Klasa 2 zakres rozszerzony. 1. Podstawowe własnoci figur geometrycznych na płaszczynie

Transkrypt

1 Klasa 2 zakres rozszerzony Ocen dopuszczajc otrzymuje ucze, który opanował 40% - 60% wymaga podstawowych. Ocen dostateczn otrzymuje ucze, który opanował powyej 60% wymaga podstawowych. Ocen dobr otrzymuje ucze, który opanował 100% wymaga podstawowych i 75% wymaga dopełniajcych. Ocen bardzo dobr otrzymuje ucze, który opanował 100% wymaga podstawowych i ponad 75% wymaga dopełniajcych. Ocen celujc otrzymuje ucze, który opanował wiedz i zdobył umiejtnoci zawarte w wymaganiach wykraczajcych. 1. Podstawowe własnoci figur geometrycznych na płaszczynie Koło i okrg. Wzajemne połoenie prostej i okrgu. Wzajemne połoenie dwóch okrgów. Kty w kole (kty wpisane, kty rodkowe). Kt dopisany do okrgu. Zwizki miarowe midzy odcinkami stycznych i siecznych. Czworokty. Trapezy. Równoległoboki. Trapezoidy. Wielokty wpisane w okrg i opisane na okrgu. Trójkty wpisane w okrg i opisane na okrgu. Czworokty wpisane w okrg i opisane na okrgu. zna definicj koła i okrgu, poprawnie posługuje si terminami: promie, rednica, łuk, rodek okrgu; umie okreli wzajemne połoenie prostej i okrgu; zna okrelenie stycznej do okrgu, potrafi skonstruowa styczn do okrgu, przechodzc przez punkt lecy w odległoci wikszej od rodka okrgu ni długo promienia okrgu, potrafi skonstruowa styczn do okrgu przechodzc przez punkt lecy na okrgu; zna twierdzenie o stycznej do okrgu, potrafi je zastosowa w rozwizywaniu prostych zada; zna twierdzenie o odcinkach stycznych i potrafi je stosowa w rozwizywaniu prostych zada; zna twierdzenie o zwizkach miarowych midzy odcinkami stycznych i siecznych i potrafi zastosowa je w zadaniach umie okreli wzajemne połoenie dwóch okrgów; posługuje si terminami: kt wpisany w koło, kt rodkowy koła; zna twierdzenia dotyczce któw wpisanych i rodkowych i umie je zastosowa w rozwizywaniu prostych zada; zna podział czworoktów; potrafi wyróni wród trapezów trapezy prostoktne i trapezy równoramienne, poprawnie posługuje si takimi okreleniami jak: podstawa, rami, wysoko trapezu; 1

2 wie, e suma któw przy kadym ramieniu trapezu jest równa 180 i umie t własno wykorzysta w rozwizaniach prostych zada; zna twierdzenie o odcinku łczcym rodki ramion trapezu i umie zastosowa je w rozwizaniach prostych zada; potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce własnoci trapezów, w tym równie z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa; zna podstawowe własnoci równoległoboków i umie je stosowa w rozwizaniach prostych zada; wie, jakie własnoci ma romb i umie je stosowa w rozwizaniach prostych zada; wie, co to s trapezoidy, potrafi poda przykłady takich figur; wie, czym charakteryzuje si deltoid; rozumie co to znaczy, e wielokt jest wpisany w okrg, wielokt jest opisany na okrgu; potrafi konstrukcyjnie wpisa okrg w dowolny trójkt; potrafi konstrukcyjnie opisa okrg na dowolnym trójkcie; wie, gdzie znajduje si rodek okrgu opisanego na trójkcie prostoktnym; potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce trójktów wpisanych w okrg i opisanych na okrgu; zna warunki jakie spełnia musi czworokt, aby mona było okrg wpisa w czworokt oraz aby mona było okrg opisa na czworokcie; potrafi zastosowa te warunki w rozwizaniach prostych zada; potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce trapezów wpisanych w okrg i opisanych na okrgu, w tym równie z wykorzystaniem wczeniej poznanych własnoci trapezu. zna dowód twierdzenia o odcinkach stycznych; zna dowód twierdzenia o zwizkach miarowych midzy odcinkami stycznych i siecznych zna dowody twierdze o ktach rodkowych i wpisanych; wie, co to jest kt dopisany do okrgu; zna twierdzenie o ktach dopisanym do okrgu i wpisanym w okrg opartych na tym samym łuku; zna i potrafi udowodni twierdzenie o odcinku łczcym rodki przektnych trapezu; wie, e odcinki łczce rodek okrgu wpisanego w trapez z kocami jednego ramienia tworz kt prosty; potrafi rozwizywa zadania o rednim stopniu trudnoci dotyczce okrgów, stycznych, któw rodkowych, wpisanych i dopisanych, z zastosowaniem poznanych twierdze; zna dowód twierdzenia o odcinku łczcym rodki ramion trapezu; potrafi rozwizywa zadania o rednim stopniu trudnoci dotyczce czworoktów, w tym trapezów i równoległoboków; potrafi rozwizywa zadania o rednim stopniu trudnoci dotyczce okrgów wpisanych w trójkt i opisanych na trójkcie; potrafi zastosowa twierdzenia o okrgu wpisanym w czworokt i okrgu opisanym na czworokcie w rozwizywaniu zada o rednim stopniu trudnoci; potrafi zastosowa twierdzenia o okrgu wpisanym w czworokt i okrgu opisanym na czworokcie do rozwizania zada o rednim stopniu trudnoci dotyczcych trapezów wpisanych w okrg i opisanych na okrgu. zna dowody twierdze o okrgu wpisanym w czworokt i okrgu opisanym na czworokcie; 2

