Wprowadzenie do logiki. Andrzej Sza las

Transkrypt

1 Andrzej Sza las 1

2 Modelowanie Dobry model to mniej lub bardziej uproszczony opis rzeczywistości, prowadzacy do wniosków dobrze t e rzeczywistość oddajacych (przybliżajacych). Daży si e do doboru możliwie najprostszych formalnych środków dla opisu modelu na danym poziomie uproszczenia. c A. Sza las - 2/44 -

3 Model samochodu: Przyk lad z punktu widzenia kierowania samochodem: kierownica, peda ly, drażek biegów, starter, przyciski w l aczania świate l, wycieraczek, migaczy itp. z punktu widzenia projektowania: np. model przep lywów aerodynamicznych, modele wytrzyma lości materia lów i cz eści z punktu widzenia prowadzenia pojazdu na drodze: modele sytuacji drogowych. c A. Sza las - 3/44 -

4 Środowiska systemów inteligentnych K 1 K 2... K n ÅÆ oorz Ec zywiσ C z Y wist O ZyWiStoś percepcja, j ezyk, logika RZECZYWISTOŚĆ RZECZYWISTOŚĆ RZECZYWISTOŚĆ RZECZYWISTOŚĆ c A. Sza las - 4/44 -

5 Wnioskowanie ilościowe metody algorytmiczne metody analityczne/numeryczne metody probabilistyczne logika rozmyta c A. Sza las - 5/44 -

6 Wnioskowanie symboliczne logika klasyczna/programowanie w logice logiki trój- i wielowartościowe logiki modalne wnioskowanie aproksymacyjne wnioskowanie niemonotoniczne c A. Sza las - 6/44 -

7 Od sensorów do wnioskowania symbolicznego... Wnioskowanie symboliczne/jakościowe Niepe lne, sprzeczne dane... Symboliczne bazy danych Wnioskowanie ilościowe Zaszumione, niepe lne, sprzeczne dane Ilościowe bazy danych Sensory, kamery,... c A. Sza las - 7/44 -

8 Czym sa logiki? Logika (w przybliżeniu) to widzenie świata przez pryzmat stopnia prawdziwości w lasności (formu l) wyrażonych w danym j ezyku o dobrze zdefiniowanej sk ladni i precyzyjnej semantyce (znaczeniu). Logika j ezyk + semantyka/modele (semantycznie) j ezyk + metoda wnioskowania (syntaktycznie) c A. Sza las - 8/44 -

9 Modelowanie w logikach ustalamy j ezyk formalny (s lownik, sk ladnia) ustalamy mechanizmy poprawnego wnioskowania opisujemy rzeczywistość w wybranym j ezyku uzyskujemy model testujemy model wnioskujemy o w lasnościach opisanej rzeczywistości badamy rzeczywistość wy l acznie przez pryzmat stopnia prawdziwości wyrażonych w lasności c A. Sza las - 9/44 -

10 Ustalenie j ezyka J ezyk dostosowuje do si e danej dziedziny zastosowań. Na przyk lad 1. mówiac o polityce używamy poj eć takich, jak: partia polityczna, premier, parlament, program, itd. 2. mówiac o zjawiskach wyst epuj acych w informatyce używamy poj eć takich, jak system informatyczny, baza danych, program, itd. Używamy różnych s lowników poj eć, choć niektóre poj ecia moga si e nak ladać, czasem majac inne znaczenie. c A. Sza las - 10/44 -

11 J ezyk logiki J ezyk logiki definiuje si e zaczynajac od poj eć podstawowych, spójników i operatorów logicznych oraz formu l. Spójniki i operatory logiczne maja ustalone znaczenie. S lowniki odzwierciedlajace konkretne dziedziny zastosowań zmieniaja si e. c A. Sza las - 11/44 -

12 Elementy j ezyka logiki sta le indywiduowe (sta le), reprezentujace pewne obiekty przyk lady: 0, 1, Jan zmienne indywiduowe, reprezentujace obiekty przyk lady: x,y,m,n symbole funkcyjne, reprezentujace funkcje, przyk lady: +,, ojciec() c A. Sza las - 12/44 -

13 Elementy j ezyka logiki cd. sta le logiczne: Prawda,Fa lsz, czasem również inne, przyk lady: Nieznana, Sprzeczność zmienne logiczne (zdaniowe), reprezentujace wartości logiczne przyk lady: p, q symbole relacyjne, reprezentujace relacje, przyk lady: =,, c A. Sza las - 13/44 -

