Statystyczna analiza danych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyczna analiza danych"

Transkrypt

1 Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

2 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

3 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach J. Koronacki, J. Mieliczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

4 Statystyka zajmuje się opisem zjawisk masowych przy pomocy metod rachunku prawdopodobieństwa. Przykład Krzyżujemy nasiona okragłe i żółte z pomarszczonymi i zielonymi. Otrzymano następujace wyniki: pomarszczone zielone 32, pomarszczone i żółte 101, okragłe zielone 108, okragłe żółte 315. Czy stosunek wynosi 1 : 3 : 3 : 9? Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

5 Przykład Badamy, która kapusta: biała czy czerwona zawiera więcej witaminy C. W próbkach po 100 g otrzymano następujace wyniki (w mg): biała: 45, 50, 64, 38, 66, 43, 49, 58, 31, 49 oraz czerwona: 70, 68, 55, 61, 62, 74, 52, 71, 56, 61. Który z gatunków zawiera więcej witaminy C? Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

6 Przykład Badamy zmienność tymotki. Wykonano pomiary długości najwyższego liścia oraz kłosa kwiatostanu w próbie losowej o liczności 30 kwitnacych pędów i otrzymano następujace wyniki: Nr pędu Liść (cm) 23, 4 22, 0 25, 0 18, 1 18, 9 25, 0 19, 1 27, 5 21, 6 14, 3 Kłos (cm) 9, 8 9, 5 12, 2 8, 3 9, 5 9, 2 8, 5 12, 1 10, 4 5, , 0 16, 3 23, 1 17, 4 17, 0 26, 8 12, 5 18, 4 16, 7 24, 0 10, 6 5, 5 10, 5 7, 4 6, 8 11, 7 4, 1 9, 3 6, 2 11, , 2 21, 2 15, 0 20, 0 20, 1 19, 2 21, 0 13, 0 19, 7 26, 0 10, 2 9, 6 5, 0 8, 5 9, 7 7, 0 7, 9 4, 7 8, 3 12, 6 Czy istnieje zależność między długością najwyższego liścia a długością kłosa kwiatostanu? Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

7 Przykład Badamy czy proporcje samic i samców pewnego bardzo rzadkiego gatunku wynosza 1 : 1, tzn, czy rozkład jest dwumianowy. Testowanie hipotez: 1 Przyjęcie założeń. 2 Otrzymanie rozkładu z próby. 3 Wyznaczenie poziomu istotności i obszaru krytycznego. 4 Przeprowadzenie badań i wyliczenie statystyki testowej. 5 Podjęcie decyzji. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

8 X zmienna losowa określająca liczbę samców w wybranych 10 sztukach P(X = k) = ( ) n k p k (1 p) n k ( ) P(X = 0) = 10 ( )10 ( 1 2 )0 = = 0, ( ) P(X = 1) = 10 ( )9 ( 1 2 )1 = = = 0, ( ) P(X = 2) = 10 ( )8 ( 1 2 )2 = 45 1 = 45 = 0, ( ) P(X = 3) = 10 ( )7 ( 1 2 )3 = = 15 = 0, ( ) P(X = 4) = 10 ( )6 ( 1 2 )4 = = = 0, ( ) P(X = 5) = 10 ( )5 ( 1 2 )5 = = = 0, ( ) P(X = 6) = 10 ( )4 ( 1 2 )6 = = = 0, ( ) P(X = 7) = 10 ( )3 ( 1 2 )7 = = = 0, ( ) P(X = 8) = 10 ( )2 ( 1 2 )8 = = = 0, ( ) P(X = 9) = 10 ( )1 ( 1 2 )9 = = 0, P(X = 10) = ( ) ( 1 2 )0 ( 1 2 )10 = = = 0, Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

9 Część II Rachunek prawdopodobieństwa Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

10 (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Np. X : Ω R zmienna losowa {ω Ω : X(ω) < t} S Dystrubuanta zmiennej losowej X F X : R [0, 1] F X (t) = P({ω Ω : X(ω) < t}) Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

11 Zmienna losowa typu dyskretnego Skończona lub przeliczalna liczba wartości W X = {x 1, x 2,... x n, x n+1,... } P(X = x i ) = p(x i ) = p i p(x 1 ) + + p(x n ) + = 1 F X (x) = x i <x p(x i ) P(X = x i ) = p(x i ) rozkład zmiennej losowej P(a X < b) = p(x i ) a x i <b Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

