Statystyka. Wykład 13. Magdalena Alama-Bućko. 18 czerwca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

Transkrypt

1 Statystyka Wykład 13 Magdalena Alama-Bućko 18 czerwca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

2 Agregatowy (zespołowy) indeks wartości określonego zespołu produktów np. jak zmianiała się wartość produkcji między poszczególnymi latami przy obserwowanych zmianach cen i ilości produkcji? I w - agregatowy indeks wartości badanego zespołu artykułów p 0 i p 1 - cena produktu jednostkowego w momencie podstawowym i badanym q 0 i q 1 - ilość jednostek produktu w momencie podstawowym i badanym Agregatowy indeks wartości to iloraz sum wartości badanych dóbr w okresie badanym i w okresie podstawowym, czyli q1 p 1 I w = q0 p 0 sumowanie odbywa się po wszystkich możliwych produktach Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

3 Agregatowe indeksy cen i ilości w celu obliczenia siły i kierunku zmian wyłacznie ilości lub wyłacznie ceny wyrobów wchodzacych w skład zespołu buduje się agregatowe indeksy ilości agregatowe indeksy cen polega na ustaleniu jednego z tych czynników (cena/ilość) na stałym poziomie w agregatowych indeksach ilości: cena ma ustalony stały poziom w agregatowych indeksach cen: ilość ma ustalony stały poziom Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

4 Najczęściej stosuje się następujace formuły standaryzacyjne: Laspeyrese ustalenie poziomu ceny (odp. ilości) na poziomie okresu podstawowego (bazowego) Paaschego ustalenie stałego poziomu ceny (odp. ilości) na poziomie okresu badanego (sprawozdawczego). Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

5 Agregatowy (zespołowy) indeks ilości cena ustalana na stałym poziomie według formuły Laspeyresa (cena na poziomie okresu bazowego, czyli p 0 ) Iq L q1 p 0 = q0 p 0 według formuły Paaschego (cena na poziomie okresu badanego, czyli p 1 ) Iq P q1 p 1 = q0 p 1 informuja o tym, o ile (przeciętnie) wzrosła/zmalała ilość danego zbioru artykułów w okresie badanym w porównaniu z okresem bazowym przy założeniu stałych cen z okresu bazowego/badanego. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

6 Agregatowy (zespołowy) indeks cen ilość ustalana na stałym poziomie według formuły Laspeyresa (ilość na poziomie okresu bazowego, czyli q 0 ) Ip L q0 p 1 = q0 p 0 według formuły Paaschego (ilość na poziomie okresu badanego, czyli q 1 ) Ip P q1 p 1 = q1 p 0 informuja o tym, o ile (przeciętnie) wzrosła/zmalała cena określonego zbioru artykułów w okresie badanym w porównaniu z okresem bazowym przy założeniu stałych ilości z okresu bazowego/badanego. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

7 Zadanie Roczne spożycie na 1 mieszkańca oraz przeciętne ceny wybranych artykułów żywnościowych w Polsce w latach 1993 i 1996 przedstawiono w tablicy. artykuł j.m spożycie cena (zł) spożycie cena (zł) Mleko litry Jaja szt Cukier kg Obliczyć: a) roczne łaczne wydatki na te artykuły w 1993 i w 1996 roku b) roczne łaczne wydatki na te artykuły w 1996 roku przy zachowaniu poziomu spożycia z 1993 roku. c) roczne łaczne wydatki na te artykuły w 1996 roku przy niezmienionych cenach z 1993 roku. d) agregatowy indeks rocznych wydatków e)-f) agregatowe indeksy cen i spożycia według formuły Laspeyresa i Paaschego. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

8 Tabelka (p 0, q 0 - dane z 1993 roku, p 1, q 1 - dane z 1996 roku) artykuł q 0 p 0 q 1 p 1 q 0 p 0 q 0 p 1 q 1 p 0 q 1 p 1 Mleko Jaja Cukier a) roczne łaczne wydatki na te artykuły w 1993 i w 1996 roku w 1993 roku: q 0 p 0 = zł w 1996 roku: q 1 p 1 = zł b) roczne łaczne wydatki na te artykuły w 1996 roku przy zachowaniu poziomu spożycia z 1993 roku. (ceny z 1996 roku, ilości z 1993 roku) q0 p 1 = 313 zł Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