3 potrafi rozwizywa nietypowe zadania o podwyszonym stopniu trudnoci dotyczce okrgów, czworoktów, wieloktów wpisanych w okrg i opisanych na okrgu, w tym z zastosowaniem poznanych twierdze. 2. Funkcja kwadratowa Jednomian stopnia drugiego. Posta ogólna funkcji kwadratowej. Posta kanoniczna funkcji kwadratowej. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej; posta iloczynowa funkcji kwadratowej. Własnoci trójmianu kwadratowego. Wzory Viete a i ich zastosowanie. Równania i nierównoci kwadratowe. Równania i nierównoci kwadratowe z parametrem. Równania i nierównoci kwadratowe z wartoci bezwzgldn. Zadania tekstowe prowadzce do równa i nierównoci kwadratowych. Zastosowanie wiadomoci o funkcji kwadratowej do analizowania zjawisk z ycia codziennego. Równania prowadzce do równa kwadratowych. Układy równa z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego. potrafi rozpozna jednomian stopnia drugiego; potrafi narysowa wykres jednomianu stopnia drugiego i omówi jego własnoci; potrafi odróni wzór funkcji kwadratowej od wzoru innej funkcji; potrafi obliczy miejsca zerowe funkcji kwadratowej lub sprawdzi, e trójmian kwadratowy nie posiada miejsc zerowych; potrafi obliczy współrzdne wierzchołka paraboli; potrafi narysowa wykres dowolnej funkcji kwadratowej; potrafi na podstawie wykresu funkcji kwadratowej omówi jej własnoci; potrafi napisa wzór funkcji kwadratowej o zadanych własnociach; potrafi sprawnie zamienia jedn posta trójmianu kwadratowego na drug (posta ogólna, kanoniczna, iloczynowa); potrafi wyznaczy najmniejsz oraz najwiksz warto funkcji kwadratowej w danym przedziale domknitym; potrafi zastosowa własnoci funkcji kwadratowej do rozwizywania prostych zada optymalizacyjnych; potrafi algebraicznie rozwizywa równania i nierównoci kwadratowe z jedn niewiadom; potrafi graficznie rozwizywa równania i nierównoci kwadratowe z jedn niewiadom; potrafi rozwizywa proste zadania prowadzce do równa i nierównoci kwadratowych z jedn niewiadom; zna wzory Viete a i potrafi je stosowa do rozwizywania prostych zada; potrafi rozwizywa proste zadania z parametrem, w których jest mowa o własnociach funkcji kwadratowej; 3

