MODELOWANIE I BADANIA SYMULACYJNE TRANSLACYJNEGO MECHANIZMU RÓWNOLEGŁEGO Z UWZGLĘDNIENIEM LUZÓW W PARACH KINEMATYCZNYCH

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 50, ISSN X MODELOWANIE I BADANIA SYMULACYJNE TRANSLACYJNEGO MECHANIZMU RÓWNOLEGŁEGO Z UWZGLĘDNIENIEM LUZÓW W PARACH KINEMATYCZNYCH Jacek Bałchanowski Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn, Politechnika Wrocławska Jacek.Balchanowski@pwr.wroc.pl Streszczenie W artykule omówiono problemy analizy, modelowania i badań symulacyjnych translacyjnego mechanizmu równoległego o trzech stopniach swobody z napędami liniowymi z uwzględnieniem luzów w parach kinematycznych. W pracy przedstawiono sposób modelowania par z luzami jako połączeń kształtowych z więzami w postaci oddziaływań kontaktowych. Na przykładzie przegubu uniwersalnego opisano budowę modelu pary z uwzględnieniem luzów promieniowych i osiowych. Metodą badań symulacyjnych przeprowadzono analizę wpływu występujących luzów w parach na dokładności pozycjonowania członów w mechanizmie równoległym. W szczególności pokazano zachowanie mechanizmu w pobliżu położeń osobliwych. Słowa kluczowe: mechanizmy równoległe, analiza kinematyczna, badania symulacyjne, luzy w parach MODELLING AND SIMULATION RESEARCHES OF TRANSLATIONAL PARALLEL MECHANISM WITH TAKING INTO ACCOUNT THE JOINTS CLEARENCE Summary The problems of analysis, modelling and simulation researches of the translational parallel mechanism with 3 DOF with linear actuators with taking into account the joint clearance were presented in the paper. The model of joint with clearance is built with geometric solids and constraints in the form of contact force. The model of universal joint with radial and longitudal clearances was described in the article. The analysis of the joint clearance influence on positioning accuracy of the driven link (platform) of parallel mechanism using simulation researches were done. In particular, the behavior of the mechanism is shown near the singular positions. Keywords: parallel mechanisms, kinematic analysis, clearance in kinematic joints, simulation researches 1. WSTĘP Mechanizmy równoległe charakteryzują się wielogałęziowym połączeniem członu biernego z podstawą lub z członami czynnymi i podstawą. W równoległych mechanizmach translacyjnych człon bierny (platforma) może wykonywać tylko trzy ruchy translacyjne względem podstawy przy zachowanej stałej orientacji. Układy takie mają zastosowania głównie jako manipulatory montażowe czy pakujące (np. ABB IRB 340, Fanuc M- 1iA, M-3iA, KOCH KRH-D) lub translacyjne pozycjonery. Swoje specyficzne właściwości translacyjne mechanizmy równoległe zawdzięczają zarówno odpowiednio dobranej strukturze, postaci par kinematycznych, jak i geometrii członów [11, 13]. Jedną z zalet mechanizmów równoległych, a w szczególności układów o cechach translacyjnych, w porównaniu do układów o budowie szeregowej, jest możliwość osiągania dużej dokładności pozycjonowania członu biernego. W rzeczywistym mechanizmie dokładność pozycjonowania może ulec 5

