Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym nakierowanym na poszczególne czynniki produkcji
|
|
|
- Błażej Kaczmarczyk
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym nakierowanym na poszczególne czynniki produkcji Jakub Growiec 1,2 1 Narodowy Bank Polski 2 Szkoła Główna Handlowa Seminarium NBP, 21 września 2011 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
2 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Mikropodstawy dla zagregowanej funkcji CES 3 Kierunek postępu technicznego 4 Przypadek funkcji Cobba Douglasa 5 Mikropodstawy dla rozkładu Weibulla 6 Podsumowanie Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
3 Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
4 Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Niniejszy artykuł rozważa trzy ważne rozszerzenia tych modeli: wykorzystujemy tu znormalizowane funkcje produkcji CES (La Grandville, 1989; Klump i La Grandville, 2000). Dzięki normalizacji możliwe jest powiazanie parametrów rozkładów produktywności czynników oraz LFP z parametrami zagregowanej funkcji produkcji; Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
5 Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Niniejszy artykuł rozważa trzy ważne rozszerzenia tych modeli: wykorzystujemy tu znormalizowane funkcje produkcji CES (La Grandville, 1989; Klump i La Grandville, 2000). Dzięki normalizacji możliwe jest powiazanie parametrów rozkładów produktywności czynników oraz LFP z parametrami zagregowanej funkcji produkcji; uchylamy założenie proporcjonalnego rozszerzania zbioru możliwości technologicznych dzięki B+R (obecnego w poprzedzajacej literaturze). Mamy więc factor-augmenting technical change (por. np. Li, 2001; Acemoglu, 2003); Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
6 Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Niniejszy artykuł rozważa trzy ważne rozszerzenia tych modeli: wykorzystujemy tu znormalizowane funkcje produkcji CES (La Grandville, 1989; Klump i La Grandville, 2000). Dzięki normalizacji możliwe jest powiazanie parametrów rozkładów produktywności czynników oraz LFP z parametrami zagregowanej funkcji produkcji; uchylamy założenie proporcjonalnego rozszerzania zbioru możliwości technologicznych dzięki B+R (obecnego w poprzedzajacej literaturze). Mamy więc factor-augmenting technical change (por. np. Li, 2001; Acemoglu, 2003); rozszerzamy też model na przypadek n czynników wytwórczych (w załaczniku). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
7 Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Niniejszy artykuł rozważa trzy ważne rozszerzenia tych modeli: wykorzystujemy tu znormalizowane funkcje produkcji CES (La Grandville, 1989; Klump i La Grandville, 2000). Dzięki normalizacji możliwe jest powiazanie parametrów rozkładów produktywności czynników oraz LFP z parametrami zagregowanej funkcji produkcji; uchylamy założenie proporcjonalnego rozszerzania zbioru możliwości technologicznych dzięki B+R (obecnego w poprzedzajacej literaturze). Mamy więc factor-augmenting technical change (por. np. Li, 2001; Acemoglu, 2003); rozszerzamy też model na przypadek n czynników wytwórczych (w załaczniku). Przedstawiony zostaje teoretyczny argument uzasadniajacy założenie niezależnych rozkładów Weibulla jednostkowych produktywności kapitału i pracy (Growiec, 2008, EL). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
8 Wyniki badania Normalizacja względem poczatkowych nakładów K 0, L 0, produktu Y 0 oraz poczatkowego udziału wynagrodzenia kapitału w produkcie π 0 może zostać utrzymana równocześnie na poziomie lokalnym i zagregowanym, wydatnie ułatwiajac interpretację parametrów zagregowanej funkcji produkcji. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
9 Wyniki badania Normalizacja względem poczatkowych nakładów K 0, L 0, produktu Y 0 oraz poczatkowego udziału wynagrodzenia kapitału w produkcie π 0 może zostać utrzymana równocześnie na poziomie lokalnym i zagregowanym, wydatnie ułatwiajac interpretację parametrów zagregowanej funkcji produkcji. Zgodnie z wynikami pracy Growiec (2008, EL): jeśli technologie zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału i pracy maja niezależne rozkłady Weibulla, to zagregowana funkcja produkcji jest funkcja CES. Zgodnie z wynikami Jonesa (2005), jeśli maja one niezależne rozkłady Pareto to zagregowana funkcja produkcji jest funkcja Cobba Douglasa. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
