2.3 Modele nieliniowe
|
|
- Dominik Chmielewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 2.3 Modele nieliniowe Do tej pory zajmowaliśmy się modelami liniowymi lub o liniowej formie funkcyjnej i musieliśmy akceptować ich ograniczenia. Metoda Największej Wiarogodności pozwala również na efektywną estymację modeli nieliniowych. Załóżmy, iż chcemy oszacować następujący model y j = β 1 x 1j + β 2 x 2j + β 3 x β 4 3j + β 5 + ε gdzie składnik losowy ma rozkład N(0, σ 2 ). Zauważmy, że współczynnik przy zmiennej x 3j nie jest liniowy. Powyższy model jest traktowany przez pakiet Stata jako: y j = ln Φ((y j θ 1j θ 2j x θ 3j 3j )/θ 4j) ln θ 4j θ 1j = β 1 x 1j + β 2 x 2j + β 5 θ 2j = β 3 θ 3j = β 4 θ 4j = σ 2 Pakiet traktuje parametr przy zmiennych liniowych jako jedną zmienną (θ 1 ), kolejne dwa równania opisują parametr przy zmiennej x 3 oraz jej wykładnik, ostatnie jest równaniem odchylenia standardowego. Jest to układ czterech równań liniowych pomimo tego, że tak naprawdę szukamy rozwiązania jednego równania. Taka zamiana jest efektem tego, że algorytmy numeryczne są w stanie jedynie rozwiązywać układy równań linowych. Program szacujący ten model metodą lf dla powyższej funkcji wiarogodności wygląda następująco: program define nonlin version 8 args lnf theta1 theta2 theta3 theta4 quietly replace lnf = /* */ln(normden(($ml_y1- theta1 - theta2 *X3^ theta3 )/ theta4 ))/* */-ln( theta4 ) end Zwróćmy uwagę, że nazwa zmiennej odnosząca się do x 3 została na stałe wpisana do programu obliczającego funkcję wiarogodności. W kodzie użyliśmy nazwy X3, ale szacując model będziemy musieli ją zastąpić nazwą odpowiadającą zmiennej w naszym zbiorze danych. Załóżmy, że chcemy wyestymować model postaci bp = β 1 age + β 2 sex + β 3 bp0 β 4 + ε wówczas odpowiedni program dla funkcji wiarogodności będzie wyglądał następująco: 30
2 program define nonlin version 8 args lnf theta1 theta2 theta3 theta4 quietly replace lnf = /* */ln(normden(($ml_y1- theta1 - theta2 *bp0^ theta3 )/ theta4 ))/* */- theta4 end i otrzymamy oszacowania modelu pisząc.ml model lf nonlin (bp=age sex) /beta3 /beta4 /sigma.ml maximize Jak widzimy nieliniowość modelu może zostać w prosty sposób przekształcona w równanie zawierające stałą. Czasami logarytm funkcji wiarogodności jest poprawnie zdefiniowany tylko dla niektórych wartości jednego lub kilku parametrów. Na przykład wiemy, że wariacja składnika losowego powinna być większa od zera, więc θ 4 = σ > 0. Komenda ml jest tak zaprojektowana by działać zarówno na zbiorze wszystkich możliwych wartości, jak również na zbiorach ograniczonych. Domyślnie Stata przeszukuje wszystkie możliwe wartości parametrów i powinniśmy brać ten fakt pod uwagę programując własne funkcje. Gdy o tym zapomnimy mogą wyniknąć problemy związane z konwergencją funkcji logarytmu wiarogodności. Nawet jeśli ich nie ma, komenda ml musi wykonać więcej obliczeń, wskutek czego będzie działała dłużej. Lepiej jest model tak przeparametryzować, by przedział (, ) był prawidłowym przedziałem wartości dla każdego parametru theta. Lepszym sposobem na zapis liniowej, bądź nieliniowej funkcji wiarogodności jest y j = ln Φ((y j θ 1j θ 2j x θ 3j 3j )/θ 4j) ln θ 4j θ 1j = β 1 x 1j + β 2 x 2j + β 5 θ 2j = β 3 θ 3j = β 4 θ 4j = ln(σ 2 ) Taki sposób parametryzacji modelu prowadzi do programu program define nonlin version 8 args lnf theta1 theta2 theta3 theta4 quietly replace lnf = /* */ln(normden(($ml_y1- theta1 - theta2 *X3^ theta3 )/exp( theta4 )))/* */-ln( theta4 ) end 31
