KINEMATYKA ODWROTNA TRIPODA Z NAPĘDEM MIMOŚRODOWYM

Transkrypt

1 PROBLEMY EKSPLOATACJI 275 Andrzej ZBROWSKI Instytut Technologii Eksploatacji PIB, Radom Krzysztof ZAGROBA Politechnika Warszawska, Warszawa KINEMATYKA ODWROTNA TRIPODA Z NAPĘDEM MIMOŚRODOWYM Słowa kluczowe Precyzyjne mechanizmy pozycjonujące, model kinematyczny, kinematyka równoległa, TriPod. Streszczenie W artykule przedstawiono rozwiązanie zadania kinematyki odwrotnej w manipulatorze typu Triod o strukturze równoległej. Mechanizm posiada zamknięcie siłowe za pomocą sprężyny. Równania kinematyki są nieliniowe ze względu na zastosowanie mimośrodów jako elementów napędowych w aktuatorach. Wprowadzenie Rozpatrywany manipulator TriPod jest precyzyjnym układem trójosiowym o funkcjonalności stolika przesuwno-wychylnego. Efektorem urządzenia jest platforma/blat, dla której określane są trzy współrzędne położenia: kąt obrotu wokół osi X: α, kąt obrotu wokół osi Y: β, wysokość nad położeniem neutralnym: h. Położenie efektora jest sterowane za pomocą trzech mimośrodów rozmieszczonych promieniowo względem pionowej osi symetrii Z (rys. 1). Wzdłuż osi Z znajduje się kończyna bierna o zmiennej długości, połączona z płaszczyzną

2 276 PROBLEMY EKSPLOATACJI efektora z zastosowaniem przegubu kulistego. Nadmiarowy stopnie swobody odebrano za pomocą dodatkowej kończyny biernej umiejscowionej na osi X. D H θ Rys. 1. Geometria układu napędowego efektora w TriPodzie: D promień koła stycznego do osi obrotu mimośrodów, H wysokość położenia osi obrotu mimośrodu, θ kąt pomiędzy płaszczyzną XZ a płaszczyzną mimośrodu, płaszczyzna efektora styczna do mimośrodów Rozwiązanie zadania odwrotnego [1, 2, 3] dla rozpatrywanej struktury manipulatora można zdefiniować jako układ równań ϕ i = F(α, β, h), gdzie ϕ i, dla i = 1, 2, 3 oznacza współrzędne wewnętrzne napędów: 1, 2, 3, dla których spełniony jest warunek styczności mimośrodów do płaszczyzny zadanej. 1. Rozwiązanie zadania W celu rozwiązania zadania odwrotnego równoległej kinematyki [4, 5, 6, 7] manipulatora należy na początku wyznaczyć wersor w 1 prostej przecięcia płaszczyzny zadanej z płaszczyzną symetrii mimośrodu κ. Na płaszczyźnie κ znajduje się okrąg odpowiadający zewnętrznemu konturowi mimośrodu, styczny do powierzchni efektora. Wersor w 1 jest znormalizowanym iloczynem wektorowym wektorów normalnych płaszczyzn oraz κ, czyli odpowiednio n oraz n κ (rys. 2). Zatem: n nκ w1 = (1) n n κ

3 PROBLEMY EKSPLOATACJI 277 gdzie: w 1 wersor kierunkowy prostej przecięcia się płaszczyzn oraz κ; n wektor normalny do płaszczyzny zadanej; n κ wektor normalny do płaszczyzny krzywki n κ P 0 w 1 κ n n,κ 7 5 Rys. 2. Wektory i płaszczyzny zadania odwrotnego: 1 płaszczyzna zadana ; 2 płaszczyzna krzywki κ; 3 wektor n κ normalny do płaszczyzny krzywki; 4 wektor n normalny do płaszczyzny zadanej, 5 wekto n,κ : rzut wektora n na płaszczyznę krzywki; 6 punkt P 0 ; 7 wektor w 1 krawędzi przecięcia płaszczyzny zadanej z płaszczyzną krzywki Znormalizowany rzut wektora n na płaszczyznę κ, czyli wektor określa równanie: n,κ = n n ( n o nκ ) nκ ( n o nκ ) nκ ' n κ (2) oraz współrzędne dowolnego punktu P 0 leżącego na prostej przecięcia płaszczyzn i κ.