12 Przykład: Dwie komórki dzielą się każda z prawdopodobieństwem 0, 4 X zmienna losowa określająca liczbę podzielonych komórek P(X = 0) = 0, 6 0, 6 = 0, 36 P(X = 1) = 0, 6 0, 4 + 0, 4 0, 6 = 0, 48 P(X = 2) = 0, 4 0, 4 = 0, 16 Rozkład zmiennej losowej X x i p(x i ) 0, 36 0, 48 0, 16 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

13 Dystrybuanta zmiennej losowej X 0 dla x 0, 0, 36 dla 0 < x 1, F(x) = 0, 84 dla 1 < x 2, 1 dla 2 < x. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

14 Zmienna typu dyskretnego wartość oczekiwana zmiennej losowej X EX = x i p i x i Ω Wariancja zmiennej losowej X VarX, D 2 X, σ 2, σ 2 X, µ 2, DX = VarX VarX = E(X EX) 2 kwantylem rzędu p jest liczba x p taka, że P(X < x p ) P(X = x i ) p P(X = x i ) x i <x p x i x p Współczynnik zmienności τ X = DX EX Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

15 Rozkład dwupunktowy Zmienna typu skokowego o prawdopodobieństwie: E(X) = p, D 2 (X) = p(1 p) x i 0 1 p(x i ) 1 p p Np. Prawdopodobieństwo, że nastąpiła mutacja lub nie, białe lub czarne. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

16 Rozkład dwumianowy Liczba sukcesów w n doświadczeniach P(X = k) = ( ) n k p k (1 p) n k X i wynik w i tej próbie X 1,..., X n niezależne zmienne losowe X = X X n E(X) = E(X X n ) = E(X 1 ) + + E(X n ) = p + + p = np D 2 (X) = D 2 (X 1 )+ +D 2 (X n ) = p(1 p)+ +p(1 p) = np(1 p) Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

17 Rozkład geometryczny Mamy dane pewne zdarzenie losowe zachodzące z prawdopodobieństwem p. Przeprowadzamy je wiele razy. Zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym X to liczba prób potrzebnych, aby to zdarzenie się zrealizowało P(X = k) = (1 p) k 1 p (bo k 1 zd. przeciwne i raz zd. dane) E(X) = 1 p D 2 (X) = 1 p p 2 Np. X 1 obsługa masowa, jak długo trzeba czekać, aby być obsłużonym Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

18 Rozkład Poissona λ λk P(X = k) = e k = 0, 1, 2,... k! EX = λ D 2 X = λ µ 3 = λ Rozkład Poissona opisuje liczbę pewnych zdarzeń w pewnym określonym przedziale czasowym. Np. ile komórek podzieliło się w ciągu jakiegoś odcinka czasu, np. w ciągu 1 minuty, 1 godz. λ oznacza intensywność danego zjawiska Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

19 Rozkład hipergeometryczny Zmienna typu skokowego o rozkładzie prawdopodobieństwa P(X = k) = (n k)( N M n k ) ( N n) EX = np D 2 X = np(1 p) ( ) N n N 1 p = M N Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

20 Zmienna losowa typu ciągłego Istnieje f : R R ciągła (całkowalna) a<b + P(a X b) = f gęstość rozkładu F X (x) = Twierdzenie b a f (t) dt x f (t) dt X : Ω R zmienna losowa typu ciagłego + f (t) dt = 1 P(X = a) = 0 P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = F X (b) F X (a) Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

21 Twierdzenie f : R R gęstość zmiennej losowej, f ciagła w x 0. Wtedy F X(x) = f (x) Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

22 Przykład f (t) = { 2 3 t2 dla 0 < t < 1, 0 dla t 0 lub t 1. Dystrybuanta ma postać 0 dla x 0, 1 F(x) = 3 ) dla 0 < x 1 1 dla 1 < x. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

23 Zmienna losowa typu ciągłego EX = + x f (x) dx D 2 X = VarX = E(X E(X)) 2 Kwantylem rzędu p jest liczba x p taka, że P(X < x p ) = p x p f (x) dx = p F(x p ) = p Współczynnik zmienności τ X = DX EX Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