14 Elementy j ezyka logiki cd. spójniki zdaniowe i operatory, pozwalajace tworzyć bardziej skomplikowane formu ly na podstawie formu l prostszych, przyk lady spójników: i, lub, implikuje, przyk lady operatorów: dla każdego, istnieje, jest konieczne, zawsze symbole pomocnicze, uczytelniajace notacj e przyk lady: (, ), [, ]. c A. Sza las - 14/44 -

15 Dlaczego symbole funkcyjne/relacyjne zamiast funkcji/relacji? W j ezyku naturalnym nazwy nie sa nazywanymi nimi obiektami! W logice symbole odpowiadaja nazwom. Symbol relacyjny/funkcyjny nie jest funkcja/relacj a, ale nazwa funkcji/relacji. Porównujac z j ezykiem naturalnym w logice symbol oznacza jednoznacznie określony obiekt. c A. Sza las - 15/44 -

16 Przyk lady 1. Nazwa Jan nie jest osoba o imieniu Jan. 2. Dany obiekt może mieć wiele nazw, np. Jan oraz ojciec Jacka moga oznaczać t e sama osob e. 3. Obiekt może nie mieć nazwy np. nie dajemy odr ebnej nazwy każdemu atomowi we wszechświecie. 4. Wiele różnych obiektów może mieć t e sama nazw e, np. Jan oznacza wiele osób. 5. Pewne nazwy nie oznaczaja żadnych istniejacych obiektów, np. Pegaz. c A. Sza las - 16/44 -

17 Klasyczny rachunek zdań Bada prawdziwość zdań z lożonych na podstawie prawdziwości/ fa lszywości zdań sk ladowych. Wartości logiczne: Prawda, Fa lsz Zdania: zmienne zdaniowe p, q, r,..., zdania z lożone budowane za pomoca spójników (nie), (i), (lub), (implikuje = jeżeli... to...), itp. c A. Sza las - 17/44 -

18 Przyk lady peda l środkowy wciśni ety hamowanie silnik w l aczony bieg w l aczony prawy peda l wciśni ety jazda ( bieg w l aczony ) ( pojazd stoi pr edkość maleje )... c A. Sza las - 18/44 -

19 Logiki trójwartościowe Za lóżmy, że prowadzony przez robota samochód zbliża si e do skrzyżowania z droga równorz edn a. Powinien zadać swojej bazie danych wiedzy pytanie czy nadjeżdża pojazd z prawej. Jeśli otrzyma odpowiedź Prawda, powinien si e zatrzymać, gdy Fa lsz - jechać dalej. Może si e okazać, że w danym momencie odpowiedź na to pytanie nie jest znana (np. droga z prawej nie jest jeszcze dostatecznie dobrze widoczna). Jaka powinna być wtedy odpowiedź? Tak Prawda, jak i Fa lsz sa odpowiedziami b l ednymi, mogacymi prowadzić do sytuacji niebezpiecznej. c A. Sza las - 19/44 -

20 Logiki trójwartościowe - cd. Logiki trójwartościowe zosta ly wprowadzone przez J. Lukasiewicza w 1920 roku. Wartości logiczne: Prawda, Fa lsz, Neutralna Zdania: zmienne zdaniowe p, q, r,..., zdania z lożone budowane za pomoca spójników (nie), (i), (lub), (implikuje = jeżeli... to...), itp. (tak jak poprzednio) c A. Sza las - 20/44 -

21 Inne interpretacje trzeciej wartości logicznej Niezdefiniowana (Nieznana: Kleene, 1952) Nonsens: Bočvar, 1939 Bez znaczenia: Hallden, 1949 i wiele innych c A. Sza las - 21/44 -

22 Przyk lady (dla logiki Kleeneego) Rozważmy formu l e: wolna prawa jedź Jeśli wartość logiczna zdania wolna prawa jest Nieznana, to nie można wywnioskować że wartościa jedź jest Prawda (w wi ekszości semantyk praktycznego wnioskowania przyjmuje si e zasad e minimalizacji wartości konkluzji i wtedy wartościa logiczna zdania jedź jest Nieznana). c A. Sza las - 22/44 -

23 Rozważmy formu l e: silnik w l aczony bieg w l aczony prawy peda l wciśni ety jazda Jeśli wartość logiczna zadań: silnik w l aczony, jazda jest Nieznana, zaś wartość zdań bieg w l aczony, prawy peda l wciśni ety jest Prawda, to wartość powyższej implikacji jest Nieznana. c A. Sza las - 23/44 -

24 Logiki czterowartościowe Za lóżmy, że mamy do czynienia z wieloma źród lami informacji. Wówczas fakt A może mieć wartość logiczna: Prawda, np. gdy pewne źród la twierdza A i żadne mu nie przeczy Fa lsz, np. gdy pewne źród la twierdza, ze A nie zachodzi i żadne temu nie przeczy Nieznana, np. gdy żadne źród lo nie ma wiedzy o A Sprzeczność, np. gdy pewne źród la twierdza A oraz pewne przecza A. c A. Sza las - 24/44 -