2 MODELOWANIE I BADANIA SYMULACYJNE TRANSLACYJNEGO MECHANIZMU pogorszeniu z różnych przyczyn, np. w wyniku odkształcenia członów pod wpływem obciążenia zewnętrznego, z niedokładności ich wykonania oraz z powodu występowania luzów w parach kinematycznych. Wpływ niektórych przyczyn powodujących niedokładności pozycjonowania można w prosty sposób zniwelować, np. zwiększając sztywność członów, zmniejszając tolerancje i obniżając klasę wykonania elementów lub dokonując kalibracji gotowego mechanizmu. Źródłem dość istotnych błędów pozycjonowania i powtarzalności ruchu członu biernego pozostają luzy w parach kinematycznych, których występowania nie można uniknąć w rzeczywistych mechanizmach. Luzy te w wyniku zużycia współpracujących elementów z czasem nawet w bardzo dobrze spasowanych układach potrafią się znacząco zwiększać. Występowanie położeń osobliwych w strefie roboczej mechanizmów równoległych jest jedną z wad tych układów. Planując stosowanie takich mechanizmów, należy tak zaprojektować układ, aby podczas realizacji zadań uniemożliwić doprowadzenie go do położenia osobliwego. W niektórych przypadkach zajęcie przez człony mechanizmu położeń osobliwych może doprowadzić do uszkodzenia lub zniszczenia układu. Dość istotnym i skądinąd wielce ciekawym i złożonym zadaniem jest określenie jak bardzo człony mechanizmu mogą się zbliżyć do położeń osobliwych, nie wnosząc do układu szkodliwych oddziaływań w postaci znaczącego zwiększenia sił i momentów w parach kinematycznych. W wyniku występowania luzów w parach kinematycznych mechanizm będący w pobliżu położenia osobliwego może zająć położenie osobliwe pomimo tego, że teoretycznie znajduje się w bezpiecznej odległości od osobliwości. Występujące luzy w parach kinematycznych są trudne do likwidacji w rzeczywistych mechanizmach. W związku z tym istnieje potrzeba opisu i analizy wpływu luzów na pracę układów kinematycznych. Zagadnienie jest trudne i złożone do jawnego opisu analitycznego. Temat ten, w szczególności w analizie mechanizmów i manipulatorów równoległych, został ujęty w różnych aspektach w wielu pracach. Kosuge [9] podjął interesującą próbę analitycznego opisu luzów promieniowych w parach obrotowych w płaskich mikromechanizmach równoległych. Autor wprowadził tzw. pola luzów w poszczególnych parach i analizował ich wzajemne wpływy na pozycjonowanie członu biernego. Luz w parach kinematycznych Ting [12] zamodelował, wprowadzając dodatkowe małe człony, nazywając je członami luzów. Każdy taki człon wprowadza jeden dodatkowy stopień swobody, zwiększając tym samym całkowitą liczbę stopni swobody mechanizmu. Metoda ta oferuje geometryczny model do określenia wpływu luzów na orientację i położenia członów w płaskich mechanizmach dźwigniowych i manipulatorach. Do opisu zjawiska luzów w mechanizmach dźwigniowych [10] i manipulatorach [15] używane są również metody stochastyczne, dla przewidywania błędów pozycjonowania członów, w celu określenia dopuszczalnych luzów decydujących o dokładności pozycjonowania. Chebi i inni [6] dokonali ciekawego analitycznonumerycznego opisu wpływu luzów na błędy pozycjonowania członu biernego dla translacyjnego manipulatora równoległego o trzech stopniach swobody, tworząc mapy rozkładu błędów w strefie roboczej układu przy uwzględnieniu występowania położeń osobliwych. W niniejszej pracy pokazano sposób modelowania translacyjnego mechanizmu równoległego o trzech stopniach swobody z napędami liniowymi z uwzględnieniem występowania luzów we wszystkich parach kinematycznych oraz zamieszczono wyniki przeprowadzonych badań symulacyjnych wpływu luzów w parach na dokładność pozycjonowania członu biernego podczas wykonywania typowych ruchów roboczych. Przedstawiono i opisano sposób budowy modeli par kinematycznych obrotowych i przegubów uniwersalnych (sprzęgieł Cardana) z luzami osiowymi i promieniowymi. Stosując zaprezentowaną procedurę, można zamodelować oraz przeanalizować zjawiska luzów w mechanizmach równoległych w komputerowych systemach analizy dynamicznej układów wieloczłonowych (np. LMS DADS, MD.Adams)[2, 8]. Uzyskane wyniki oraz metody analizy mogą być przydatne w dalszych pracach badawczych nad translacyjnymi mechanizmami równoległym w celu lepszego określenia ich cech użytkowych i poszerzenia obszaru zastosowań. 