24 Rozkład równomierny f (x) = { 1 b a dla x [a, b], 0 dla x / [a, b]. 0 dla x < a, x a F(x) = dla a x b, b a 1 dla x > b. E(X) = a+b D 2 (X) = (b a) Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

25 Rozkład Cauchy ego Zmienna typu ciągłego o gęstości f (x) = 1 λ λ > 0 π λ 2 +(x µ) 2 EX, D 2 X nie istnieją Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

26 Rozkład wykładniczy f (x) = { λe λx dla x > 0, 0 dla x < 0. F(x) = { 1 e λx dla x > 0, 0 dla x < 0. Zmienna o rozkładzie wykładniczym to czas oczekiwania do wystąpienia pierwszego zdarzenia w rozkładzie Poissona Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

27 Rozkład normalny N(µ, σ) f (x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2 F(x) = Φ(x) = 1 2π x EX = µ D 2 X = σ 2 e t2 2 dt Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

28 Twierdzenie X zmienna o rozkładzie normalnym N(µ, σ) to EX = µ, D 2 X = σ 2. Ponadto Z = X µ σ ma rozkład N(0, 1), tzn EZ = 0, D 2 Z = 1. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

29 Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego, Φ(x) = 1 x 2π e 1 2 t2 dt, x > 0 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

30 Dla rozkładu normalnego zachodzi tzw. Reguła 3σ P( X µ 3σ) = 1 P( X µ < 3σ) = 1 P( 3σ < X µ < 3σ) = 1 P( 3 < X µ < 3) = 1 P( 3 < Z < 3) = σ 1 (Φ(3) Φ( 3)) = 1 (0, , 00135) = 0, 0027 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

31 Twierdzenie Niech X 1,..., X n będa zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym N(µ, σ). Wtedy zmienna Z = 1(X n X n ) ma rozkład N(µ, σ n ). Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

32 Rozkład logarytmiczno-normalny Zmienna losowa Y ma rozkład logarytmiczno-normalny, gdy zmienna losowa X = ln Y ma rozkład normalny N(µ, σ) (ln y µ) 2 f (y) = 1 yσ 2π e 2σ 2 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

33 Rozkład t Studenta o n 1 stopniach swobody Zmienna losowa o gęstości f (x) = ( ) (n+1)/2 Γ[(n + 1)/2] 1 + x2, x R, n N nπ Γ(n/2) n gdzie Γ(r) = + 0 x r 1 e x dx, r > 0 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

34 Rozkład t Studenta o n 1 stopniach swobody Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

35 Wartości krytyczne rozkładu t-studenta, P( T tα; r) = α α r 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1 0,05 0,04 0,02 0,01 0,002 0, ,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,706 15,894 31,821 63, ,29 636,58 2 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 4,849 6,965 9,925 22,328 31, ,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 3,482 4,541 5,841 10,214 12, ,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 2,999 3,747 4,604 7,173 8, ,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 2,757 3,365 4,032 5,894 6, ,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 2,612 3,143 3,707 5,208 5, ,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,517 2,998 3,499 4,785 5, ,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,449 2,896 3,355 4,501 5, ,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,398 2,821 3,250 4,297 4, ,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,359 2,764 3,169 4,144 4, ,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,328 2,718 3,106 4,025 4, ,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,303 2,681 3,055 3,930 4, ,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,282 2,650 3,012 3,852 4, ,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,264 2,624 2,977 3,787 4, ,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,249 2,602 2,947 3,733 4, ,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,235 2,583 2,921 3,686 4, ,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,224 2,567 2,898 3,646 3, ,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,214 2,552 2,878 3,610 3, ,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,205 2,539 2,861 3,579 3, ,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,197 2,528 2,845 3,552 3, ,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,189 2,518 2,831 3,527 3, ,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,183 2,508 2,819 3,505 3, ,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,177 2,500 2,807 3,485 3, ,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,172 2,492 2,797 3,467 3, ,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,167 2,485 2,787 3,450 3, ,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,162 2,479 2,779 3,435 3, ,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,158 2,473 2,771 3,421 3, ,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,154 2,467 2,763 3,408 3, ,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,150 2,462 2,756 3,396 3, ,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,147 2,457 2,750 3,385 3, ,255 0,529 0,852 1,306 1,690 2,030 2,133 2,438 2,724 3,340 3, ,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,123 2,423 2,704 3,307 3, ,255 0,528 0,850 1,301 1,679 2,014 2,115 2,412 2,690 3,281 3, ,255 0,528 0,849 1,299 1,676 2,009 2,109 2,403 2,678 3,261 3, ,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,099 2,390 2,660 3,232 3, ,254 0,527 0,847 1,294 1,667 1,994 2,093 2,381 2,648 3,211 3, ,254 0,526 0,846 1,292 1,664 1,990 2,088 2,374 2,639 3,195 3, ,254 0,526 0,846 1,291 1,662 1,987 2,084 2,368 2,632 3,183 3, ,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,081 2,364 2,626 3,174 3, ,254 0,526 0,845 1,289 1,658 1,980 2,076 2,358 2,617 3,160 3,373 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,960 2,054 2,327 2,576 3,091 3,291 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