10 Wyniki badania Normalizacja względem poczatkowych nakładów K 0, L 0, produktu Y 0 oraz poczatkowego udziału wynagrodzenia kapitału w produkcie π 0 może zostać utrzymana równocześnie na poziomie lokalnym i zagregowanym, wydatnie ułatwiajac interpretację parametrów zagregowanej funkcji produkcji. Zgodnie z wynikami pracy Growiec (2008, EL): jeśli technologie zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału i pracy maja niezależne rozkłady Weibulla, to zagregowana funkcja produkcji jest funkcja CES. Zgodnie z wynikami Jonesa (2005), jeśli maja one niezależne rozkłady Pareto to zagregowana funkcja produkcji jest funkcja Cobba Douglasa. Oddzielajac wybór technologii przez firmy od wyników B+R, możemy wyraźnie rozgraniczyć kierunek postępu technicznego od kierunku B+R. Sa to odrębne koncepcje, które można utożsamić tylko w szczególnych, nietypowych przypadkach (m.in. przypadek LATC Acemoglu, 2003). W przypadku funkcji Cobba Douglasa kierunek B+R jest bez znaczenia. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
11 Wyniki badania (cd.) Uzasadnienie dla zastosowania rozkładów Weibulla: jeśli technologie w swej istocie złożone i składaja się z n komplementarnych elementów, wówczas przy dość ogólnych założeniach, dla n powinny mieć one rozkład Weibulla, ze względu na twierdzenie o wartościach ekstremalnych (Fisher Tippett Gnedenko); rozkład Weibulla jest min stabilny. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
12 Wyniki badania (cd.) Uzasadnienie dla zastosowania rozkładów Weibulla: jeśli technologie w swej istocie złożone i składaja się z n komplementarnych elementów, wówczas przy dość ogólnych założeniach, dla n powinny mieć one rozkład Weibulla, ze względu na twierdzenie o wartościach ekstremalnych (Fisher Tippett Gnedenko); rozkład Weibulla jest min stabilny. Koncepcja komplementarności poszczególnych składowych w złożonych technologiach: Kremer (1993) O ring theory, Blanchard i Kremer (1997), Jones (2010), itd. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
13 Wyniki badania (cd.) Uzasadnienie dla zastosowania rozkładów Weibulla: jeśli technologie w swej istocie złożone i składaja się z n komplementarnych elementów, wówczas przy dość ogólnych założeniach, dla n powinny mieć one rozkład Weibulla, ze względu na twierdzenie o wartościach ekstremalnych (Fisher Tippett Gnedenko); rozkład Weibulla jest min stabilny. Koncepcja komplementarności poszczególnych składowych w złożonych technologiach: Kremer (1993) O ring theory, Blanchard i Kremer (1997), Jones (2010), itd. Załacznik: rozszerzenie modelu na przypadek n czynników wytwórczych. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
14 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Mikropodstawy dla zagregowanej funkcji CES 3 Kierunek postępu technicznego 4 Przypadek funkcji Cobba Douglasa 5 Mikropodstawy dla rozkładu Weibulla 6 Podsumowanie Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
15 Założenia modelu lokalna funkcja produkcji Założenie Lokalna funkcja produkcji (LFP) przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) θ ( ) ) 1 θ θ bk al Y = Y 0 π 0 +(1 π 0 ), (1) b 0 K 0 a 0 L 0 gdzie θ [, 0) jest parametrem substytucyjności, σ LPF = 1 1 θ. Parametr π 0 = r 0K 0 Y 0 jest udziałem wynagrodzenia kapitału w okresie t 0. LFP ma stałe korzyści skali. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
16 Założenia modelu granica możliwości technologicznych Założenie Granica możliwości technologicznych zadana jest w przestrzeni (a, b) równościa ( ) α ( ) α a b H(a, b) = + = N, λ a,λ b,α, N > 0. (2) λ a λ b Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