2. BUDOWA MODELU MECHANIZMU RÓWNOLEGŁEGO MT-3UPU Przedmiotem analizy w niniejszej pracy jest mechanizm MT-3UPU, którego struktura została określona podczas badań podstawowych dotyczących topologii mechanizmów równoległych w Zakładzie Teorii Maszyn i Układów Mechatronicznych na Wydziale Mechanicznym w Politechnice Wrocławskiej [2, 3, 4, 5]. Ich wynikiem było opracowanie systematycznych katalogów struktur przestrzennych mechanizmów równoległych, pogrupowanych względem ruchliwości (stopni swobody). Mechanizm ten jest znany szerzej w literaturze jako Tsai 3UPU [7, 13]. Schemat kinematyczny analizowanego mechanizmu przedstawiono narys. 1. Człon bierny (platforma)układu jest połączony z podstawą za pomocą trzech identycznych gałęzi- każda zbudowana z 2 członów, 2 przegubów uniwersalnych (sprzęgieł Cardana) łączących gałąź z podstawą i członem biernym oraz z 1 pary postępowej łączącej człony gałęzi. Mechanizm ma 3 stopnie swobody, co determinuje konieczność zastosowania trzech 6

3 Jacek Bałchanowski wymuszeń kinematycznych napędów liniowych.za zmienne niezależne przyjęto wymuszenia q1, q2, i q3 opisujące przemieszczenia liniowe w parach postępowych w gałęziach (rys. 1). Rys. 1. Schemat kinematyczny translacyjnego mechanizmu równoległego MT-3UPU Mechanizm MT-3UPU jest translacyjnym mechanizmem równoległym, czyli układem, w którym człon bierny (platforma) może wykonywać tylko trzy ruchy translacyjne względem podstawy, przy zachowanej stałej orientacji. Warunki realizacji ruchu postępowego są spełnione tylko po przyjęciu szczególnej geometrii członów układu oraz określonego wzajemnego usytuowania osi, względem których są realizowane w parach kinematycznych ruchy względne [3, 4, 7, 14]. Na rys. 1 przedstawiono analizowany mechanizm w postaci zapewniającej realizacje ruchów translacyjnych. Jedną z wad analizowanego mechanizmu jest występowanie położeń osobliwych w jego strefie roboczej. Położenie osobliwe układu, czy inaczej konfiguracja osobliwa, zachodzi wtedy, gdy układ jest nieokreślony kinematycznie. Układ doprowadzony do położenia osobliwego zmienia swoje właściwości kinematyczne i dynamiczne. W niektórych przypadkach zajęcie przez człony mechanizmu położeń osobliwych może doprowadzić do uszkodzenia lub zniszczenia układu. Konfiguracje osobliwe w tym mechanizmie są znane [5], zostały określone analitycznie m.in. przez autora metodą analizowania równań prędkości układu[1, 5]. Na rys. 2 przedstawiono mechanizm w położeniach osobliwych określonych dla zadania prostego kinematyki. Podczas realizowanego ruchu mechanizmu równoległego nie można dopuścić, aby człony osiągnęły konfigurację osobliwą. W celu przeprowadzenia badań symulacyjnych zbudowano dwa bryłowe modele obliczeniowe mechanizmu MT-3UPU w komputerowym systemie analizy dynamicznej układów wieloczłonowych LMS DADS. Pierwszy model został zbudowany z członów połączonych idealnymi, teoretycznymi, bezluzowymi parami kinematycznymi. Do połączeń wykorzystano gotowe modele par z biblioteki więzów systemu (rys. 1). Drugi model mechanizmu zbudowano z członów połączonych parami kinematycznymi z luzami, których modele zostały opracowane przez autora i przedstawione w kolejnym punkcie pracy (rozdz.3). 