36 Rozkład χ 2 o n stopniach swobody Zmienna o gęstości f (x) = { 1 2 n/2 2 k 1 e 1 2 x2, Γ(n/2) gdy x > 0, 0, gdy x 0 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

37 Wartości krytyczne rozkładu χ 2, P(χ 2 χ 2 α; r) = α α r 0,999 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0, ,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 10, ,002 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 13, ,024 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 16, ,091 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 18, ,210 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750 20, ,381 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 22, ,599 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 24, ,857 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 26, ,152 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 27, ,479 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 29, ,834 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 31, ,214 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 32, ,617 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 34, ,041 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 36, ,483 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 37, ,942 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 39, ,416 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 40, ,905 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 42, ,407 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 43, ,921 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 45, ,447 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 46, ,983 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 48, ,529 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 49, ,085 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558 51, ,649 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 52, ,222 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 54, ,803 11,808 12,878 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 55, ,391 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,994 56, ,986 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,335 58, ,588 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 59, ,688 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275 66, ,917 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 73, ,251 24,311 25,901 28,366 30,612 33,350 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166 80, ,674 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 86, ,738 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 99, ,036 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 85,527 90,531 95, ,43 104,21 112, ,520 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 96, ,88 106,63 112,33 116,32 124, ,156 59,196 61,754 65,647 69,126 73, ,57 113,15 118,14 124,12 128,30 137, ,918 67,328 70,065 74,222 77,929 82, ,50 124,34 129,56 135,81 140,17 149, ,756 83,852 86,923 91,573 95, ,62 140,23 146,57 152,21 158,95 163,65 173, , ,65 104,03 109,14 113,66 119,03 161,83 168,61 174,65 181,84 186,85 197,45 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

38 Rozkład Weibulla Zmienna o gęstości p, λ > 0 f (x) = D 2 X = λ 2 p { λp x p 1 e λxp, gdy x > 0, 0, gdy x 0 EX = λ 1 p ( 1 p + 1 ) {Γ( 2p + 1) [Γ( 1p )]2 }, gdzie Γ(r) = + 0 x r 1 e x dx, r > 0 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

39 Twierdzenie Czebyszewa X 1, X 2,..., X n zmienne losowe parami niezależne E(X k ) = a, D 2 (X k ) < c Wtedy lim 1 Xi a < ε) = 1 n n Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

40 Twierdzenie X 1,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie o średniej µ < i odchyleniu standardowym σ <. Wtedy zmienna n losowa X = 1 X n i o średniej µ i odchyleniu standardowym σ n. Wniosek i=1 Jeżeli X 1,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie n normalnym N(µ, σ), to X = 1 X n i ma rozkład N(µ, σ n ). i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

41 Twierdzenie Jeżeli X 1,..., X n to niezależne zmienne losowe o rozkładzie N(µ, σ), n n X = 1 X n i oraz S 2 = 1 (X n i X) 2, to zmienna losowa i=1 i=1 V = X µ S n 1 ma rozkład t Studenta o (n 1) stopniach swobody. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

42 Twierdzenie (Centralne twierdzenie graniczne Linberga-Levy ego) X 1,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie o średniej µ i wariancji σ 2. Wtedy dystrybuanta zmiennej losowej X n = 1 n (X X n ) jest zbieżna do dystrybuanty rozkładu normalnego N(µ, σ n ), tzn. dystrybuanta zmiennej losowej X µ σ n do dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1). Wniosek P ( a X µ b ) P(a Z b) = Φ(b) Φ(a) σ n Z ma rozkład N(0, 1). stosujemy n > 25 zmierza Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

