Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Łańcuchy kinematyczne

Transkrypt

1 Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Łańcuchy kinematyczne Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 31

2 Łańcuchy kinematyczne Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem 2 / 31

3 Kinematyka 3 / 31

4 Kinematyka Kinematyka Ruch jednego obiektu względem drugiego, hierarchia ruchu układ planetarny, manipulatory, postacie ludzkie Kinematyka: prosta odwrotna 4 / 31

5 Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury 5 / 31

6 Modelowanie hierarchiczne Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury Wieloczłonowe łańcuchy człony połaczone końcami efektory końcowe postać artykulowana, artykulacja Robotyka 6 / 31

7 Pary kinematyczne o jednym stopniu swobody Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury przegub para przesuwana 7 / 31

8 Pary kinematyczne o dwóch stopniach swobody Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury Sprowadza się do par o jednym stopniu swobody Ball-and-socket joint Planar joint T 2 θ 3 θ 1 T 1 θ 2 zero-length linkage 8 / 31

9 Struktury danych Drzewo Modelowanie hierarchiczne root root node root arc Pary kinematyczne Struktury Articulated figure link Abstract hierarchical representation joint Tree structure 9 / 31

10 Krawędź i wierzszchołek Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury Dwa przekształcenia przekształcenie do położenia zerowego względem elementu rodzicielskiego przekształcenia artykulacji względem położenia zerowego Node i contains a transformation to be applied to object data to position it so its point of rotation is at the origin (optional) object data Arc i Node i Arc i contains constant transformation of Link i to its neutral position relative to Link i 1 variable transformation responsible for articulating Link i 10 / 31

11 Przykład Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury Trzy człony T 0 Original definition of root object (Link 0) Root object (Link 0) transformed (translated and scaled) by T 0 to some known location in global space T 1 Original definition of Link 1 Link 1 transformed by T 1 to its position relative to untransformed Link 0 T 1.1 Original definition of Link 1.1 Link 1.1 transformed by T 1.1 to its position relative to untransformed Link 1 11 / 31

12 Przekształcenia członów Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury V 0 =T 0V 0 V 1 =T 0T 1 V 1 V 1.1 =T 0T 1 T 1.1 V 1.1 T 0 (global position and orientation) data for Link 0 (the root) T 1 (transformation of Link 1 relative to Link 0) data for Link 1 T 1.1 (transformation of Link 1.1 relative to Link 1) data for Link / 31

13 Hierarchia obrotów Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury V 0 =T 0V 0 V 1 =T 0T 1 R 1 (θ 1 )V 1 V 1.1 =T 0T 1 R 1 (θ 1 )T 1.1 R 1.1 (θ 1.1 )V 1.1 Link 1.1 Link 1 θ 1.1 θ 1 T 0 13 / 31

14 Druga kończyna Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury Link 1 Link 1.1 θ 1.1 θ 1 θ 2 θ 2.1 T 0 14 / 31

15 Drzewo Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury R 2 (θ 2 ) T 0 data for Link 0 (the root) T 2 T 1 R 1 (θ 1 ) data for Link 2 data for Link 1 T 2.1 R 2.1 (θ 2.1 ) T 1.1 R 1.1 (θ 1.1 ) data for Link 2.1 data for Link / 31

16 Modelowanie hierarchiczne Pary kinematyczne Struktury Od korzenia do efektorów Wykorzystanie stosu Animacji poprzez działania na parametrach przekształceń par kinematycznych (katach obrotów) 16 / 31

17 Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne 17 / 31

18 Kinematyka odwrotna Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne Łańcuch przesztywniony Łańcuch niedosztywniony Przestrzeń osiagalna Metoda analityczna Metoda iteracyjna 18 / 31

19 Prosty przykład Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne L1 θ 1 L2 θ 2 L1 L2 L1 L1 + L2 L2 19 / 31

20 Rozwiazanie analityczne Analitycznie L1 180 θ 2 L2 (X, Y ) Jakobian Rozwiazanie numeryczne θ 1 θt X 2 + Y 2 Y (0, 0) X Dwa rozwiazania 20 / 31

21 Jakobian y=f(x), gdzie y R m,x R n Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne J= y x = y 1 y 1 x 1 y 2 y 2 x 1 x 2... x y m y m x 1 x 2... y 1 x n y 2 x n y m x n 21 / 31

22 Prędkość katowa i liniowa Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne W łańcuchu kinematycznym za zmienne wybiera się parametry par kinematycznych Za funkcję współrzędne efektora Ẏ=J(θ) θ Poszukiwane jest rozwiazanie przybliżone ω i ω i Z i (E J i ) J i Z i E Z i Z i E J i J i E 22 / 31

23 Prosty przykład Trzy płaskie przeguby G Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne L1 P1 θ 2 L3 E (0, 0) θ 1 L2 P2 θ 3 23 / 31

24 Prędkości G Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne L1 P1 θ 2 L3 E (0, 0) θ 1 L2 P2 θ 3 V=C E V=J Θ 24 / 31

25 Obracanie Jakobianu Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne V=J Θ Θ=J 1 V Nie zawsze możliwe G L1 P1 θ 2 L3 E (0, 0) θ 1 L2 P2 θ 3 25 / 31

26 Pseudoodwrotność Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne J =J T (JJ T ) 1 Θ=J V Macierz wierszowo regularna 26 / 31

27 Regularyzacja Θ=J T (JJ T +λ 2 I) 1 V Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne 27 / 31

28 Zwiększanie stopnia kontroli Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne Θ Θ+(J J I)z z parametr sterujacy z i =α i (θ i θ ci ) 2 α i parametr sztywności przegubu 0,1, 0,5, 0,1 oraz 0,1, 0,1, 0,5 28 / 31

29 Przesuwanie punktu docelowego Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne 29 / 31

30 UżycieJ T Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne Θ=αJ T V α parametr sterujacy 30 / 31

31 Cykliczne modyfikowanie współrzędnych Kolejno przetworzane przeguby Analitycznie Jakobian Rozwiazanie numeryczne 31 / 31