9 Tabelka (p 0, q 0 - dane z 1993 roku, p 1, q 1 - dane z 1996 roku) artykuł q 0 p 0 q 1 p 1 q 0 p 0 q 0 p 1 q 1 p 0 q 1 p 1 Mleko Jaja Cukier c) roczne łaczne wydatki na te artykuły w 1996 roku przy niezmienionych cenach z 1993 roku. (ceny z 1993 roku, ilości z 1996 roku) q1 p 0 = zł d) agregatowy indeks rocznych wydatków q1 p 1 I w = = q0 p = Wartość zakupionych artykułów wzrosła w okresie o 96, 5%. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

10 e) indeksy cen i ilości Laspeyresa (stały poziom danych z 1993 roku) indeks ceny ( ilość - stały poziom z 1993 roku ) I L p = q0 p 1 q0 p 0 = = W latach nastapił wzrost cen o % przy założeniu stałego spożycia na poziomie z 1993 roku. indeks spożycia ( cena - stały poziom z 1993 roku ) I L q = q1 p 0 = = = q0 p W latach nastapił spadek spożycia o 2.38% przy założeniu stałej ceny z 1993 roku. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

11 f) indeksy cen i ilości Paaschego (stały poziom danych z 1996 roku) indeks ceny ( ilość - stały poziom z 1996 roku) I P p = q1 p 1 q1 p 0 = = W latach nastapił wzrost cen o % przy założeniu spożycia z 1996 roku. indeks spożycia ( cena - stały poziom z 1996 roku) I L q = q1 p 1 = = = q0 p W latach nastapił spadek spożycia o 2.79% przy założeniu stałej ceny na poziomie z 1996 roku. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

12 zatem uzyskaliśmy zespołowe indeksy cen i spożycia: I L p = , I P p = Interpretacja : Dynamika zmian cen w mieści się w przedziale (2.0129; ) (czyli średni wzrost cen od 101, 29% do %.) I L q = = , I L q = = Interpretacja : Dynamika zmian spożycia w mieści się w przedziale (0.9721; ). (czyli średni spadek spożycia od 2, 38% do 2.79%.) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

13 Dekompozycja szeregu czasowego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

14 Co wpływa na zmiany wartości danej cechy w czasie? W najbardziej ogólnym przypadku, na badane zjawisko oddziałuja trzy grupy przyczyn: działajace w sposób trwały i powodujace wystapienie określonej tendencji rozwojowej (czyli trendu), powodujace zmiany powolne, systematyczne i ujawniajace się w długich okresach czasu; działajace okresowo ale regularnie, tzw. wahania sezonowe, często zwiazane ze zjawiskami przyrodniczymi; działajace przypadkowo i nieregularnie tzw. wahania przypadkowe. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

15 Dekompozycja szeregu czasowego, to: wyodrębnienie tendencji rozwojowej (trendu) wyodrębnienie wahań sezonowych wyodrębnienie wahań przypadkowych Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

16 Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Tendencja rozwojowa (trendem) nazywamy powolne, regularne i systematyczne zmiany określonego zjawiska, obserwowane w dostetecznie długim przedziale czasu i będace rezultatem działania przyczyn głównych. Jeżeli trend występuje, to wartości szeregu czasowego można zapisać w postaci: y t = f (t) + z t, gdzie y t obserwowana wartość zjawiska w momencie t, f (t) funkcja trendu z t składnik resztowy Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

17 y t = f (t) + z t, gdzie f (t) ma nieznana postać może być liniowa, wielomianowa, logarytmiczna,... uważa się że do wyodrębniania trendu powinien być wykorzystywany co najmniej 10-letni okres im dłuższy okres badamy, tym zaobserwowana tendencja rozwojowa będzie pewniejsza, a wnioski bardziej precyzyjne Do wyodrębniania tendencji rozwojowej z szeregów czasowych najczęściej wykorzystuje się : metody mechaniczne (tzw. średnie ruchome) metody analityczne (metoda najmniejszych kwadratów) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

