Statystyka. Wykład 10. Magdalena Alama-Bućko. 14 maja Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

Transkrypt

1 Statystyka Wykład 10 Magdalena Alama-Bućko 14 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

2 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia miary zmienności miary asymetrii miary koncentracji. Analiza współzależności zjawisk. Analiza dynamiki zjawisk. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

3 Regresja X, Y - dwie cechy, do których chcemy dopasować pewna funkcję opisujac a zależność między nimi Zależność korelacyjna między cechami oznaczała, że zmiana wartości zmiennej niezależnej powoduje ściśle określona zmianę wartości średniej zmiennej zależnej (objaśnianej). Funkcja regresji jest pewna matematyczna funkcja, która stanowi przybliżenie faktycznej zależności. Jeśli X - zmienna niezależna, a Y - zmienna zależna (opisywana), to ŷ i = f (x i ), gdzie ŷ i - oczekiwana wartość zmiennej Y dla X = x i. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

4 zaobserwowane wartości y i odchylaja się od funkcji regresji ŷ i (wartości szacowanej) o pewna losowa wartość e i, czyli y i = ŷ i + e i. Wyrażenia e i nazywamy resztami, a pojawiaja się one: na skutek czynników losowych pod wpływem cech nie uwzględnionych w badaniu. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

5 dane: (x i, y i ), i = 1, 2,..., n szukana funkcja y = f (x) jest "najlepiej" dopasowana do danych Metoda najmniejszych kwadratów linowa postać funkcji regresji y = bx + a zmieniajac wartość x o jedna jednostkę, zmiana wartości y następuje zawsze o tyle samo (o b jednostek). Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

6 Obliczanie parametrów regresji liniowej postać prostej regresji (tzn. współczynniki) zależa od konkretnych danych ( dla innego zestawu danych postać może być inna!!!) ŷ = b y x + a y b y jest współczynnikiem regresji (przy opisie Y za pomoca X) b y = 1 n 1 n n x i y i x y i=1 n i=1 a y = y b y x. x 2 i (x) 2 = n (x i x)(y i y) i=1 = n (x i x) 2 i=1 cov(x, y) s 2 x = r xy sy s x Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

7 Jakość dopasowywania krzywej regresji do danych rzeczywistych określamy za pomoca: odchylenie standardowe składnika resztowego: n S e = Se 2 i=1 = (y i ŷ i ) 2 n 2 informuje o średnim odchyleniu wartości empirycznych od teoretycznych. współczynnik determinacji: n R 2 i=1 = (ŷ i y) 2 n i=1 (y i y) 2 jaka część cechy zależnej jest wyjaśniona kształtowaniem się cechy niezależnej. współczynnik zbieżności (indeterminacji): ϕ 2 = 1 R 2 jaka część cechy zależnej jest wywołana działaniem czynników losowych. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

8 Y - zmienna niezależna, X- zmienna objaśniana Rozważmy teraz (opis X za pomoca Y ): ˆx = b x y + a x, gdzie b x = 1 n 1 n n x i y i x y i=1 n i=1 a x = x b x y. y 2 i (y) 2 = n (x i x)(y i y) i=1 = n (y i y) 2 i=1 cov(x, y) s 2 y = r xy sx s y Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

9 Własności Mamy zatem dwie funkcje regresji liniowej ŷ = a y + b y x, ˆx = a x + b x y. obie proste regresji przecinaja się w punkcie (x, y) b y = r xy sy s x, b x = r xy sx s y Zauważmy, że znaki b x i b y zawsze sa takie same i pokrywaja się ze znakiem r xy, zatem: obie proste regresji sa równocześnie rosnace (gdy r xy > 0) albo obie proste regresji sa równocześnie malejace (gdy r xy < 0). gdy r xy = 0 (tzn. brak korelacji liniowej) to proste przyjmuja postać: zatem sa do siebie prostopadłe. ŷ = y, ˆx = x, Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

10 Ponieważ b y = r xy sy s x, b x = r xy sx, to: s y r xy = b x b y, przy czym znak r xy pokrywa się ze znakiem b x. Przykład 1 Jeżeli b x = 2, b y = 1 3, to r xy = = 0, 677 = 0, 817 r xy = Przykład 2 Jeżeli b x = 2, b y = 1 3, to r xy = ( 2) ( 1 3 ) = 0, 677 = 0, 817 r xy = Przykład 3 Jeżeli b x = 2, r xy = 1 2, to ze wzoru r 2 xy = b x b y mamy: b y = r 2 xy b x = 1 4 ( 2) = 1 = 0, Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

11 α kat między prostymi regresji wraz ze wzrostem zależności kat pomiędzy prostymi regresji maleje Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

