Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego i BudŜetu Państwa. Krystalografia. Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych

Transkrypt

1 Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego i BudŜetu Państwa Krystalografia Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych Rok akademicki 2009/2010

2 SPIS TREŚCI WPROWADZENIE KRYSZTAŁY I MINERAŁY WPROWADZENIE WYKONANIE ĆWICZENIA HODOWLA KRYSZTAŁU IDENTYFIKACJA MINERAŁÓW OPRACOWANIE ZAGADNIEŃ Z ZAKRESU MINERAŁÓW POJĘCIA PODSTAWOWE. SIEĆ BRAVAIS GO WPROWADZENIE PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH DEFINICJI UKŁAD KRYSTALOGRAFICZNY SIEĆ BRAVAIS GO KOMÓRKA ELEMENTARNA KOMÓRKA PRYMITYWNA BAZA ATOMOWA METODA WIGNERA-SEITZA WSKAŹNIKI MILLERA WPROWADZENIE PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH DEFINICJI WSKAŹNIKI WĘZŁÓW WSKAŹNIKI MILLERA PROSTEJ (WSKAŹNIKI KIERUNKÓW KRYSTALOGRAFICZNYCH) WSKAŹNIKI MILLERA PŁASZCZYZN

3 4. GĘSTOŚĆ UPAKOWANIA WPROWADZENIE PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH DEFINICJI LICZBA KOORDYNACYJNA PRZYBLIśENIE TWARDYCH KUL OBJĘTOŚĆ KOMÓRKI ELEMENTARNEJ GĘSTOŚĆ UPAKOWANIA KOMÓRKI ELEMENTARNEJ BADANIE NIEKTÓRYCH WŁASNOŚCI KRYSZTAŁÓW WPROWADZENIE BADANIE NIEKTÓRYCH WŁASNOŚCI WYHODOWANYCH KRYSZTAŁÓW GĘSTOŚĆ KRYSZTAŁU WYGLĄD KRYSZTAŁU PRZEWODNOŚĆ KRYSZTAŁU BADANIE NIEKTÓRYCH WŁASNOŚCI OPTYCZNYCH KRYSZTAŁÓW PRZEBIEG BADANIA METODY DYFRAKCYJNE BADANIA STRUKTURY KRYSZTAŁÓW BADANIE STRUKTURY KRYSZTAŁÓW METODĄ DYFRAKCJI PROMIENIOWANIA RENTGENOWSKIEGO BUDOWANIE MODELI KRYSTALICZNYCH GĘSTOŚĆ UPAKOWANIA PIASKU SYMETRIA

4 Wprowadzenie Zaliczenie laboratorium odbywa się na podstawie ocen uzyskanych ze sprawdzianów odbywających się na początku kaŝdych zajęć laboratoryjnych oraz sprawozdań opisujących otrzymane wyniki. W celu uzyskania pozytywnej oceny z przedmiotu student musi wykonać wszystkie ćwiczenia i zadania, a takŝe otrzymać ocenę pozytywną za wszystkie sprawdziany oraz sprawozdania. W przypadku nieobecności na zajęciach student musi wykonać ćwiczenie w innym terminie: albo z inną grupą (po otrzymaniu zgody prowadzącego zajęcia), albo w ostatnim tygodniu zajęć. Zasady zachowania w laboratorium: Do laboratorium nie naleŝy przynosić płaszczy (za wyjątkiem pierwszego ćwiczenia), nie naleŝy pić, jeść, rozmawiać przez telefon itd. NaleŜy przestrzegać zasad BHP, z którymi studenci zapoznają się na pierwszych zajęciach. Po wykonaniu ćwiczenia naleŝy posprzątać swoje stanowisko. 4

