MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI"

Transkrypt

1 MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości rachunek zbiorów, relacje, funkcje. Aspekty kombinatoryki: obiekty kombinatoryczne pojęcie obiektu, reprezentacje, metody przeliczania obiektów kombinatorycznych. Równania rekurencyjne. Zagadnienia istnienia obiektów o zadanych własnościach. Algorytmy kombinatoryczne. Grafy: reprezentacje i własności grafów, grafy eulerowskie i hamiltonowskie, drzewa, grafy planarne, kolorowanie grafów, digrafy, skojarzenia. szersze znaczenie: LOGIKA - nauka podająca prawa i reguły poprawnego myślenia oraz poprawnego wypowiadania myśli. Trzy główne działy: logika formalna, semiotyka, metodologia nauk semiotyka: nauka o języku jako środku formułowania i przekazywania myśli metodologia nauk: nauka o ogólnych metodach naukowych LOGIKA FORMALNA (symboliczna, matematyczna) problematyka rachunku logicznego i języka tych rachunków oraz zagadnienia struktury i własności systemów dedukcyjnych. Logika klasyczna (dwuwartościowa): system logiczny, w którym zdaniom przypisuje się jedną z dwu wartości logicznych - prawdę () lub fałsz (). Barbara Głut

2 Wszystkie czysto formalne aspekty myślenia mają swoje odpowiedniki w języku. Rozważa się więc sformalizowaną część języka naturalnego. Dla języka ustala się alfabet (symbole). Z symboli alfabetu tworzy się wyrażenia. Interesujące są jedynie wyrażenia poprawnie zbudowane (zbudowane zgodnie z wymogami składni, sensowne). Wyrażenia dzieli się na kategorie składniowe (syntaktyczne). Dwa wyrażenia należą do tej samej kategorii składniowej wtedy i tylko wtedy, gdy po zastąpieniu jednego przez drugie z wyrażeń sensownych otrzymujemy wyrażenie sensowne. (uwaga na wyrażenia wieloznaczne!) Na przykład: Kraków, Warszawa należą do tej samej kategorii składniowej, bo po zastąpieniu jednego przez drugi w zdaniu Kraków jest miastem otrzymamy - Warszawa jest miastem, tj. wyrażenie sensowne. Kraków, jest nie należą do tej samej kategorii składniowej, bo Jest jest miastem nie jest wyrażeniem sensownym. Podobnie: symbole arytmetyczne 2 i 5 należą do tej samej kategorii, a 2 i = nie = = 6 - zdanie poprawne, choć fałszywe = + 4 = 6 - bez sensu Barbara Głut 2

3 Podstawowe kategorie składniowe: WYRAŻENIA NAZWOWE WYRAŻENIA ZDANIOWE OPERATORY FUNKTORY A) Do kategorii WYRAŻEŃ NAZWOWYCH zalicza się wyrażenia, które mogą być podmiotem lub orzecznikiem zdań typu M jest N. Mogą więc należeć do tej kategorii rzeczowniki, przymiotniki, zaimki i inne odpowiednio zbudowane wyrażenia złożone. B) Do kategorii WYRAŻEŃ ZDANIOWYCH zalicza się: zdania, zmienne zdaniowe, funkcje zdaniowe. ZDANIE W języku naturalnym (np. polskim) przez zdanie rozumie się poprawnie zbudowane wyrażenie zawierające podmiot, orzeczenie itp. Rodzaje zdań: - oznajmujące -pytające - rozkazujące. Z logicznego punktu widzenia interesujące jedynie zdania oznajmujące i to tylko te, którym możemy nadać wartość logiczną (!), czyli w logice klasycznej - wartość prawdy lub fałszu. (zasada dwuwartościowości) Barbara Głut 3