3. BUDOWA MODELI PAR KINEMATYCZNYCH Z LUZAMI W mechanizmie MT-3-UPU człony gałęzi mechanizmu łączą się z członem biernym i z podstawą za pomocą przegubów uniwersalnych sprzęgieł Cardana. Są to pary A, B, C przy podstawie oraz P, R, S przy platformie umiejscowione w wierzchołkach trójkątów równobocznych wpisanych w okręgi o promieniach rd=0,5 m i rg=0,15 m (rys. 1). W budowie przegubu Cardana występują cztery pary obrotowe oraz człon dodatkowy, pośredniczący, tzw. krzyżak. Jedną z typowych, możliwych do zastosowania w budowie mechanizmu, postaci rzeczywistego przegubu uniwersalnego przedstawiono na rys. 3. W rozwiązaniu tym w miejscu par obrotowych zostały zastosowane łożyska wałeczkowe. Szczegóły łożyskowania zilustrowano na rys. 4. Jak można zauważyć, w łożysku ze względu na typ budowy mogą wystąpić luzy promieniowe hlr oraz osiowe hlw pomiędzy elementami krzyżaka i widłowego zakończenia członu gałęzi. Wielkość luzów hlr i hlw zależy od przyjętych tolerancji, klasy wykonania elementów oraz od stopnia zużycia współpracujących elementów. Rys. 2. Konfiguracje osobliwe mechanizm MT-3-UPU 7

4 MODELOWANIE I BADANIA SYMULACYJNE TRANSLACYJNEGO MECHANIZMU Praktycznie luzy są nie do wyeliminowania w rzeczywistym łożysku. W pojedynczym przegubie podobne luzy występują w trzech pozostałych łożyskach krzyżaka. Nawet nieznaczne luzy występujące we wszystkich W pracy zaproponowano utworzenie modelu występujących w analizowanym mechanizmie MT-3UPU przegubów uniwersalnych jako połączeń kształtowych i więzów w postaci oddziaływań sił kontaktowych pomiędzy dwiema powierzchniami. Na rys. 5 przedstawiono opracowany model przegubu uniwersalnego. Cztery łożyska obrotowe łączące człon pośredniczący z członami tworzącymi przegub zostały zamodelowane kulowymi końcówkami osadzonymi w cylindrycznych puszkowych gniazdach. Różnica promieni wewnętrznych cylindra i kuli określa luz promieniowy hlr, zaś różnica w rozstawie gniazd i kuli wyznacza luz osiowy hlw (rys. 6). Rys. 3. Przegub uniwersalny widok ogólny Rys. 4. Przegub uniwersalny przekrój przez łożysko krzyżaka, widok luzów promieniowego hlr oraz osiowego hlw sześciu przegubach Cardana wpływają na dokładność pozycjonowania i powtarzalność ruchu członu biernego mechnizmu. Dlatego, aby ocenić wpływ luzu na ruch układu, należy zbudować model mechanizmu z parami kinematycznymi uwzględniającymi występujące luzy promieniowe i osiowe. Wymaga to rezygnacjiz używania standardowych więzów połączeń z biblioteki systemu obliczeniowego i opracowania nowych modeli par kinematycznych uwzględniających luzy. Para kinematyczna zapewnia możliwość ruchu względnego dwóch tworzących ją członów zgodnie z określonym stopniem swobody, np. para obrotowa ma jeden stopień swobody i zapewnia możliwość ruchu obrotowego względem jednej osi, para cylindryczna ma dwa stopnie swobody i pozwala na obrót oraz translację wzdłuż jednej osi, itd. W wyniku pojawienia się luzów para kinematyczna otrzymuje dodatkowe stopnie swobody, które realizowane są dynamicznie. W przypadku pary z luzami ruch względny dwóch członów tworzących parę nie jest określony ścisłymi więzami kinematycznymi, lecz zależy od kształtu ich powierzchni styku. Wzajemne określenie położeń członów w mechanizmie nie jest w tym przypadku zdeterminowane kinematycznie, lecz zależy od równowagi sił i momentów, czyli jest to problem również analizy dynamicznej. Rys. 5. Model przegubu uniwersalnego widok ogólny Rys. 6. Model przegubu uniwersalnego przekroje: podłużny i poprzeczny przez łożyska, widok luzów promieniowego hlr oraz osiowego hlw Siły kontaktowe zdefiniowano pomiędzy wewnętrznymi powierzchniami gniazd - puszek a zewnętrznymi powierzchniami kulistych zakończeń przegubów. Jeżeli w wyniku