12 Zadanie z treścia Na podstawie następujacych danych ustal siłę i kierunek zależności pomiędzy stażem pracy robotników bezpośrednio produkcyjnych a ich wydajnościa pracy oraz wyznacz równania liniowych funkcji regresji. średni staż wynosi 8 lat przyrostowi stażu pracy o 1 rok towarzyszy wzrost wydajności pracy o 2 jednostki produktu na godzinę wydajność pracy robotników różni się od wydajności średniej przeciętnie o ±5 jednostek produktu na godzinę współczynnik zmienności stażu pracy wynosi 25% średnia wydajność pracy wynosi 25 jednostej produktu na godzinę niech x - staż pracy, y- wydajność pracy szukamy r xy, ˆx = b x y + a x, ŷ = b y x + a y Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

13 niech x - staż pracy, y- wydajność pracy szukamy r xy, ˆx = b x y + a x, ŷ = b y x + a y średni staż wynosi 8 lat x = 8 przyrostowi stażu pracy o 1 rok towarzyszy wzrost wydajności pracy o 2 jednostki produktu na godzinę b y = 2 wydajność pracy robotników różni się od wydajności średniej przeciętnie o ±5 jednostek produktu na godzinę s y = 5 współczynnik zmienności stażu pracy wynosi 25% V s = s x 100% = 25% x średnia wydajność pracy wynosi 25 jednostej produktu na godzinę y = 25 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

14 x = 8, y = 25 V = s x x 100% = 25% s x = x 0, 25 = 2 s y = 5 b y = 2, zatem możemy wyliczyć wartość a y : Zatem mamy a y = y b y x = = 9. ŷ = 2x + 9. b y = r xy sy r xy = b y s x = 2 2 = 0, 8. s x s y 5 r xy = b x b y b x = r xy 2 0, 64 = = 0, 32 b y 2 a x = x b x y = 8 0, = 0. Zatem druga prosta regresji ˆx = 0, 32y. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

15 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia miary zmienności miary asymetrii miary koncentracji. Analiza współzależności zjawisk. Analiza dynamiki zjawisk. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

16 Za pomoca analizy struktury zbiorowości opisywaliśmy pojedyncze cechy (różne miary dla pojedynczych cech). Za pomoca analizy współzależności zjawisk badaliśmy i opisywaliśmy zależność między dwiema cechami. Za pomoca analizy dynamiki zjawisk możemy zbadać zmiany poziomu (tzn. wzrosty/spadki) badanego zjawiska w czasie. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

17 Analiza dynamiki zjawisk (zagadnienia do omówienia): metody indeksowe wskaźniki natężenia i struktury, przyrosty absolutne i względne indywidualne indeksy dynamiki agregatowe indeksy dynamiki: wartości, ilości i cen dekompozycja szeregu czasowego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

18 Szereg dynamiczny (czasowy) - ciag wartości badanego zjawiska obserwowanego w kolejnych jednostkach czasu zmienna niezależna : czas t zmienna zależna : X, Y,... y t oznacza wartość zjawiska Y w czasie t (albo w t-tym momencie pomiarowym) jak często można dokonywać odczytu wartości zjawiska? rok, półrocze, kwartał, miesiac, dekada, tydzień, dzień, godzina.. jeśli mamy n wyróżnionych momentów pomiarowych: 1, 2,..., n to kolejne wartości pomiarów oznaczamy: y 1, y 2, y 3,..., y n. Szeregi czasowe moga dotyczyć momentów albo okresów. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

19 Momenty a okresy pomiarowe moment to określony dzień w roku, w miesiacu itp. w którym badamy poziom danego zjawiska (czyli stan na ten określony "moment") liczba ludności na dzień 31 XII liczba samochodów osobowych zarejestrowanych według stanu na dzień 31XII w latach okres to pewien odcinek czasu, w którym wyznaczamy łaczn a wartość badanego zjawiska, wartość sprzedaży (całkowita łaczna) w kwartałach danego roku liczba urodzeń w kolejnych miesiacach roku 2016 liczba samochodów osobowych wyprodukowanych rocznie w latach Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

20 Przykład 1 Liczba statków do przewozu ładunków stałych w latach (stan na 31 XII) [szt]: Liczba statków szereg czasowy momentów Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

21 Przykład 2 Liczba zgonów z powodu nowotworów w powiatach bydgoskim i toruńskim w latach : powiat bydgoski powiat toruński szereg czasowy okresów (okres=rok) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

22 Przykład 3 Średnie ceny skupu pszenicy za 1dt w latach w województwie kujawsko-pomorskim: rok cena w zł , , , , , , , , , , , , , , , , ,16 1 decytona [dt] = 0,1 tony [t] = 1 kwintal = 100 kg szereg czasowy okresów (okres=rok, wartości szeregu to średnia arytmetyczna wszystkich danych) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

23 Średni poziom zjawiska y 1, y 2,..., y n - poziom badanego zjawiska w kolejnych momentach (okresach) Dla szeregów czasowych momentów: wyliczamy za pomoca tzw. średniej chronologicznej, tzn. y ch = 1 ( y1 + y 2 n 1 2 = 1 n 1 + y 2 + y y ) n 1 + y n 2 ) ( 1 2 y 1 + y 2 + y y n y n Dla szeregów czasowych okresów: wyliczamy za pomoca średniej arytmetycznej, o ile tylko długości okresów pomiarów sa takie same y = 1 n y i. n Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31 i=1