4 potrafi przekształca wyraenia tak, by mona było oblicza ich wartoci stosujc wzory Viete a; potrafi przekształca wykresy funkcji kwadratowych (symetria wzgldem osi OX, symetria wzgldem osi OY, symetria wzgldem punktu O(0, 0), przesunicie równoległe o wektor) oraz napisa wzór funkcji, której wykres otrzymano w danym przekształceniu; potrafi przeanalizowa zjawisko z ycia codziennego, opisane wzorem (wykresem) funkcji kwadratowej; potrafi opisa dane zjawisko za pomoc wzoru funkcji kwadratowej. potrafi wyprowadzi wzór na współrzdne wierzchołka paraboli; potrafi wyprowadzi wzory na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego; potrafi naszkicowa wykres funkcji kwadratowej z wartoci bezwzgldn i na jego podstawie omówi własnoci funkcji; potrafi zastosowa własnoci funkcji kwadratowej do rozwizywania zada optymalizacyjnych; potrafi rozwizywa zadania tekstowe prowadzce do równa i nierównoci kwadratowych z jedn niewiadom; potrafi udowodni wzory Viete a; potrafi stosowa wzory Viete a do rozwizywania równa i nierównoci z parametrem; potrafi rozwizywa róne zadania, w których wystpuje parametr, dotyczce własnoci funkcji kwadratowej; potrafi algebraicznie rozwizywa równania i nierównoci kwadratowe z jedn niewiadom z wartoci bezwzgldn; potrafi graficznie rozwizywa równania i nierównoci kwadratowe z jedn niewiadom z wartoci bezwzgldn; potrafi rozwizywa równania i nierównoci pierwiastkowe prowadzce do równa i nierównoci kwadratowych; potrafi przekształca wykresy funkcji kwadratowych; potrafi przeprowadzi dyskusj nad liczb rozwiza równania kwadratowego z parametrem i wartoci bezwzgldn na podstawie interpretacji graficznej rozwaanego problemu; potrafi rozwizywa układy równa i nierównoci stopnia drugiego z wartoci bezwzgldn; potrafi rozwizywa algebraicznie i graficznie układy równa z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego; potrafi bada własnoci funkcji kwadratowej w oparciu o odpowiednie definicje; potrafi dowodzi własnoci funkcji kwadratowej. potrafi rozwizywa róne problemy dotyczce funkcji kwadratowej, które wymagaj niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych pomysłów. 3. Okrg i koło w układzie współrzdnych Równanie okrgu, nierówno opisujca koło. Odległo punktu od prostej. Wzajemne połoenie prostej i okrgu. Wzajemne połoenie dwóch okrgów. 4

5 rozpoznaje równanie okrgu w postaci zredukowanej x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 oraz w postaci kanonicznej (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 ; potrafi sprowadzi równanie okrgu z postaci zredukowanej do postaci kanonicznej (i odwrotnie); potrafi odczyta z równania okrgu współrzdne rodka i promie okrgu; potrafi napisa równanie okrgu, gdy zna współrzdne rodka i promie tego okrgu; rozpoznaje nierówno opisujc koło; potrafi odczyta z nierównoci opisujcej koło współrzdne rodka i promie tego koła; potrafi napisa nierówno opisujc koło w sytuacji, gdy zna współrzdne rodka i promie koła; potrafi narysowa w układzie współrzdnych okrg na podstawie danego równania opisujcego okrg; potrafi narysowa w układzie współrzdnych koło na podstawie danej nierównoci opisujcej koło; zna wzór na odległo punktu od prostej; potrafi obliczy odległo punktu od prostej; potrafi okreli wzajemne połoenie prostej o danym równaniu wzgldem okrgu o danym równaniu ( po wykonaniu stosownych oblicze); potrafi okreli wzajemne połoenie dwóch okrgów danych równaniami ( na podstawie stosownych oblicze); potrafi obliczy współrzdne punktów wspólnych prostej i okrgu lub stwierdzi, e prosta i okrg nie maj punktów wspólnych; potrafi obliczy współrzdne punktów wspólnych dwóch okrgów ( lub stwierdzi, e okrgi nie przecinaj si), gdy znane s równania tych okrgów; potrafi wyznaczy równanie stycznej do okrgu; potrafi napisa równanie okrgu opisanego na trójkcie, gdy dane ma współrzdne wierzchołków trójkta; potrafi rozwizywa proste zadania z wykorzystaniem wiadomoci o prostych, trójktach, parabolach i okrgach. potrafi rozwizywa róne zadania dotyczce okrgów i kół w układzie współrzdnych, w których konieczne jest zastosowanie wiadomoci z rónych działów matematyki; potrafi rozwizywa zadania z parametrem dotyczce okrgów i kół w układzie współrzdnych. potrafi rozwizywa zadania o podwyszonym stopniu trudnoci dotyczce okrgów i kół w układzie współrzdnych. 4. Wielomiany Definicja wielomianu stopnia n (n N + ) jednej zmiennej rzeczywistej. 5