przemieszczenia członów nastąpi kontakt pomiędzy członami, w punkcie styku pojawi się oddziaływanie w postaci siły kontaktowej. Do jego zdefiniowania użyto modelu siły kontaktowej Force Contact SegSeg z biblioteki obciążeń systemu LMS DADS [7]. Wartości siły wynikające z nacisków powierzchniowych są wyliczane zgodnie z modelem sił kontaktowych systemu na podstawie przemieszczeń i odkształceń współpracujących członów. Przyjęto, że oddziaływania pomiędzy członami są idealnie sprężyste, a przeguby wykonane są ze stali (E=2.1e5 MPa).Tak zbudowane połączenie zapewnia przeniesienia wymaganych obrotów i ruchów wynikających z luzów. 8

5 Jacek Bałchanowski 4. BADANIA SYMULACYJNE TRANSLACYJNEGO MECHANIZMU RÓWNOLEGŁEGO MT-3UPU Mechanizm MT-3UPU jest translacyjnym mechanizmem równoległym. Jego człon bierny, platforma, przemieszcza się ruchem translacyjnym, zachowując stałą orientację względem podstawy. Wystąpienie luzów w parach zakłóca charakter tego ruchu. Celem badań symulacyjnych było określenie wpływu wielkości luzów na dokładność pozycjonowania członu biernego w różnych punktach strefy roboczej. przedstawiono schemat symulacji, zaś na rys. 9 przebiegi wymuszeń kinematycznych q1, q2, q3 napędów. Nazwa zestawu luzów Tab. 1. Wartości luzów przyjęte do badań L1 L2 L3 hlr[mm] 0,025 0,025 0,001 hlw[mm] 0,025 0,001 0,025 Zostały przeprowadzone cztery symulacje: jedna dla układu bez luzów oraz trzy dla układu z trzema kombinacjami wartości luzów z tab. 1. Na kolejnych wykresach przedstawiono wyniki symulacji. Na rys. 10 pokazano przebiegi współrzędnych punktu M podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu bez luzów. Na rys. 11, 12 i 13 przedstawiono kolejno błędy pozycjonowania dxm, Rys. 7. Schemat możliwych błędów pozycjonowania platformy: liniowych dxm, dym, dzm i kątowych δx, δy, δz Jako miarę dokładności pozycjonowania przyjęto przemieszczenia dxm, dym, dzmśrodka M członu biernego względem położenia tego samego punktu dla układu bez luzów oraz zmiany kątów orientacji platformy δx, δy, δz względem osi x, y, z układu związanego z podstawą 0 (rys. 7).Przedstawione poniżej wyniki badań, dotyczące ruchu mechanizmu po jednej wybranej trajektorii, pokazują dokładność pozycjonowania w wybranych punktach strefy roboczej dla trzech różnych kombinacji wartości luzów promieniowego hlr i osiowego hlw podanych w tab. 1. Zestaw luzów L1 opisuje wartości luzów osiowego i promieniowego w zastosowanych typowych przegubach (rys. 3), zestaw L2 modeluje układ z luzami promieniowymi i praktycznie bez luzów osiowych (hlw=0,001 mm), zaś L3 opisuje układ z luzami osiowymi i bez luzów promieniowych (hlr=0,001 mm).przyjęto, że wszystkie pary kinematyczne, przeguby uniwersalne w mechanizmie, są jednakowe i mają takie same wartości luzów. 4.1 BADANIA SYMULACJNE RUCHU MECHANIZMU MT-3UPU PO ZADANEJ TRAJEKTORII Badanie symulacyjne polegały na przemieszczeniu członu biernego platformy z górnego położenia b po trajektorii MM do poziomu podstawy. Położenie końcowe jest położeniem osobliwym. W rzeczywistym mechanizmie opuszczanie platformy należy zatrzymać przed osiągnięciem położenia osobliwego. Podczas ruchu mechanizm jest obciążony siłami masowymi, zaś ruch jest wymuszany napędami q1, q2, q3. Na rys. 8 Rys. 8. Schemat symulacji ruchu po trajektorii MM dym, dzm punktu M na członie biernym, zaś na rys. 14, 15 i 16 przebiegi zmian kątów δx, δy, δz orientacji platformy dla trzech zestawów luzów podczas ruchu po zadanej trajektorii. Rys. 9. Przebiegi wymuszeń kinematycznych q1, q2, q3 napędów Przedstawione przebiegi pokazują wyraźnie, że występujące luzy mają znaczące wpływy na dokładność ruchu członu biernego. Wartości luzów, będące setnymi częściami milimetra, skutkują nawet w skrajnych przypadkach centymetrowymi błędami pozycjonowania. Wielkość błędów pozycjonowania zależy od położenia członu w strefie roboczej. Wraz ze zbliżaniem się układu do położenia osobliwego (t=1,07 s rys ) błędy pozycjonowania i orientowania gwałtownie rosną. Szczególnie wyraźnie rosną błędy dzm pozycjonowania wzdłuż osi z, osiągając wartości większe od 0,03 m. 9

