, dla n = 1, 2, 3, 4 : 2

Transkrypt

1 Ćwiczeia VI Uwagi do zadań -5 : W każdym z zadań proszę : A. arysować graf przejść i macierz itesywości B. podać graiczą itesywość zgłoszeń λ gr dla której system jest już iestabily C. obliczyć prawdopodobieństwa wszystkich staów Π D. obliczyć prawdopodobieństwo blokady (odrzuceia przychodzącego zgłoszeia) P B E. obliczyć średią wartość : - itesywości zgłoszeń przyjmowaych przez system λ + i itesywości obsługi µ + - długości kolejki L (sumy zgłoszeń obsługiwaych i czekających) - czasu przebywaia zgłoszeia w systemie W - liczby jedocześie pracujących staowisk obsługi N - proceta czasu w którym system jest woly P idle.. Do salou tatuaży w sezoie wakacyjym przychodzi średio klietów a godzię. Każdy pracowik salou - mistrz i jego pomocik wykouje pojedyczy tatuaż średio w ciągu miut. Klieci są dość iecierpliwi gdy widzą że w kolejce czekają już dwie osoby rezygują. Rozwiązaia : λ gr ie istieje system jest zawsze stabily Istieje tylko 5 staów systemu : Π = dla = : Π = P B = λ + = µ + = L = osoby W = 7 5 godziy N = 5 osób a godzię P idle = % %.

2 . Proszę rozważyć zespół komputerów serwera i trzech klietów. Każdy kliet wysyła porcję daych do serwera. Serwer przetwarza te dae średio przez miutę a wyiki odsyła do klieta. Na tej podstawie kliet dokouje pewych obliczeń trwających średio miuty i zowu wysyła dae do serwera itd. Serwer jedocześie obsługuje wszystkich trzech klietów więc czasem pewe dae czekają u iego w buforze. Rozwiązaia : λ gr ie istieje system jest zawsze stabily Istieją tylko stay systemu : Π = Π = Π = P B = λ + = µ + = zgłoszeń a godzię L = W = godziy 5 sekud 7 N = P idle = % 5 %.. Pai Aia pracuje w iformacji a dworcu PKS. Do jej okieka podchodzi średio osób a godzię. Pai Aia każdemu podróżemu poświęca średio sekud. Natomiast gdy kolejka czekających się wydłuża gdy łączie z obsługiwaą osobą jest ich co ajmiej pai Aia przyśpiesza zaczya wyrzucać z siebie iformacje w ekspresowym tempie. Dzięki temu pojedyczy kliet odchodzi średio po sekudach. Poowy widok krótkiej kolejki działa a paią Aię uspokajająco podróżi zów mają szasę usłyszeć długie klarowe -sekudowe wyjaśieia. Rozwiązaia : λ gr = osób a godzię dla < : Π = dla > : Π = 7 7 P B = λ + = µ + = osób a godzię 8 L = (około osób) 7 W miuty N = 7 P idle = %.5 %. 7

