Fizyka dla Informatyki Stosowanej

Transkrypt

1 Fizyka dla Informayki Sosowanej Jacek Golak Semesr zimowy 018/019 Wykład nr 14

2 Równania Mawella w próżni E 0 B 0 B E B j 0 0 E Uwaga: To są równania w układzie SI! π T m A 1 C N m Tylko yle dodał sam Mawell. To zw. gęsość prądu przesunięcia

3 z y B z y B z y B z y B r B B z y E z y E z y E z y E r E E z y z y pole elekryczne indukcja magneyczna Wekory pola elekrycznego i indukcji magneycznej zależą od czasu i punku przesrzeni!

4 B B E E Z równań Mawella dla próżni bez ładunków i prądów wynika że Każda składowa pola elekrycznego i indukcji magneycznej spełnia w próżni bez ładunków i prądów równanie falowe! 1 z y u v z z y u y z y u z y u W dodaku dokładnie bez żadnych przybliżeń! Prędkość rozchodzenia się fali EM fazowa jes równa prędkości świała! Wniosek: świało widzialne jes eż falą elekromagneyczną! s m c v

5 Co o jes właściwie fala? Fala o zaburzenie lub zmiana kóra przemieszcza się w ośrodku. Ośrodek w kórym fala się przemieszcza może doznawać lokalnych zmian np. oscylacji ale cząski ośrodka nie wędrują razem z falą. Zaburzenia mogą przyjmować bardzo różne formy od impulsu o skończonej szerokości do nieskończenie długiej fali sinusoidalnej. Porzebna jes maemayka aby precyzyjnie opisywać fale! y u y z z 1 v u y z To podsawowe równanie falowe musi być odpowiednio zmodyfikowane by opisać na przykład łumienie fali

6 Rodzaje fal: - mechaniczne rozchodzące się na naprężonym sznurze na membranie na wodzie dźwiękowe sejsmiczne wymagają ośrodka w kórym się poruszają -elekromagneyczne świelne radiowe radarowe rozchodzą się nie ylko ośrodku maerialnym ale akże w próżni -fale maerii związane z każdą cząską maerialną mechanika falowa = mechanika kwanowa

7 Przykład 1 Meksykańska fala : Grupa ludzi podskakuje i siada z powroem ludzie siedzący blisko widzą o i eż podskakują a siedzący dalej naśladują o zachowanie. Zaburzenie podskakujący ludzie wędruje wokół sadionu ale żadna z osób nie zmienia swego miejsca na sadionie! animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

8 Przykład Podłużne fale dźwiękowe w powierzu zachowują się podobnie. Kiedy przechodzi fala cząski powierza oscylują wokół położeń równowagi ale o zaburzenie wędruje w posaci zagęszczonych rejonów a nie indywidualne cząski ośrodka. animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

9 Przykład 3 W przypadku fali poprzecznej przemieszczenie cząsek ośrodka jes prosopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Animacja pokazuje falę biegnącą w prawo a cząski ośrodka poruszają się jedynie w górę i w dół wokół położeń równowagi. Animaion creaed by Mas Bengsson

10 Przykład 4 Poprzeczne fale na sznurze: sznur jes odkszałcany w górę i w dół kiedy fala przemieszcza się w prawo ale sznur jako całość nie wykazuje żadnego wypadkowego ruchu. To jes pojedynczy impuls. animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

11 Przykład 5 Fale na wodzie są przykładem fal w kórych cząski ośrodka wykonują kombinację ruchów podłużnego i poprzecznego. Kiedy fala wędruje przez wodę cząseczki ośrodka przemieszczają się po okręgach zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Promień ych okręgów maleje wraz z głębokością. Fala przemieszcza się w prawo. animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

12 Jak przejść od drgań do fal? Porzebujemy modelu sprzężenia między cząseczkami ośrodka Przykład 1: masy i sprężyny

13 Przykład : wahadła sprzężone przy pomocy sprężyn Ilusracja z książki F.C. Crawforda Waves Przykład 3: wahadło wielokrone albo wiszący łańcuch

14 Przykład 4: dwa idenyczne obwody drgające LC sprzężone przy pomocy pojemności

15 Przykład 5: drgania poprzeczne nieważkiej sruny obciążonej punkowymi masami Ilusracja z książki H.J. Paina The Physics of Vibraions and Waves

16 Jakie siły działają na masę r? Ilusracja z książki H.J. Paina The Physics of Vibraions and Waves Masa r jes ciągnięa w dół w kierunku położenia równowagi przez siłę Tsinθ 1 naprężenie z lewej srony i przez siłę Tsinθ naprężenie z prawej srony.