6 MODELOWANIE I BADANIA SYMULACYJNE TRANSLACYJNEGO MECHANIZMU pozycjonowania, należy minimalizować wartość tego luzu. Rys. 9. Przebiegi wymuszeń kinematycznych q1, q2, q3 napędów Rys. 14. Przebiegi zmiany kąta orientacji platformy δx podczas Rys. 10. Przebiegi współrzędnych xm, ym, zm punktu M podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu bez luzów Rys. 15. Przebiegi zmiany kąta orientacji platformy δy podczas Rys. 11. Przebiegi błędów dxm punktu M platformy podczas Rys. 16. Przebiegi zmiany kąta orientacji platformy δz podczas Rys. 12. Przebiegi błędów dym punktu M platformy podczas Luzy osiowe hlw w parach mają znacznie mniejszy wpływ na dokładność pozycjonowania członu biernego mechanizmu. Przy analizie przebiegów należy pamiętać, że położenie członów mechanizmu podczas ruchu po badanej trajektorii jest określone dynamicznie pod wpływem obciążenia zewnętrznego i sił masowych. Przy zmianie warunków ruchu, np. postawieniu mechanizmu podstawą do góry, wyniki symulacją przyjmą inne wartości. 4.2 BADANIA POZYCJONOWANIA CZŁONU BIERNEGO MECHANIZMU MT-3UPU Rys. 13. Przebiegi błędów dzm punktu M platformy podczas Analizując wykresy, można zauważyć we wszystkich przypadkach, że przebiegi błędów dla zestawu luzów L2 są większe od błędów uzyskanych przy luzach L3. Oznacza to, że układ jest bardzo wrażliwy na występowanie luzów promieniowych hlr w łożyskach przegubów uniwersalnych. Dążąc do uzyskania dobrej dokładności Dla ustalonych wartość q1, q2, q3 wymuszeń kinematycznych napędów dla mechanizmu bez luzów człon bierny przyjmuje ściśle określoną pozycję. W przypadku układu z luzami w parach kinematycznych człon bierny, dla określonych wymuszeń kinematycznych, może przemieszczać się wokół położenia teoretycznego, zmieniając swoją pozycję i orientację w zależności od równowagi dynamicznej. W pracy przeprowadzono badania pozy- 10

7 Jacek Bałchanowski cjonowania członu biernego w wybranych punktach strefy roboczej. Na rys. 17 przedstawiono schemat symulacji pokazano wybrane 4 położenia członu biernego w strefie roboczej określone kolejnymi położeniami punktu M M 1, M 2, M 3 i M 4. Wybrane położenia usytuowane są pomiędzy gałęziami napędowymi 2 i 3. Ze względu na symetrię budowy mechanizmu wyniki analiz będą tożsame dla analogicznych punktów umiejscowionych pomiędzy gałęziami 1 i 3 oraz 1 i 2. W tabeli 2 podano współrzędne wybranych punktów M 1, M 2, M 3 i M 4 oraz odpowiadające tym położeniom wymuszenia kinematyczne q1, q2 i q3 napędów. Symulacje polegały na wymuszaniu dynamicznym symulacji było określenie zakresu możliwych zmian położenia liniowego dxm, dym, dzm i kątowego δx, δy, δz wokół położenia ustalonego dla układu bez luzów. W tab. 3 zebrano i przedstawiono wyniki obliczeń i symulacji dla wybranych położeń platformy M 1, M 2, M 3 i M 4 dla kolejnych zestawów L1, L2 i L3 zdefiniowanych luzów. Badania pozycjonowania platformy w wybranych położeniach potwierdziły ustalenia z symulacji ruchu układu po trajektorii MM (rozdz. 