa cieczy wciągniętej, pomiędzy okładki kondensatora: V ε ( ε ) (8.30) ρg Reinhard Kulessa a 0

13 9. Prąd elektryczny 9. Natężenie prądu, wektor gęstości prądu Opuszczamy rozważanie stabilnych rozkładów ładunków i od tej chwili pozwalamy im się poruszać. W elektrostatyce:. Powierzchnie przewodników są powierzchniami ekwipotencjalnymi,. Ładunki są rozmieszczone na powierzchni i spoczywają, 3. Wewnątrz przewodników natężenie pola jest równe zero, Połączmy przewodnikiem dwa naładowane elektroskopy i zobaczmy co się dzieje Reinhard Kulessa 3

14 Q -Q V 3 V V Po połączeniu elektroskopów następuje w krótkim czasie wyrównanie ładunków. Co natomiast dzieje się z potencjałem? t0 t tt V 0 V V V 0 0 V 0 maleje Przypadek statyczny Przypadek statyczny Przypadek niestatyczny powierzchnie ekwipotencjalne powierzchnia ekwipotencjalna Potencjał zależy od miejsca pomiaru Reinhard Kulessa 4

15 Oznacza to, że w czasie przepływu ładunku mamy do czynienia ze spadkiem potencjału, czyli, że w przewodniku pojawia się pole elektryczne. Przepływ ładunków przewodniku zarówno dodatnich jak i ujemnych nazywamy prądem elektrycznym. Na rysunku na poprzedniej stronie poruszają się elektrony i zachodzi to z prawej strony na lewą. Prąd elektryczny charakteryzowany jest przez swoje natężenie, które definiujemy jako całkowity ładunek przepływający przez daną powierzchnię w jednostce czasu. dq I (9.) dt Jednostką natężenie prądu jest amper. [ AC/sek] Reinhard Kulessa 5

16 Do pomiaru natężenia prądu wykorzystuje się wszelkie efekty wywoływane przez płynący prąd. Nośnikami prądu w metalach są elektrony, a w gazach i elektrolitach jony. da j Ważną wielkością charakteryzującą prąd elektryczny jest wektor gęstości prądu j. Jego kierunek jest określony przez ruch ładunków dodatnich. A Wartość wektora j, j jest równa ładunkowi przepływającemu przez jednostkę powierzchni da prostopadłej do j na jednostkę czasu. Przez element powierzchni da przepływa w czasie dt ładunek Reinhard Kulessa 6

17 dq j da cos( j, da) dt j da dt (9.) dq di j (9.3) da dt n da n Przy czym da n dacos( j, da) Jednostką gęstości prądu w układzie SI jest [A/m ]. W oparciu o wzór (9.) znajdujemy na natężenie prądu przepływającego przez całą powierzchnię A wyrażenie; I dq j da (9.4) dt A Reinhard Kulessa 7

18 j 9. Prawo zachowania ładunku W jaki sposób sformułować prawo zachowania ładunku, kiedy mamy przepływ prądu. Zgodnie z wzorem (9.4) wiemy ile j da j na sekundę przepływa ładunku j przez całą powierzchnie przewodnika, mianowicie A τ j j j A j da W oparciu o twierdzenie Gaussa mamy: A Gauss j da τ div j dτ Reinhard Kulessa 8

19 Na jednostkę czasu w przewodniku ubywa ładunku. Bilans ładunku wynosi więc: τ Reinhard Kulessa 9 t div j dτ ρ dτ (9.5) t τ Wyrażenie to jest ważne dla każdej objętości, a więc również dla objętości dτ. Otrzymujemy więc równanie, które nazywamy równaniem ciągłości: div j ρ t 0 (9.6) τ ρ d τ Dla prądu o stałym natężeniu I0 wektor gęstości też jest div j niezależny od czasu. Tyle samo ładunku wpływa co wypływa z danej objętości. 0

20 9.3 Model przewodnictwa elektrycznego Pamiętamy, że nośnikami ładunków mogą być elektrony, jak również jony dodatnie i ujemne. Najlepszymi przewodnikami są metale w których znajduje się wiele swobodnych elektronów. Zastanówmy się nad mechanizmem przewodzenia prądu w metalicznym przewodniku. Każdy atom siatki oddaje średnio jeden elektron do całej sieci (elektrony przewodnictwa). lektrony te zachowują się jak gaz. Gęstość tego gazu jest bardzo wysoka. Do elektronów jako fermionów stosuje się statystyka Fermiego- Diraca. Przyjmuje się, że prędkość elektronu przed zderzeniem nie wpływa na prędkość po zderzeniu. Oznacza to, że zderzenia wymazują pamięć elektronów. Oznaczmy średni czas pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami przez τ Reinhard Kulessa 0

21 Co zachodzi w czasie przepływu prądy w przewodniku. W przewodniku istnieje pole elektryczne. lektrony w czasie ruchu w polu elektrycznym zderzają się głównie z elektronami związanymi w atomach. Tor przypadkowego elektronu jest przedstawiony na poniższym rysunku. Jądro atomowe Na elektrony działa siła. F e Reinhard Kulessa

22 Na ukierunkowany ruch elektronów pod wpływem pola elektrycznego nakładają się izotropowe ruchy termiczne / bτ v 0 τ / bτ v τ v 0 τ v τ / bτ 0 3 Pomiędzy kolejnymi zderzeniami następującymi po średnim czasie τ elektron porusza się w kierunku osi ruchem jednostajnie przyśpieszonym Reinhard Kulessa

23 Reinhard Kulessa 3 Ruch elektronu odbywa się zgodnie z II zasada dynamiki Newtona, m e b dt d e dt d m. Licząc kolejne odcinki przebyte między zderzeniami, otrzymujemy, ) ( 0 0 τ τ τ τ τ τ b v b v b v N N N Sumujemy te równania po N zdarzeniach, przy czym N>>.