17 Założenia modelu granica możliwości technologicznych Założenie Granica możliwości technologicznych zadana jest w przestrzeni (a, b) równościa ( ) α ( ) α a b H(a, b) = + = N, λ a,λ b,α, N > 0. (2) λ a λ b Mamy: (( ) α ) (( ) α ) a b H(a, b) = N exp exp = e N. λ a λ b Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
18 Założenia modelu granica możliwości technologicznych Założenie Granica możliwości technologicznych zadana jest w przestrzeni (a, b) równościa ( ) α ( ) α a b H(a, b) = + = N, λ a,λ b,α, N > 0. (2) λ a λ b Mamy: (( ) α ) (( ) α ) a b H(a, b) = N exp exp = e N. λ a λ b Granicę możliwości technologicznych interpretujemy więc jako warstwicę rozkładu łacznego jednostkowych produktywności kapitału i pracy. Uzasadnienie w dalszej części prezentacji. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
19 Założenia modelu statyczny problem decyzyjny firm Założenie W każdej chwili t, firmy wybieraja parę jednostkowych produktywności czynników (a, b) optymalnie spośród konfiguracji dostępnych na granicy możliwości technologicznych: max a,b ( ( ) θ ( ) ) 1 θ θ bk al ( a Y 0 π 0 +(1 π 0 ) b 0 K 0 a 0 L 0 p.w. λ a ) α ( ) α b + = N. λ b (3) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
20 Optymalny wybór technologii W chwili t 0 : a 0 = (N(1 π 0 )) 1 α λ a0, b 0 = (Nπ 0 ) 1 α λb0. (4) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
21 Optymalny wybór technologii W chwili t 0 : a 0 = (N(1 π 0 )) 1 α λ a0, b 0 = (Nπ 0 ) 1 α λb0. (4) W chwili t t 0 : ( ) ( a = λ a a 0 λ a0 π 0 ( λb λ a λ a0 λ b0 KL 0 LK 0 ) αθ α θ + 1 π0 ) 1 α, (5) ( ) ( b = λ ( ) αθ ) 1 α b λb α θ λ a0 KL 0 π 0 +(1 π 0 ). (6) b 0 λ b0 λ a λ b0 LK 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
22 Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
23 Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Parametr substytucyjności: ρ = αθ α θ. Elastyczność substytucji σ = 1 1 ρ = α θ α θ αθ > 0. Zauważmy, że ρ > θ, a więc σ > σ LPF = 1 1 θ. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
24 Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Parametr substytucyjności: ρ = αθ α θ. Elastyczność substytucji σ = 1 1 ρ = α θ α θ αθ > 0. Zauważmy, że ρ > θ, a więc σ > σ LPF = 1 1 θ. Parametr rozkładu: π 0 = r 0K 0 Y 0, multiplikatywna stała to Y 0. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
25 Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Parametr substytucyjności: ρ = αθ α θ. Elastyczność substytucji σ = 1 1 ρ = α θ α θ αθ > 0. Zauważmy, że ρ > θ, a więc σ > σ LPF = 1 1 θ. Parametr rozkładu: π 0 = r 0K 0 Y 0, multiplikatywna stała to Y 0. Parametr N znika. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
26 Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Parametr substytucyjności: ρ = αθ α θ. Elastyczność substytucji σ = 1 1 ρ = α θ α θ αθ > 0. Zauważmy, że ρ > θ, a więc σ > σ LPF = 1 1 θ. Parametr rozkładu: π 0 = r 0K 0 Y 0, multiplikatywna stała to Y 0. Parametr N znika. Czynnik b w LFP zastępujemy λ b, czynnik a zastępujemy λ a. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
27 Wynagrodzenia czynników Wniosek Zakładajac, że czynniki produkcji sa wynagradzane na poziomie ich produktu krańcowego, udziały wynagrodzenia kapitału i pracy w produkcie wynosza odpowiednio: π = rk Y = π 0 ( λb λ b0 ) αθ α θ K K 0 ( ) αθ π λb α θ K 0 λ b0 K 0 +(1 π 0 )( λa λ a0 1 π = wl (1 π 0 ) Y = ( π λb 0 λ b0 ( λa λ a0 ) αθ α θ L L 0 ) αθ α θ K K 0 +(1 π 0 )( λa λ a0 ) αθ, (8) α θ L L 0 ) αθ. (9) α θ L L 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
28 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Mikropodstawy dla zagregowanej funkcji CES 3 Kierunek postępu technicznego 4 Przypadek funkcji Cobba Douglasa 5 Mikropodstawy dla rozkładu Weibulla 6 Podsumowanie Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
29 Nietypowy przypadek I: LATC Przykład specyfikacji równań B+R (Acemoglu, 2003): λ a = f a (l a )λ a (10) λ b = f b (l b )λ b (11) l a i l b sa odsetkami populacji zaangażowanej w sektorach B+R. f a, f b sa gładkimi funkcjami rosnacymi. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