17 Ponieważ równanie ruchu ma posać i po uproszczeniu dosajemy

18 Zapiszmy wyrażenie w nawiasie przy pomocy szeregu Taylora f 1 f f ' f '' co daje

19 Masy m były punkowe. Teraz rozsmarowujemy m na odcinku δ wprowadzając gęsość liniową ρ=m/δ masa sruny na jednoskę długości T/ρ ma wymiar kwadrau prędkości oznaczenie: T/ρ =c v Dosaliśmy równanie falowe na funkcję dwóch zmiennych y Prosa inerpreacja rozwiązania równania falowego: y jes wychyleniem pionowym sznura w chwili w punkcie o współrzędnej!

20 0 1 u c u Równanie falowe dla jednowymiarowej cienkiej sruny Równanie różniczkowe 1 cząskowe bo na funkcję więcej niż jednej zmiennej II rzędu 3 liniowe sumując prose rozwiązania budujemy inne rozwiązania 4 jednorodne 5 posiada bardzo wiele różnego ypu rozwiązań

21 Aby dosać jednoznaczne rozwiązanie należy podać 1 warunki począkowe a u=0 - kszał sruny w chwili =0 b u=0/ - rozkład prędkości punków sruny w chwili =0 warunki brzegowe co dzieje się na końcach sruny dla > 0 na przykład czy sruna jes swobodna lub szywno umocowana Ze względu na będziemy po kolei rozważać rozwiązania dla sruny nieskończonej cała prosa dla srony ograniczonej z jednej srony półprosa dla sruny o skończonej długości odcinek

22 Sruna nieskończona R 0 R 0 0 R 1 u u u c u Wzór d Alembera

23 Dlaczego o jes właściwe rozwiązanie? wierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całki hp://

24 Sens składników we wzorze d Alembera Impuls poruszający się w lewo Impuls poruszający się w prawo Poprawka na począkowy rozkład prędkości punków sruny

25 Jeśli wszyskie punky sruny są w spoczynku dla =0 o Rozwiązanie jes suma dwóch impulsów poruszających się w przeciwnych kierunkach!

26 Jak sworzyć pojedynczy impuls poruszający się w prawo lub w lewo? Wziąć jeden kawałek! Impuls biegnący w prawą sronę: u v u ' v v u 0 ' v Rozkład prędkości dla =0 jes już jednoznacznie wyznaczony!

27 Impuls biegnący w lewą sronę: u v u ' v v u 0 ' v Rozkład prędkości dla =0 jes już jednoznacznie wyznaczony!

28 Przykłady dla v 1 ep 5 Impuls gaussowski

29 Impuls się rozdwaja bo w chwili =0 punky sruny mają prędkość zero!

30 Sruna ograniczona z jednej lewej srony: 0 a sruna szywno umocowana w =0

31 Taki sam impuls jak dla przypadku sruny nieograniczonej z obu sron

32 Impuls się nie rozdwaja bo w chwili =0 punky sruny mają odpowiednio dobrany rozkład prędkości!

33 Animaion couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

34 b sruna swobodna w =0 u 0 0 0

35 Taki sam pojedynczy impuls jak poprzednio ale inne warunki dla odbicia

36 animaion couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

37 Polecam noebooki ze srony wykładu: hp://users.uj.edu.pl/~golak/f18-19/ jednowymiarowe_równanie_falowe_wb1.nb jednowymiarowe_równanie_falowe_wb.nb jednowymiarowe_równanie_falowe_wp1.nb jednowymiarowe_równanie_falowe_wp.nb jednowymiarowe_równanie_falowe_wp3.nb jednowymiarowe_równanie_falowe_wp4.nb dwywymiarowe_równanie_falowe_kwadra.nb dwuwymiarowe_równanie_falowe_kolo.nb

38 Do ej pory bawiliśmy się impulsami ale przecież posać φ jes dowolna. Teraz rozważymy szczególnie ważny rodzaj fal fale sinusoidalne u Asin[ k v ] czyli Asin[ k] Musi być sała k bo nie może być sin1mera

39 ] sin[ ] sin[ ] sin[ ] sin[ ] sin[ k A u T A u f A u v A u v k A u Równoważne formy:

40 ] cos[... ] cos[ k A u v k A u Jeszcze inne formy: ] sin[ ] cos[ ] [ ep k i k A u k i A u Wygodna w rachunkach posać zespolona

41 Sens różnych wielkości i ich powiązania v o prędkość fazowa fali A o ampliuda fali Jeśli usalimy o mamy okresową funkcję Wedy ω jes częsością kołową powiązaną w zwykły sposób z okresem T i częsoliwością f T f kv Jeśli usalimy o mamy okresową funkcję z okresem λ zwanym długością fali powiązanym z liczbą falową k k vt v

42 Aple ma pomóc zrozumieć podwójną zależność u od i animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

43 Dodawanie impulsów falowych animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

44 Dodawanie dwóch fal sinusoidalnych o ej samej częsości biegnących w ę samą sronę ale przesunięych w fazie animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

45 Dodawanie dwóch fal sinusoidalnych o ej samej częsości biegnących w przeciwne srony bez przesunięcia w fazie fala sojąca! Zależność czasowa i przesrzenna w formie osobnych czynników! animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

46 Dodawanie dwóch fal sinusoidalnych o różnych częsościach biegnących w ę samą sronę bez przesunięcia w fazie animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

47 Fala i własności ośrodka v T sprężysość bezwładność sprężysość energia poencjalna sruny bezwładność energia kineyczna sruny Co się dzieje gdy zmieniają się własności ośrodka?