43 Część III Statystyka Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

44 Populacja to zbiór, który badamy Definicja Prosta próba losowa o liczności n nazywamy ciag niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n określonych na Ω takich, że każda ma taki sam rozkład. Realizacja zmiennej losowej to konkretny ciąg wartości zmiennych losowych (takie samo prawdopodobieństwo wyboru). Realizacja próby w postaci wartości np. wielkość komórki, liczba podziałów w jednostce czasu, temperatura, czasu do pierwszego podziału komórki (próba mała n 30, duża n > 30) Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

45 Niech x 1,..., x n będzie realizacją próby. Realizacja próby małej porządkujemy. Realizacja próby dużej tworzymy szereg rozdzielczy R rozstęp, R = x max x min Dzielimy na klasy, liczba klas k 5 ln n, k = n Długość klasy b = R k n k Średnia arytmetyczna x = 1 x n i x = 1 x n i n i Średnia geometryczna g = n x1... x n g = n x n xn k k n log g = 1 log x n i i=1 Średnia harmoniczna h = i=1 ( 1 n n i=1 ) 1 1 x i i=1 h = ( 1 n k i=1 ) 1 n i x i Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

46 Mediana (wartość środkowa) m e x 1 x 2 x n { x (n+1)/2, gdy n nieparzyste, m e = 1 (x 2 n/2 + x n/2+1 ), gdy n parzyste. Wartość modalna (moda, dominanta) m 0 próbki x 1,..., x n o powtarzających się wartościach to najczęściej powtarzająca się wartość. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

47 Dla szeregu rozdzielczego m e = x l + b ( m 1 n n m 2 n i ), i=1 gdzie x l lewy koniec klasy zawierającej medianę, m numer klasy zawierającej medianę, n liczność próbki, n i liczność i-tej próbki, b długość klasy. Moda środek najliczniejszej klasy. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

48 Miary rozproszenia (rozrzutu, rozsiania) Wariancja S 2 próbki x 1,..., x n to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości x i od średniej arytmetycznej X próbki S 2 = 1 n n (x i x) 2 = 1 n n xi 2 x 2 S 2 = 1 n n (x i x) 2 n i i=1 i=1 i=1 Odchylenie standardowe S S 2 = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2 S 2 = 1 n 1 n n i (x i x) 2 i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

49 Miary rozproszenia (rozrzutu, rozsiania) Odchylenie przeciętne d 1 od wartości średniej x to średnia arytmetyczna wartości bezwzględnych odchyleń poszczególnych wartości x i od średniej arytmetycznej x próbki d 1 = 1 n n x i x d 1 = 1 n i=1 k n i x i x i=1 Odchylenie przeciętne d 2 od mediany m e próbki x 1,..., x n to średnia arytmetyczna wartości bezwzględnych odchyleń poszczególnych wartości x i od mediany m e próbki d 2 = 1 n n x i m e d 2 = 1 n i=1 k n i x i m e i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

50 Miary rozproszenia (rozrzutu, rozsiania) v współczynnik zmienności v = S x 100% Moment zwykły m r rzędu r próbki x 1,..., x n to średnia arytmetyczna r-tych potęg wartości x i n k m r = 1 n x r i m r = 1 n n i x r i i=1 i=1 Moment centralny M r rzędu r próbki x 1,..., x n to średnia arytmetyczna r-tych potęg wartości x i od średniej arytmetycznej x próbki M r = 1 n n (x i x) r M r = 1 n i=1 k n i (x i x) r i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

51 Miary rozproszenia (rozrzutu, rozsiania) Współczynnik skośności (asymetrii) γ 1 = M 3 S 3 Współczynnik koncentracji (skupienia) K = M 4 S 4 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