6 Równo wielomianów. Działania arytmetyczne na wielomianach. Pierwiastek wielomianu, pierwiastek wielokrotny. Twierdzenie Bezouta i jego zastosowanie. Twierdzenie o reszcie. Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Metody rozkładania wielomianu na czynniki. Równania i nierównoci wielomianowe. Zadania tekstowe prowadzce do równa i nierównoci wielomianowych. zna pojcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wskaza jednomiany podobne; potrafi rozpozna wielomian jednej zmiennej rzeczywistej; potrafi uporzdkowa wielomian (malejco lub rosnco); potrafi okreli stopie wielomianu jednej zmiennej; potrafi obliczy warto wielomianu dla danej wartoci zmiennej; potrafi rozpozna wielomiany równe; potrafi rozwizywa proste zadania, w których wykorzystuje si twierdzenie o równoci wielomianów; potrafi wykona dodawanie, odejmowanie i mnoenie wielomianów; potrafi dzieli wielomian przez wielomian; potrafi sprawdzi czy podana liczba jest pierwiastkiem wielomianu; potrafi okreli krotno pierwiastka wielomianu; zna twierdzenie Bezouta i potrafi je stosowa w rozwizywaniu zada; zna twierdzenie o reszcie i potrafi je stosowa w rozwizywaniu zada; potrafi wyznaczy wielomian, który jest reszt z dzielenia wielomianu o danych własnociach przez inny wielomian; potrafi rozłoy wielomian na czynniki poprzez wyłczanie wspólnego czynnika poza nawias, zastosowanie wzorów skróconego mnoenia, zastosowanie metody grupowania wyrazów, a take wówczas, gdy ma podany jeden z pierwiastków wielomianu i konieczne jest znalezienie pozostałych z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta; potrafi rozwizywa równania i nierównoci wielomianowe, które wymagaj umiejtnoci rozkładania wielomianów na czynniki wymienionych w poprzednim punkcie; potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce wielomianów, w których wystpuj parametry. potrafi sprawnie wykonywa działania na wielomianach; potrafi udowodni twierdzenie Bezouta; zna i potrafi stosowa twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych; potrafi udowodni twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych; potrafi sprawnie rozkłada wielomiany na czynniki (w tym stosujc metod prób ); potrafi rozwizywa równania i nierównoci wielomianowe z wartoci bezwzgldn; potrafi rozwizywa zadania dotyczce własnoci wielomianów, w których wystpuj parametry; 6

7 potrafi rozwizywa równania i nierównoci wielomianowe z parametrem; potrafi rozwizywa zadania tekstowe prowadzce do równa i nierównoci wielomianowych; potrafi udowodni wzory Viete a dla równania trzeciego stopnia. potrafi rozwizywa róne problemy dotyczce wielomianów, które wymagaj niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych pomysłów. 5. Funkcje wymierne Definicja funkcji wymiernej; dziedzina funkcji wymiernej. Działania na wyraeniach wymiernych. Funkcja homograficzna i jej własnoci. Równania i nierównoci wymierne. Zadania tekstowe prowadzce do równa i nierównoci wymiernych. potrafi na podstawie wzoru odróni funkcj wymiern od innej funkcji; potrafi okreli dziedzin funkcji wymiernej (wyraenia wymiernego); potrafi napisa wzór funkcji wymiernej o zadanej dziedzinie; potrafi sprawdzi, czy dane funkcje wymierne s równe; potrafi wykonywa działania na wyraeniach wymiernych takie jak: skracanie wyrae wymiernych, rozszerzanie wyrae wymiernych, dodawanie, odejmowanie, mnoenie i dzielenie wyrae wymiernych, okrelajc warunki wykonalnoci tych działa; zna definicj funkcji homograficznej ax + b y =, gdzie c 0 i ad cb 0; cx + d potrafi przekształci wzór funkcji ax + b y =, gdzie c 0 i ad cb 0 do postaci cx + d k y = + q ; x p k potrafi narysowa wykres funkcji homograficznej o równaniu y = + q ; x p k potrafi na podstawie wzoru funkcji y = + q okreli jej dziedzin i zbiór wartoci; x p potrafi obliczy miejsce zerowe funkcji homograficznej oraz współrzdne punktu, w którym hiperbola przecina o OY; k potrafi wyznaczy przedziały monotonicznoci funkcji y = + q ; x p potrafi porówna wartoci dwóch funkcji homograficznych; potrafi przekształca wykres funkcji homograficznej w S OX, S OY, S (0, 0), przesuniciu równoległym o dany wektor; 7