48 Wprowadzamy nową wielkość Z impedancja charakerysyczna sruny Zakładamy że generaor drgań sinusoidalnych przyczepiony jes do lewego końca sruny i emiuje falę biegnącą w prawo u=acosk-ω

49 Poprzeczna składowa siły wywieranej przez srunę na wyjściowy elemen generaora u F poprz = T sinθ T gθ = T u=0 Ilusracja z książki F.C. Crawforda Fale

50 sin sin cos k A u k ka u k A u u Z u v T u T Dlaego F poprz dana jes wzorem gdzie bo v T v T v T Z poprzeczna składowa prędkości sruny dla =0

51 Generaor emiuje falę; sruna przeciwsawia się emu z siłą proporcjonalną i przeciwnie skierowaną do nadawanej jej prędkości. Współczynnik proporcjonalności Z o impedancja charakerysyczna. Rozumując jak dla oscylaora wymuszonego P=Fv: Moc wyjściowa generaora w chwili P o ogólnie P a dla fali biegnącej F poprz u u P Z

52 fala padająca fala przechodząca T fala odbia T Z v Z v =0 granica dwóch ośrodków u nas dwa kawałki sruny o różnych gęsościach

53 Uwagi: 1 wybieramy =0 bo najprossze rachunki; generaor rzeba odsunąć bardziej w lewo częsość się nie zmienia u u u pad przech odb A A 1 3 cos[ k A cos[ k cos[ k 1 1 ] ] ]

54 Porzebne zw. warunki ciągłości 1 funkcja u jes ciągła w =0 bo sruna nie może być rozerwana składowa poprzeczna siły T u/ musi być ciągła w =0; inaczej różnica sił działająca na nieskończenie małą masę dawałaby nieskończone przyspieszenie Te warunki prowadzą do współczynnika odbicia A 3 / A 1 i współczynnika przejścia A / A 1 dla ampliud

55 noebook: odbicie_i_przechodzenie_fali_na_srunie_real.nb

56 Dosajemy więc i i i Z T v k Z Z Z Z k k k k A A Z Z Z k k k A A bo

57 Szczególne przypadki już znamy: 1 Umocowany koniec sznura odpowiada Z A = 0 nic nie przechodzi do drugiego ośrodka A 3 /A 1 = -1 odbia fala zmienia fazę o π Swobodny koniec sznura odpowiada Z = 0 A 3 /A 1 = 1 A /A 1 = zwiększenie ampliudy fali przy swobodnym końcu sruny

58 Transpor energii w srunie Trakujemy każdą jednoskę długości sruny jak oscylaor kóry ma energię 1 1 E ka A Fala wędruje z prędkością v więc szybkość ransporu energii o energia v 1 A v 1 Z A Cała energia docierająca do granicy ośrodków jes albo w odbiej albo w przechodzącej fali

59 Z Z Z Z A Z A Z Z Z Z Z A Z A Z energia padająca energia padająca energia odbia energia przechodząca Jeśli Z 1 = Z o nie ma odbiej energii i mówimy że impedancje ośrodków są dopasowane

60 Odbicie dla Z animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

61 Odbicie dla Z =0 animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

62 Odbicie dla Z 1 < Z v 1 > v animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

63 Odbicie dla Z 1 > Z v 1 < v animaions couresy of Dr. Dan Russell Keering Universiy hp://paws.keering.edu/~drussell/demos.hml

64 Dopasowanie impedancji warswa przeciwodbiciowa Bardzo ważny problem w mechanice akusyce i opyce! Cały ośrodek u nas sruna może być podzielony na rzy części 1 - < < 0 Z 1 k 1 0 < < L Z k 3 L < < + Z 3 k 3 Jaka musi być impedancja Z i długość warswy nr L by nie było odbicia i cała energia padającej fali wchodziła do ośrodka 3? Odpowiedzi szukamy dla usalonego ω! Pomysł: fale odbie w =0 i w =L powinny się znieść w ośrodku 1 dzięki inerferencji desrukywnej.

65 Odpowiedź w przybliżeniu słabego odbicia: Z L Z 1 Z k Ilusracja z książki F.C. Crawforda Fale

66 Podobne rozważania można przeprowadzić dla fal dźwiękowych i elekromagneycznych. Na przykład zachowanie się fali elekromagneycznej na granicy dwóch ośrodków wynika z warunków ciągłości wyprowadzanych z równań Mawella.