4 Np.: zdanie w powyższym sensie: w przeciwieństwie do: Kraków leży nad Wisłą. Miasto leży nad rzeką. bo: drugie, choć poprawne w sensie gramatycznym, ale nie możemy stwierdzić prawdziwości (nadać wartości logicznej). Ta nieformalna definicja odnosi się również do języków sztucznych. W matematyce (w języku matematyki): = = 7 zdania x + 5 = 7 nie, ale tak, po podstawieniu w miejsce x symbolu konkretnej liczby ZMIENNA ZDANIOWA jest to zmienna, za którą można podstawiać dowolne zdanie. FUNKCJA ZDANIOWA jest to wyrażenie zawierające zmienne, z którego otrzymujemy zdania po podstawieniu za zmienne odpowiednich stałych. np.: Żadne S nie jest P a + b = b + a x + 4 = 7 Funkcje zdaniowe nazywa się także: formami zdaniowymi lub warunkami. Barbara Głut 4

5 OPERATORY Wjęzykach, w których wprowadza się zmienne i funkcje zdaniowe mogą wystąpić jeszcze wyrażenia innej kategorii składniowej tj. operatory. Operatorami są np.: kwantyfikatory, symbole abstrakcji {x: }, znaki dodawania i mnożenia zbiorów itp.. Wspólną cechą operatorów jest to, że ich częściami są wskaźniki. Można też powiedzieć, że operatory wiążą zmienne. Operatory, tak jak funktory występują łącznie z wyrażeniami określonych kategorii składniowych i tworzą wraz z nimi wyrażenia złożone określonej kategorii. Np. kwantyfikator operator zdaniotwórczy o jednym argumencie zdaniowym, symbol abstrakcji operator nazwotwórczy o jednym argumencie zdaniowym itd. FUNKTORY Funktory są wyrażeniami, które w połączeniu z pewnymi innymi wyrażeniami, zwanymi ich argumentami, tworzą złożone wyrażenia sensowne. Funktory dzieli się na kategorie składniowe ze względu na: kategorię składniową wyrażenia złożonego, które dany funktor tworzy wraz ze swymi argumentami, liczbę argumentów, kategorie składniowe kolejnych argumentów. Funktory tworzące wraz ze swymi argumentami wyrażenia zdaniowe nazywa się funktorami zdaniotwórczymi. Funktory tworzące wraz ze swymi argumentami wyrażenia nazwowe nazywa się funktorami nazwotwórczymi. Barbara Głut 5

6 Np.: funktory zdaniotwórcze o jednym argumencie zdaniowym - wyraz nie w zdaniu Nie mam., spójnik negacji w zdaniu ( ) o dwóch argumentach zdaniowych - spójnik i łączący dwa wyrażenia zdaniowe, spójnik koniunkcji o dwóch argumentach nazwowych: wyraz oświeca w zdaniu Słońce oświeca ziemię, symbol < w zdaniu 2 < 3 funktor nazwotwórczy o jednym argumencie nazwowym sin w wyrażeniu sin(3 ) Funktory ekstensjonalne - czyli takie, które sprawiają, że wartość logiczna złożonego wyrażenia utworzonego przy ich pomocy zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych ( z pominięciem wszelkich innych czynników, w szczególności ich treści). Uzależniają w stały, sobie tylko właściwy sposób wartość logiczną zdań złożonych od wartości zdań składowych. Barbara Głut 6

7 Negacja: funktor zdaniotwórczy jednoargumentowy, używane symbole: ~ p - p Np p... Wyrażenie zbudowane ze znaku negacji i następującego po nim wyrażenia zdaniowego nazywamy negacją lub zaprzeczeniem. Czytamy: nie p, nieprawda, że p, nie jest tak, że p Pozostałe używane stałe - funktory dwuargumentowe Koniunkcja: używane symbole: p q p q K pq p & q p q Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń zdaniowych połączonych znakiem koniunkcji nazywa się koniunkcją lub iloczynem logicznym. Człony koniunkcji nazywamy czynnikami. Czytamy p i q. Barbara Głut 7

8 Alternatywa: używane symbole: p q p q A pq p + q Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń zdaniowych połączonych znakiem alternatywy nazywa się alternatywą lub sumą logiczną. Człony alternatywy nazywamy składnikami. Czytamy p lub q. Implikacja: używane symbole: p q p q C pq p q Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń zdaniowych połączonych znakiem implikacji nazywa się implikacją lub okresem warunkowym. Pierwszy człon implikacji nazywamy poprzednikiem, a drugi następnikiem. Czytamy Jeżeli p to q. Barbara Głut 8