5 1. Kryształy i minerały 1.1 Wprowadzenie Ćwiczenie ma charakter wstępny i ma na celu zapoznanie studenta z podstawowymi wiadomościami dotyczącymi kryształów i minerałów. Ćwiczenie składa się z trzech części. Na wykonanie kaŝdej z nich student ma 30 minut. Przed rozpoczęciem zajęć prowadzący podzieli grupę laboratoryjną na 3 zespoły, które będą wykonywać poszczególne zadania. W skład laboratorium wchodzą następujące zadania: 1. hodowla kryształu; 2. identyfikacja minerałów; 3. opracowanie zagadnień z zakresu minerałów. 1.2 Wykonanie ćwiczenia Hodowla kryształu Przed przystąpieniem do wykonywania ćwiczenia kaŝda grupa laboratoryjna pobiera od prowadzącego: plastikowy kubek, łyŝkę, nitkę, drewniany patyczek. OdwaŜanie substratu naleŝy zacząć od wytarowania wagi wraz z kubkiem. Po kaŝdym uŝyciu wagi naleŝy ją dokładnie oczyścić przy uŝyciu ręcznika papierowego. UWAGA: nośność wagi wynosi 250 g. Na wadze umieść kubek i wytaruj wagę. ZwaŜ odpowiednią ilość związku wskazanego przez prowadzącego laboratorium. Rozpuść go w danej ilości wody destylowanej. Zwróć uwagę co się dzieje w trakcie rozpuszczania. Mieszanina ogrzewa się czy oziębia? Wyjaśnij zaobserwowane zjawisko. Znajdź kryształek substratu, który posłuŝy za zarodek procesu krystalizacji. Do nitki przymocuj w dowolny sposób jeden kryształek zarodkowy. Prowadzący udostępni w tym celu klej. Zarodek musi być przymocowany tak, aby nie spadł w trakcie procesu wzrostu kryształu. Drugi koniec nitki zawiąŝ na patyczku. Długość nitki musi być taka, Ŝeby zarodek był zanurzony w roztworze. ZwaŜ zarodek z nitką i patyczkiem. Zanotuj wynik pomiaru. Pamiętaj, Ŝe masa kryształu będzie kontrolowana na kaŝdych zajęciach. Zanurz kryształek na nitce w sporządzonym roztworze. Kubek opisz według wzoru: (Numer grupy)_(dzień tygodnia)_(godzina). Przykryj kubek kartką papieru lub podziurawioną folią aluminiową, a następnie odstaw go w spokojne miejsce wskazane przez prowadzącego Identyfikacja minerałów Rozpoznaj i podpisz minerały przedstawione przez prowadzącego. Do pomocy w identyfikacji moŝesz wykorzystać udostępnione materiały pomocnicze. 5

6 1.2.3 Opracowanie zagadnień z zakresu minerałów Pobierz od prowadzącego zestaw zagadnień. Opracuj je na podstawie wystawy kryształów i minerałów znajdującej się w budynku Wydziału InŜynierii Lądowej i Środowiska (patrz mapa). Wydział InŜynierii Lądowej i Środowiska oznaczony jest na mapie numerem 10 oraz zakreślony czerwonym kółkiem. Wystawa znajduje się na 4 piętrze budynku, po prawej stronie od schodów. 6

7 2. Pojęcia podstawowe. Sieć Bravais go 2.1 Wprowadzenie Przed przystąpieniem do wykonywania ćwiczenia student zobowiązany jest do zapoznania się z podstawowymi pojęciami z zakresu krystalografii. NaleŜą do nich między innymi: układ krystalograficzny, sieć Bravais go, komórka elementarna, komórka prymitywna, baza atomowa, metoda Wignera-Seitza. Informacje zawarte w tej instrukcji stanowią tylko i wyłącznie przypomnienie najwaŝniejszych pojęć i definicji. Student zobowiązany jest poszerzyć swoją wiedzę w oparciu o wykład oraz fachową literaturę. 2.2 Przypomnienie podstawowych definicji Układ krystalograficzny Układ krystalograficzny to system klasyfikacji kryształów ze względu na układ wewnętrzny cząsteczek w sieci krystalicznej. System wyróŝnia siedem układów, w których wyróŝnia się 32 klasy krystalograficzne. KaŜda klasa ma inny rodzaj symetrii w układzie cząsteczek w krysztale. Układ cząstek wynika po części ze struktury chemicznej cząsteczki. Większość kryształów przyjmuje formę regularnego wielościanu. Zewnętrzny kształt kryształu (monokryształu) jest odzwierciedleniem jego struktury wewnętrznej. Wewnątrz kryształu atomy, jony i cząsteczki są uporządkowane przestrzennie w określony, regularny sposób. Elementami symetrii budowy kryształów są: płaszczyzny symetrii; osie symetrii; środek symetrii Sieć Bravais go Układ krystalograficzny opisuje się często za pomocą sieci Bravais'go. Jest to sposób wypełnienia przestrzeni przez wielokrotne powtarzanie operacji translacji komórki elementarnej. Jest to nieskończona sieć punktów przestrzeni otrzymanych wskutek przesunięcia jednego punktu o wszystkie moŝliwe wektory typu: T = n1 a+ n2b+ n3c, gdzie liczby n są liczbami całkowitymi, a wektory a, b i c są to tzw. wektory prymitywne (trzy najkrótsze wektory, nie leŝące w jednej płaszczyźnie, tworzące daną sieć jak wersory na osiach układu współrzędnych). 7