52 Przykład Zmierzono średnice 50 komórek pewnej bakterii i otrzymano następujace wyniki: 3, 6; 5, 0; 4, 0; 4, 7; 5, 2; 5, 9; 4, 5; 5, 3; 5, 5; 3, 9; 5, 6; 3, 5; 5, 4; 5, 2; 4, 1; 5, 0; 3, 1; 5, 8; 4, 8; 4, 4; 4, 6; 5, 1; 4, 7; 3, 0; 5, 5; 6, 1; 3, 8; 4, 9; 5, 6; 6, 1; 5, 9; 4, 2; 6, 4; 5, 3; 4, 5; 4, 9; 4, 0; 5, 2; 3, 3; 5, 4; 4, 7; 6, 4; 5, 1; 3, 4; 5, 2; 6, 2; 4, 4; 4, 3; 5, 8; 3, 7. Sporzadzić dla danej próbki szereg rozdzielczy. n = 50, k = 7, x min = 3, 0, x max = 6, 4. Stąd R = 3, 4, R/k = 0, 49. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

53 Szereg rozdzielczy Nr klasy Klasy Grupowanie wartości próbki Środki klas x i Liczebności klas n i 1 2,95-3,45 3, ,45-3,95 3, ,95-4,45 4, ,45-4,95 4, ,95-5,45 5, ,45-5,95 5, ,95-6,45 6,2 5 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

54 Statystyki Definicja Statystyka to każda funkcja określona na próbie Θ n (X 1,..., X n ) np. X = 1 n (X X n ) Statystykę Θ n (X 1,..., X n ), którą przyjmujemy jako ocenę nieznanego parametru Θ nazywamy estymatorem parametru Θ. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

55 Jakie własności powinien mieć estymator, abyśmy mogli go zaakceptować? Niech Θ n = Θ n (X 1,..., X n ) estymator parametru Θ Estymator nazywamy zgodnym, jeżeli lim P( Θ n Θ < ε) = 1 n Uwaga Θ n zgodny = n Θ n 1 n zgodny (α n Θ n, α n 1) Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

56 Estymator nazywamy nieobciażonym EΘ n (X 1,..., X n ) = Θ Estymator asymptotycznie nieobciażony lim EΘ n(x 1,..., X n ) = Θ n Może istnieć dużo estymatorów nieobciążonych. Estymator efektywny to ten spośród estymatorów nieobciążonych, który ma najmniejszą wariancję. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

57 Tw. Czebyszewa mówi, że X jest estymatorem zgodnym. Twierdzenie Czebyszewa X 1, X 2,..., X n zmienne losowe parami niezależne E(X k ) = a, D 2 (X k ) < c Wtedy lim 1 Xi a < ε) = 1 n n X nieobciążony, bo E( 1 n Xi ) = 1 n E(Xi ) = 1 n nµ = µ S 2 = 1 n n (X i X) 2 zgodny asymptotycznie nieobciążony i=1 S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 zgodny nieobciążony i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

58 Nieznany parametr Estymator Własności Wartość oczekiwana E(X) X = n 1 n X i zgodny nieobciążony rozkład dowolny, dla i=1 rozkładu normalnego, również efektywny mediana z próby zgodny asymptotycznie nieobciążony Wariancja D 2 (X) S1 2 = 1 n (X n i E(X)) 2 zgodny nieobciążony, dla normalnego również efektywny i=1 S 2 = 1 n (X n i X) 2 zgodny asymptotycznie nieobciążony i=1 S = n 1 1 n (X i X) 2 zgodny nieobciążony asymptotycznie efektywnie i=1 odchylenie standardowe σ S 1, S, S zgodny b ns, c ns zgodny nieobciążony, asymptotycznie efektywny dla rozkładu normalnego wskaźnik struktury ˆΘ = k n dla rozkładu Bernouliego zgodny, nieobciążony, efektywny b n = Γ( n 2 ) 2 Γ( n 1 ) n 2 c n = n 1 n = Γ2 ( n 2 ) 2 Γ 2 ( n 1 ) n n Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

59 Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Badana cecha X populacji generalnej ma rozkład N(µ, σ) przy znanym σ. H : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 (H 1 : µ > µ 0, H 1 : µ < µ 0 ) Statystyka testowa U = X µ 0 σ ma rozkład N(0, 1) n Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

60 Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

61 Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Przykład Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki czekolady o nominalnej wadze 250 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(µ, σ), gdzie odchylenie standardowe wynosi σ = 5. Kontrola techniczna w pewnym dniu pobrała próbkę losową 16 tabliczek czekolady i otrzymała następujące wyniki (w g): 251, 2; 246, 1; 250, 1; 247, 1; 251, 2; 251, 2; 243, 2; 243, 1; 251, 1; 245, 2; 251, 2; 245, 3; 242, 1; 250, 2; 246, 1; 252, 0. Czy (na poziomie istotności α = 0, 05) można stwierdzić, że automat produkuje tabliczki czekolady o wadze mniejszej niż nominalna? Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