18 Metody mechaniczne Mechaniczna metoda wyodrębniania tendencji rozwojowej opiera się na średnich ruchomych. Średnie ruchome moga być obliczane z parzystej liczby kolejnych wyrazów szeregu czasowego (tzw. średnie ruchome scentrowane) k = 2, 4, 6,... Średnie ruchome moga być obliczane z nieparzystej liczby kolejnych wyrazów (tzw. średnie ruchome zwykłe). k = 3, 5, 7,... wybór średniej zależy od celu badania Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

19 średnie ruchome zwykłe k nieparzyste średnia arytmetyczna z k kolejnych wyrazów szeregu czasowego otrzymane wartości indeksujemy numerem "wewnętrznej" obserwacji dla k = 3 (tzw. średnie ruchome zwykłe trzyokresowe) mamy: y 2 = y 1 + y 2 + y 3 3, y 3 = y 2 + y 3 + y 4, y 3 4 = y 3 + y 4 + y , y n 1 = y n 2 + y n 1 + y n 3 dla k = 5 (tzw. średnie ruchome zwykłe pięciookresowe) mamy: y 3 = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 5 otrzymujemy n k + 1 wartości uśrednionych, y 4 = y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6,... 5 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

20 średnie ruchome scentrowane k parzyste tak naprawdę liczymy średnia z nieparzystej liczby wyrazów, ale wartości skrajne bierzemy z wag a 1 2 otrzymane wartości indeksujemy numerem "wewnętrznej" obserwacji np. dla k = 4 y 3 = 1 2 y 1 + y 2 + y 3 + y y 5 4, y 4 = 1 2 y 2 + y 3 + y 4 + y y 6 4, , y n 2 = y n 4 + y n 3 + y n 2 + y n y n 4 otrzymujemy n k wartości uśrednionych Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

21 Uwagi wartości średnie indeksujemy numerem "środkowego" pomiaru wraz ze wzrostem k szereg staje się jest bardziej wygładzony (coraz mniej załamań) jeśli w szeregu czasowym występuje tylko trend (brak wahań sezonowych), to stosujemy średnia ruchoma z nieparzystej liczby wyrazów (bo łatwiejsze do wyliczenia) jeśli w szeregu czasowym występuje obok trendu również wahania sezonowe (okresowe), to k powinno wynosić tyle, ile podokresów sezonowych występuje w danym cyklu wahań. np. sezonowe wahania kwartalne : k = 4 sezonowe wahania miesięczne: k = 12 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

22 Przykład 1 Zbiory ziemniaków (w mln ton) w Polsce w latach kształtowały się następujaco: Lata Zbiory Wyznaczyć tendencję rozwojowa zbioru ziemniaków w Polsce w badanych latach stosujac metodę dynamiczna. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

23 zbiory ziemniaków charakteryzowały się spadkowym trendem rozwojowym Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

24 Metody analityczne: MNK polega na dopasowaniu do szeregu czasowego funkcji pewnego typu np. funkcja liniowa, kwardatowa, wykładnicza,... jeżeli funkcja trendu jest funkcja liniowa, czyli f (t) = a t + b to dla szeregu czasowego mamy: y t = a t + b + z t = ŷ t + z t gdzie ŷ t teoretyczne wartości trendu w momencie t a, b - współczynniki trendu liniowego z t składnik resztowy Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

25 metoda najmniejszych kwadratów : n (y t ŷ t ) 2 min t=1 stosujemy wzory dla regresji liniowej, gdzie zmienna niezależna to czas t, ale rozważamy t = 1, 2, 3,... (a nie lata t = 1995, 1996,...) współczynniki a i b (ŷ t = a t + b) maja postać: a: b: a = n n y t t t=1 n t=1 n y t t=1 n t t=1 n n t 2 ( t) 2 t=1 yt a t b = = y at n Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

26 Interpretacja ŷ = a t + b a - o tyle następuje (średnio) wzrost/spadek wartości zjawiska (z roku na rok) w badanych latach b - wartość zjawiska w zerowym momencie pomiarowym (t = 0) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

27 Przykład 1 Zbiory ziemniaków (w mln ton) w Polsce w latach kształtowała się następujaco: Lata Zbiory Wyznaczyć tendencję rozwojowa zbioru ziemniaków w Polsce metoda MNK. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