8 Sieci Bravais'go uzyskiwane są przez złoŝenie 7 systemów krystalograficznych i 4 sposobów centrowania (P prymitywne; A, B lub C centrowanie na podstawach; F centrowanie na wszystkich ścianach; I centrowanie przestrzenne) Komórka elementarna Komórka elementarna jest to najmniejsza, powtarzalna część struktury kryształu, zawierająca wszystkie rodzaje cząsteczek, jonów i atomów, które tworzą określoną sieć krystaliczną. Komórka elementarna powtarza się we wszystkich trzech kierunkach, tworząc zamknięta sieć przestrzenną, której główną cechą jest symetria. Komórka elementarna ma zawsze kształt równoległościanu. Poprzez translacje komórki elementarnej o wektory będące całkowitymi wielokrotnościami wektorów sieci krystalicznej otrzymuje się całą sieć krystaliczną kryształu. Przykładowe komórki elementarne: Układ regularny Układ tetragonalny Układ heksagonalny Układ trygonalny Układ rombowy Układ jednoskośny Komórka prymitywna Komórka elementarna, która zawiera tylko jeden węzeł sieci krystalicznej nazywana jest komórką prymitywną. Jest to najmniejsza moŝliwa do wyróŝnienia komórka elementarna. 8

9 2.2.5 Baza atomowa Baza atomowa jest to zespół atomów przyporządkowanych węzłowi sieci przestrzennej (są to atomy zawarte w komórce prymitywnej) Metoda Wignera-Seitza W celu wyznaczenia komórki prymitywnej tą metodą naleŝy w pierwszym kroku wybrać jeden węzeł sieci, a następnie narysować odcinki łączące go ze wszystkimi sąsiednimi węzłami. Po narysowaniu odcinków naleŝy wyznaczyć ich symetralne w ten sposób, aby się wzajemnie przecinały. Przecinające się symetralne utworzą figurę jest to komórka prymitywna Wignera- Seitza. Wielościan ten odzwierciedla symetrię zadanej sieci krystalicznej. 9

10 3. Wskaźniki Millera 3.1 Wprowadzenie Przed przystąpieniem do wykonywania ćwiczenia student zobowiązany jest do zapoznania się z podstawowymi pojęciami z zakresu krystalografii. NaleŜą do nich między innymi: wskaźniki Millera dla węzłów, kierunków krystalograficznych, płaszczyzn. Informacje zawarte w tej instrukcji stanowią tylko i wyłącznie przypomnienie najwaŝniejszych pojęć i definicji. Student zobowiązany jest poszerzyć swoją wiedzę w oparciu o wykład oraz fachową literaturę. 3.2 Przypomnienie podstawowych definicji Wskaźniki węzłów Współrzędne punktów w komórce elementarnej wyraŝa się tak samo jak współrzędne punktów w układzie współrzędnych w geometrii analitycznej, ale jednostkami na osiach są parametry komórki a, b, c. Współrzędne punktu są liczbami rzeczywistymi zapisywanymi jako ciąg trzech cyfr nie oddzielonych przecinkami. Rysunek 1 Przykładowe wskaźniki dla węzłów (punktów) Wskaźniki Millera prostej (wskaźniki kierunków krystalograficznych) Wskaźniki Millera prostej L są współrzędnymi punktu przecięcia tej prostej z jedną z osi głównych kryształu w układzie współrzędnych, którego osie równieŝ są osiami głównymi a jego środek leŝy na prostej L. Wskaźniki dobiera się w taki sposób, aby były zbiorem najmniejszych moŝliwych liczb naturalnych. Przyjęło się wskaźniki prostych umieszczać w nawiasach kwadratowych []. JeŜeli któryś ze wskaźników jest ujemny, znak minus umieszcza się nad liczbą. Proste równoległe do siebie mają takie same wskaźniki. W przypadku układu regularnego wskaźniki Millera prostej są równoznaczne z oznaczeniem kierunku tej prostej w układzie kartezjańskim. Wskaźniki Millera prostej nazywa się równieŝ wskaźnikami prostej sieciowej. Rysunek 2 Przykładowe wskaźniki Millera dla prostych. 10