30 Nietypowy przypadek I: LATC Przykład specyfikacji równań B+R (Acemoglu, 2003): λ a = f a (l a )λ a (10) λ b = f b (l b )λ b (11) l a i l b sa odsetkami populacji zaangażowanej w sektorach B+R. f a, f b sa gładkimi funkcjami rosnacymi. Gospodarka daży wówczas do ścieżki zrównoważonego wzrostu, gdzie: ŷ = ˆk = â = ˆλ a = f(l a), (12) ˆb = ˆλ b = 0. (13) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
31 Nietypowy przypadek I: LATC Przykład specyfikacji równań B+R (Acemoglu, 2003): λ a = f a (l a )λ a (10) λ b = f b (l b )λ b (11) l a i l b sa odsetkami populacji zaangażowanej w sektorach B+R. f a, f b sa gładkimi funkcjami rosnacymi. Gospodarka daży wówczas do ścieżki zrównoważonego wzrostu, gdzie: ŷ = ˆk = â = ˆλ a = f(l a), (12) ˆb = ˆλ b = 0. (13) B+R jest neutralne w sensie Harroda (LATC, ˆλ b = 0), postęp techniczny (technologie wybierane przez firmy) jest również neutralny w sensie Harroda (ˆb = 0), udziały wynagrodzenia poszczególnych czynników w produkcie sa stałe i wynosza π 0 oraz 1 π 0. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
32 Nietypowy przypadek II: postęp techniczny neutralny w sensie Hicksa Założenie przyjęte w pracach: Caselli i Coleman (2006), Growiec (2008 IJET). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
33 Nietypowy przypadek II: postęp techniczny neutralny w sensie Hicksa Założenie przyjęte w pracach: Caselli i Coleman (2006), Growiec (2008 IJET). Przykład specyfikacji równań B+R spójny z tym założeniem (λ a /λ b const): λ a = f(l a,l b )λ α+1 a λ β b (14) λ b = f(l a,l b )λ α aλ β+1 b (15) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
34 Nietypowy przypadek II: postęp techniczny neutralny w sensie Hicksa Założenie przyjęte w pracach: Caselli i Coleman (2006), Growiec (2008 IJET). Przykład specyfikacji równań B+R spójny z tym założeniem (λ a /λ b const): λ a = f(l a,l b )λ α+1 a λ β b (14) λ b = f(l a,l b )λ α aλ β+1 b (15) W długim okresie będziemy mieć ˆλ a = ˆλ b = g > 0. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
35 Nietypowy przypadek II: postęp techniczny neutralny w sensie Hicksa Założenie przyjęte w pracach: Caselli i Coleman (2006), Growiec (2008 IJET). Przykład specyfikacji równań B+R spójny z tym założeniem (λ a /λ b const): λ a = f(l a,l b )λ α+1 a λ β b (14) λ b = f(l a,l b )λ α aλ β+1 b (15) W długim okresie będziemy mieć ˆλ a = ˆλ b = g > 0. Gdy t, mamy k +, a w konsekwencji: lim ŷ(t) = g, t â(t) = g, lim t lim ˆb(t) = g + θ t α θ lim ˆk(t) t (16) (17) [( ) ) α lim g, g.(18) t ˆb(t) α θ Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
36 Przypadek ogólny We wszystkich pozostałych przypadkach skierowanego B+R, implikujacego ˆλ a ˆλ b oraz ˆλ b 0 w długim okresie, mamy: Jeśli λ b K rośnie szybciej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ a (t), â(t) ˆλ a (t) i ˆb(t) ˆλ b (t)+ θ α θˆk(t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału spada do zera. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
37 Przypadek ogólny We wszystkich pozostałych przypadkach skierowanego B+R, implikujacego ˆλ a ˆλ b oraz ˆλ b 0 w długim okresie, mamy: Jeśli λ b K rośnie szybciej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ a (t), â(t) ˆλ a (t) i ˆb(t) ˆλ b (t)+ θ α θˆk(t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału spada do zera. Jeśli λ b K rośnie wolniej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ b (t)+ ˆk(t), â(t) ˆλ a (t) α θˆk(t) θ i ˆb(t) ˆλ b (t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału wzrasta do jedności. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
38 Przypadek ogólny We wszystkich pozostałych przypadkach skierowanego B+R, implikujacego ˆλ a ˆλ b oraz ˆλ b 0 w długim okresie, mamy: Jeśli λ b K rośnie szybciej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ a (t), â(t) ˆλ a (t) i ˆb(t) ˆλ b (t)+ θ α θˆk(t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału spada do zera. Jeśli λ b K rośnie wolniej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ b (t)+ ˆk(t), â(t) ˆλ a (t) α θˆk(t) θ i ˆb(t) ˆλ b (t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału wzrasta do jedności. Jeśli λ b K rośnie asymptotycznie w tym samym tempie co λ a L, to ŷ(t) ˆλ a (t) = ˆλ b (t)+ ˆk(t), â(t) ˆλ a (t) i ˆb(t) ˆλ b (t) wraz z t. Jeśli dodatkowo ˆk(t) = ŷ(t) w długim okresie, to może to mieć miejsce tylko, gdy ˆλ b (t) 0, co sprowadza się do przypadku LATC omówionego wcześniej. Udział wynagrodzenia kapitału daży do stałej (pomiędzy 0 a 1). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