3 2.4 Testowanie modeli Ograniczenia narzucane na modele regresji liniowej badaliśmy za pomocą testu F. Jeśli szacujemy model metodą największej wiarogodności to nie zawsze możemy ją obliczyć. Przykład Oszacujmy następujący model regresji price = β 0 + β 1 mpg + β 2 weight + β 3 rep78 + β 4 headroom + β 5 trunk + ε Rozpocznijmy pracę od załadowania zbioru danych do pakietu Stata.sysuse auto Następnie definiujemy model, którą chcemy estymować program define mojaregresja version 8 args lnf theta1 theta2 qui replace /* */ lnf =ln(normden(($ml_y1- theta1 )/ theta2 ))-ln( theta2 ) end Następnie definiujemy funkcję, którą chcemy maksymalizować.ml model lf mojaregresja (price=mpg weight rep78 headroom trunk) /sigma Po czym wykonujemy maksymalizację. ml maximize initial: log likelihood = -<inf> (could not be evaluated) feasible: log likelihood = rescale: log likelihood = rescale eq: log likelihood = Iteration 0: log likelihood = Iteration 1: log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Iteration 4: log likelihood = Number of obs = 69 Wald chi2(5) = Log likelihood = Prob > chi2 = price Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] 32
4 eq1 mpg weight rep headroom trunk _cons sigma _cons Jeśli ten sam model oszacujemy metodą MNK, dostaniemy identyczne wartości dla parametrów wektora β, jednak oszacowania wariancji będą się różnić. reg price mpg weight rep78 headroom trunk Source SS df MS Number of obs = F( 5, 63) = 8.41 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = price Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] mpg weight rep headroom trunk _cons Powodem różnych wyników jest różna wielkość estymatora wariancji. W modelu oszacowanym MNW estymator odchylenia standardowego jest równy ˆσ = 2239, a w modelu oszacowanym metodą najmniejszych kwadratów ˆσ = Różnica jest powodowana przez małą ilość obserwacji w próbie. W wyrażeniu na estymator wariancji MNW w mianowniku jest N zamiast N k, co powoduje niedoszacowanie wariancji Test Walda Obliczenie statystyki Walda (W) jest skomplikowane i czasochłonne w przypadku rozbudowanych ograniczeń na parametry modelu. Statystykę testową 33
5 konstruujemy na podstawie macierzy obserwacji. W = m var[m X]m = (Rb q) [σ 2 R(X X) 1 R ](Rb q) χ 2 (J) (1) Przy prawdziwej hipotezie zerowej statystyka Walda ma rozkład χ 2 z liczbą stopni swobody równą ilości nakładanych oraniczeń na wektor parametrów. Jest to rozkład małopróbkowy i jeśli J > 100 to asymptotycznym rozkładem statystyki testowej nie jest rozkład χ 2. Jeśli zamiast prawdziwej wariancji σ 2 używany jest estymator S 2 to statystyka Walda ma rozkład F (J, n k) stopniami swobody. Wróćmy do przykładu. Widzimy, że w odróżnieniu od metody najmniejszych kwadratów, przy metodzie największej wiarogodności wyświetlana jest statystyka Walda. Iteration 4: log likelihood = Number of obs = 69 Wald chi2(5) = Log likelihood = Prob > chi2 = Test Walda badający hipotezę H 0 : β = 0 przeciwko alternatywie H 1 : β 0 dla pojedynczej zmiennej wywołujemy poleceniem. test mpg ( 1) [eq1]mpg = 0 chi2( 1) = 0.55 Prob > chi2 = W podobny sposób przeprowadzamy sprawdzanie hipotez łącznych dotyczących kombinacji liniowych parametrów. test mpg rep78 weight headroom trunk ( 1) [eq1]mpg = 0 ( 2) [eq1]rep78 = 0 ( 3) [eq1]weight = 0 ( 4) [eq1]headroom = 0 ( 5) [eq1]trunk = 0 chi2( 5) = Prob > chi2 = Hipotezy nieliniowe testujemy poleceniem testnl. Na przykład sprawdźmy hipotezę H 0 : β mpg β weight = 1 H 1 : β mpg β weight 1 Test wygląda następująco: 34