11 3.2.3 Wskaźniki Millera płaszczyzn Płaszczyzna przecina osie kryształu w pewnych punktach, odcinając odcinki o pewnej długości. Stosunki stałej sieciowej do długości tych odcinków, pomnoŝone przez stałą dają wskaźniki Millera tej płaszczyzny. Stała musi być tak dobrana, aby wskaźniki były jak najmniejszymi liczbami naturalnymi. W przypadku, gdy płaszczyzna jest równoległa do którejś z osi, to punkt przecięcia znajduje się w nieskończoności, co daje wskaźnik Millera równy 0. Wskaźniki Millera dla płaszczyzn umieszcza się w nawiasach okrągłych (). Umieszczenie ich w nawiasach klamrowych {} wskazuje zbiór ścian symetrycznie równowaŝnych. RównieŜ w tym przypadku ewentualny minus zapisywany jest nad liczbą. Przykładem moŝe być zbiór opisany symbolem {100}, na który składają się ściany: ( 100 ), ( 010 ), ( ) 001, ( 100), ( 010 ), ( 1) 00. Podobnie jak w przypadku prostych, płaszczyzny równoległe do siebie mają takie same wskaźniki Millera. Takimi samymi wskaźnikami, jak dana płaszczyzna moŝe zostać opisana prosta prostopadła do niej. W przypadku układu regularnego wskaźniki Millera płaszczyzny są równoznaczne z oznaczeniem kierunku normalnej tej płaszczyzny w układzie kartezjańskim. Rysunek 3 Przykładowe wskaźniki Millera dla płaszczyzn. 11

12 4. Gęstość upakowania 4.1 Wprowadzenie Przed przystąpieniem do wykonywania ćwiczenia student zobowiązany jest do zapoznania się z podstawowymi pojęciami z zakresu krystalografii. NaleŜą do nich między innymi: liczba koordynacyjna, wysokość komórki elementarnej, przybliŝenie twardych kul, objętość oraz gęstość upakowania komórki elementarnej. Informacje zawarte w tej instrukcji stanowią tylko i wyłącznie przypomnienie najwaŝniejszych pojęć i definicji. Student zobowiązany jest poszerzyć swoją wiedzę w oparciu o wykład oraz fachową literaturę. 4.2 Przypomnienie podstawowych definicji Liczba koordynacyjna Liczba koordynacyjna jest to liczba najbliŝszych sąsiadów tzn. atomów najbliŝszych i równooddalonych od danego atomu. Rysunek 4 Przykładowo dla struktury bcc liczba koordynacyjna wynosi PrzybliŜenie twardych kul W krystalografii zakłada się, Ŝe atomy (jony) są twardymi, sztywnymi kulami o pewnym promieniu R, a struktura krystaliczna jest stabilna wtedy, gdy atomy będące najbliŝej siebie stykają się. Przykład: w strukturze regularnej centrowanej, atomy stykają się wzdłuŝ przekątnej ściany sześcianu: ich cztery promienie są równe długości przekątnej. a 2 = 4R 12

13 4.2.3 Objętość komórki elementarnej Objętość komórki elementarnej obliczamy jako iloczyn mieszany V = a( b c) dla układu jednoskośnego V = abc sin β ; dla układu rombowego V = abc ; dla układu heksagonalnego V abc sin 60 = abc( 3 / 2) = ; Gęstość upakowania komórki elementarnej Gęstość upakowania komórki elementarnej jest to stosunek objętości zajętej przez atomy zawarte w komórce elementarnej do jej objętości. Przykład: W strukturze fcc w komórce są 4 atomy: 4V V atomu komórki 4 = ( 4 3 πr ) 3 a 3 V = abc = 0, cos α cos 2 β cos 2 a 2 = 4R γ + 2cosα cos β cosγ 13