39 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Mikropodstawy dla zagregowanej funkcji CES 3 Kierunek postępu technicznego 4 Przypadek funkcji Cobba Douglasa 5 Mikropodstawy dla rozkładu Weibulla 6 Podsumowanie Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
40 Przypadek funkcji Cobba Douglasa Założenie Przyjmujemy, że granica możliwości technologicznych przyjmuje tym razem postać ( ) α ( ) β a b H(a, b) = = N. (19) λ a Jest to zgodne z założeniem, że jednostkowe produktywności kapitału i pracy maja niezależne rozkłady Pareto (Jones, 2005). λ b Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
41 Przypadek funkcji Cobba Douglasa Założenie Przyjmujemy, że granica możliwości technologicznych przyjmuje tym razem postać ( ) α ( ) β a b H(a, b) = = N. (19) λ a Jest to zgodne z założeniem, że jednostkowe produktywności kapitału i pracy maja niezależne rozkłady Pareto (Jones, 2005). λ b Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji spełnia: ( ) α ( ) β λa α+β λ ( ) β α+β b K ( ) α α+β α+β L Y = Y 0. (20) λ a0 λ b0 K 0 L 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
42 Przypadek funkcji Cobba Douglasa: optymalny wybór technologii Dla t 0 : optymalny wybór technologii jest niezdeterminowany, przy założeniu, że π 0 = r 0K 0 Y 0 = β α+β. (21) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
43 Przypadek funkcji Cobba Douglasa: optymalny wybór technologii Dla t 0 : optymalny wybór technologii jest niezdeterminowany, przy założeniu, że π 0 = r 0K 0 Y 0 = β α+β. (21) Dla t t 0 : ( ) a = a 0 ( ) b = b 0 ( λa λ a0 ( λa λ a0 ) α α+β ( λ b ) α α+β ( λ b λ b0 ) β λ b0 ) β α+β ( KL 0 LK 0 α+β ( KL 0 LK 0 ) β α+β (22) ) α α+β. (23) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
44 Kierunek postępu technicznego Jeśli zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać funkcji Cobba Douglasa, to mamy: â ˆb = ŷ = α α+βˆλ a + β α+βˆλ b + β α+βˆk, (24) = ŷ ˆk = α α+βˆλ a + β α+βˆλ b α α+βˆk. (25) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
45 Kierunek postępu technicznego Jeśli zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać funkcji Cobba Douglasa, to mamy: â ˆb = ŷ = α α+βˆλ a + β α+βˆλ b + β α+βˆk, (24) = ŷ ˆk = α α+βˆλ a + β α+βˆλ b α α+βˆk. (25) Jeśli ŷ = ˆk (jak ma to miejsce na ścieżce zrównoważonego wzrostu), to mamy LATC: niezależnie od ˆλ a i ˆλ b. â = ŷ = ˆk, (26) ˆb = ŷ ˆk = 0, (27) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
46 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Mikropodstawy dla zagregowanej funkcji CES 3 Kierunek postępu technicznego 4 Przypadek funkcji Cobba Douglasa 5 Mikropodstawy dla rozkładu Weibulla 6 Podsumowanie Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
47 Model innowacji i sektora B+R Założenie Sektory B+R (zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału badź pracy) złożone sa z continuum badaczy na odcinku I = [0, 1]. W każdej chwili t, badacz i I określa niezależnie jakość swej innowacji ( b i lub ã i ) jako minimum n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie z dystrybuanta F. Rozkład F ma dodatnia gęstość w przedziale [w, v), gdzie v może być nieskończone, i zerowa gęstość w przeciwnym przypadku. Spełnia on warunek: F(w + px) lim p 0 + F(w + p) = xα dla wszystkich x > 0 i pewnego α > 0. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
48 Model innowacji i sektora B+R Założenie Sektory B+R (zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału badź pracy) złożone sa z continuum badaczy na odcinku I = [0, 1]. W każdej chwili t, badacz i I określa niezależnie jakość swej innowacji ( b i lub ã i ) jako minimum n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie z dystrybuanta F. Rozkład F ma dodatnia gęstość w przedziale [w, v), gdzie v może być nieskończone, i zerowa gęstość w przeciwnym przypadku. Spełnia on warunek: F(w + px) lim p 0 + F(w + p) = xα dla wszystkich x > 0 i pewnego α > 0. Każda technologia składa się z n doskonale komplementarnych składowych (por. Kremer, 1993): efektywność całości jest efektywnościa najsłabszego ogniwa. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