4 278 PROBLEMY EKSPLOATACJI W celu uproszczenia obliczeń punkt ten znajduje się na osi Z, dzięki czemu jest on wspólny dla płaszczyzn symetrii wszystkich mimośrodów oraz płaszczyzny zadanej. Z warunków geometrycznych wynika, że wektor n κ, jest prosto- ' padły do w 1. ' Znając wektor znormalizowany n κ 1 wyznaczono współrzędne punktu P 1 leżącego w płaszczyźnie krzywki odległego o R od prostej utworzonej z przecięcia płaszczyzn i κ 1 (rys. 3). κ P 1 P O 1 2 l 1 R Rys. 3. Wyznaczanie środka mimośrodu stycznego do płaszczyzny zadanej: 1 prosta l 1 ; 2 punkt P 2 (punkt przebicia płaszczyzny mimośrodu i przez oś obrotu mimośrodu); 3 środek mimośrodu; 4 okrąg O 1 (tor środka mimośrodu); 5 punkt P 1 Współrzędne P 1 wynikają ze wzoru: gdzie: R r P1 r P0 r P1 r P + n,κ R (3) = 0 promień mimośrodu, wektor wodzący punktu P 1 (czyli wektor o początku w środku układu współrzędnych i końcu w punkcie P 1 ), wektor wodzący punktu P 0 (czyli wektor o początku w środku układu współrzędnych i końcu w punkcie P 0).

5 PROBLEMY EKSPLOATACJI 279 Prosta l 1 wykreślona z punktu P 1 o kierunku wzdłuż wersora w 1, określa położenie środka mimośrodu R stycznego do płaszczyzny i leżącego w płaszczyźnie κ. Zatem równanie prostej l 1 ma postać: x = xp + x 1 w l1 : y = yp + y 1 z = zp + z 1 w 1 w1 1 t t t, t R gdzie: x, y, z współrzędne dowolnego punktu leżącego na prostej l 1, x P1, y P1, z P1 współrzędne punktu P 1 wg równania 3, x w1, y w1, z w1 współrzędne wersora w 1, wg równania 1, t parametr. (4) Z konstrukcji mechanizmu wynika, że środek mimośrodu przemieszcza się po okręgu O 1 leżącym w płaszczyźnie κ. Punkt P 2 będący środkiem okręgu O 1 leży na osi obrotu mimośrodu. Promień okręgu O 1 jest równy wartości mimośrodu e. Zamiast okręgu O 1, można rozpatrywać sferę S 1 o tych samych parametrach. Założenie to jest poprawne, ponieważ prosta l 1 z definicji (warunki konstrukcyjne) leży na płaszczyźnie κ. Wobec tego równanie sfery ma postać: gdzie: ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) S : e (5) 1 P 2 P2 P = 2 x, y, z współrzędne dowolnego punktu leżącego na powierzchni sfery, x P2, y P2, z P2 współrzędne punktu P 2, określonego jako punkt przebicia płaszczyzny krzywki przez oś krzywki, e mimośród krzywki. Połączenie równania (4) i (5) tworzy układ równań, którego rozwiązaniami są punkty przecięcia prostej l 1 ze sferą S 1, a w konsekwencji także okręgiem O 1. Są to współrzędne środka mimośrodu (wg równania 5) oraz stycznej do okręgu, po którym przemieszcza się środek mimośrodu (wg równania 4). Ponieważ jedno z równań tego układu jest drugiego stopnia, zatem układ może: a) nie posiadać rozwiązań, b) mieć jedno rozwiązanie: punkt B 1, c) mieć dwa rozwiązania: punkty B 1 i B 2.