14 5. Badanie niektórych własności kryształów 5.1 Wprowadzenie Ćwiczenie podzielone jest na 7 części. KaŜdy student musi wziąć udział w większości z nich. W tym celu studenci zostaną podzieleni na grupy, które będą wykonywały jedno z zadań. Na wykonanie kaŝdego z zadań grupa ma około 25 minut. Całkowity czas trwania ćwiczenia wynosi 180 minut (dwa wejścia laboratoryjne). Wyniki dotyczące wyhodowanego kryształu umieść w sprawozdaniu. 5.2 Badanie niektórych własności wyhodowanych kryształów Gęstość kryształu Kryształy mają najczęściej skomplikowany kształt, dlatego metodą pomiaru gęstości jest metoda oparta na prawie Archimedesa. Wybierz kilka (lub jeden) kryształów, kaŝdy zwaŝ a następnie zwaŝ je po całkowitym zanurzeniu w cieczy. Oszacuj maksymalny błąd pomiaru. Oblicz teoretyczną wartość gęstości (na podstawie danych krystalograficznych, które moŝna znaleźć np. w Internecie). Teoretyczna gęstość kryształu to gęstość komórki elementarnej: ρ = m V kom. el. kom. el. Porównaj otrzymany średni wynik pomiaru z teoretycznie obliczoną wartością. JeŜeli wyniki róŝni się, spróbuj wyjaśnić pochodzenie róŝnicy. Uwaga: A. W przypadku NaCl i KCl znajdź parametry komórki elementarnej w Internecie, a Ŝeby obliczyć ilość atomów w komórce skorzystaj z modelu komórki: KCl (sylwin, ang. sylvine), NaCl (halit, ang. halite); B. W przypadku ałunu (KAl(SO 4 )-12H 2 O ang. alum) znajdź parametry komórki elementarnej oraz przyjmij, Ŝe w komórce elementarnej znajdują się 4 cząsteczki; C. W przypadku siarczanu miedzi (5-wodny siarczan miedzi: CuSO 4 x 5H 2 O, minerał nazywa się chalkantyt ang. chalcantite) znajdź parametry komórki elementarnej oraz odpowiedni wzór do obliczania objętości, oraz przyjmij, Ŝe w komórce elementarnej znajdują się 2 cząsteczki; D. W przypadku octanu miedzi (Cu(CH 3 CO) 2 -H 2 O), znajdź odpowiedni wzór; parametry komórki są następujące: a = 13,863 Å, b = Å, c = 13,171 Å, β = 117,02, a w komórce znajduje się 8 cząsteczek związku. 14

15 5.2.2 Wygląd kryształu W sprawozdaniu umieść opis wyglądu kryształu, określ równieŝ jego wielkość. Naszkicuj swój kryształ. W razie potrzeby moŝesz obejrzeć wyhodowany kryształ pod lupą. Porównaj kształt i rozmiar swojego kryształu z innymi (inne grupy, Internet) Przewodność kryształu Sprawdź przy uŝyciu omomierza, czy Twój kryształ jest przewodnikiem, czy izolatorem. Uzyskaną informację umieść w sprawozdaniu. 5.3 Badanie niektórych własności optycznych kryształów Niektóre kryształy charakteryzują się anizotropią optyczną. Oznacza to, Ŝe światło wewnątrz kryształu rozdziela się na dwa promienie przemieszczające się z róŝnymi prędkościami oraz spolaryzowane w kierunkach do siebie prostopadłych. Mówimy, Ŝe światło rozdziela się na dwa promienie: zwyczajny i nadzwyczajny. Prędkość rozchodzenia się promienia zwyczajnego jest taka sama w kaŝdym kierunku, natomiast promień nadzwyczajny rozchodzi się w krysztale z prędkością zaleŝną od kierunku. Przykładem takiego kryształu jest kalcyt. W kryształach dwójłomnych moŝna obserwować róŝne ciekawe zjawiska, szczególnie w świetle spolaryzowanym. Uzyskane przez siebie wnioski wynikające z obserwacji kryształów przy uŝyciu polaryzatora i analizatora umieść w sprawozdaniu Przebieg badania Ustaw polaryzator i analizator tak, aby ich kierunki polaryzacji były względem siebie prostopadłe (wskazówka: światło przez taki układ nie przechodzi). Zbadaj, co się dzieje po włoŝeniu róŝnych przezroczystych materiałów pomiędzy polaryzator a analizator. W tym celu włóŝ po kolei poszczególne materiały pomiędzy polaryzator a analizator i obracając nimi wokół osi układu obserwuj efekty. MoŜna zauwaŝyć dwa typy zachowań. Jak moŝna to wyjaśnić, a zatem jak moŝna sklasyfikować poszczególne badane materiały? Jak moŝna zatem wykorzystać obserwacje w świetle spolaryzowanym w krystalografii? Celofan nie jest kryształem, ale jest on zbudowany z podłuŝnych cząsteczek ułoŝonych równolegle do siebie dlatego zachowuje się on jak kryształy dwójłomne. Zatem, weź warstwę celofanu i włóŝ pomiędzy polaryzator i analizator i zaobserwuj podobne zjawisko jak poprzednio. Sprawdź ile jest połoŝeń warstwy celofanu, w których światło przechodzi, a ile połoŝeń, w których światło przez układ nie przechodzi. 15