9 Równoważność: używane symbole: p q p q E pq p q Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń zdaniowych połączonych znakiem równoważności nazywa się równoważnością. Pierwszy człon równoważności nazywamy lewą stroną równoważności, a drugi prawą stroną. Czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q. Inne funktory: dysjunkcja (funktor Sheffera), binegacja (funktor jednoczesnego zaprzeczenia, funktor Łukasiewicza), alternatywa wykluczająca itd. Barbara Głut 9

10 Klasyczny rachunek zdań prawa i schematy logiczne, w których oprócz stałych logicznych występują tylko zmienne zdaniowe Alfabet języka rachunku zdań: zmienne zdaniowe -o określonej wartości logicznej {, } oznaczone symbolami liter p, q, r, p, p 2... spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze, stałe rachunku zdań) o symbolach... symbol pomocniczy -nawiasy ( ) V = { p, q, r,..., p, p 2,... } X = {,,,, } Z = { (, ) } A = V X Z alfabet języka rachunku zdań Wyrażenie: dowolny, skończony, niepusty ciąg symboli alfabetu np.: ((p q) r (p r) ( p) p q r (p r) p Wyrażenie poprawnie zbudowane (sensowne - syntaktycznie) gdy spełniony jeden z warunków: o jest jedną z liter, 2 o jeśli wyrażenia α oraz β są poprawnie zbudowane, to wyrażenie α α β α β α β α β (α) są również poprawnie zbudowane. F - zbiór formuł rachunku zdań Barbara Głut

11 Matrycowe ujęcie logiki zdań polega na podaniu liczbowych (,) charakterystyk dla poszczególnych związków prawdziwościowych zachodzących między zdaniami oraz na zastosowaniu tych charakterystyk do rozstrzygania formuł logiki zdań. metoda zero-jedynkowa: dla oznaczania prawdziwości zdania dla oznaczania fałszywości zdania Matryca negacji: p p Matryca koniunkcji: p q p q Koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki są prawdziwe. Barbara Głut

12 Matryca alternatywy: p q p q Alternatywa jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej składniki są fałszywe. Matryca implikacji: p q p q Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Barbara Głut 2

13 Matryca równoważności: p q p q Równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy obie jej strony mają taką samą wartość logiczną. Matryca dysjunkcji : p q p q Dysjunkcję nazywa się też funktorem Sheffera. Czytamy: nie zarazem p i q. Ma tę samą wartość logiczną co wyrażenie (p q). Barbara Głut 3

14 Matryca binegacji: p q p q Binegację nazywa się też funktorem jednoczesnego zaprzeczenia lub funktorem Łukasiewicza. Czytamy: ani p ani q. Ma tę samą wartość logiczną co wyrażenie (p q). Matryca alternatywy wykluczającej: p q p q Czytamy: albo p albo q. Ma tę samą wartość logiczną co wyrażenie (p q). Barbara Głut 4

15 wartościowanie zmiennych: dowolna funkcja określona na V o wartościach w zbiorze Y = {,} ω : V {, } ω(p) = dla oznaczenia prawdy, ω(p) = dla oznaczenia fałszu wartościowanie formuł : funkcja ω * : F {, } taka, że: (i) jeśli α jest zmienną zdaniową (α V), to ω * (α) = ω(α), (ii) jeśli α F jest postaci α lub α α 2 lub α α 2 lub α α 2, gdzie α oraz α 2 są formułami, a ω * (α ) i ω * (α 2 ) są już zdefiniowane, to odpowiednio: ω * (α) = ω * ( α ) = ω * (α ) ω * (α) = ω * (α α 2 ) = min(, + ω * (α 2 ) ω * (α ) ) ω * (α) = ω * (α α 2 ) = min(ω * (α ), ω * (α 2 ) ) ω * (α) = ω * (α α 2 ) = max(ω * (α ), ω * (α 2 ) ). Obliczanie wartości ω * (α) oznacza wyznaczanie wartości logicznej formuły: { p, p 2,..., p n } {, } Istnieje dokładnie 2 n wartościowań formuły zawierającej zmienne zdaniowe { p, p 2,..., p n }. Istnieje dokładnie n 2 2 n argumentowych funktorów. Czyli istnieją cztery funktory jednoargumentowe i szesnaście funktorów dwuargumentowych. A A A 2 A 3 Barbara Głut 5