25 Przyk lad Dojeżdżajac do skrzyżowania widzimy czerwone świat lo i policjanta sygnalizujacego, że mamy przejechać, mamy do czynienia z dwoma sprzecznymi źród lami informacji: świat la sygnalizuja nie jedź, zaś policjant jedź. Sprzeczność cz esto potrafimy wyeliminować, np. poprzez g losowanie lub preferowanie pewnych źróde l wiedzy. Daje to możliwość sensownego wnioskowania ze sprzecznej informacji. c A. Sza las - 25/44 -

26 Jak ma si e do tej sytuacji logika klasyczna? W logice klasycznej sprzeczność jest modelowana wartościa Fa lsz, bowiem p p Fa lsz. Jednakże Fa lsz implikuje każda formu l e, tak wi ec teorie sprzeczne sa trywialne (ich konsekwencjami sa wszystkie formu ly), mamy bowiem tautologi e: Fa lsz q (dla dowolnej formu ly q) oraz regu l e: na podstawie p oraz p q wnioskuj q. Skoro mamy sprzeczność jedź jedź (czyli Fa lsz) oraz wiemy, że np. Fa lsz }{{} jestem }{{ UFO }, zatem wnioskujemy jestem }{{ UFO }. p q c A. Sza las - 26/44 - q

27 Logiki wielowartościowe Wspó lczesne logiki wielowartościowe zosta ly zainicjowane także pracami Lukasiewicza w 1920r. Po nim: 1. Logiki Posta (1921) 2. Logiki Gödla (1932) 3. Logiki Kleenego (1938) 4. Logika rozmyta Zadeha (1965) (tak naprawd e pewna nieskończenie wartościowa logika Lukasiewicza i Tarskiego) 5. Logika Belnapa (1977) czterowarościowa (modelujaca wielość źróde l informacji). c A. Sza las - 27/44 -

28 Co to jest wnioskowanie? Poprawne wnioskowanie, to wnioskowanie oparte o poprawne regu ly. Poprawna regu la to taka, w której każdy kto akceptuje jej przes lanki powinien akceptować też jej wnioski. c A. Sza las - 28/44 -

29 Aby przekonać si e czy dany argument jest poprawny, sprawdzamy jaki jest zwiazek mi edzy przes lankami i wnioskiem. Nie oceniamy, czy sa powody do akceptowania przes lanek ale czy akceptacja przes lanek, bez wzgl edu na powody, powinna prowadzić do akceptacji wniosków. c A. Sza las - 29/44 -

30 1. Poprawne regu ly: Przyk lady jeśli x jest ojcem y oraz y jest rodzicem z, to x jest dziadkiem z jeśli p i q jest prawda, to p jest prawda. 2. Niepoprawne regu ly: jeśli p implikuje q to q implikuje p jeśli p lub q jest prawda, to p jest prawda. 3. czy nast epuj ace regu ly sa poprawne: jeśli p implikuje q to nie q implikuje nie p jeśli p jest prawda, to p lub q jest prawda? c A. Sza las - 30/44 -

31 Jak definiujemy logiki? W logice każda formu la musi mieć określone znaczenie (nazywane też interpretacja). Znaczenie to definiuje si e: syntaktycznie, poprzez poj ecie systemu wnioskowania i dowodu semantycznie, poprzez poj ecia modelu, spe lnialności i prawdziwości c A. Sza las - 31/44 -

32 Podejście semantyczne W podejściu semantycznym przypisujemy znaczenie ( rzeczywiste obiekty ) do symboli: elementy z dziedziny do sta lych zakres elementów z dziedziny do zmiennych funkcje do symboli funkcyjnych relacje do symboli relacyjnych. Znaczenie spójników, operatorów i symboli pomocniczych jest ustalone przez dana logik e. c A. Sza las - 32/44 -

33 Przyk lad Rozważmy zdanie Jan jest podobny do ojca Jacka. W postaci logicznej powyższe zdania zapisalibyśmy z grubsza jako: pod(jan,ojc(jacek)), gdzie pod i ojc sa odpowiednimi skrótami dla jest podobny do oraz ojciec. Aby stwierdzić prawdziwość/fa lszywość tego zdania musimy znać znaczenie: sta lych Jan, Jacek funkcji oznaczonej symbolem ojc relacji oznaczonej symbolem pod. c A. Sza las - 33/44 -