16 WłóŜ dwie, trzy, cztery.. warstwy celofanu (wszystkie pod takim kątem, aby światło przechodziło). Co się dzieję? Zastanów się jak to wyjaśnić. 5.4 Metody dyfrakcyjne badania struktury kryształów Masz do dyspozycji dwie siatki dyfrakcyjne: discovery (zielona) i unit cell (niebieska). Na kartce pokazane są wzory znajdujące się na poszczególnych segmentach siatek. Korzystając z siatek oraz lasera wykonaj odpowiednie doświadczenia i na podstawie ich wyniku sformułuj odpowiedzi na pytania oraz zawrzyj je w sprawozdaniu: 1. Jaki jest obraz dyfrakcyjny sieci poziomych (pionowych) linii? 2. Jaki jest obraz dyfrakcyjny: a) kwadratowej sieci punktów? b) prostokątnej sieci punktów? c) równoległobocznej sieci punktów? d) sześciokątnej sieci punktów? 3. Jak orientacja obrazu dyfrakcyjnego jest związana z orientacją sieci punktów? 4. Znajdź dwie takie same sieci, róŝniące się jedynie rozmiarem. Wykonaj doświadczenia pozwalające zmierzyć rozmiar komórek elementarnych w obu przypadkach. UWAGA: czy jest to przypadek dyfrakcji Bragga, czy Fraunhofera? 5. Porównaj, jak zmienia się obraz dyfrakcyjny w przypadku niecentrowanych i centrowanych komórek elementarnych. 5.5 Badanie struktury kryształów metodą dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego 1. Zapoznaj się z głównymi częściami dyfraktometru (lampa, szczeliny, detektor, uchwyt próbki). 2. Wykonaj pomiar w zakresie kątów 2θ od 27 do Opracuj wyniki otrzymane w ramach ćwiczenia D w postaci sprawozdania: a. Wiedząc, Ŝe lampa rentgenowska ma anodę z Cu wyznacz, na podstawie prawa Braggów odległości międzypłaszczyznowe odpowiadające wszystkim zaobserwowanym refleksom dyfrakcyjnym. b. Wiedząc, Ŝe badany materiał krystaliczny ma strukturę regularną, a refleks dyfrakcyjny obserwowany pod kątem 28,4 pochodzi od płaszczyzn krystalicznych o wskaźnikach Millera (200) wyznacz: wskaźniki Millera wszystkich pozostałych refleksów; parametr komórki elementarnej badanego związku. rodzaj centrowania komórki elementarnej. 16

17 5.6 Budowanie modeli krystalicznych Poszukaj w dostępnych źródłach (Internet, ksiąŝki ) jak wyglądają struktury krystaliczne: blendy cynkowej, lodu i kwarcu. Z dostępnych elementów zbuduj modele tych struktur krystalicznych. Po sprawdzeniu ich przez prowadzących rozłóŝ modele na elementy składowe. 5.7 Gęstość upakowania piasku Zmierz gęstość upakowania piasku korzystając z cylindra miarowego, dowolnego przezroczystego, niezbyt duŝego naczynia i wody. Otrzymane wyniki przedyskutuj i porównaj z największą moŝliwą gęstością upakowania kul w przestrzeni. 5.8 Symetria W Internecie jest mnóstwo ciekawych, interaktywnych stron dotyczących symetrii. Znajdź coś ciekawego i przez około 10 minut pobaw się. JeŜeli nie udało ci się nic ciekawego znaleźć, to skorzystaj z adresu: Zbadaj symetrię otrzymanych modeli. Znajdź wszystkie osie symetrii badanych brył. Sprawdź, czy mają one środek symetrii i jeśli tak podaj jego współrzędne. Znajdź wszystkie płaszczyzny symetrii i podaj ich wskaźniki. Wykonaj, w oparciu o wiedzę zdobytą na wykładzie oraz w trakcie laboratorium, inne polecenia przekazane przez prowadzącego. 17