28 n = 9, t = 45, yt = 246.9, t yt = , t 2 = 285 a: a = n n y t t t=1 n t=1 n y t t=1 n t t=1 = n n t 2 ( t) 2 t=1 b: yt a t b = = n ŷ t = 1.17 t = 1.17, ( 1.17) 45 9 = w latach zbiory ziemniaków spadały średnio rocznie o 1.17 mln ton teoretyczne zbiory ziemniaków w 1989 (dla t = 0) roku wynosiły mln ton Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

29 otrzymaliśmy ŷ t = 1.17 t poniżej wykresy funkcji trendu dla danych wyznaczone w programie Excel (pierwszy wykres daje nieprawidłowy współczynnik przesunięcia, drugi - współczynniki sa właściwe) według pierwszego wzoru wartość zbiorów ziemniaków w roku t = 0 wynosi mln ton (nieprawidłowe) według drugiego wzoru wartość zbiorów ziemniaków w roku t = 0 wynosi mln ton Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

30 wyodrębnienie wahań sezonowych wiele zjawisk podlega również wahaniom okresowym szczególnym przypadkiem wahań okresowych sa wahania sezonowe wahania sezonowe powtarzaja się z roku na rok w tych samych jednostkach kalendarzowych i powoduja podobne zmiany ilościowe d - liczba cykli w roku kalendarzowym wahania roczne (d = 1), półroczne (d = 2), kwartalne (d = 4) oraz miesięczne (d = 12) aby otrzymać wiarygodne oszacowania, powinniśmy obserwować kilka cykli rocznych (co najmniej 3-4) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

31 Wahania sezonowe maja zwiazek z występowaniem pór roku, np.: produkcja roślinna i zwierzęca w rolnictwie popyt na węgiel ruch turystyczny spożycie lodów, napojów chłodzacych Wahania sezonowe maja również zwiazek z innymi czynnikami (o charakterze instytucjonalnym, zwyczajowym czy prawnym) popyt na towary w grudniu Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

32 Do wyznaczenia wskaźnika wahań okresowych wykorzystuje się wartości szeregu czasowego y t oraz wartości szeregu wygładzonego ŷ t. Załóżmy, że szereg czasowy wykazuje wahania okresowe i że w każdym cyklu jest k faz wahań. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

33 Ogólna metoda konstrukcji wskaźnika wahań okresowych - rozważmy najprostszy przypadek, gdy szereg czasowy nie ma wyraźnie zaznaczonego trendu. wyodrębniamy wahania okresowe, obliczajać tzw. wskaźniki wahań okresowych (wskaźniki sezonowości) gdzie c i = y i y y i : to średnia arytmetyczna dla jednoimiennych okresów (tj. okresów pochodzacych z tej samej fazy wahań) np. z tych samych kwartałów y: to średnia arytmetyczna z całego badanego okresu informuja, o ile procent poziom zjawiska w danej fazie cyklu jest wyższy/niższy od poziomu równego średniej arytmetycznej wszystkich obserwacji Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

34 Wskaźniki wahań sezonowych (okresowych) spełniaja warunek ci = k. Gdy nie ma wahań okresowych, wszystkie wskażniki wahań okresowych c i = 1 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

35 Interpretacja wskaźników wahań okresowych: gdy badamy półrocza to k = 2 gdy badamy kwartały to k = 4 gdy badamy miesiace to k = 12 wartość c i oznacza, że w danym miesiacu/kwartale/półroczu na skutek działania składnika okresowego (sezonowego) wartość zjawiska jest niższa (gdy c i < 1) albo wyższa (gdy c i > 1) o (c i 1) 100% od przeciętnej miesięcznej/kwartalnej/półrocznej... Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36

36 Przykład jeśli c 1 = 0.7, c 2 = 1.2, c 3 = 1.5, c 4 = 0.6, to c 1 = 0.7 = w pierwszym kwartale każdego roku na skutek działania składnika okresowego wartość zjawiska jest niższa o 30% od przeciętnej kwartalnej c 2 = 1.2 = w drugim kwartale na skutek działania składnika okresowego wartość zjawiska jest wyższa o 20% od przeciętnej kwartalnej c 3 = 1.5 = w trzecim kwartale na skutek działania składnika okresowego wartość zjawiska jest wyższa o 50% od przeciętnej kwartalnej c 4 = 0.6 = w czwartym kwartale na skutek działania składnika okresowego wartość zjawiska jest niższa o 40% od przeciętnej kwartalnej Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36