8 potrafi rozwizywa proste zadania z parametrem dotyczce funkcji homograficznej; potrafi rozwizywa proste zadania tekstowe dotyczce proporcjonalnoci odwrotnej; potrafi rozwizywa proste równania i nierównoci wymierne. potrafi sprawnie wykonywa działania łczne na wyraeniach wymiernych; potrafi rozwizywa równania i nierównoci wymierne; potrafi rozwizywa równania i nierównoci wymierne z wartoci bezwzgldn; potrafi rozwizywa układy równa i nierównoci wymiernych (w tym z wartoci bezwzgldn); potrafi rozwizywa równania i nierównoci wymierne z parametrem; potrafi rozwizywa układy równa i nierównoci wymiernych (w tym z parametrem); potrafi rozwizywa zadania dotyczce własnoci funkcji wymiernej (w tym z parametrem); potrafi dowodzi własnoci funkcji wymiernej; potrafi narysowa wykres funkcji homograficznej z wartoci bezwzgldn i na podstawie wykresu funkcji opisa jej własnoci; potrafi rozwizywa zadania tekstowe prowadzce do równa i nierównoci wymiernych. potrafi przeprowadzi dyskusj liczby rozwiza równania wymiernego z parametrem; potrafi rozwizywa zadania o podwyszonym stopniu trudnoci dotyczce funkcji wymiernych wymagajce zastosowania niekonwencjonalnych metod. 6. Cigi Definicja cigu; cig liczbowy. Sposoby opisywania cigów. Cigi monotoniczne. Pojcie granicy cigu liczbowego. Własnoci cigów zbienych. Cig arytmetyczny. Cig geometryczny. Szereg geometryczny. Cigi rozbiene do nieskoczonoci. Oprocentowanie lokat i kredytów (procent prosty i składany). zna definicj cigu (cigu liczbowego); potrafi wyznaczy dowolny wyraz cigu liczbowego okrelonego wzorem ogólnym; potrafi narysowa wykres cigu liczbowego okrelonego wzorem ogólnym; potrafi zbada na podstawie definicji monotoniczno cigu liczbowego okrelonego wzorem ogólnym; potrafi poda przykłady cigów liczbowych monotonicznych; potrafi sprawdzi, które wyrazy cigu nale da danego przedziału; 8

9 potrafi obliczy, które wyrazy cigu maj podan warto; rozumie intuicyjnie pojcie granicy cigu liczbowego zbienego; zna i potrafi stosowa twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach cigów zbienych; potrafi obliczy granic cigu liczbowego (proste przykłady); zna definicj cigu arytmetycznego; potrafi zbada na podstawie definicji czy dany cig okrelony wzorem ogólnym jest arytmetyczny; potrafi poda przykłady cigów arytmetycznych; zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzór na n-ty wyraz cigu arytmetycznego; zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzór na sum n kolejnych pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego; potrafi wykorzysta redni arytmetyczn do obliczenia wyrazu rodkowego cigu arytmetycznego; zna definicj cigu geometrycznego; potrafi zbada na podstawie definicji czy dany cig okrelony wzorem ogólnym jest geometryczny; zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzór na n-ty wyraz cigu geometrycznego; zna i potrafi stosowa wzór na sum n kolejnych pocztkowych wyrazów cigu geometrycznego; potrafi wykorzysta redni geometryczn do obliczenia wyrazu rodkowego cigu geometrycznego; potrafi wyznaczy cig arytmetyczny (geometryczny) na podstawie wskazanych danych; potrafi odróni cig geometryczny od szeregu geometrycznego; zna warunek na zbieno szeregu geometrycznego i wzór na sum szeregu; potrafi zbada warunek na istnienie sumy szeregu geometrycznego (proste przykłady); potrafi oblicza sum szeregu geometrycznego (zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły, proste równania i nierównoci wymierne, proste zadania geometryczne); potrafi oblicza granice niewłaciwe cigów rozbienych do nieskoczonoci (proste przykłady); potrafi stosowa procent prosty i składany w zadaniach dotyczcych oprocentowania lokat i kredytów. potrafi okreli cig wzorem rekurencyjnym; potrafi poda wyrazy cigu okrelonego wzorem rekurencyjnym; potrafi, stosujc zasad indukcji matematycznej, wykaza równowano wzoru ogólnego i rekurencyjnego danego cigu; potrafi bada własnoci cigu okrelonego wzorem rekurencyjnym (np. monotoniczno cigu, zbieno cigu); zna definicj i rozumie pojcie granicy cigu liczbowego zbienego; potrafi wykaza na podstawie definicji, e dana liczba jest granic cigu; potrafi oblicza granice rónych cigów zbienych; potrafi oblicza granice niewłaciwe rónych cigów rozbienych do nieskoczonoci; potrafi udowodni wzór na n-ty wyraz cigu arytmetycznego; potrafi udowodni wzór na n-ty wyraz cigu geometrycznego; potrafi udowodni wzór na sum n kolejnych pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego; 9

