NOWE METODY SYNTEZY STRUKTURALNEJ ŁAŃCUCHÓW KINEMATYCZNYCH O ZEROWEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 8, s , Gliwice 2009 NOWE METODY SYNTEZY STRUKTURALNEJ ŁAŃCUCHÓW KINEMATYCZNYCH O ZEROWEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY KRYSTYNA ROMANIAK Wydział Architektury, Politechnika Krakowska kroman@usk.pk.edu.pl Streszczenie. Celem opracowania jest przedstawienie metod syntezy strukturalnej łańcuchów kinematycznych o zerowej liczbie stopni swobody. Dla płaskich łańcuchów kinematycznych sformułowano dwie metody oznaczone przez M1 i M2. Podstawą zastosowania tych metod są najprostsze zespoły kinematyczne klas III, IV i wyższych. Dokonano syntezy: zespołów kinematycznych poszczególnych klas, łańcuchów kinematycznych złożonych z zespołów kinematycznych, zespołów kinematycznych wielokonturowych. Łańcuchy kinematyczne wszystkich grup utworzono na bazie zespołów kinematycznych klasy II, przy użyciu metody M1. Wykorzystując przestrzenne łańcuchy kinematyczne o zerowej liczbie stopni swobody dokonano syntezy manipulatorów równoległych. 1. WSTĘP W procesie twórczego projektowania mechanizmów struktura jest pierwszą i jedną z ważniejszych kwestii. Badania strukturalne prowadzone są zarówno dla już istniejących mechanizmów (analiza strukturalna), jak również dla nowo projektowanych (synteza strukturalna). Wynikiem przeprowadzenia syntezy strukturalnej jest pewien zbiór łańcuchów kinematycznych [6], który w dalszej kolejności musi być przebadany pod kątem izomorficzności, w celu wyeliminowania dublujących się struktur [2, 7]. Kolejny etap badań łańcuchów kinematycznych prowadzi do odrzucenia tych, które w swojej budowie zawierają podłańcuchy sztywne lub przesztywnione []. Większość prac podejmujących temat struktury poświęcona jest badaniom płaskich łańcuchów kinematycznych. Dokonuje się tu syntezy nowych, coraz bardziej złożonych strukturalnie układów []. Nieco inaczej sprawa przedstawia się w przypadku przestrzennych łańcuchów kinematycznych, gdzie badania czysto strukturalne rzadziej są prowadzone. Praca poświęcona jest metodyce tworzenia zespołów kinematycznych zarówno płaskich jak i przestrzennych. Przedstawiono dwie nowe, uniwersalne metody, przy których użyciu można tworzyć zespoły kinematyczne wszystkich grup. Dla mechanizmów przestrzennych sformułowano nową metodę ich tworzenia, oznaczoną przez M, którą wykorzystano do syntezy manipulatorów równoległych.