3 . Spacer cara po Petersburskim porcie zakłócają mewy śmieszki. Wrede ptaszyska siadają gdzie się tylko da i wyraźie aśmiewają się z władcy Rosji. Na szczęście marszałek wojsk rosyjskich przewidział tą kłopotliwą sytuację. Cała podległa mu armia czuwa ad spokojem swego władcy. Gdy tylko jakaś mewa usiądzie w zasięgu wzroku cara atychmiast zjawia się tam jede z dzielych żołierzy i przepędza ją jak ajdalej. Mewy pojawiają się średio raz a 5 sekud a przepędzaie każdego z tych upartych ptaków trwa średio 5 sekud... Za -ty sta systemu ależy uważać sytuację gdy żołierzy jedocześie walczy z mewami. Rozwiązaia : λ gr ie istieje system jest zawsze stabily zakładamy że zasoby ludzkie armii rosyjskiej są ieograiczoe. = e Π! P B = λ + = µ + = zgłoszeń a miutę L = W = 5 sekud N = P idle = e % 5 %. 5. Do serwera o dwóch staowiskach obsługi przychodzi średio zgłoszeń a sekudę. Każde staowisko obsługuje pojedycze zgłoszeie średio w czasie. sekudy. Aby uikąć przepełieia bufora w serwerze zastosowao astępującą politykę wobec przychodzących zgłoszeń : - gdy oba staowiska obsługi są zajęte ale bufor jest pusty zgłoszeie jest odrzucae z prawdopodobieństwem /5 - gdy w buforze jest już jedo miejsce zajęte zgłoszeie przychodzące jest odrzucae z prawdopodobieństwem ¼ - gdy zajęte są dwa miejsca w buforze odrzucaych jest / przychodzących zgłoszeń - gdy w buforze czekają już zgłoszeia odrzucaych jest ½ zgłoszeń adchodzących - gdy w buforze czekają cztery zgłoszeia żade astępe ie są przyjmowae. Rozwiązaia : λ gr ie istieje system jest zawsze stabily jest to system z ograiczoym buforem w systemie igdy ie ma więcej iż zgłoszeń. Π = Π = Π = P B = 5 λ + = µ + = 5 zgłoszeń a sekudę 5 L = W = sekudy N = P idle = % %. 7

4 . Pewa ietypowa sieć sesorowa składa się z sześciu czujików zbierających dae meteorologicze i sześciu węzłów odbiorczych do których czujiki wysyłają zebrae iformacje. Każdy czujik zbiera dae średio przez 5 sekud po czym łączy się z jedym z wolych węzłów odbiorczych i wysyła iformacje co trwa średio sekudy (trasmisja poit-to-poit). Proszę policzyć prawdopodobieństwo że jedocześie prowadzoych jest trasmisji radiowych. Jak bardzo musiałaby wzrosąć częstotliwość łączeia się czujików z węzłami odbiorczymi aby cały te system był iestabily? Proszę założyć że czasy zbieraia daych i czasy trasferu iformacji do węzłów odbiorczych dae są rozkładami wykładiczymi. Odpowiedzi : Π = i i= Niestabilość systemu ie jest możliwa. i = + 5 =.5 7. Do serwera o trzech staowiskach obsługi przychodzi średio zgłoszeń a sekudę. Każde ze staowisk obsługuje pojedycze zgłoszeie średio w 5 ms. Bufor kolejkujący zgłoszeia jest a tyle duży że moża założyć jego ieskończoą pojemość. Zgłoszeia przychodzą zgodie z rozkładem Poissoa a czasy obsługi podlegają rozkładowi wykładiczemu. Proszę arysować graf przejść opisujący te system oraz obliczyć prawdopodobieństwa wszystkich jego staów. Proszę rówież policzyć średi czas przebywaia w serwerze pojedyczego zgłoszeia. Π = Π = dla > : Π = W = sekudy.

5 8. Który serwer będzie efektywiej obsługiwał zgłoszeia? a. z dwoma staowiskami o itesywości obsługi µ b. czy z pojedyczym staowiskiem obsługi o itesywości obsługi µ? W obu przypadkach ależy założyć istieie bufora o ieskończoej pojemości. Aby dokoać wyboru proszę porówać maksymale itesywości zgłoszeń które mogą zostać obsłużoe w obu systemach oraz średi czas przebywaia zgłoszeia w systemie. Należy przyjąć że zgłoszeia przychodzą zgodie z rozkładem Poissoa a czasy obsługi podlegają rozkładowi wykładiczemu. Rozwiązaie : Maksymale itesywości zgłoszeń (λ gr ) w obu przypadkach są takie same i wyoszą µ. Średi czas przebywaia zgłoszeia w systemie jest krótszy w drugim przypadku stosuek długości tych czasów wyosi : Wa =. W λ b + µ Dla małych itesywości zgłoszeń średi czas przebywaia zgłoszeia w systemie jest prawie razy krótszy w drugim przypadku. Gdy itesywość zgłoszeń jest bliska maksymalej oba systemy działają porówywalie.