49 Model innowacji i sektora B+R Założenie Sektory B+R (zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału badź pracy) złożone sa z continuum badaczy na odcinku I = [0, 1]. W każdej chwili t, badacz i I określa niezależnie jakość swej innowacji ( b i lub ã i ) jako minimum n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie z dystrybuanta F. Rozkład F ma dodatnia gęstość w przedziale [w, v), gdzie v może być nieskończone, i zerowa gęstość w przeciwnym przypadku. Spełnia on warunek: F(w + px) lim p 0 + F(w + p) = xα dla wszystkich x > 0 i pewnego α > 0. Każda technologia składa się z n doskonale komplementarnych składowych (por. Kremer, 1993): efektywność całości jest efektywnościa najsłabszego ogniwa. Rozkłady produktywności poszczególnych składowych sa niezależne oraz ograniczone z dołu. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
50 Kluczowy wynik Twierdzenie Gdy n, minimum n niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie F zbiega wg rozkładu do rozkładu Weibulla z parametrem kształtu α: [1 F (xp n + w)] n d e ( λ) x α, (28) ( gdzie w = inf{x R : F(x) > 0}, p n = ( ) 1 λ F 1 1 n) w. Zakładamy, że wolny parametr λ > 0 jest proporcjonalny do średniej z rozkładu F. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
51 Kluczowy wynik Twierdzenie Gdy n, minimum n niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie F zbiega wg rozkładu do rozkładu Weibulla z parametrem kształtu α: [1 F (xp n + w)] n d e ( λ) x α, (28) ( gdzie w = inf{x R : F(x) > 0}, p n = ( ) 1 λ F 1 1 n) w. Zakładamy, że wolny parametr λ > 0 jest proporcjonalny do średniej z rozkładu F. Dowód: bezpośrednia aplikacja jednowymiarowego wariantu twierdzenia Fishera Tippetta Gnedenki o wartościach ekstremalnych. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
52 Kluczowy wynik Twierdzenie Gdy n, minimum n niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie F zbiega wg rozkładu do rozkładu Weibulla z parametrem kształtu α: [1 F (xp n + w)] n d e ( λ) x α, (28) ( gdzie w = inf{x R : F(x) > 0}, p n = ( ) 1 λ F 1 1 n) w. Zakładamy, że wolny parametr λ > 0 jest proporcjonalny do średniej z rozkładu F. Dowód: bezpośrednia aplikacja jednowymiarowego wariantu twierdzenia Fishera Tippetta Gnedenki o wartościach ekstremalnych. λ a determinuje średnia ã, zaś λ b determinuje średnia b: ( Eã = λ a Γ 1+ 1 ) (, E b = λ b Γ 1+ 1 ), (29) α α gdzie Γ(x) = t x 1 e t dt jest funkcja Gamma Eulera. 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
53 Przykłady rozkładów Tablica: Wybrane rozkłady F takie, że dla X 1,..., X n F, min{x 1,..., X n} zbiega wg rozkładu do rozkładu Weibulla wraz z n. Rozkład F dla x [w, v) Ogr.dolne Postulowane pn Impl. λ Impl. α ( ) γx φ ( Pareto(φ) F(x) = 1 w = x γx pn = 1 n 1 ) 1 φ λ = γx α = 1 Jednostajny U([r, s]) F(x) = x r w = r s r pn = n 1 λ = s r α = 1 ( ) ( ) x µ w µ Obcięty N(µ,σ) F(x) = Φ Φ σ ( ) σ w µ dane w pn = pn λ = µ α = 1 1 Φ ( ) σ Weibull(α,λ) F(x) = 1 e xλ α w = 0 pn = α 1 ( ln 1 n 1 ) dane λ dane α Uwagi: (i) wystarczy wziać p n = 1 n dla rozkładu Pareto i p n = n 1 α dla rozkładu Weibulla; (ii) oznaczono p n = 1 w µ + σ ( )] w µ 1 ([1 Φ µ Φ 1 σ n +Φ ( w µ σ )). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
54 Uzasadnienie założonego kształtu granicy możliwości technologicznych Wniosek Jeśli rozkłady F sa Pareto, jednostajne badź obcięte normalne, wówczas α = 1, przez co elastyczność substytucji zagregowanej funkcji CES jest równa σ = 1 θ 1 2θ [ 1 2, 1), wzrastajac od 1 2 w przypadku LFP Leontiewa do jedności w przypadku LFP Cobba Douglasa. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