2 18 K. ROMANIAK 2. SYNTEZA PŁASKICH ŁAŃCUCHÓW KINEMATYCZNYCH Rozważane w pracy zespoły kinematyczne (określane również grupami lub grupami Assura) oraz łańcuchy kinematyczne złożone z zespołów kinematycznych stanowią cześć bierną mechanizmów, a ich liczba stopni swobody wynosi zero. Wykorzystywany jest tu podział mechanizmów oraz zespołów kinematycznych na grupy (rodziny), w zależności od liczby dodatkowych parametrów więzów kinematycznych 1 H W nałożonych na wszystkie ruchome ogniwa mechanizmu. Wiąże się to z następującym wzorem strukturalnym: W i ( H ) n ( i H ) pi ' = W r = i= H (1) gdzie: H w liczba dodatkowych parametrów więzów kinematycznych, n r liczba ogniw ruchomych, p i liczba par kinematycznych i tej klasy, gdzie i = 1, 2,,,. Równania strukturalne dla mechanizmów poszczególnych grup przyjmują postać: - dla grupy zerowej, przy założeniu H W = 0: W = 6n r p p p 2p 2 p 1, (2) - dla grupy pierwszej, przy założeniu H W = 1: W = n r p p 2p p 2, () - dla grupy drugiej, przy założeniu H W = 2: W = n r p 2p p, () - dla grupy trzeciej, przy założeniu H W = : W = n r 2p p, () - dla grupy czwartej, przy założeniu H W = : W = 2n r p. (6) W pierwszej kolejności przeprowadzono syntezę płaskich łańcuchów kinematycznych, spełniających wzór strukturalny (). Przyjęta w pracy nomenklatura (podział na grupy, zespoły kinematyczne, klasy, szeregi) zgodna jest z opracowaniami [, ]. Sformułowano dwie metody (M1 i M2), które posłużyły do budowy zespołów kinematycznych poszczególnych klas, łańcuchów kinematycznych złożonych z zespołów kinematycznych oraz zespołów kinematycznych wielokonturowych. M1. Zamień ogniwo k-łączne na k+1-łączne i połącz go z łańcuchem kinematycznym poprzez parę kinematyczną zewnętrzną. M2. Zamień ogniwo k-łączne na k+1-łączne, dodaj dwa ogniwa dwułączne oraz trzy pary kinematyczne o klasie zależnej od grupy tworzonego zespołu kinematycznego. Syntezę zespołów kinematycznych przeprowadzono, wykorzystując najprostsze zespoły poszczególnych klas (zgodnie z klasyfikacją Assura-Artobolewskiego), zaczynając od klasy III (tab.1) []. Tabela 1. Najprostsze zespoły kinematyczne klasy III, IV, V, VI Lp. 1 2 Klasa III IV V VI Szereg 2 W W Zespół kinematyczny 1 W opracowaniach [1,, ] parametry te nazwano parametrami więzi kinematycznej.

3 NOWE METODY SYNTEZY STRUKTURALNEJ ŁAŃCUCHÓW KINEMATYCZNYCH Zespół kinematyczny klasy III szeregu (ta bl.1, poz.1) jest podstawą budowy kolejnych zespołów kinematycznego klasy III szeregów wyższych (rys.1). Przykładowo, używając metody M2, zamieniono ogniwo dwułączne na trójłączne oraz dodano dwa ogniwa dwułączne i 6 (rys.1a). Każdorazowe zastosowanie metody M2 zwiększa liczbę ogniw o dwa oraz szereg zespołu kinematycznego o jeden. a) b) c) Rys.1 Zespoły kinematyczne klasy III szeregu (a), szeregu (b), szeregu 6 (c) W analogiczny sposób dokonano syntezy zespołów kinematycznych wyższych klas. Używając metody M2 z zespołu kinematycznego klasy IV szeregu 2 (tabl.1, poz.2), poprzez zamianę ogniwa dwułącznego 2 na trójłączne i dodanie ogniw i 6 otrzymano zespół kinematyczny klasy IV szeregu (rys.2a), podobnie zamieniając ogniwo trójłączne 1 na czterołączne i dodając dwa ogniwa dwułuczne, uzyskano zespół kinematyczny klasy IV szeregu (rys.2b). Kolejne użycie tej samej metody w stosunku do zespołu kinematycznego z rys. 2b, polegające na zamianie ogniwa czterołącznego 1 na pięciołączne i dodaniu ogniw 7, 8 prowadzi do łańcucha kinematycznego złożonego z dwóch zespołów kinematycznych klasy III (rys.2c). Użycie metody M2 nie gwarantuje więc zachowania tej samej klasy zespołu kinematycznego i może prowadzić do łańcuchów kinematycznych złożonych z zespołów kinematycznych innych klas. a) b) c) Rys.2. Synteza: zespołów kinematycznych klasy IV szeregu (a, b) oraz łańcucha kinematycznego złożonego z dwóch zespołów kinematycznych klasy III szeregu (c) na bazie zespołu kinematycznego klasy IV szeregu 2 (tab.1, poz.2) Na rys. przedstawiono łańcuchy kinematyczne złożone z dwóch zespołów kinematycznych: klasy III szeregu i klasy IV szeregu. Nie można ich uzyskać, stosując metodę M2. W tym przypadku użyto metody M1. Synteza łańcucha kinematycznego na rys.a polegała na zamianie ogniwa dwułącznego na trójłączne w zespole kinematycznym klasy III i połączeniu z zespołem kinematycznym klasy IV poprzez parę kinematyczną zewnętrzną