4.1). Wrażliwość układu na luzy znacząco wzrasta ze zbliżaniem się członów mechanizmu do położenia osobliwego. W badanym ruchu mechanizm wchodzi w osobliwość, gdy człon bierny osiąga poziom podstawy (zm=0). W tym położeniu błędy dzm względem osi z osiągają wartości ± 28,7 mm (tab.3, wiersz M 4 ). W pozostałych położeniach M 1, M 2 i M 3 (tab. 3) błędy dzm są znaczące niższe ( dzm < 5,3 mm). W celu dokładniejszego określenia błędów pozycjonowania układu w pobliżu położeń osobliwych należałoby powtórzyć analizy dla szerszego zakresu pozycji członów i zestawów luzów. Można jednak sformułować ogólny wniosek, że im mniejsze luzy w parach, tym bliżej może mechanizm zbliżać się do konfiguracji osobliwej. Badania potwierdziły zwiększoną wrażliwość analizowanego mechanizmu na luzy promieniowe hlr niż na luzy osiowe hlw. W każdym przypadku błędy pozycjonowania i orientacji są mniejsze dla zestawu L3 w porównaniu z luzami L2 (tab. 3). Projektując czy dobierając pary kinematyczne dla układu, należy wybierać rozwiązania z jak najmniejszymi możliwymi luzami promieniowymi. 5. ZAKOŃCZENIE I WNIOSKI Rys. 17. Widok mechanizmu ze schematycznie pokazanymi analizowanymi położeniami platformy ruchu członu biernego platformy wokół ustalonego położenia punktu M określonego zadanymi wielkościami q1, q2, q3. Przy ustalonych wymuszeniach ruch członów mechanizmu wynika tylko z luzów w parach. Celem Tab. 2. Współrzędne analizowanych położeń platformy i odpowiadające im wymuszenia Punkt M 1 M 2 M 3 M 4 xm [m] 0 0,1 0,21 0,22 ym [m] 0-0,3-0,63-0,64 zm [m] 0,75 0,5 0, q1 [m] 0,8276 0,8261 0,9970 1,0135 q2 [m] 0,8276 0,6543 0,6858 0,6991 q3 [m] 0,8275 0,5539 0,4645 0,4723 W niniejszej pracy podjęto problem analizy ruchu translacyjnego mechanizmu równoległego MT-3UPU z uwzględnieniem występujących luzów w parach kinematycznych. Podstawowym zadaniem było określenie wpływu luzów w parach na dokładność pozycjonowania członu biernego. Przeprowadzone rozważania dotyczyły metod modelowania i badań symulacyjnych mechanizmów równoległych w komputerowych systemach analizy dynamicznej układów wieloczłonowych. W pracy pokazano sposób modelowania par kinematycznych z uwzględnieniem występowania luzów jako połączeń kształtowych z więzami w postaci oddziaływań kontaktowych. Na przykładzie przegubu uniwersalnego opisano budowę modelu pary z uwzględnieniem luzów promieniowych i osiowych. Przeprowadzone badania symulacyjne ruchu mechanizmu po wybranej trajektorii i pozycjonowania członu biernego w wybranych miejscach strefy roboczej pokazały, że luzy znacząco wpływają na charakterystykę ruchu mechanizmu, powodując zmiany w pozycjonowaniu i orientacji członu biernego. Jest to szczególne istotne dla mechanizmów translacyjnych, w których utrzymanie stałej orientacji członu biernego ma znaczenie podstawowe. Badania wykazały, że w pobliżu położenia osobliwego wrażliwość mechanizmu na błędy w pozycjonowaniu znacząco wzrasta. Przeprowadzone analizy wykazały, że tego typu układy mają zwiększoną wrażliwość na błędy pozycjonowania wynikające z występowania luzów promieniowych w parach w porównaniu do błędów spowodowanych luzami osiowymi. Występowanie położeń osobliwych w strefie roboczej mechanizmów równoległych jest jedną z wad tych 11