6 . testnl _b[mpg]*_b[weight]=1 (1) _b[mpg]*_b[weight] = 1 chi2(1) = 0.70 Prob > chi2 = Test ilorazu wiarogodności Testem równoważnym do testu Walda jest test ilorazu wiarogodności (LR). Jego przeprowadzenie wymaga obliczenia dwóch modeli regresji. Na początku liczymy model bez ograniczeń i to co nas interesuje to logarytm ilorazu wiarogodności. Nałożenie ograniczeń na parametry wektora β powoduje że trudniej jest dopasować taki model do danych empirycznych. Z tego powodu wartość logarytmu funkcji wiarogodności dla modelu z ograniczeniami będzie zazwyczaj mniejsza. Test ilorazu wiarogodności polega na sprawdzeniu czy podwojona różnica wartości logarytmu funkcji wiarogodności obu modeli jest statystycznie istotna. Test przeprowadzamy za pomocą statystyki LR: LR = 2(L 0 L R ) (2) gdzie L 0 jest logarytmem funkcji wiarogodności dla modelu bez ograniczeń, a L R logarytmem funkcji wiarogodności dla modelu z ograniczeniami. Przy prawdziwej hipotezie zerowej, która oznacza prawdziwość narzuconych ograniczeń na parametry modelu, statystyka testowa ma rozkład χ 2 (k), z ilością stopni swobody k równą liczbą narzuconych ograniczeń. Wróćmy do przykładu. Sprawdzimy za pomocą testu ilorazu wiarogodności czy zmienne headroom i trunk można usunąć z modelu. W tym celu przywołajmy ponownie ostatnio oszacowany model.ml display następnie zapamiętajmy wyniki estymacji.estimates store full Teraz dokonamy oszacowania modelu z nałożonymi ograniczeniami. Definiujemy model do estymacji.ml model lf mojaregresja (price=mpg weight rep78 )() i szacujemy. ml maximize initial: log likelihood = -<inf> (could not be evaluated) 35
7 feasible: log likelihood = rescale: log likelihood = rescale eq: log likelihood = Iteration 0: log likelihood = Iteration 1: log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Iteration 4: log likelihood = Iteration 5: log likelihood = Number of obs = 69 Wald chi2(3) = Log likelihood = Prob > chi2 = price Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] eq1 mpg weight rep _cons eq2 _cons Zapamiętujemy wyniki estymacji.estimates store restrict I porównujemy modele testem ilorazu wiarogodności. lrtest full restrict, stats (log-likelihoods of null models cannot be compared) likelihood-ratio test LR chi2(2) = 3.99 (Assumption: restrict nested in full) Prob > chi2 = Model nobs ll(null) ll(model) df AIC BIC restrict full Jak widzimy pakiet Stata zwraca nam uwagę, że nie może porównać wartości zerowej iteracji obu modeli. jest to zrozumiałe bowiem wartość funkcji logarytmu ilorazu wiarogodności w zerowej iteracji dla obu modeli wynosiła. 36
8 Jak widzimy różnica między modelami nie jest statystycznie istotna, jedynie na podstawie kryterium Schwarza-Bayesa (BIC) możemy powiedzieć, że lepiej dopasowany jest model z ograniczeniami Test mnożników Lagrangea Trzecim sposobem sprawdzenia istotności ograniczeń nałożonych na parametry modelu jest przeprowadzenie testu mnożników Lagrange a (LM). Bazuje on na wynikach powstałych przy estymacji regresji z narzuconymi ograniczeniami. W literaturze anglojęzycznej jest on również nazywany score test, ponieważ bazuje na wektorze score. Jest to po prostu pierwsza pochodna funkcji logarytmu wiarogodności dla modelu z ograniczeniami. Statystyka testu mnożników Lagrange a dana jest wzorem: LM = ( ln(θ R ) θ R ) [I(θR )] 1( ln(θ R ) θ R ) Jeśli ograniczenia są prawdziwe to ich narzucenie nie spowoduje znaczącej różnicy w wartości maksymalnej logarytmu funkcji wiarogodności. Wariancją wektora pierwszych pochodnych jest macierz informacyjna. Oznaczmy przez i kolumnę jedynek, a przez G R macierz gradientów. Wtedy statystykę LM możemy zapisać jako: LM = i G R [G RG R ] 1 G Ri Czyli statystyka LM jest to współczynnik regresji wektora gradientów na stałej przemnożony przez sumę gradientów. Wobec tego jeżeli policzymy scory, pomnożymy przez zmienne objaśniające a potem wykonamy regresję zmiennych i scorów na stałej to otrzymamy statystykę mnożników Lagrenge a Ẇracamy do przykładu. Statystykę mnożników Lagrange a obliczamy na postawie modelu z nałożonymi restrykcjami, wobec tego programujemy regresję ceny (price) na zużyciu paliwa (mpg), wadze (weight) i liczbie napraw (rep78 )..ml display.ml model lf mojaregresja (price=mpg weight rep78 )() potrzebna będzie nam wartość wektora gradientów wobec tego przy komendzie maksymalizacji dodajemy dwie opcje iterate(0) powoduje, że program wylicza tylko początkową iterację, a score(sc*) powoduje, że zostaną utworzone scory dla kolejnych zmiennych. Jednak by komenda zadziałała musimy zadeklarować wartości początkowe. Wyliczamy je wykorzystując metodę MNK..qui reg price mpg weight rep78 37
9 Następnie zapamiętujemy jej współczynniki, które użyjemy jako wartości startowe. Nie możemy zapomnieć o estymatorze wariancji..local a0e= _b[_cons].local a1e= _b[mpg].local a2e= _b[weight].local a3e= _b[rep78].local b0e= e(rmse) Następnie deklarujemy te wartości jako początkowe dla maksymalizacji..ml model lf mojaregresja (price=mpg weight rep78 )().ml init eq1:_cons= a0e.ml init eq1:mpg= a1e.ml init eq1:weight= a2e.ml init eq1:rep78= a3e.ml init eq2:_cons= b0e Maksymalizujemy zadeklarowaną funkcję wiarogodności.ml maximize, search(off) iter(0) score(sc*) i obliczamy scory. Dla każdej zmiennej zostaje utworzony jeden wektor scorów czyli wartości gradientu. Opcja score użyta przy komendzie (ml maximize) tworzy wartości wektora gradientów dla kolejnych zmiennych i zapisuje je pod nazwami scx, gdzie x oznacza kolejny numer równania. Przed obliczeniem wartości statystyki testowej musimy wygenerować zmienne pomocnicze mnożąc kolejne zmienne przez odpowiadające im wartości gradientów (scory)..gen sc1_mpg = sc1*mpg.gen sc1_weight= sc1*weight.gen sc1_rep78 = sc1*rep78 Następnie przeprowadzamy regresję stałej na scory oraz zmienne pomocnicze (scory przemnożnożone przez zmienne).reg const sc1 sc1_mpg sc1_weight sc1_rep78 sc2, nocons.predict sc.quietly summarize sc.display r(sum) Suma wartości dopasowanych z regresji pomocniczej jest szukaną wielkością statystyki mnożników Lagrange a. Literatura [1] Gould William, Sribney William Maximum Likelihood Estimation with Stata, Stata Press. 38
Testowanie hipotez statystycznych
Część 2 Hipoteza złożona Testowanie hipotez łącznych Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Hipoteza łączna H 0 : Rβ = q Hipoteza złożona Testowanie hipotez łącznych Zapis matematyczny Rozkład
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowo1. Pokaż, że estymator MNW parametru β ma postać β = nieobciążony. Znajdź estymator parametru σ 2.
Zadanie 1 Niech y t ma rozkład logarytmiczno normalny o funkcji gęstości postaci [ ] 1 f (y t ) = y exp (ln y t β ln x t ) 2 t 2πσ 2 2σ 2 Zakładamy, że x t jest nielosowe a y t są nieskorelowane w czasie.