24 Przykład 1 Liczba statków do przewozu ładunków stałych w latach : Liczba statków szereg dynamiczny momentów y ch = 1 ( 1 n 1 2 y 1 + y 2 + y y n ) 2 y n n = 6 y 1 = 91 (wartość w 1-szym badanym momencie czyli 31XII 2011) y 2 = 93 (wartość w 2-gim badanym momencie czyli 31XII 2012)... y ch = 1 5 ( ) 2 75 = 85, 6 W latach średnio (w każdym roku) Polska posiadała 85,6 statku do przewozu ładunków stałych. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

25 Przykład 2 Liczba zgonów z powodu nowotworów w powiatach bydgoskim i toruńskim w latach : powiat bydgoski powiat toruński szereg dynamiczny okresów dla równych okresów pomiarowych stosujemy wzór y = 1 n n i=1 y i. dla powiatu bydgoskiego : x = 1 n x i = 1 ( ) = 231. n 9 i=1 W powiecie bydgoskim średnio (rocznie) 231 osób umierało z powodu nowotworów. dla powiatu toruńskiego : y = 1 n n i=1 y i = 1 ( ) = 219, W powiecie toruńskim średnio (rocznie) 220 osób umierało z powodu nowotworów. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

26 Wnioskowanie na podstawie szeregów czasowych jest możliwe wtedy, gdy poszczególne wyrazy szeregu albo szeregów spełniaja warunki: sa wyrażone w tych samych jednostkach miar w szeregach okresów: przedziały czasowe powinny być jednakowe tzn. ta sama liczba dni określa każdy kwartał, rok, itp. dane zjawiska dotycza tego samego obszaru terytorialnego tzn. w międzyczasie nie następiła zmiana granic państwa, województwa itp. Uwaga Można porównywać z soba dwa szeregi czasowe okresów (momentów), o ile dotycza tych samych okresów (momentów). Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

27 Ponieważ miesiace maja różne liczby dni, to w zwiazku z tym liczba dni w kwartałach jak i latach moga się między soba różnić. Wzór na sprowadzenie wartości badanego zjawiska do okresów porównywanych (tzn. o tej samej liczbie dni): gdzie y t0 = y t t 0 z = y t z t 0 y t wielkość zjawiska w okresie t (obserwowana) y t0 wielkość zjawiska przy założeniu, że wszystkie jednostki czasu sa jednakowej długości t 0 liczba dni "standardowych" (np. "standardowy" miesiac to 30 dni, rok to 365 dni) z liczba dni w danym (obserwowanym) okresie czasu Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

28 Zatem jeśli jakieś zjawisko zostało zbadane dla miesiaca 30 dniowego to wartość odpowiednia do porównań 31 dniowego to wartość należy proporcjonalnie "zmniejszyć" 28 dniowego to wartość należy proporcjonalnie "zwiększyć" Przykład Jeżeli pomiar nastapił w miesiacu o 31 dniach, to y t0 = y t 30 31, a jeżeli pomiar nastapił w miesiacu o 28 dniach, to y t0 = y t Oczywiście jeśli pomiar następił w miesiacu o 30 dniach, to y t0 = y t = y t Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

29 Przykład 4 źródło: KGP, BIURO RUCHU DROGOWEGO, "Wypadki drogowe w Polsce w 2016 roku" (str.11) Warszawa 2017, Opracowanie: Elżbieta SYMON - Wydział Opiniodawczo-Analityczny Biura Ruchu Drogowego KGP Bezpośrednio nie powinno porównywać się z soba różnych miesięcy, bo miesiace moga mieć różna liczbę dni (a tutaj każdy dzień to w zależności od miesiaca około wypadków) Miesiac Wypadki liczba dni Proporcjonalna [szt] w miesiacu liczba wypadków Styczeń (1) = 1966 (1) 31 Luty (3) = 2197 (3) 29 Marzec (2) = 2030 (2) 31 Kwiecień (4) (4) Maj (8) = 3027 (8) 31 Czerwiec (10) (11) Lipiec (11) = 3202 (10) 31 Sierpień (12) = 3259 (12) 31 Wrzesień (9) (9) Październik (7) = 2983 (7) 31 Listopad (5) (5) Grudzień (6) = (6) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

30 Uwagi do tabelki w kolumnach drugiej i czwartej wyniki zostały uporzadkowane ( tzn. ponumerowane) od najmniejszej do największej po przeliczeniu w miesiacach o liczbie dni różnej od 30 proporcjonalnej liczby wypadków przypadajacej na okres 30 dni swoja kolejność zmieniły tylko czerwiec i lipiec (zamieniły się miejscami) stosunkowo duża różnica wartości pomiędzy poszczególnymi miesiacami przeliczenie niewiele zmieniło jeżeli wyniki w poszczególnych miesiacach byłyby bardziej zbliżone, każdy dzień odgrywałby istotna rolę w porównywaniu miesięcy z soba. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

31 Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31