34 Podejście syntaktyczne W podejściu syntaktycznym przypisujemy znaczenie symbolom j ezyka poprzez podanie aksjomatów i regu l wnioskowania (regu l). Aksjomaty to fakty w sposób oczywisty prawdziwe w danej rzeczywistości. Regu ly pozwalaja na wnioskowanie nowych faktów na podstawie faktów już znanych. Aksjomaty wraz z regu lami nazywamy systemami wnioskowania. c A. Sza las - 34/44 -

35 Przyk lad Rozważmy regu l e (nazywana modus ponens): jeśli prawdziwe jest p oraz z prawdziwości p wynika prawdziwość q (tzn. p implikuje q) to wnioskuj, że prawdziwe jest q. c A. Sza las - 35/44 -

36 Za lóżmy, że mamy aksjomaty: Czytam dobra ksiażk e. Jeśli czytam dobra ksiażk e, ucz e si e czegoś nowego. Przyjmujac p jako czytam dobra ksiażk e, q jako ucz e si e czegoś nowego, mamy p i p implikuje q, stosujac modus ponens uzyskujemy q, tzn. ucz e si e czegoś nowego. c A. Sza las - 36/44 -

37 Dyskusja W semantycznym wnioskowaniu też stosujemy regu ly, może w sposób bardziej ukryty. Jaka jest wi ec różnica? W podejściu syntaktycznym nie interesuje nas znaczenie formu l. Transformujemy formu ly czysto syntaktycznie na podstawie ich kszta ltu. Znaczenie jest dane przez prawdziwość/fa lszywość formu l. c A. Sza las - 37/44 -

38 Rozważmy regu l e: Przyk lad jeśli osoba x jest rodzicem osoby y to x ma wi ecej lat niż y. Za lóżmy, że mamy aksjomaty: Jan jest osoba. Ewa jest osoba. Jan jest rodzicem Ewy. Stosujac rozważana regu l e uzyskujemy: Jan ma wi ecej lat niż Ewa. c A. Sza las - 38/44 -

39 Co to jest logika? konkluzja Przez logik e rozumiemy trójk e T, L, I, gdzie T jest zbiorem wartości logicznych, np. T = {Prawda, Fa lsz} L jest zbiorem formu l I jest wyrocznia przypisujac a znaczenie formu lom, I : L T, tzn. dla każdej formu ly A L, wartość I(A) jest wartościa logiczna. c A. Sza las - 39/44 -

40 Przyk lad Ustalmy arytmetyk e liczb rzeczywistych i zdefiniujmy wyroczni e, m.in. mówiac a, że formu ly postaci dla każdej liczby rzeczywistej x jest prawdziwa formu la A(x) maja wartość Prawda wttw dla każdej liczby rzeczywistej zast epuj acej x w A(x), jest prawdziwa formu la A(x). Ta definicja jest wysoce niekonstruktywna! c A. Sza las - 40/44 -

41 W praktyce używa si e innych technik. Na przyk lad, aby wykazać, że dla każdej liczny rzeczywistej x mamy x < x + 1, nie sprawdzamy tej w lasności dla wszystkich liczb rzeczywistych, w tym np: 2.5 < < < Raczej obserwujemy, że 1. 0 < 1 2. dodawanie x do obu stron nierówności zachowuje t e nierówność i uzyskujemy, że x + 0 < x + 1, tzn. x < x + 1. c A. Sza las - 41/44 -

42 Meta-w lasności Meta-w lasność jest w lasności a logiki, a nie rzeczywistości modelowanej przez t e logik e. Istnieja dwie istotne meta-w lasności wiaż ace podejście semantyczne i syntaktyczne, a mianowicie poprawność i pe lność systemu wnioskowania wzgl edem danej semantyki. c A. Sza las - 42/44 -

43 Poprawność i pe lność Za lóżmy, że logika jest zdefiniowana przez semantyk e S oraz przez system wnioskowania P. Wówczas mówimy, że: system wnioskowania P jest poprawny wzgl edem semantyki S wttw każda formu la która można wykazać w P ma wartość Prawda w semantyce S, system wnioskowania P jest pe lny wzgl edem semantyki S wttw każda formu la majaca wartość Prawda w semantyce S może być wykazana w systemie P. c A. Sza las - 43/44 -

44 Podsumowanie W czasie wyk ladu odpowiadaliśmy na pytania: co to jest modelowanie i modelowanie logiczne? co to jest wnioskowanie ilościowe i symboliczne? czym sa logiki? czym jest j ezyk logiki? ile jest wartości logicznych? co to jest podejście semantyczne i syntaktyczne? czym jest poprawność i pe lność? c A. Sza las - 44/44 -