10 potrafi udowodni wzór na sum n kolejnych pocztkowych wyrazów cigu geometrycznego; potrafi rozwizywa zadania mieszane dotyczce cigów arytmetycznego i geometrycznego; potrafi rozwizywa róne zadania z zastosowaniem wiadomoci o szeregu geometrycznym zbienym. zna, rozumie i potrafi zastosowa twierdzenie o trzech cigach do obliczenia granicy danego cigu; potrafi udowodni twierdzenia dotyczce własnoci cigów ( np. twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach cigów zbienych, twierdzenie o trzech cigach, twierdzenie o zbienoci cigu monotonicznego i ograniczonego oraz inne twierdzenia dotyczce własnoci cigów zbienych); potrafi rozwizywa zadania na dowodzenie, w których jest mowa o cigach; wie co to jest liczba e oraz potrafi oblicza granice cigów z liczb e. 7. Indukcja matematyczna, dwumian Newtona Zasada indukcji matematycznej i jej zastosowanie w dowodzeniu twierdze. Symbol Newtona i jego własnoci. Dwumian Newtona. zna symbol silnia ; potrafi oblicza wartoci wyrae z symbolem silnia; zna symbol Newtona; potrafi oblicza wartoci wyrae z symbolem Newtona; potrafi upraszcza wyraenia zawierajce symbol silnia oraz symbol Newtona; potrafi rozpisa wzór dwumianowy Newtona (potrafi znale odpowiednie współczynniki korzystajc z trójkta Pascala); potrafi zastosowa zasad indukcji matematycznej, do wykazania prawdziwoci wzorów (równoci) dotyczcych liczb naturalnych. potrafi rozwizywa równania w których wystpuje symbol Newtona; potrafi oblicza wartoci wyrae w których wystpuje symbol Newtona (trudniejsze przykłady); potrafi udowodni i stosowa własnoci symbolu Newtona; potrafi stosowa wzór dwumianowy Newtona w rozwizywaniu zada; potrafi wyznaczy dowolny wyraz w rozwiniciu dwumianu Newtona; potrafi stosowa zasad indukcji matematycznej w dowodzeniu podzielnoci liczb naturalnych. 10

11 potrafi stosowa zasad indukcji matematycznej w dowodzeniu twierdze (np. dowodzenie prawdziwoci nierównoci, w których jest mowa o własnociach liczb naturalnych). 8. Twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów Twierdzenie sinusów. Twierdzenie cosinusów. zna twierdzenie sinusów, potrafi je zastosowa do wyznaczenia długoci boku trójkta, sinusa kta lub długoci promienia okrgu opisanego na trójkcie; zna twierdzenie cosinusów, potrafi je zastosowa do wyznaczenia długoci boku trójkta lub cosinusa kta w trójkcie; potrafi rozwizywa proste zadania geometryczne z zastosowaniem twierdzenia sinusów I cosinusów. zna dowód twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów; potrafi rozwizywa zadania geometryczne o rednim stopniu trudnoci z wykorzystaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów. potrafi rozwizywa nietypowe zadania geometryczne o podwyszonym stopniu trudnoci z wykorzystaniem twierdzenia sinusów lub twierdzenia cosinusów. Pole figury geometrycznej. Pole trójkta. Pole czworokta. Pole równoległoboku. Pole rombu. Pole trapezu. Pole koła. Pole wycinka koła. Długo okrgu, długo łuku okrgu. rozumie pojcie pola figury; 9. Pola figur 11