55 Uzasadnienie założonego kształtu granicy możliwości technologicznych Wniosek Jeśli rozkłady F sa Pareto, jednostajne badź obcięte normalne, wówczas α = 1, przez co elastyczność substytucji zagregowanej funkcji CES jest równa σ = 1 θ 1 2θ [ 1 2, 1), wzrastajac od 1 2 w przypadku LFP Leontiewa do jedności w przypadku LFP Cobba Douglasa. Granicę możliwości technologicznych można potraktować jako warstwicę łacznego rozkładu jednostkowych produktywności kapitału i pracy (ã, b), gdy spełnione jest: Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
56 Uzasadnienie założonego kształtu granicy możliwości technologicznych Wniosek Jeśli rozkłady F sa Pareto, jednostajne badź obcięte normalne, wówczas α = 1, przez co elastyczność substytucji zagregowanej funkcji CES jest równa σ = 1 θ 1 2θ [ 1 2, 1), wzrastajac od 1 2 w przypadku LFP Leontiewa do jedności w przypadku LFP Cobba Douglasa. Granicę możliwości technologicznych można potraktować jako warstwicę łacznego rozkładu jednostkowych produktywności kapitału i pracy (ã, b), gdy spełnione jest: Założenie Każda technologia zwiększajaca efektywność kapitału badź pracy jest dołaczana do zbioru możliwości technologicznych, jeśli została potwierdzona przez co najmniej zadany odsetek badaczy w I (z b i z a, odpowiednio). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
57 Uzasadnienie założonego kształtu granicy możliwości technologicznych Wniosek Jeśli rozkłady F sa Pareto, jednostajne badź obcięte normalne, wówczas α = 1, przez co elastyczność substytucji zagregowanej funkcji CES jest równa σ = 1 θ 1 2θ [ 1 2, 1), wzrastajac od 1 2 w przypadku LFP Leontiewa do jedności w przypadku LFP Cobba Douglasa. Granicę możliwości technologicznych można potraktować jako warstwicę łacznego rozkładu jednostkowych produktywności kapitału i pracy (ã, b), gdy spełnione jest: Założenie Każda technologia zwiększajaca efektywność kapitału badź pracy jest dołaczana do zbioru możliwości technologicznych, jeśli została potwierdzona przez co najmniej zadany odsetek badaczy w I (z b i z a, odpowiednio). Mamy wtedy P(ã > a, b > b) = P(ã > a)p( b > b) z a z b e N. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
58 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Mikropodstawy dla zagregowanej funkcji CES 3 Kierunek postępu technicznego 4 Przypadek funkcji Cobba Douglasa 5 Mikropodstawy dla rozkładu Weibulla 6 Podsumowanie Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
59 Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
60 Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Normalizacja funkcji CES bardzo pomaga w uzyskaniu przejrzystości i interpretowalności wyników. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
61 Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Normalizacja funkcji CES bardzo pomaga w uzyskaniu przejrzystości i interpretowalności wyników. Wyprowadzono predykcje odnośnie kierunku postępu technicznego, odróżniajac go od kierunku B+R. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
62 Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Normalizacja funkcji CES bardzo pomaga w uzyskaniu przejrzystości i interpretowalności wyników. Wyprowadzono predykcje odnośnie kierunku postępu technicznego, odróżniajac go od kierunku B+R. Sformułowano argument teoretyczny potwierdzajacy zasadność modelowania rozkładów jednostkowych produktywności czynników jako rozkładów Weibulla. Argument ten oparto na fakcie, iż rozkład ten jest rozkładem min stabilnym. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
63 Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Normalizacja funkcji CES bardzo pomaga w uzyskaniu przejrzystości i interpretowalności wyników. Wyprowadzono predykcje odnośnie kierunku postępu technicznego, odróżniajac go od kierunku B+R. Sformułowano argument teoretyczny potwierdzajacy zasadność modelowania rozkładów jednostkowych produktywności czynników jako rozkładów Weibulla. Argument ten oparto na fakcie, iż rozkład ten jest rozkładem min stabilnym. Wykazano, że model wprost uogólnia się do przypadku n czynników wytwórczych. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
64 Koniec prezentacji Dziękuję za uwagę. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września / 28
Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara.