62 Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Hipoteza H 0 : µ = 250g wobec hipotezy alternatywnej H 1 : µ < 250g x = 247, 9 u obl = x µ 0 σ n = 247, = 1, 68 Wartość u α, dla której P(U u α ) wynosi 1, 64 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

63 Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Ponieważ wartość ta znalazła się w obszarze krytycznym, gdyż u obl = 1, 68 < 1, 64 = u α, więc hipotezę H 0 należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. Oznacza to, że z prawdopodobieństwem błędu mniejszym niż 0, 05 możemy twierdzić, że średnia waga tabliczek czekolady jest za niska. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

64 Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Przykład Inne dane. Rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(µ, σ). µ = 250 g,σ = 5, n = 16. Masa poszczególnych tabliczek czekolady (w g): 251,2; 246,1; 250,0; 249,3; 247,5; 251,2; 245,1; 247,2; 251,9; 245,7; 250,7; 244,4; 242,2; 250,3; 246,2; 252,1. Czy (na poziomie istotności α = 0, 05) można stwierdzić, że automat produkuje tabliczki czekolady o wadze mniejszej niż nominalna? Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

65 Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Hipoteza H 0 : µ = 250g wobec hipotezy alternatywnej H 1 : µ < 250g x = 248, 2 u obl = x µ 0 σ n = 248, = 1, 45 Wartość u α, dla której P(U u α ) wynosi 1, 64 Ponieważ wartość ta nie znalazła się w obszarze krytycznym, gdyż u obl = 1, 45 > 1, 64 = u α, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

66 Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Przykład Inne dane. Rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(µ, σ). µ = 250 g, σ = 5, n = 16 Masa poszczególnych tabliczek czekolady (w g): 249, 2; 248, 2; 243, 1; 249, 9; 248, 8; 249, 1; 249, 7; 245, 1; 248, 9; 247, 2; 249, 3; 248, 6; 247, 5; 248, 2; 249, 1; 247, 1;. Czy (na poziomie istotności α = 0, 05) można stwierdzić, że automat produkuje tabliczki czekolady o wadze mniejszej niż nominalna? Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

67 Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Hipoteza H 0 : µ = 250g wobec hipotezy alternatywnej H 1 : µ < 250g x = 248, 1 u obl = x µ 0 σ n = 248, = 1, 55 Wartość u α, dla której P(U u α ) wynosi 1, 64 Ponieważ wartość ta nie znalazła się w obszarze krytycznym, gdyż u obl = 1, 55 > 1, 64 = u α, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

68 Twierdzenie X 1,..., X n to prosta próba losowa o średniej µ i odchyleniu n standardowym σ. Wtedy zmienna losowa X = 1 X n i o średniej µ i odchyleniu standardowym σ n Wniosek i=1 Jeżeli próba ma rozkład normalny N(µ, σ), to X = 1 n ma rozkład N(µ, σ n ). n X i = 1 n i=1 n X i i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

69 Twierdzenie n Jeżeli X 1,..., X n jest próba losowa o rozkładzie N(µ, σ), X = 1 n i=1 n oraz S 2 = 1 (X n i X) 2, to zmienna losowa V = X µ S n 1 ma i=1 rozkład t Studenta o (n 1) stopniach swobody. X i Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

70 Twierdzenie (Centralne twierdzenie graniczne Linberga-Levy ego) X 1,..., X n próba losowa o średniej µ i wariancji σ 2 Wtedy dystrybuanta zmiennej losowej X n = 1 n (X X n ) jest zbieżna do dystrybuanty rozkładu normalnego N(µ, σ n ) tzn. dystrybuanta zmiennej losowej X µ σ n N(0, 1) Wniosek zmierza do dystrybuanty rozkładu normalnego P ( a X µ b ) P(a Z b) = Φ(b) Φ(a) σ n Z ma rozkład N(0, 1). stosujemy n > 25 Marek Ptak Statystyka 21 października / 70

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin. Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Plan wykładu Statystyka opisowa Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Statystyka matematyczna Podstawy estymacji Testowanie hipotez statystycznych Żródła Korzystałam z ksiażek:

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Pozyskiwanie wiedzy z danych

Pozyskiwanie wiedzy z danych Pozyskiwanie wiedzy z danych dr Agnieszka Goroncy Wydział Matematyki i Informatyki UMK PROJEKT WSPÓŁFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIEJ W RAMACH EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Pozyskiwanie wiedzy

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezińska Definicje Statystyka (ang.statistics) - to nauka zajmująca się zbieraniem, prezentowaniem i analizowaniem

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi od łacińskiego słowa status, które oznacza

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statytyka. v.0.9 egz mgr inf nietacj Statytyczna analiza danych Statytyka opiowa Szereg zczegółowy proty monotoniczny ciąg danych i ) n uzykanych np. w trakcie pomiaru lub za pomocą ankiety. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl

Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Wprowadzenie Podstawowe cele analizy zbiorów danych Uogólniony opis poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Cel wykładu Model statystyczny W pewnej zbiorowości (populacji generalnej) obserwowana jest pewna cecha

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego.... 11 Przedmowa do wydania drugiego.... 15 Wykaz symboli.... 17 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku.... 17 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl

Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Wprowadzenie Podstawowe cele analizy zbiorów danych Uogólniony opis poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej cechy. Średnia arytmetyczna suma wartości zmiennej wszystkich

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej 1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Wrocław 2012 Materiał wyłącznie do użytku edukacyjnego. Reprodukcja do

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie 2010-10-20

Wprowadzenie 2010-10-20 PODSTAWY STATYSTYKI Dr hab. inż. Piotr Konieczka piotr.konieczka@pg.gda.pl 1 Wprowadzenie Wynik analityczny to efekt przeprowadzonego pomiaru(ów). Pomiar to zatem narzędzie wykorzystywane w celu uzyskania

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Mariusz Kaszubowski Katedra Statystyki Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska. Statystyka Mariusz Kaszubowski

Mariusz Kaszubowski Katedra Statystyki Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska. Statystyka Mariusz Kaszubowski Mariusz Kaszubowski Katedra Statystyki Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska Zmienna losowa i jej rozkład Statystyka matematyczna Podstawowe pojęcia Zmienna losowa (skokowa, ciągła) Rozkład

Bardziej szczegółowo

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska. WYKŁAD 1. Wstępna analiza danych, charakterystyki opisowe. Indeksy statystyczne.

Agata Boratyńska. WYKŁAD 1. Wstępna analiza danych, charakterystyki opisowe. Indeksy statystyczne. 1 Agata Boratyńska WYKŁAD 1. Wstępna analiza danych, charakterystyki opisowe. Indeksy statystyczne. Agata Boratyńska Wykłady ze statystyki 2 Literatura J. Koronacki i J. Mielniczuk Statystyka WNT 2004

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA IV SEMESTR ALK (PwZ) STATYSTYKA OPISOWA RODZAJE CECH W POPULACJACH I SKALE POMIAROWE

STATYSTYKA IV SEMESTR ALK (PwZ) STATYSTYKA OPISOWA RODZAJE CECH W POPULACJACH I SKALE POMIAROWE STATYSTYKA IV SEMESTR ALK (PwZ) STATYSTYKA OPISOWA RODZAJE CECH W POPULACJACH I SKALE POMIAROWE CECHY mogą być: jakościowe nieuporządkowane - skala nominalna płeć, rasa, kolor oczu, narodowość, marka samochodu,

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii SPIS TREŚCI Przedmowa... 11 Wykaz symboli... 15 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku... 15 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii mnogości (rachunku zbiorów)... 16 Symbole stosowane

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu Wprowadzenie Prowadzący zajęcia: dr Janusz Piechota Zakład Biofizyki Kierownik zajęć: dr Paweł Błażej Zakład Genomiki Na zajęciach przydają się: dobre chęci,

Bardziej szczegółowo

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013 Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Karta przedmiotu obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 0/03 WydziałZarządzania i Komunikacji Społecznej Kierunek studiów:

Bardziej szczegółowo

Zadanie Punkty Ocena

Zadanie Punkty Ocena Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Autor prezentuje spójny obraz najczęściej stosowanych metod statystycznych, dodatkowo omawiając takie

Bardziej szczegółowo