Bardziej szczegółowo1 Modele ADL - interpretacja współczynników
1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać
Bardziej szczegółowo1.7 Ograniczenia nakładane na równanie regresji
1.7 Ograniczenia nakładane na równanie regresji Często teoria ekonomiczna wskazuje dobór zmiennych do modelu. Jednak nie w każdym przypadku oceny wartości parametrów są statystycznie istotne. Zastanowimy
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 0/0/0. Egzamin trwa 90 minut.. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu. Złamanie
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 07/03/2018
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 07/03/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoTesty własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu
Część 2 Test Durbina-Watsona Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT
Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Za pomocą jakiego testu weryfikowana jest normalność składnika losowego? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada w tym teście? Jakie
Bardziej szczegółowoBudowa modelu i testowanie hipotez
Problemy metodologiczne Gdzie jest problem? Obciążenie Lovella Dysponujemy oszacowaniami parametrów następującego modelu y t = β 0 + β 1 x 1 +... + β k x k + ε t Gdzie jest problem? Obciążenie Lovella
Bardziej szczegółowo, a reszta dla pominiętej obserwacji wynosi 0, RSS jest stałe, T SS rośnie, więc zarówno R 2 jak i R2 rosną. R 2 = 1 n 1 n. rosnie. n 2 (1 R2 ) = 1 59
Zadanie 1. Ekonometryk szacując funkcję konsumpcji przeprowadził estymację osobno dla tzw. Polski A oraz Polski B. Dla Polski A posiadał n 1 = 40 obserwacji i uzyskał współczynnik dopasowania RA 2 = 0.4,
Bardziej szczegółowoEkonometria dla IiE i MSEMat Z12
Ekonometria dla IiE i MSEMat Z12 Rafał Woźniak Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Warszawa, 09-01-2017 Test RESET Ramsey a W pierwszym etapie estymujemy współczynniki regresji w modelu:
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowoCzasowy wymiar danych
Problem autokorelacji Model regresji dla szeregów czasowych Model regresji dla szeregów czasowych y t = X t β + ε t Zasadnicze różnice 1 Budowa prognoz 2 Problem stabilności parametrów 3 Problem autokorelacji
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Testy własności składnika losowego. Diagnostyka modelu. Część 1. Diagnostyka modelu
Część 1 Testy i ich rodzaje Statystyka NR 2 Cel testowania Testy i ich rodzaje Statystyka NR 2 Cel testowania Testy małej próby Testy i ich rodzaje Statystyka NR 2 Cel testowania Testy małej próby Testy
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Własności algebraiczne Model liniowy Zapis modelu zarobki = β 0 + β 1 plec + β 2 wiek + ε Oszacowania wartości współczynników zarobki = b 0 + b 1 plec + b 2 wiek + e Model liniowy Tabela: Oszacowania współczynników
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 02/02/2011 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii - wersja ogólna
Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna 06-02-2019 Regulamin egzaminu 1. Egzamin trwa 90 min. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoEkonometria. Metodologia budowy modelu. Jerzy Mycielski. Luty, 2011 WNE, UW. Jerzy Mycielski (WNE, UW) Ekonometria Luty, / 18
Ekonometria Metodologia budowy modelu Jerzy Mycielski WNE, UW Luty, 2011 Jerzy Mycielski (WNE, UW) Ekonometria Luty, 2011 1 / 18 Sprawy organizacyjne Dyżur: środa godz. 14-15 w sali 302. Strona internetowa
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej: test RESET Testowanie normalności składników losowych: test Jarque-Berra Testowanie stabilności
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 12 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne 2. Autokorelacja o Testowanie autokorelacji 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne
Bardziej szczegółowoHeteroscedastyczność. Zjawisko heteroscedastyczności Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów Stosowalna Metoda Najmniejszych Kwadratów
Formy heteroscedastyczności Własności estymatorów MNK wydatki konsumpcyjne 0 10000 20000 30000 40000 14.4 31786.08 dochód rozporz¹dzalny Zródlo: Obliczenia wlasne, dane BBGD 2004 Formy heteroscedastyczności
Bardziej szczegółowoEkonometria Ćwiczenia 19/01/05
Oszacowano regresję stopy bezrobocia (unemp) na wzroście realnego PKB (pkb) i stopie inflacji (cpi) oraz na zmiennych zero-jedynkowych związanymi z kwartałami (season). Regresję przeprowadzono na danych
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 1 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie stabilności parametrów modelu: test Chowa. Heteroskedastyczność Konsekwencje Testowanie heteroskedastyczności 1. Testy
Bardziej szczegółowoDiagnostyka w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.