8 MODELOWANIE I BADANIA SYMULACYJNE TRANSLACYJNEGO MECHANIZMU Punkt M 1 M 2 M 3 M 4 Tab. 3. Wyniki obliczeń i symulacji układu dla zadanych położeń platformy M 1, M 2, M 3 i M 4 dla zestawów luzów L1, L2 i L3 Rodzaj luzu dxm[mm] dym[mm] dzm[mm] x [deg] y [deg] z [deg] L1-0,48 0,48-2,1 2,1-0,081 0,081-0,36 0,36-0,08 0,08-0,12 0,12 L2-0,12 0,12-1,1 1,1-0,04 0,04-0,18 0,18-0,03 0,03-0,06 0,06 L3-0,07 0,07-0,15 0,15-0,004 0,004-0,25 0,25-0,016 0,016-0,08 0,08 L1-0,65 1,0-2,0 1,9-1,1 1,05-0,46 0,4-0,2 0,16-0,1 0,12 L2-0,5 0,8-0,18 0,2-0,2 0,25-0,41 0,44-0,17 0,12-0,07 0,08 L3-0,085 0,08-0,2 0,2-0,15 0,14-0,04 0,045-0,019 0,02-0,06 0,06 L1-12,5 6,0-4,3 1,9-5,3 2,8-1,8 0,6-0,25 0,35-1,15 2,7 L2-6,5 5,8-3,0 2,2-4,8 2,6-1,0 0,6-0,2 0,25-1,1 1,5 L3-6,3 8,0-2,3 4,0-3,1 2,2-0,8 0,45-0,1 0,17-0,7 1,3 L1-14,5 14,1-4,3 4,9-28,7 28,7-3,9 0,6-0,5 1,5-7,9 8,0 L2-12,9 12,6-3,9 4,3-22,1 22,1 --3,5 0,9-0,3 1,2 --5,8 5,2 L3-9,4 9,2-2,8 3,0-16,8 16,6-2,1 2,3-0,2 0,7-4,5 4,0 układów, dlatego też analizy określające zachowanie układu z luzami w pobliżu konfiguracji osobliwych nie powinny być pomijane w procesie projektowania. Przeprowadzone badania symulacyjne zachowania mechanizmu z luzami oparte na utworzonych i opisanych modelach par kinematycznych są pomocne w przewidywaniu błędów pozycjonowania w celu określenia dopuszczalnych luzów dla otrzymania określonej dokładności pozycjonowania. Uzyskane wyniki oraz metody modelowania mogą być przydatne w dalszych pracach badawczych nad translacyjnymi mechanizmami równoległymi dla lepszego określenia ich cech użytkowych w celu poszerzenia obszaru zastosowań. Literatura 1. Bałchanowski J.: Topology and analysis of the singularities of a parallel mechanism with three degrees of freedom. Archives of Civil and Mechanical Engineering. 2014, Vol. 14, No 1, p Bałchanowski J.: Selected problems of parallel manipulator computer simulation. In: VIII. International Congress on the Theory of Machines and Mechanisms. University of Liberec 2000, p Bałchanowski J., Gronowicz A.: Topology and geometry of 3 dof parallel manipulators. In: Eighth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms. SYROM 2001, Bukareszt, 2000, Bałchanowski J.: Topologia, geometria i kinematyka wybranych translacyjnych mechanizmów równoległych. PrzeglądMechaniczny 2008, R. 67, nr 10, s Bałchanowski J.: Some aspects of topology and kinematics of a 3DOF translational parallel mechanism. International Journal of Applied Mechanics and Engineering 2014, Vol. 19, No 1, p Chebbi A-H, Affi. Z., Romandhane L.: Prediction of the pose errors produced by joints clearance for 3-UPU parallel robot. Journal of Mechanism and Machine Theory 2009, No. 44, p Chanhee H., Jinwook K., Jongwon K., Park Chongwoo F.: Kinematic sensitivity analysis of the 3-UPU parallel mechanism. Journal of Mechanism and Machine Theory 2002, No. 37, p Haug E.J.: Computer aided kinematics and dynamics of mechanical systems. Boston: Allyn and Bacon, Kosuge K., T. Fukuda, M. Mehregany: Kinematic analysis of precision planar manipulator on silicon. IEEE Transaction on Transducers 1991, No. 91, p Mallik A.K., S.G. Dhande: Analysis and synthesis of mechanical error in path-generating linkages using a stochastic approach. Journal of Mechanism and Machine Theory 1987, No. 22, p Merlet J-P.: Parallel robots. London: Kluwer, Academic Publ., Ting K.L., J. Zhu, D. Watkins: The effect of joints clearance on position and orientation deviation of linkages and manipulators. Journal of Mechanism andmachine Theory 2000, No. 35, p Tsai L. W.: Robot analysis: the mechanics and parallel manipulators. New York: John Wiley & Sons, Inc., Tsai L. W.: Kinematics of a three-dof platform with three extensible limbs. Recent Advances in Robot Kinematics. Kluwer Academic Publishers 1996, p Zhu J., Ting K.: Uncertainty analysis of planar and spatial robot with joint clearances. Journal of Mechanism and Machine Theory 2000, No. 35, p