4 186 K. ROMANIAK ogniwa. W kolejnym przykładzie (rys.b) zamieniono ogniwo trójłączne na czterołuczne, w trzecim (rys.c) ogniwo dwułączne wewnętrzne na trójłączne. Przedstawione przykłady ilustrują fakt, iż zamieniane ogniwo może być dowolnej łączności, zarówno zewnętrzne jak i wewnętrzne. a) b) c) Rys.. Łańcuchy kinematyczne złożone z dwóch zespołów kinematycznych: klasy III szeregu i klasy IV szeregu Metoda M1 wykorzystywana jest nie tylko do syntezy łańcuchów kinematycznych złożonych z zespołów kinematycznych, ale również do syntezy zespołów kinematycznych i zespołów wielokonturowych. Przykładowo, z zespołu kinematycznego klasy III szeregu (rys.a) uzyskano zespół kinematyczny klasy IV szeregu (rys.b) oraz dwukonturowy zespół kinematyczny klasy IV szeregu. Zespół kinematyczny klasy IV otrzymano poprzez zamianę ogniwa trójłącznego 6 na czterołączne i połączenie go z ogniwem dwułącznym poprzez parę kinematyczna zewnętrzną. Ponownie zamieniając ogniwo 6 z czterołącznego na pięciołączne i łącząc go z ogniwem, uzyskano zespół kinematyczny dwukonturowy. a) b) c) Rys.. Zespoły kinematyczne: klasy IV szeregu (b), dwukonturowy klasy IV szeregu (c) powstałe na bazie zespołu kinematycznego klasy III szeregu (a)

5 NOWE METODY SYNTEZY STRUKTURALNEJ ŁAŃCUCHÓW KINEMATYCZNYCH W wyniku zastosowania metod M1 i M2 uzyskuje się pewne zbiory łańcuchów kinematycznych, które nie są zbiorami rozłącznymi, nie są również zbiorami identycznymi. Ilustrują to przykłady na rysunkach od 1 do. Zespół kinematyczny klasy III szeregu (rys.1a) można uzyskać jedynie przy użyciu metody M2, podobnie jak zespół kinematyczny klasy IV szeregu (rys.2b). Syntezę łańcuchów kinematycznych przedstawionych na rys. można przeprowadzić wyłącznie przy użyciu metody M1. Łańcuch kinematyczny z rys.2c oraz zespół kinematyczny z rys.b można otrzymać, stosując zarówno metodę M1 jak i M2. Łańcuch kinematyczny na rys.2c uzyskuje się łącząc dwa zespoły kinematyczne klasy III (metoda M1) poprzez zamianę ogniwa trójłącznego 1 na czterołączne a następnie na pięciołączne i każdorazowe połączenie z ogniwami dwułącznymi, najpierw 2, a następnie. Zespół kinematyczny na rys.b można utworzyć z zespołu kinematycznego klasy IV szeregu (rys.2a), używając metody M2, zamieniając jednego z ogniw trójłącznych na czterołączne i dodając dwa ogniwa dwułączne. Dla zespołów kinematycznych wielokonturowych określono sposób sprawdzania, czy zawierają one łańcuchy sztywne i przesztywnione. W tym celu z badanego zespołu kinematycznego wyróżniono tzw. zredukowany łańcuch kinematyczny powstały z danego zespołu poprzez odrzucenie ogniw dwułącznych zewnętrznych i par kinematycznych zewnętrznych. Dla zredukowanego łańcucha kinematycznego wyznaczono następnie liczbę stopni swobody W zr. Zredukowany łańcuch kinematyczny jest: - przesztywniony, jeżeli W zr przyjmuje wartość mniejszą od zera; - sztywny, gdy W zr jest równa zero. Na rys. przedstawiono przykład trzech dwukonturowych zespołów kinematycznych klasy IV (rys.a, b, c), dla których wyznaczono zredukowany łańcuch kinematyczny (rys.c) (taki sam dla trzech zespołów kinematycznych). Ponieważ W zr = 0, więc rozważane dwukonturowe zespoły kinematyczne zawierają podłańcuchy sztywne. a) b) c) d) Rys.. Zredukowany łańcuch kinematyczny (d) wyznaczony dla dwukonturowych zespołów kinematycznych klasy IV szeregu (a, c) oraz szeregu 2 (b);

6 188 K. ROMANIAK 2. SYNTEZA ŁAŃCUCHÓW KINEMATYCZNYCH WSZYSTKICH GRUP Metody M1, M2 syntezy łańcuchów kinematycznych uogólniono na wszystkie grupy. Metoda M2 zmienia swoje brzmienie, w zależności od rozważanej grupy. M2. Zamień ogniwo k-łączne na k+1-łączne, dodaj dwa ogniwa dwułączne oraz trzy pary kinematyczne których klasa zależna jest od grupy tworzonego zespołu kinematycznego. Dla łańcuchów kinematycznych grupy zerowej są to następujące pary kinematyczne: wszystkie klasy czwartej (P ) lub po jednej klasy trzeciej (P ), czwartej (P ), piątej (P ) lub dwie klasy piątej (P ) i jedna klasy drugiej (P 2 ). n Tabela 2. Zespoły kinematyczne klasy II grup: 0, I, II, III, IV, V Grupa 0 I II III IV Podstawą tworzenia zespołów kinematycznych poszczególnych grup są zespoły kinematyczne klasy II. Dlatego w pierwszej kolejności wyodrębniono zespoły kinematyczne tej

7 NOWE METODY SYNTEZY STRUKTURALNEJ ŁAŃCUCHÓW KINEMATYCZNYCH klasy przynależne do kolejnych grup (tabela 2). Uporządkowano je ze względu na liczbę ogniw n. Analizując przedstawioną tabelę, można zauważyć pewną prawidłowość: po wyznaczeniu wszystkich zespołów kinematycznych klasy II grupy zerowej można utworzyć zespoły kinematyczne kolejnych grup, zwiększając o jeden klasę jednej pary kinematycznej. Jeżeli w jednoogniwowym zespole kinematycznym klasy II, grupy 0, występują pary kinematyczne P i P 2 to w grupie I występują pary kinematyczne P i P lub P i P 2, w grupie II będą to pary kinematyczne P i P lub P i P, w grupie III pary kinematyczne P, P, a w grupie IV: P, P. Analogiczna zależność występuje dla łańcuchów kinematycznych zbudowanych z dowolnej liczby ogniw i w dalszej części pracy będzie podstawą syntezy łańcuchów kinematycznych poszczególnych grup, wychodząc od łańcuchów kinematycznych grupy zerowej. Wykorzystując metody M1 i M2, dokonano syntezy łańcuchów kinematycznych grupy 0. Przykładowo, z dwóch jednoogniwowych zespołów kinematycznych klasy II, poprzez zamianę ogniwa dwułącznego w jednym z zespołów kinematycznych na trójłączne i połączenie z drugim zespołem kinematycznym poprzez parę kinematyczną otrzymano łańcuch kinematyczny dwuogniwowy. W łańcuchu tym liczba ogniw trójłącznych n =1 i liczba ogniw dwułącznych n 2 =1. Ponieważ pary kinematyczne mogą przyjmować różne wartości, zastosowano zapis strukturalny ujmujący zróżnicowanie klas par kinematycznych. W schemacie strukturalnym nie umieszczono klas poszczególnych par kinematycznych, które w postaci etykiet podano osobno (rys.6). Etykieta 11 oznacza, że w przedstawionym łańcuchu kinematycznym mogą występować pary kinematyczne P, P, P 1, P 1. Poszczególne etykiety są wynikiem połączenia etykiet łańcuchów kinematycznych wyjściowych Rys.6. Schemat strukturalny dwuogniwowego łańcucha kinematycznego grupy 0 (n =1, n 2 =1) z przypisanymi klasami par kinematycznych W tabeli zamieszczono przykłady łańcuchów kinematycznych poszczególnych grup, uporządkowanych ze względu na liczbę tworzących je ogniw od jednoogniwowych do trójogniwowych. Syntezy łańcuchów kinematycznych grupy zerowej dokonano, stosując metody M1 i M2, a pozostałych grup - wykorzystując następującą zależność: Jeżeli łańcuch kinematyczny grupy zerowej złożony jest z n ogniw i p par kinematycznych, to etykiety w kolejnych grupach uzyskuje się zwiększając o jeden klasę p n par kinematycznych, przy przejściu do kolejnej grupy. Przykładowo, dla dwuogniwowego łańcucha kinematycznego (tab., poz.) wyznaczono na bazie etykiet w grupie 0, zbiory etykiet w grupach następnych, zwiększając o jeden klasę dwóch par kinematycznych (p n = 2), przy przejściu z grupy do grupy. Stąd ze zbioru etykiet w grupie zerowej {11, 21, 1, 22, 2, } otrzymano trójelementowy zbiór w grupie pierwszej {22, 2, }, z niego trójelementowy zbiór w grupie drugiej {,, }, następnie jednoelementowy zbiór w grupie trzeciej {} i jednoelementowy w grupie czwartej {}.