Plan wykładu Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Model wzrostu Solowa. Krytyka podejścia klasycznego wstęp do endogenicznych podstaw wzrostu gospodarczego. Potrzeba analizy wzrostu
Ekonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Modele nieliniowe Funkcja produkcji
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 1 / 19 Agenda Modele nieliniowe 1 Modele
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Ekonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 1 / 23 Agenda 1 2 3 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja
Metoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach
Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja
W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego
W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Niezawodność elementu nienaprawialnego 1. Model niezawodności elementu nienaprawialnego
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Excel: niektóre rozkłady ciągłe (1)
MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) Ecel: niektóre rozkłady ciągłe (1) 1. ROZKŁAD.BETA (tylko dystrybuanta)...1 2. ROZKŁAD.BETA.ODW (kwantyl w rozkładzie beta)...3 3. ROZKŁAD.LIN.GAMMA (to nie jest żaden
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Przychody skali. Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi:
Przychody skali Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi: Stałe przychody skali, CRS (constant returns to scale) Rosnące
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Ekonometria Wykład 7 Modele nieliniowe, funkcja produkcji. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE
Ekonometria Wykład 7 Modele nieliniowe, funkcja produkcji Dr Michał Gradzewicz atedra Ekonomii I AE Plan wykładu (Nie)liniowość modeli ekonomerycznych iniowość modeli ekonometrycznych Efekty krańcowe Elastyczności
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Zagregowana funkcja produkcji w ekonomii wzrostu gospodarczego i konwergencji
Zagregowana funkcja produkcji w ekonomii wzrostu gospodarczego i konwergencji Jakub Growiec 1,2 1 Narodowy Bank Polski 2 Szkoła Główna Handlowa Seminarium Instytutu Ekonomicznego NBP, 9 maja 2012 Jakub
Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI)
ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI) Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je
N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Modele długości trwania
Modele długości trwania Pierwotne zastosowania: przemysłowe (trwałość produktów) aktuarialne (długość trwania życia) Zastosowania ekonomiczne: długości bezrobocia długości czasu między zakupami dóbr trwałego
Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie
Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Ekonometria. Modelowanie zmiennej jakościowej. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Modelowanie zmiennej jakościowej Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 8 Zmienna jakościowa 1 / 25 Zmienna jakościowa Zmienna ilościowa może zostać zmierzona
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Rozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Minimalizacja kosztu
Minimalizacja kosztu Minimalizacja kosztów polega na uzyskiwaniu danej wielkości produkcji po najniższym możliwym koszcie Graficznie która kombinacja czynników na izokwancie najtańsza? Analitycznie minimalizacja
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.
# # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
1 Warunkowe wartości oczekiwane
Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Zbiór zadań Makroekonomia II ćwiczenia
Zbiór zadań Makroekonomia II ćwiczenia ZESTAW 5 MODEL SOLOWA Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α.
Stopy zbieżności Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że a n oznaczamy jako a n = o p (1 p 0 a Jeśli n p n α 0, to a n = o p (n α i mówimy a n zbiega według prawdopodobieństwa szybciej
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Zawansowane modele wyborów dyskretnych
Zawansowane modele wyborów dyskretnych Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Zawansowane modele wyborów dyskretnych grudzien 2013 1 / 16 Model efektów
dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Centralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka
Biomatematyka Rozpatrzmy chorobę, która rozprzestrzenia się za pośrednictwem nosicieli, u których nie występują jej symptomy. Niech C(t) oznacza liczbę nosicieli w chwili t. Zakładamy, że nosiciele są
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Metoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Testowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 1 / 25 MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO X wielkość
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna
Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, rozkłady szkód
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, rozkłady szkód Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 1 / 16 ROZKŁADY WARTOŚCI SZKÓD Podstawowe własności: rozkłady skupione na dodatniej
EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 91...... Zadanie 1. (8 punktów) Liczebność pewnej populacji jest opisana równaniem różniczkowym: dn = r N(α N)(N β), (1) dt w którym, N(t) oznacza liczebność populacji w chwili t, a r > 0
Mikroekonomia B.2. Mikołaj Czajkowski
Mikroekonomia B.2 Mikołaj Czajkowski Przychody skali Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi: Stałe przychody skali, CRS
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
W4 Eksperyment niezawodnościowy
W4 Eksperyment niezawodnościowy Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Badania niezawodnościowe i analiza statystyczna wyników 1. Co to są badania niezawodnościowe i
Uogolnione modele liniowe
Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne