KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Transkrypt

1 KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja Ekstrema (lokalne) funkcji wielu zmiennych ZADANIE DOMOWE Strona

2 Częśd : TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie Wykres funkcji dwóch zmiennych to a) Trójwymiarowa powierzchnia b) Dwuwymiarowy obszar c) Czterowymiarowa powierzchnia d) Trzy osie układów współrzędnych: x, y i z Pytanie Ekstremum funkcji wielu zmiennych można wykorzystad do: a) Obliczenia optymalnego wykresu funkcji wartości b) Obliczenia wyznacznika z pochodnych drugiego rzędu z funkcji dwóch zmiennych c) Obliczenia średniej wartości funkcji d) Obliczenia optymalnego połączenia zasobów Pytania tylko do części Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych bez użycia hesjanów) Pytanie 3 Jak opisad można dwia zasadnicze części schematu na obliczanie ekstremum funkcji dwóch zmiennych? a) Obliczanie punktów, w których mogą byd ekstrema w części I i sprawdzanie, czy faktycznie są w nich ekstrema w części II b) Obliczanie pochodnych cząstkowych I rzędu w części I i obliczanie pochodnych cząstkowych II rzędu w w części II c) Obliczanie punktów, w których mogą byd ekstrema w części I i obliczanie pochodnych cząstkowych II rzędu w w części II d) Obliczanie pochodnych cząstkowych I rzędu w części I i sprawdzanie, czy są w nich ekstrema w części II Strona

3 Pytanie 4 f x, y x xy y 7 f x y x f y x y Mając obliczone pochodne cząstkowe I rzędu jak wyżej co należy zrobid w tym momencie zadania? a) Obliczyd z nich pochodne cząstkowe II rzędu b) Odczytad z tych pochodnych współrzędne punktów stacjonarnych c) Przyrównad pochodne do zera, tworząc układ równao d) Utworzyd z pochodnych wyznacznik Pytanie 5 Obliczając ekstrema lokalne według schematu obliczyliśmy jej pochodne cząstkowe I rzędu, punkty stacjonarne i pochodne cząstkowe II rzędu. Co należy zrobid w tym momencie zadania? a) Z pochodnych cząstkowych II rzędu utworzyd wyznacznik i odczytad z niego, czy funkcja osiąga ekstrema b) Z pochodnych cząstkowych II rzędu utworzyd wyznacznik i podstawid do funkcji w nim po kolei współrzędne poszczególnych punktów stacjonarnych c) Obliczyd wartości funkcji wyjsciowej w punktach stacjonarnych d) Z pochodnych cząstkowych II rzędu utworzyd wyznacznik i obliczyd go Pytanie 6 W P e e 4 4e Wyznacznik w punkcie P wyszedł jak wyżej. Oznacza to, że a) Funkcja nie osiąga ekstremum w punkcie P b) Funkcja osiąga maksimum w punkcie P c) Nie można określid z tych danych, czy funkcja osiąga ekstremum w P d) Funkcja osiąga minimum w punkcie P Strona 3

4 Pytania tylko do części Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych hesjanami) Pytanie 7 Co robimy z pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu? a) Tworzymy z nich macierz, podstawiamy współrzędne kolejnych punktów stacjonarnych i liczymy odpowiednie jej podwyznaczniki kolejnych stopni b) Tworzymy z niej wyznacznik, podstawiamy współrzędne kolejnych punktów stacjonarnych i obliczamy go c) Przyrównujemy je do zera i rozwiązujemy otrzymany układ równao d) Obliczamy z nich pochodne kolejnego rzędu (aż otrzymamy rząd równy liczbie zmiennych) i tworzymy z nich macierz Pytanie 8 Jakiego stopnia byłby hesjan z funkcji czterech zmiennych? a) To zależy od liczby punktów stacjonarnych b) Trzeciego c) Czwartego d) To zależy od ułożeo znaku w podwyznacznikach Pytanie H P H P 3 0 H P H3 P 33 Powyższe ułożenie znaków w podwyznacznikach hesjanu w punkcie P oznacza, że a) W punkcie P funkcja osiąga maksimum lokalne b) W punkcie P funkcja nie osiąga ekstremum c) W punkcie P nie możemy roztrzygnąd, czy funkcja osiąga ekstremum d) W punkcie P funkcja osiąga minimum lokalne Pytanie 0 Czy używając hesjanów możemy liczyd także ekstrema funkcji dwóch zmiennych z części I Lekcji? a) Nie b) Tak Strona 4

5 Częśd : ZADANIA Zadania do części Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych bez użycia hesjanów) Zad. Oblicz ekstrema lokalne z podanych funkcji: ) f x, y x xy y x y ) 3) 4) 5) f x, y x xy y z x xy y x 6 z x y x y 6 z x xy y x y 3 6) f x, y x xy y x 4y f x, y x y 3x 6y 7) ) f x, y x 6xy y 3x 6y 9) 3 z x y xy x 6 48 x 0) f x y e x y ), x y f x, y e x y Zadania tylko do części Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych hesjanami) UWAGA: Rozwiąż także zadania od ) do ). Metoda Hesjanów jest uniwersalna. Zad. Oblicz ekstrema lokalne z podanych funkcji: f x, y, z x y z x 4y 6z ) ) u x y z xy x z 4 4 f x, y, z x xy xz y y z 3) 3 x y f x y z x z y z 4),, 4 Strona 5

6 5) x y z f x, y, z e x y z KONIEC Strona 6