16 B B B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 B B B 2 B 3 B 4 B 5 Pytanie: czy można zapisać wszystkie funktory używając jedynie zbioru X = {,,,, }? Tak - np. dysjunkcja B 4 równoważna (p q) binegacja B 8 równoważna (p q) alternatywa wykluczająca B 6 równoważna (p q)... Pytanie: czy można zmniejszyć zbiór X = {,,,, }? Barbara Głut 6

17 Czy można wyeliminować symbol? ( p q ) = ( p q ) ( q p ) Czy można wyeliminować symbol? ( p q ) = ( p q ) Czy można wyeliminować symbol lub? ( p q ) = ( p q ) ( p q ) = ( p q ) ( p q ) = ( p q ) ( p q ) = ( p q ) Czyli można przyjąć za zbiór X : X = {,, } lub X = {, } lub X = {, } lub X = {, } A może wystarczy jeden funktor? Odpowiedź tak w dwóch przypadkach - funktor dysjunkcji funktor binegacji p p p p q (p q) (p q) p p p p q (p q) (p q) Barbara Głut 7

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE 27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a tak jest alboŝe tak a tak nie jest. Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium

Bardziej szczegółowo

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit

Bardziej szczegółowo

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe: LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? Co znaczą i co oznaczają?

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdao i logika matematyczna

Rachunek zdao i logika matematyczna Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Sylabus dla przedmiotu Logika i ogólna metodologia nauk

Sylabus dla przedmiotu Logika i ogólna metodologia nauk Sylabus dla przedmiotu Logika i ogólna metodologia nauk 1. Definicja pojęcia logika Wprowadzenie w tematykę przedmiotu (szkic czym jest logika, jak należy ją rozumieć, przedmiot logiki, podział logika

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo

4 Klasyczny rachunek zdań

4 Klasyczny rachunek zdań 4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo

Bardziej szczegółowo

Przewodnik do ćwiczeń z logiki dla prawników

Przewodnik do ćwiczeń z logiki dla prawników Przewodnik do ćwiczeń z logiki dla prawników redakcja naukowa Andrzej Malinowski Andrzej Malinowski, Michał Pełka, Radosław Brzeski Zamów książkę w księgarni internetowej SERIA AKADEMICKA 6. WYDANIE WARSZAWA

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania

Bardziej szczegółowo

Języki programowania zasady ich tworzenia

Języki programowania zasady ich tworzenia Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

Znak, język, kategorie syntaktyczne

Znak, język, kategorie syntaktyczne Składnia ustalone reguły jakiegoś języka dotyczące sposobu wiązania wyrazów w wyrażenia złożone. Językoznawstwo zajmuje się m.in. opisem składni poszczególnych języków, natomiast przedmiotem syntaktyki

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin. Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310

dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310 dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310 LITERATURA Praca zbiorowa pod. red. B. Wikieł Matematyka, Podstawy z elementami matematyki wyższej W.Krysicki, L.Włodarski

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Zał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30

Zał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30 WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

Logika rachunek zdań

Logika rachunek zdań Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza

Bardziej szczegółowo

Logika Radosna 1. Jerzy Pogonowski. Semantyka KRZ. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Radosna 1. Jerzy Pogonowski. Semantyka KRZ. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Radosna 1 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 1 Semantyka KRZ 1 / 47 Wprowadzenie Cel Cel tych

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to: 1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów

Bardziej szczegółowo

Internet Semantyczny i Logika I

Internet Semantyczny i Logika I Internet Semantyczny i Logika I Warstwy Internetu Semantycznego Dowód Zaufanie Logika OWL, Ontologie Podpis cyfrowy RDF, schematy RDF XML, schematy XML przestrzenie nazw URI Po co nam logika? Potrzebujemy

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? 2 Język Klasycznego Rachunku Zdań syntaktyka 3 Język