8 190 K. ROMANIAK lp. n p Schemat Tabela Łańcuchy kinematyczne grup: 0, I, II, III, IV, V Grupa 0 I II III IV SYNTEZA MECHANIZMÓW PLATFORMOWYCH Łańcuchy kinematyczne o zerowej liczbie stopni swobody wykorzystano do syntezy mechanizmów platformowych, czyli mechanizmów, w których ogniwo bierne (platforma, efektor) połączone jest z podstawą poprzez łańcuchy kinematyczne (gałęzie, kończyny). Rozpatrywane przykłady ograniczono do przypadków przestrzennych, a więc przynależnych do grup 0, I, II, oraz takich, dla których liczba stopni ruchliwości jest równa liczbie gałęzi. Kolejne ograniczenia strukturalne prezentowanych mechanizmów platformowych są następujące: platformy tworzą ogniwa: trójłączne, czterołączne, pięciołączne, gałęzie zbudowane są z pojedynczych ogniw dwułącznych, pary kinematyczne są klas P, P, P.

9 NOWE METODY SYNTEZY STRUKTURALNEJ ŁAŃCUCHÓW KINEMATYCZNYCH Z trójogniwowego łańcucha kinematycznego (tab., poz.1), używając metody M1, otrzymano kolejne łańcuchy kinematyczne o zerowej liczbie stopni swobody (tab., poz.2, ). Metoda M1 posłużyła również do połączenia łańcuchów kinematycznych z tab.2 poz. 1 i. Otrzymano czteroogniwowy łańcuch kinematyczny (tab., poz.), który wykorzystano do syntezy kolejnych łańcuchów kinematycznych (tab., poz., 6). Manipulatory równoległe o liczbie stopni ruchliwości W równej l otrzymano, wykorzystując następującą metodę: M. Połącz łańcuch kinematyczny o zerowej liczbie stopni swobody z jednym ogniwem (podstawą) poprzez pary kinematyczne zewnętrzne i zmniejsz o jeden klasę l par kinematycznych. Syntezę mechanizmów przestrzennych można również przeprowadzić poprzez połączenie łańcucha kinematycznego o zerowej liczbie stopni swobody z podstawą i ogniwami napędzającymi. Jednak używając tej metody, nie można otrzymać wszystkich mechanizmów przestrzennych, w tym np. manipulatorów równoległych. W tabeli przedstawiono w kolejnych wierszach łańcuchy kinematyczne o zerowej liczbie stopni swobody wraz z utworzonymi z nich manipulatorami równoległymi. Ostatnia kolumna w tabeli zawiera informację o liczbie stopni ruchliwości, która decyduje o liczbie par kinematycznych, których klasę, zgodnie z metodą M, należy zmniejszyć o jeden, przy tworzeniu etykiet manipulatorów. Przykładowo, dla wyznaczenia zbioru etykiet dla manipulatora równoległego w grupie zerowej (tab., poz.1), należy zgodnie z W = 2 zmniejszyć o jeden klasę dwóch par kinematycznych w każdej etykiecie trójogniwowego łańcucha kinematycznego o zerowej liczbie stopni swobody. Stąd ze zbioru etykiet {, } otrzymano zbiór jednoelementowy {}. Pozycje 1, 2, w tabeli to przykłady manipulatorów równoległych z jedną parą kinematyczną przy podstawie.. UWAGI KOŃCOWE W przedstawionej pracy zamierzony cel został