Bardziej szczegółowoAnaliza Szeregów Czasowych. Egzamin
Analiza Szeregów Czasowych Egzamin 12-06-2018 Zadanie 1: Zadanie 2: Zadanie 3: Zadanie 4: / 12 pkt. / 12 pkt. / 12 pkt. / 14 pkt. Projekt zaliczeniowy: Razem: / 100 pkt. / 50 pkt. Regulamin egzaminu 1.
Bardziej szczegółowoDiagnostyka w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.
Bardziej szczegółowoProblem równoczesności w MNK
Problem równoczesności w MNK O problemie równoczesności mówimy, gdy występuje korelacja między wartościa oczekiwana ε i i równoczesnym x i Model liniowy y = Xβ + ε, E (u) = 0 Powiedzmy, że występuje w
Bardziej szczegółowo1.8 Diagnostyka modelu
1.8 Diagnostyka modelu Dotychczas zajmowaliśmy się własnościami estymatorów przy spełnionych założeniach KMRL. W praktyce nie zawsze spełnione są wszystkie założenia modelu. Jeżeli któreś z nich nie jest
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 26/06/08
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 26/06/08 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 1
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 1 1 1. Sprawy organizacyjne Zasady zaliczenia Ćwiczenia Literatura 2. Obciążenie Lovella 3. Metoda od ogólnego do szczególnego 4. Kryteria informacyjne 2 1.
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja ogolna
Egzamin z ekonometrii wersja ogolna 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Wymienić założenia Klasycznego Modelu Regresji Liniowej (KMRL). 2. Wyprowadzić estymator MNK dla modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA
Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 06/03/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 06/03/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMat Pytania teoretyczne
Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMat 31-01-2014 Pytania teoretyczne 1. Podać postać przekształcenia Boxa-Coxa i wyjaśnić, do czego jest stosowane w ekonometrii. 2. Wyjaśnić, jakie korzyści i niebezpieczeństwa
Bardziej szczegółowo1.9 Czasowy wymiar danych
1.9 Czasowy wymiar danych Do tej pory rozpatrywaliśmy jedynie modele tworzone na podstawie danych empirycznych pochodzących z prób przekrojowych. Teraz zajmiemy się zagadnieniem budowy modeli regresji,
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 14 1 1.Problemy z danymi Współliniowość 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 31/01/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 31/01/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 4
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 4 1 1. Własności hiperpłaszczyzny regresji 2. Dobroć dopasowania równania regresji. Współczynnik determinacji R 2 Dekompozycja wariancji zmiennej zależnej Współczynnik
Bardziej szczegółowoHeteroskedastyczość w szeregach czasowyh
Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh Czesto zakłada się, że szeregi czasowe wykazuja autokorelację ae sa homoskedastyczne W rzeczywistości jednak często wariancja zmienia się w czasie Dobrym przykładem
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10
Stanisław Cichoci Natalia Nehrebeca Wyład 10 1 1. Testowanie hipotez prostych Rozład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyi t Przedziały ufności Badamy czy hipotezy teoretyczne
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Autokorelacja Konsekwencje Testowanie autokorelacji 2. Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością i autokorelacją Uogólniona Metoda Najmniejszych
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Bardziej szczegółowoPrzyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja
korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów
Bardziej szczegółowoAutokorelacja i heteroskedastyczność
Autokorelacja i heteroskedastyczność Założenie o braku autokorelacji Cov (ε i, ε j ) = E (ε i ε j ) = 0 dla i j Oczekiwana wielkość elementu losowego nie zależy od wielkości elementu losowego dla innych
Bardziej szczegółowoModele warunkowej heteroscedastyczności
Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Racjonalne oczekiwania inwestorów P t = E(P t+1 I t ) 1 + R (1) Teoria Przykład - zwroty
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ Dr Wioleta Drobik-Czwarno REGRESJA LOGISTYCZNA Zmienna zależna jest zmienną dychotomiczną (dwustanową) przyjmuje dwie wartości, najczęściej 0 i 1 Zmienną zależną może być:
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wprowadzenie do danych panelowych a) Charakterystyka danych panelowych b) Zalety i ograniczenia 2. Modele ekonometryczne danych panelowych a) Model efektów nieobserwowalnych
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja ogólna Pytania teoretyczne
Egzamin z ekonometrii wersja ogólna 31-01-2014 Pytania teoretyczne 1. Podać postać przekształcenia Boxa-Coxa i wyjaśnić, do czego jest stosowane w ekonometrii. 2. Porównaj zastosowania znanych ci kontrastów
Bardziej szczegółowoModele dla zmiennej binarnej w pakiecie STATA materiały na ćwiczenia z ekonometrii 18.03.2005 r. Piotr Wójcik, KTRG WNE UW
Modele dla zmiennej binarnej w pakiecie STATA materiały na ćwiczenia z ekonometrii 18.03.2005 r. Piotr Wójcik, KTRG WNE UW Dane Dane wykorzystane w przykładzie pochodzą z pracy McCall, B.P., 1995, The
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 01/02/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 14 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne Obserwacje nietypowe i błędne Współliniowość - Mamy 2 modele: y X u 1 1 (1) y X X 1 1 2 2 (2)
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Modele o opóźnieniach rozłożonych Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych. Modele dynamiczne.
opisują kształtowanie się zjawiska w czasie opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi
Bardziej szczegółowoSzacowanie modeli wielowartościowych w pakiecie STATA
Szacowanie modeli wielowartościowych w pakiecie STATA Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych 25 kwietnia 2007 W badaniach ekonomicznych i społecznych często odpowiedzi na pytania są kodowane
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT
Pytania teoretyczne Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 08-02-2017 1. W jaki sposób przeprowadzamy test Chowa? 2. Pokazać, że jest nieobciążonym estymatorem. 3. Udowodnić, że w modelu ze stałą TSSESS+RSS.
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe (forma strukturalna)
Modele wielorównaniowe (forma strukturalna) Formę strukturalna modelu o G równaniach AY t = BX t + u t, gdzie Y t = [y 1t,..., y Gt ] X t = [x 1t,..., x Kt ] u t = [u 1t,..., u Gt ] E (u t ) = 0 Var (u
Bardziej szczegółowoModel 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 4877 obserwacji Zmienna zależna: y
Zadanie 1 Rozpatrujemy próbę 4877 pracowników fizycznych, którzy stracili prace w USA miedzy rokiem 1982 i 1991. Nie wszyscy bezrobotni, którym przysługuje świadczenie z tytułu ubezpieczenia od utraty
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Testowanie autokorelacji 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 3.Problemy z danymi Zmienne pominięte
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin wersja ogólna 17/06/08
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin wersja ogólna 17/06/08 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca
Bardziej szczegółowoValue at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16
Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE 2018 Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) 2018 1 / 16 Warunkowa heteroskedastyczność O warunkowej autoregresyjnej heteroskedastyczności mówimy, gdy σ
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoZmienne Binarne w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zbiór (hipotetyczny) dummy.dta zawiera dane, na podstawie których prowadzono analizy opisane poniżej. Nazwy zmiennych oznaczają: doch dochód w jednostkach pieniężnych; plec płeć: kobieta (0),
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoTEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.
TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoEkonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
Stosowana Analiza Regresji Wykład VI... 16 Listopada 2011 1 / 24 Jest to rozkład zmiennej losowej rozkład chi-kwadrat Z = n i=1 X 2 i, gdzie X i N(µ i, 1) - niezależne. Oznaczenie: Z χ 2 (n, λ), gdzie:
Bardziej szczegółowo1.3 Własności statystyczne estymatorów MNK
1.3 Własności statystyczne estymatorów MNK 1. Estymator nazywamy estymatorem nieobciążonym, jeżeli jego wartość oczekiwana jest równa wartości szacowanego parametru. Udowodnimy, że estymator MNK wektora
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółowoEkonometria dla IiE i MSEMat Z7
Ekonometria dla IiE i MSEMat Z7 Rafał Woźniak Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Warszawa, 21-11-2016 Na podstawie zbioru danych cps_small.dat z książki Principles of Econometrics oszacowany
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady
Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń 1. Problem ozwaŝamy zjawisko (model): Y = β 1 X 1 X +...+ β k X k +Z Ηβ = w r Hipoteza alternatywna: Ηβ w r
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja ogólna Pytania teoretyczne
Egzamin z ekonometrii wersja ogólna 08-02-2017 Pytania teoretyczne 1. Za pomocą którego testu testujemy stabilność parametrów? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada H0 w tym teście? Jaka jest hipoteza alternatywna
Bardziej szczegółowoEkonometria ćwiczenia Kolokwium 2 semestr 22/05/05. / 4 pkt. / 4 pkt. / 3 pkt. / 4 pkt. /22 pkt. Regulamin i informacje dodatkowe
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria ćwiczenia Kolokwium 2 semestr 22/05/05 Zadanie 1 Zadanie 2 Zadanie 3 / 4 pkt / 4 pkt / 3 pkt Zadanie 4 / 7 pkt [1/1/1/2/2] Zadanie 5 Razem / 4 pkt /22 pkt Skala
Bardziej szczegółowoStopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α.
Stopy zbieżności Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że a n oznaczamy jako a n = o p (1 p 0 a Jeśli n p n α 0, to a n = o p (n α i mówimy a n zbiega według prawdopodobieństwa szybciej
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa wprowadzenie
Regresja liniowa wprowadzenie a) Model regresji liniowej ma postać: gdzie jest zmienną objaśnianą (zależną); są zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi); natomiast są parametrami modelu. jest składnikiem
Bardziej szczegółowoNatalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowo2.2 Autokorelacja Wprowadzenie
2.2 Autokorelacja 2.2.1 Wprowadzenie Przy wyprowadzaniu estymatorów Klasycznego Modelu Regresji Liniowej (KMRL) zakładaliśmy, że są spełnione założenia Gaussa-Markowa, tzn. składniki losowe są homoscedastyczne
Bardziej szczegółowoEkonometryczne modele nieliniowe
Ekonometryczne modele nieliniowe Wykład 10 Modele przełącznikowe Markowa Literatura P.H.Franses, D. van Dijk (2000) Non-linear time series models in empirical finance, Cambridge University Press. R. Breuning,
Bardziej szczegółowo1 Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) 2 Interpretacja parametrów modelu. 3 Klasyczny Model Regresji Liniowej (KMRL)
1 Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) 1. Co to jest zmienna endogeniczna, a co to zmienne egzogeniczna? 2. Podaj postać macierzy obserwacji dla modelu y t = a + bt + ε t 3. Co to jest wartość dopasowana,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowoZmienne sztuczne i jakościowe
Zmienne o ograniczonym zbiorze wartości Przykład 1. zarobki = β 0 + β 1 liczba godzin pracy + β 2 wykształcenie + ε Przykład 2. zarobki = β 0 + β 1 liczba godzin pracy + β 2 klm + ε zarobki = β 0 + β 1
Bardziej szczegółowo(LMP-Liniowy model prawdopodobieństwa)
OGÓLNY MODEL REGRESJI BINARNEJ (LMP-Liniowy model prawdopodobieństwa) Dla k3 y α α α α + x + x + x 2 2 3 3 + α x x α x x + α x x + α x x + ε + x 4 2 5 3 6 2 3 7 2 3 Zał.: Wszystkie zmienne interakcyjne
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 6
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 6 1 1. Zmienne dyskretne Zmienne zero-jedynkowe 2. Modele z interakcjami 2 Zmienne dyskretne Zmienne nominalne Zmienne uporządkowane 3 4 1 podstawowe i 0 podstawowe
Bardziej szczegółowoEgzamin z Ekonometrii
Pytania teoretyczne Egzamin z Ekonometrii 18.06.2015 1. Opisać procedurę od ogólnego do szczegółowego na przykładzie doboru liczby opóźnień w modelu. 2. Na czym polega najważniejsza różnica między testowaniem
Bardziej szczegółowoZadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1
Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów
Bardziej szczegółowoEkonometria. Zajęcia
Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoMonte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Bardziej szczegółowo