Statystyka. Wykład 6. Magdalena Alama-Bućko. 9 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

Transkrypt

1 Statystyka Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 9 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

2 Krzywa koncentracji Lorenza w ekonometrii, ekologii, geografii ludności itp. koncentrację rozkładów cech badamy za pomoca krzywej koncentracji Lorenza. w zasadzie badamy czy cecha jest rozłożona równomiernie w ekonometrii np. do badania dystrybucji dochodów w społeczeństwie (tzn. czy wszyscy maja takie same dochody?) w geografii ludności : do obrazowania nierównomierności gęstości zaludnienia w podjednostkach terenowych. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

3 Magdalena Alama-Buc ko Statystyka 9 kwietnia / 36

4 Magdalena Alama-Buc ko Statystyka 9 kwietnia / 36

5 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

6 metoda graficzna Kwadrat o boku 1 (= 100%). na osi poziomej odkładamy skumulowane częstości względne (albo skumulowany procent) liczby obserwacji na osi pionowej odkładamy skumulowane częstości względne (albo skumulowany procent) wartości badanej cechy Przekatna kwadratu nosi nazwę linii równomiernego rozdziału. krzywa koncentracji to łamana łacz aca punkty (0, 0) i (1, 1) = (100%, 100%) oraz pewne punkty wyznaczone na podstawie danych (opisane wyżej). Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

7 Przykład 1: Krzywa koncentracji dochodów Dani, Węgier i Namibii źródło : By Mrgann [CC BY-SA 3.0 ( Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

8 20% społeczeństwa zarabiajacego najmniej ma łacznie: W Danii: 8, 30%, na Węgrzech: 9, 5%, w Namibii: 1, 4% 40% społeczeństwa zarabiajacego najmniej ma łacznie: W Danii: 23%, na Węgrzech: 23, 4%, w Namibii: 4, 4% 60% społeczeństwa zarabiajacego najmniej ma łacznie: W Danii: 41, 3%, na Węgrzech: 41%, w Namibii: 9, 8% 80% społeczeństwa zarabiajacego najmniej ma łacznie: W Danii: 64, 20%, na Węgrzech: 63, 5%, w Namibii: 21, 3% Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

9 punkt na przekatnej interpretujemy następujaco : jeżeli dana cecha rozłożona jest równomiernie w badanej grupie obiektów, to p% obiektów (o najmniejszych wartościach) przyjmuje dokładnie p% łacznej wartości danej cechy. jeśli rozkład równomierny, to 50% łacznej wartości cechy osiaga 50% obiektów 80% łacznej wartości cechy osiaga 80% obiektów jeżeli na krzywej Lorenza znajduje się punkt (50%,20%) 20% łacznej wartości cechy osiaga 50% obiektów występuje koncentracja danych ma znaczenie przeciwne do dane rozłożone równomiernie wzrost koncentracji oznacza, że dane sa mniej równomierne Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

10 Interpretacja Magdalena Alama-Buc ko Statystyka 9 kwietnia / 36

11 Jak ta krzywa wyznaczyć? dla i = 1, 2,..., k (liczba kategorii,...) zaznaczamy punkty (w i, z i ) (definicje tych punktów na kolejnych slajdach) Krzywa koncentracji Lorenza otrzymujemy łacz ac z soba po kolei punkty (0, 0), (w i, z i ), i = 1, 2,..., k. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

12 na osi poziomej zaznaczamy skumulowane częstości względne liczby obserwacji Niech n = n 1 + n n k. Dla każdego i liczymy sumy częściowe liczebności = n j = n 1 + n n i n cum i 1 j i oraz skumulowane częstości względne: w i = ncum in = n 1 + n n i n Oczywiście w i [0, 1], i = 1, 2,..., k oraz w k = 1 = 100%. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

13 na osi pionowej zaznaczamy skumulowane częstości względne wartości danej cechy dla każdego i liczymy t i = x i n i. Niech: t = n 1 x 1 + n 2 x n k x k. dla każdego i liczymy skumulowane sumy częściowe wartości cechy: = t j = t 1 + t t i t cum i 1 j i oraz skumulowane częstości względne wartości cechy z i = t i cum t = t 1 + t t i t = n 1x 1 + n 2 x n i x i n 1 x 1 + n 2 x n k x k Oczywiście z i [0, 1], i = 1, 2,..., k oraz z k = 1 = 100%. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

14 Przykład Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

15 Powierzchnia koncentracji - powierzchnia pomiędzy linia równomiernego rozdziału (tzn. przekatn a) a krzywa Lorenza. Na podstawie wykresu można zorientować się jak silna koncentracja występuje. Im większe pole tym mniejsza równomierność w rozkładzie cechy. Współczynnik koncentracji Lorenza (współczynnik Giniego) to stosunek pola powierzchni koncentracji do połowy pola kwadratu (tzn. pola pod przekatn a). Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

16 a - pole powierzchni koncentracji pole połowy kwadratu o boku (1=100%): jeśli jednostki w postaci ułamków (tzn. skala od 0 do 1), to = 1 2 jeśli skala osi od 0% do 100% (pomijamy procenty) to = 5000 Wówczas w zależności od sposobu zapisu danych mamy: K L = a 0.5 albo K L = a K L = 0 - brak koncentracji K L = 1 - koncentracja zupełna Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

17 K L = a 0.5 albo K L = a K L = 0 - brak koncentracji (a = 0 czyli wszystkie punkty na przekatnej) K L = 1 - koncentracja zupełna Słaba koncentracja jest zwiazana z dość równomiernym podziałem łacznej wartości badanej cechy pomiędzy jednostki statystyczne opisywane przez dana cechę Możemy porównywać wyznaczony w ten sposób współczynnik koncentracji Lorenza dla różnych cech. jak policzyć a? Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

18 a obliczamy odejmujac od trójkata pod przekatn a kwadratu pola jednego trójkata (na brzegu) i pól trapezów. P 1 = = P 2 = 1 2 ( ) ( ) = = P 3 = 1 2 ( ) ( ) = = P 4 = 1 2 ( ) ( ) = = P 5 = 1 2 ( ) (1 0.92) = = K L = a 0.5 = 0.5 (P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 ) = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

19 W ogólnym przypadku mamy: P 1 = 1 2 w 1 z 1 P 2 = 1 2 (z 1 + z 2 )(w 2 w 1 ) P 3 = 1 2 (z 2 + z 3 )(w 3 w 2 )... P i = 1 2 (z i 1 + z i )(w i w i 1 ), i = 1, 2,..., n K L = a 0.5 = 0.5 i P i = i P i gdzie P i = 1 2 (z i 1 + z i )(w i w i 1 ), i = 1, 2,..., n Pamiętamy, że w 0 = z 0 = 0. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

20 Zadanie Wyznaczyć i porównać koncentrację utargów w dwóch sieciach sklepów. Pokażemy, że wartości współczynników koncentracji Lorenza dla odpowiednio pierwszej i drugiej sieci sklepów wynosza: K (1) L = , K (2) L = Stad utargi w sieci pierwszej sa mniej skoncentrowane niż w drugiej. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

21 K L = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

22 P 1 = = P 2 = 1 2 ( ) ( ) = P 3 = 1 2 ( ) ( ) = P 4 = 1 2 ( ) ( ) = P 5 = 1 2 ( ) (1 0.95) = K L = 0.5 (P 1+P 2 +P 3 +P 4 +P 5 ) 0.5 = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

23 K L = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

24 P 1 = = P 2 = 1 2 ( ) ( ) = P 3 = 1 2 ( ) ( ) = P 4 = 1 2 ( ) (1 0.55) = K L = 0.5 (P 1+P 2 +P 3 +P 4 ) 0.5 = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

25 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia miary zmienności miary asymetrii miary koncentracji. Analiza współzależności zjawisk. Analiza dynamiki zjawisk. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

26 do tej pory opisywaliśmy miary położenia, zmienności, asymetrii i koncentracji dla pojedynczych cech X, Y,... badane cechy mogły dotyczyć tej samej populacji generalnej, zatem mogły opisywać te same obiekty np. dla osób można określać : wzrost, wagę, dochody, wydatki, kolor oczu, preferencje wyborcze,... załóżmy że dla każdej jednostki statystycznej mamy określone pary wartości (x, y) (czyli obserwacje dwóch cech) ponieważ badamy n obiektów, to dysponujemy n parami obserwacji (x i, y i ), i = 1, 2,..., n szukamy zależności między obserwacjami x i i y i Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

27 czy istnieje zależność między cechami X i Y? jak silna jest ta zależność? czy można napisać wzór tej zależności? czy na podstawie wzoru można obliczyć (przewidzieć) wartość pewnej cechy? np. ile wynosza wartości wydatków, gdy dochody wynosza 3000? Badanie postaci i siły zależności występujacych pomiędzy cechami zbiorowości sa przedmiotem analizy korelacji i regresji. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

28 Celem analizy jest stwierdzenie, czy między badanymi zmiennymi zachodza jakieś zależności, jaka jest ich: siła np. słaba albo silna zależność postać ( dopasowanie funkcji reprezentujacych zależność ) kierunek (monotoniczność) czy wraz ze wzrostem jednej cechy, druga rośnie czy maleje? Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