osiągnięty. Podano bowiem metody syntezy łańcuchów kinematycznych o zerowej liczbie stopni swobody, zarówno płaskich jak i przestrzennych. Dla wielokonturowych płaskich łańcuchów kinematycznych przedstawiono sposób określania, czy zawierają one podłańcuchy sztywne i przesztywnione. Przeprowadzono syntezę przestrzennych manipulatorów równoległych. Zilustrowane badania rodzą liczne pytania dotyczące łańcuchów kinematycznych przestrzennych. Zebrane w tabeli przykłady uwidaczniają zależności między łańcuchami kinematycznymi poszczególnych grup. Stąd rodzą się pytania: 1/ czy klasyfikację łańcuchów kinematycznych która jest bardzo precyzyjnie określona dla łańcuchów płaskich można przenieść na łańcuchy przestrzenne, 2/ czy badania dotyczące izomorficzności oraz wyznaczania podłańcuchów sztywnych i przesztywnionych można przenieść z łańcuchów kinematycznych płaskich na przestrzenne. Odpowiedzi na te pytania możliwe będą po przeprowadzeniu dalszych badań.

10 192 K. ROMANIAK lp. Tabela. Łańcuchy kinematyczne o zerowej liczbie stopni swobody wraz z utworzonymi z nich przy użyciu metody M manipulatorami równoległymi. Łańcuch kinematyczny o zerowej liczbie Manipulator równoległy stopni swobody Schemat Etykiety Schemat Etykiety W strukturalny Gr. 0 Gr.I Gr.II strukturalny Gr. 0 Gr.I Gr.II LITERATURA 1. Artobolewskij I.I.: Tieoria miechanizmow i maszin. Moskwa-Leningrad Ding H., Huang Z., Mu.D.: Computer-aided structure decomposition theory of kinematic chains and its applications. Mechanism and Machine Theory 2008,.. Ding H., Hang Z.: Isomorphism identification of graphs: Especially for the graphs of kinematic chains. Mechanism and Machine Theory 2009,.

11 NOWE METODY SYNTEZY STRUKTURALNEJ ŁAŃCUCHÓW KINEMATYCZNYCH Listwan A., Romaniak K.: Podstawy struktury mechanizmów. Kraków: Wyd. Pol. Krak., Młynarski T., Listwan A., Pazderski E.: Teoria maszyn i mechanizmów. Kraków : Wyd. Pol. Krak Romaniak K.: New methods of the Assur groups structural synthesis. Mechanics and Mechanical Engineering 2008, Vol.12, No Wang Y. X., Yan H.S.: Computerized rules-based regeneration method for conceptual design of mechanisms. Mechanism and Machine Theory 2002, 7 (9).. NEW METHODS STRUCTURAL SYNTHESIS OF THE 0-DOF KINEMATIC CHAINS Summary. This work is concern the methods of structural synthesis of the 0-DOF kinematic chains. For planar 0-DOF kinematic chains were formulated two method, sign M1, M2. The base of this synthesis was the simple Assur groups class III, IV and higher. By using the M1 and M2 method were taken: Assur groups, kinematic chains composed of Assur groups, multicontour Assur groups. By using the method M1 synthesis of kinematic chains all groups were taken on the base of the Assur groups class II.

12