24 W wyniku otrzymujemy: N N 0 τ vi N bτ i 0 Ze względu na izotropowy rozkład kierunków ruchów termicznych, pierwszy wyraz po prawej stronie jest równy zero, gdyż tyle samo cząstek może mieć prędkości v jak i v. Średnia prędkość elektronów w kierunku (prędkość dryfu) jest więc równa: < v D > Nτ N e m 0 τ bτ Zdefiniujmy jeszcze czas relaksacji jako <τ R > τ/. Wtedy v D e τ R (9.7) m Reinhard Kulessa 4.

25 Ruchliwością nośników prądu nazywamy: e τ m v D µ R. Mimo, że ruch pod wpływem siły e powinien być przyśpieszony, ze względu na występujące zderzenia, nie ma przyśpieszenia. Średnia prędkość dryftu jest stała. Ruch elektronu wygląda tak, jakby istniała siła tarcia. Wpływ zderzeń na ruch ilustruje poniższa animacja. W rzeczywistości poprzez zderzenia sieci dostarczana jest energia, tzw. ciepło Joule a Reinhard Kulessa 5

26 Równanie (9.7) możemy też interpretować następująco. W sieci w której poruszają się elektrony działa na nie poza siłą przyspieszającą F e, również siła tarcia m v R D. Zachodzi więc równowaga F R 0. Z tego faktu wynika jednostajny ruch elektronów. Na podstawie definicji wektora gęstości prądu (r. (9.3) ), oraz średniej prędkości dryfu, możemy wyrazić wektor gęstości prądu jako: dτ V da n di dl <v D > dt j di da V n dq dτ v dq da dt D n ρ τ dl dl v R D Reinhard Kulessa 6

27 j e ρ τ ρ µ Znajdujemy więc, że R, przy czym pamiętamy, że m ruchliwość ± µ ± q τ m Równanie na gęstość prądu możemy więc zapisać jako: j R.. σ (9.8) We wzorze (9.8) sformułowaliśmy prawo Ohma. Współczynnik σ określa przewodnictwo właściwe, które jest odwrotnością oporu właściwego ρ el przewodnika. Należy pamiętać, że przewodnictwo właściwe może być wielkością tensorową Reinhard Kulessa 7

28 W przypadku gdy nośnikami ładunku nie są elektrony, możemy w podanych wzorach zastąpić ładunek e przez q. Omówmy jeszcze ogólny przypadek, kiedy w przepływie prądu poza ładunkami ujemnymi q -e, są również zaangażowane ładunki dodatnie q e. Pole nadaje tym ładunkom prędkości dryfu w przeciwnych kierunkach. e vd µ τ R m e vd µ τ R m Można w tym miejscu zaznaczyć, że czas dryfu można wyrazić przez średnią drogę swobodną i średnią prędkość ruchu cieplnego ładunków. ± ± ± τ λ / µ Reinhard Kulessa 8 R

29 Reinhard Kulessa 9 Wektor gęstości prądu wyrazi się więc następująco: e n e n v e n v e n j D D ) ( µ µ Wielkości n eρ 0 oraz n - eρ 0- określają gęstości ładunków. W oparciu o wzór (9.8) otrzymujemy na przewodnictwo właściwe następujące wyrażenie; ) ( ) ( m n m n e n n e τ R τ R µ µ σ (9.9) W oparciu o podaną poprzednio definicję czasu dryfu, możemy napisać, że

30 Reinhard Kulessa 30 µ λ µ λ σ m n m n e Z podanego wzoru wynika, że przewodnictwo rośnie razem ze wzrostem liczby nośników prądu i średniej drogi swobodnej, a maleje ze wzrostem masy nośników i temperatury.

31 9.4 Techniczna postać prawa Ohma. Opór elektryczny R I(A) A Ogniwo V L Powyższy rysunek przedstawia najprostszy obwód elektryczny opór R zasilany przez baterię o napięciu V. Dla przewodnika ważne jest prawo Ohma. Mamy więc I j σ σ A Reinhard Kulessa 3 V L

32 Poprzedni wzór możemy przekształcić do postaci nazywanej zwykle prawem Ohma. V I L σ A V R (9.0) Z równania tego wynika wzór na opór przewodnika. R ρ0 Dla układu o dowolnej geometrii możemy opór policzyć z wzoru: R Γ dl j da A L A A dl σ da Γ (9.) (9.a) Reinhard Kulessa 3

33 Trywialną konsekwencją prawa Ohma są wyrażenia na wypadkowy opór połączenie równoległego i szeregowego oporników. i N R i R i (9.) i N R R i i (9.3) Reinhard Kulessa 33

34 Jak już wspomniano, najprostszy obwód składa się z baterii na zaciskach której panuje napięcie V Є, oraz z jednego lub wielu oporów. V V I - V Є W układzie tym płynie prąd o natężeniu I V Є /R, gdzie R jest całkowitym oporem. Prąd ten jest spowodowany przez siłę elektromotoryczną V Є, która również dostarcza energii zużytej na pokonanie oporu przewodników. Ze względu na to, że pole elektryczne jest zachowawcze, Reinhard Kulessa 34

35 ds Γ 0 Gdzie Γ biegnie wzdłuż całego obwodu. Wynika z tego, że V V V 0. Wynika z tego, że w obwodzie zamkniętym suma wszystkich spadków potencjałów jest równa zero Reinhard Kulessa 35