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 8. Modalności i intensjonalność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 8. Modalności i intensjonalność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 8. Modalności i intensjonalność 1 Coś na kształt ostrzeżenia Ta prezentacja jest nieco odmienna od poprzednich. To,

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań I i II rzędu

Rachunek zdań I i II rzędu Rozumowanie w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel (32) 2 918 381, Fax (32) 2 918 283 Wykład IV Teoretyczne podstawy rachunku predykatów

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową

Bardziej szczegółowo

Podstawy techniki cyfrowej

Podstawy techniki cyfrowej Podstawy techniki cyfrowej Wykład 1: Wstęp Dr hab. inż. Marek Mika Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Jana Amosa Komeńskiego W Lesznie Plan Informacje o przedmiocie Wprowadzenie Podstawy matematyczne:

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Jerzy Topp. Wstęp do matematyka

Jerzy Topp. Wstęp do matematyka Jerzy Topp Wstęp do matematyka Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2012 PRZEWODNICZĄCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Romuald Szymkiewicz RECENZENT Andrzej Szepietowski

Bardziej szczegółowo

JÓZEF W. BREMER WPROWADZENIE DO LOGIKI

JÓZEF W. BREMER WPROWADZENIE DO LOGIKI JÓZEF W. BREMER WPROWADZENIE DO LOGIKI Wydawnictwo WAM Kraków 2006 Spis tre ci Przedmowa Jana Wole skiego 9 Wst p 11 1 Logika i jej rozumienie 17 1.1 Teksty wprowadzaj ce...................... 17 1.1.1

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Piotr Koczenasz Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Praca magisterska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Leszka Pacholskiego Wrocław,

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura

Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques

Bardziej szczegółowo

ISBN e-isbn

ISBN e-isbn Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak Uniwersytet Łódzki Wydział Filozoficzno-Historyczny, Katedra Logiki i Metodologii Nauk 90-131 Łódź, ul. Lindleya 3/5 RECENZENT Dariusz Surowik REDAKTOR INICJUJĄCY Damian

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna. 1. Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej... 1 oznaczanie zdań prostych... 3

Logika matematyczna. 1. Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej... 1 oznaczanie zdań prostych... 3 Logika matematyczna Przedmowa To opracowanie jest napisane głównie z myślą o uczniach szkół średnich pragnących zrozumieć logikę matematyczną, ale i studenci pierwszego roku informatyki znajdą tu informacje

Bardziej szczegółowo

Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne

Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Rodzaj przedmiotu Rok studiów /semestr Wymagania wstępne Liczba godzin zajęć Założenia i cele przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Logika dla socjologów Część 2: Przedmiot logiki

Logika dla socjologów Część 2: Przedmiot logiki Logika dla socjologów Część 2: Przedmiot logiki Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Działy logiki 2 Własności semantyczne i syntaktyczne 3 Błędy logiczne

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek zdań

Klasyczny rachunek zdań ROZDZIAŁ 8 Klasyczny rachunek zdań Prezentacja osiągnięć logiki w tej części książki ma charakter autorski jak zresztą każda prezentacja już chociażby przez sam układ materiału, wyeksponowanie pewnych

Bardziej szczegółowo

Z-LOG-1003 Logika Logics

Z-LOG-1003 Logika Logics KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Z-LOG-100 Logika Logics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/201 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

Rozdział VII. Znaczenie logiki dla prawa i pracy prawnika Zadania i odpowiedzi 20

Rozdział VII. Znaczenie logiki dla prawa i pracy prawnika Zadania i odpowiedzi 20 Przedmowa Wykaz skrótów XIII XV Część A. Wprowadzenie Rozdział I. Rys historyczny 1 1. Początki logiki jako nauki 1 2. Średniowiecze 2 3. Czasy nowożytne i współczesne 4 Rozdział II. Podstawowe prawa myślenia

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Jak wnioskują maszyny?

Jak wnioskują maszyny? Jak wnioskują maszyny? Andrzej Szałas informatyka + 1 Plan wykładu Plan wykładu Modelowanie wnioskowania Wyszukiwanie, a wnioskowanie Klasyczny rachunek zdań Diagramy Venna Wprowadzenie do automatycznego

Bardziej szczegółowo