6 280 PROBLEMY EKSPLOATACJI W pierwszym przypadku płaszczyzna zadana leży poza przestrzenią roboczą manipulatora. W pozostałych przypadkach można wyznaczyć rozwiązanie zadania odwrotnego (rys. 4). B 1 B 2 B 1 Rys. 4. Rozwiązania kinemetyki odwrotnej: a) istnieją dwa rozwiązania B 1 i B 2 ; b) istnieje tylko jedno rozwiązanie B 1 W tym celu należy wystawić wektor w 2 z punktu P 2 do punktu B 1 lub B 2 (rys. 5). Kąt ϕ 1 zawarty pomiędzy wektorem w 2 a ujemną półosią Z stanowi rozwiązanie zadania odwrotnego dla mimośrodu. ϕ 1 Kierunek ujemnej półosi Z w 2 B 2 Rys. 5. Rozwiązanie zadania odwrotnego w postaci kąta ϕ 1 Wybór pomiędzy punktem B 1 a B 2 dokonywany jest na podstawie analizy bieżącej pozycji, przy warunku, że droga, jaką pokonać musi krzywka, jest jak najkrótsza. W tym celu wyznaczany jest kąt ϕ 1 dla punktu B 1 i ϕ 1 dla punktu B 2. Opracowano algorytm realizujący to zadanie (rys. 6). Postępując analogicznie dla pozostałych mimośrodów uzyskiwane jest rozwiązanie zadania odwrotnego dla całego manipulatora.

7 PROBLEMY EKSPLOATACJI 281 Start Wyznacz kąty ϕ 1 oraz ϕ 1 Oblicz różnice: ϕ =ϕ 0-ϕ 1 ; ϕ =ϕ 0-ϕ 1 Nie Czy ϕ < ϕ Tak Rozwiązaniem jest kąt ϕ Rozwiązaniem jest kąt ϕ Koniec Rys. 6. Algorytm postępowania przy wyborze rozwiązania zadania odwrotnego: ϕ 1 rozwiązanie dla punktu B 1 ; ϕ 1 rozwiązanie dla punktu B 2 ; ϕ 0 bieżące położenie mimośrodu Podsumowanie Rozwiązanie odwrotne posiada ograniczenie. Płaszczyzny mimośrodów muszą przecinać się wzdłuż osi OZ. Założenie to wynika z wyboru punktu P 0 i podyktowane jest prostotą algorytmu. Jest ono dopuszczalne ze względu na konstrukcję manipulatora, która zakłada taką konfigurację mimośrodów. Przedstawiony model kinematyki odwrotnej został zaimplementowany w sterowaniu precyzyjnym manipulatorem TriPod. Zastosowany model w zadaniu odwrotnym kinematyki umożliwia sterowanie manipulatorem poprzez określenie płaszczyzny zadanej we współrzędnych absolutnych lub przyrostowo względem określonej współrzędnej Praca naukowa finansowana ze środków Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego, wykonana w ramach realizacji Programu Wieloletniego pn. Doskonalenie systemów innowacyjności w produkcji i eksploatacji w latach

8 282 PROBLEMY EKSPLOATACJI Bibliografia 1. Khail W., Dombre E.: Modeling, Identification & Control of Robots. Kogan Page Science Morecki A.: Podstawy Robotyki. Teoria i elementy Manipulatorów i robotów. WNT, Warszawa Honczarenko J. i inni: Roboty przemysłowe. Budowa i zastosowanie. WNT. Warszawa Steward D.: A platform with six degrees of freedom. Proc. Institution of Mechanical Engineers, 180/1965, s Oczoś K., Weiss E.: Kinematyki równoległe w budowie obrabiarek, robotów i manipulatorów. Cześć I. Mechanik 5 6/2002, s Oczoś K., Weiss E.: Kinematyki równoległe w budowie obrabiarek, robotów i manipulatorów. Cześć II. Mechanik 7/2002, s Iżykowski S. i inni: Zastosowanie układów kinematycznych o strukturach równoległych w budowie maszyn wytwórczych. IV Konf. Naukowa: Komputerowe Wspomaganie Prac Inżynierskich. Polanica Sandler B.: Robotics. Design the Mechanism for Automated machinery. Academic Press. San Diego Olędzki A.: Mechanizmy krzywkowe. WNT, Warszawa 1968, s Pawłowski J.: Podstawy konstrukcji przyrządów precyzyjnych. Elementy teorii mechanizmów. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1986, s , , Recenzent: Mariusz GIERGIEL The inverse kinematic of a tripod with cam movement actuators Key words Precision positioning mechanism, kinematic model, parallel kinematics, tripod. Summary The analysis of an inverse kinematic model of the tripod manipulator with parallel architecture was presented in the article. The mechanism is locked by a spring. Kinematics equations are non-linear because of the cam actuators. The presented model was used in the control of precision manipulator TriPod.