29 Współzależność między zmiennymi może być różnego rodzaju: funkcyjna gdy zmiana wartości jednej zmiennej powoduje ściśle określona zmianę wartości drugiej zmiennej np. wartość wynagrodzenia za określona liczbę przepracowanych godzin to zawsze "liczba godzin razy stawka godzinowa" stochastyczna gdy określonym wartościom jednej zmiennej jest przyporzadkowanych wiele różnych wartości drugiej zmiennej np. zależność wieku od liczby posiadanych dzieci ( osoby w tym samym wieku moga mieć różne liczby dzieci) np. zależność między wiekiem pracownika a stażem jego pracy Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

30 korelacyjna gdy określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadaja ściśle określone, ale różne średnie wartości drugiej zmiennej czyli zmiana wartości jednej zmiennej powoduje ściśle określona zmianę wartości średniej drugiej zmiennej np. starsza osoba ma średnio dłuższy staż pracy niż osoba młodsza każda relacja korelacyjna jest relacja stochastyczna, ale nie każda relacja stochastyczna jest relacja korelacyjna (np. gdy średnie w różnych grupach sa takie same) Zwiazki typu korelacyjnego sa możliwe do wykrycia oraz opisu w przypadku, kiedy mamy do czynienia z wieloma obserwacjami, opisujacymi badane obiekty, zjawiska czy też procesy. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

31 Postać zależności (wzór) gdy y = f (x) to x jest zmienna objaśniajac a (niezależna), a y - zmienna objaśniana (zależna) gdy x = f (y) to y jest zmienna objaśniajac a (niezależna), a x - zmienna objaśniana (zależna) czasami można zamiennie wybierać nasze zmienne jako zmienne zależne i niezależne, a czasami ten wybór jest określony: waga może być funkcja wzrostu, wzrost może być funkcja wagi ilość wyprodukowanych śmieci jest funkcja ilości robionych zakupów ilość wydatków na jedzenie w rodzinie jest funkcja liczby osób w tej rodzinie zależność między zmiennymi może być liniowa (tzw. korelacja liniowa), zależność między zmiennymi może mieć postać innej funkcji, np. wykładniczej, logarytmicznej, drugiego stopnia itp. (tzw. korelacja krzywoliniowa) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

32 Procedura badania zależności między cechami zależy od typów tych cech. Moga być następujace sytuacje: obie cechy sa mierzalne (ilościowe) np. zależność wzrostu od wagi, wydatków od dochodów,... obie cechy sa niemierzalne (jakościowe) np. zależność wykształcenia od preferencji politycznych jedna cecha jest ilościowa i jedna jakościowa np. zależność zarobków od płci. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

33 Przedstawienie danych Dane (x i, y i ), i = 1, 2,..., n można przedstawić w postaci diagramów korelacyjnych i tabeli korelacyjnych. W pierwotnej postaci dane te (dokładne punkty (x i, y i )) moga być zapisane w tabeli. 1) diagram korelacyjny - to graficzne zaznaczenie na płaszczyźnie punktów (x i, y i ), i = 1, 2,..., n. w Excelu : wykres punktowy danych (X, Y ) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

34 2) tablica korelacyjna albo tablica dwudzielcza warunek: n 30 w kolejnych wierszach znajduja się możliwe wartości (warianty) jednej zmiennej {x 1, x 2,..., x r } w kolejnych kolumnach znajduja się możliwe wartości (warianty) drugiej zmiennej {y 1, y 2,..., y k } wewnatrz tabelki znajduja się liczebności konkretnych klas, tzn. n ij - liczebność obiektów które maja równocześnie wartość x i i y j. Y y 1 y 2... y k X x 1 n 11 n n 1k x 2 n 21 n n 2k... x r n r1 n r2... n rk Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

35 Tak jak dla "pojedynczych" cech czasami lepiej było pracować na szeregach przedziałowych, tak tutaj też może się zdarzyć że wartościami zmiennych moga być przedziały. Y y 01 y 11 y 02 y y 0k y 1k X x 01 x 11 n 11 n n 1k x 02 x 12 n 21 n n 2k... x 0r x 1r n r1 n r2... n rk Pamiętamy, że we wszelkich obliczeniach (średniej, wariancji,...) dla obiektów danej klasy, jako reprezentant wartości bierzemy środek danego przedziału przez ˆx i, ŷ j oznaczamy środki odpowiednich klas Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36

36 Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Statystyka 9 kwietnia / 36