12 zna nastpujce wzory na pole trójkta: 1 1 abc 1 P = a ha, P = a b sinγ, P =, P = p r, 2 2 4R 2 a + b + c P = p(p a)(p b)(p c), gdzie p = ; 2 potrafi rozwizywa proste zadania geometryczne dotyczce trójktów, wykorzystujc wzory na pole trójkta i poznane wczeniej twierdzenia; potrafi zastosowa wzory na pole kwadratu i prostokta w rozwizaniach prostych zada; zna wzory na pole równoległoboku; potrafi rozwizywa proste zadania geometryczne dotyczce równoległoboków, wykorzystujc wzór na jego pole i poznane wczeniej twierdzenia; zna wzory na pole rombu; potrafi rozwizywa proste zadania geometryczne dotyczce rombów, wykorzystujc wzory na jego pole i poznane wczeniej twierdzenia; zna wzór na pole trapezu; potrafi rozwizywa proste zadania geometryczne dotyczce trapezów, wykorzystujc wzór na jego pole i poznane wczeniej twierdzenia; potrafi rozwizywa proste zadania geometryczne dotyczce wieloktów (trójktów, czworoktów) wykorzystujc wzory na ich pola i poznane wczeniej twierdzenia, w szczególnoci twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenia dotyczcego wpisywalnoci okrgu w czworokt i twierdzenia dotyczcego opisywalnoci okrgu na czworokcie; zna wzór na pole koła i pole wycinka koła; umie zastosowa te wzory w rozwizaniach prostych zada; zna wzór na długo okrgu i długo łuku okrgu; umie zastosowa te wzory w rozwizaniach prostych zada. potrafi wyprowadzi wzory na pole trójkta; potrafi wyprowadzi wzór na pole równoległoboku; potrafi wyprowadzi wzory na pole rombu; potrafi wyprowadzi wzór na pole trapezu; potrafi rozwizywa zadania geometryczne o rednim stopniu trudnoci, wykorzystujc wzory na pola trójktów i czworoktów, w tym równie z wykorzystaniem poznanych wczeniej twierdze (m. in. z wykorzystaniem twierdzenia sinusów i cosinusów). potrafi rozwizywa nietypowe zadania geometryczne o podwyszonym stopniu trudnoci z wykorzystaniem wzorów na pola figur i innych twierdze (w tym twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów). 10. Twierdzenie Talesa Twierdzenie Talesa. Wnioski z twierdzenia Talesa. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Twierdzenie o dwusiecznej kta wewntrznego trójkta. Twierdzenie o dwusiecznej kta zewntrznego trójkta. 12

13 zna twierdzenie Talesa ; potrafi je stosowa do podziału odcinka w danym stosunku, do konstrukcji odcinka o danej długoci, do wyznaczania długoci odcinka; zna twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa i potrafi je stosowa do uzasadnienia równoległoci odpowiednich odcinków lub prostych; zna wnioski z twierdzenia Talesa i potrafi je stosowa w rozwizaniach prostych zada; zna twierdzenie o dwusiecznej kta wewntrznego trójkta, potrafi je stosowa w rozwizaniach prostych zada; potrafi rozwizywa proste zadania geometryczne wykorzystujc: twierdzenie Talesa, wnioski z niego wypływajce, twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa, twierdzenie o dwusiecznej kta wewntrznego. zna twierdzenie o dwusiecznej kta zewntrznego trójkta, umie je udowodni i stosowa w rozwizaniach prostych zada; zna dowody twierdzenia Talesa, twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa, twierdzenia o dwusiecznej kta wewntrznego trójkta; potrafi rozwizywa zadania geometryczne o rednim stopniu trudnoci z zastosowaniem twierdzenia Talesa, twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa, twierdzenia o dwusiecznej kta wewntrznego i zewntrznego trójkta oraz innych twierdze. 13