ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt) Przekształcenie P określone jest w następujący sposób: P (( x; y)) ( y ; x ), gdzie x, y R a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( ;), B ( ; 4), C (;5), a następnie znajdź jego obraz w przekształceniu P c) Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoną na bok AB d) Oblicz pole trójkąta A B C, który jest obrazem trójkąta ABC w jednokładności o środku w punkcie ( 0;0) i skali k 5 Zad 3 (6 pkt) n Dany jest ciąg a n 3n o wyrazie ogólnym a n n a) Uzasadnij, że wszystkie wyrazy ciągu a n są liczbami naturalnymi b) Który wyraz ciągu jest równy 5? c) Różnica sześcianów dwóch kolejnych wyrazów ciągu a n wynosi (-6) Wyznacz te wyrazy Zad 4 (6 pkt) Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 4 oraz 8 od końców dłuższego ramienia trapezu Oblicz pole tego trapezu Zad 5 (6 pkt) Rozwiąż graficznie układ równań: y x 4 y x 3 Zad 6 (5 pkt) Losujemy jedną liczbę spośród liczb:,, 3,, 000 Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 lub przez 9 Zad 7 (4 pkt) W trójkącie ABC dane są: ACB 0, AC 6, BC 3 Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D a) Oblicz długość odcinka CD b) Jaki jest związek między długościami promieni: okręgu opisanego na trójkącie ADC i okręgu opisanego na trójkącie DBC? Odpowiedź uzasadnij
Zad 8 (5 pkt) Na rysunku przedstawiony jest wykres pewnego wielomianu W stopnia trzeciego a) Czy wielomian W jest podzielny przez wielomian P( x) x x? Odpowiedź uzasadnij b) Napisz wzór wielomianu W i wyznacz jego współczynniki Zad 9 (5 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ostry ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę Oblicz tangens kąta ostrego, jaki tworzy z płaszczyzną podstawy płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa oraz przez środki dwóch sąsiednich boków podstawy Zad 0 (3 pkt) W równoległoboku ABCD przekątna DB ma długość 7 Wiedząc, ze obwód równoległoboku wynosi 6, ABC 0, oblicz długości boków równoległoboku
ZESTAW II R Zad (4 pkt) Dane są punkty A (3;0) i B (3;0 ) Wyznacz równanie krzywej, utworzonej przez wszystkie punkty płaszczyzny, których odległość od punktu A jest razy większa od odległości od punktu B Jaką figurę opisuje krzywa? Zad (4 pkt) Podstawy trapezu mają długości 0 i 6 Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta przy dłuższej podstawie jest równa 90 Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw Zad 3 (7 pkt) 3 Dany jest wielomian W ( x) x x 5x 3 a) Oblicz resztę z dzielenie tego wielomianu przez dwumian ( x ) b) Oblicz miejsca zerowe tego wielomianu c) Rozwiąż nierówność W ( x) ( x ) Zad 4 (7 pkt) Na czworokącie wypukłym ABCD, w którym AB BC, AD 3, DC 3 3 można opisać okrąg Wiedząc, że przekątna AC ma długość 3, oblicz pole tego czworokąta Zad 5 (6 pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór tych wszystkich punktów o współrzędnych b, c, dla których różne pierwiastki x, x równania x bx c 0 3 3 3 spełniają warunek x x x x 6 Zad 6 (4 pkt) Wykaż, że jeśli ciąg a n jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to ciąg o wyrazie ogólnym bn log p an, dla p 0 i p jest ciągiem arytmetycznym Zad 7 (5 pkt) Wysokość stożka podzielono na trzy równe odcinki i przez punkty podziału poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy Oblicz stosunek objętości powstałych brył Zad 8 (4 pkt) x x x Rozwiąż równanie: cos 0 x Zad 9 (3 pkt) Dane jest równanie z parametrem a: ax a 3x a 3 3 Dla jakich wartości parametru równanie ma jedno rozwiązanie? Wyznacz to rozwiązanie i przedstaw je w najprostszej postaci Zad 0 (3 pkt) Dane są dwa takie zdarzenia A, B, że P ( B) i P ( A B) Czy może zachodzić 3 0 4 równość P ( B A)? Odpowiedź uzasadnij 5 Zad (3 pkt) Stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w ten romb wynosi 8 : Oblicz miarę kąta ostrego rombu
ZESTAW III R Zad (5 pkt) Maszynistka miała do przepisania książkę liczącą 586 stron Przez pierwsze trzy dni przepisywała po 4 stron dziennie Następnie postanowiła, że czwartego dnia przepisze o dwie strony więcej niż trzeciego dnia i każdego następnego dnia przepisze o dwie strony więcej niż dnia poprzedniego W ciągu ilu dni przepisała całą książkę? Zad (4 pkt) Wiadomo, że log 6 a Wyznacz log 4 36 w zależności od a Zad 3 (6 pkt) W trójkącie ostrokątnym ABC dane są długości boków: AC 6, BC 0 Pole trójkąta ABC jest równe 5 3 Oblicz: a) długość boku AB; b) sinus kąta BAC; c) pole koła opisanego na trójkącie ABC; d) długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC Zad 4 (7 pkt) Obwód trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 równa się s ( s 0) Jakie powinny być wymiary tego trapezu, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole Zad 5 (4 pkt) Ze zbioru X x : xc x 4 losujemy dwa razy (bez zwracania) po jednej liczbie Oznaczamy te liczby w kolejności losowania, a oraz b Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A para liczb ( a ; b) jest rozwiązaniem nierówności x y 0 Zad 6 (5 pkt) Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym Wyznacz cos, gdzie jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły Zad 7 (5 pkt) Dla jakich x R, liczby x, x 4, x 9x w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny? Dla znalezionej wartości x wyznacz ciąg i jego iloraz Zad 8 (5 pkt) x Dana jest funkcja f ( x), gdzie x R ; Wykaż, że zbiorem wartości tej 4 x funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych Zad 9 (6 pkt) Okrąg o równaniu x y przecina jedną z gałęzi hiperboli o równaniu f ( x), gdzie x, w punktach A ( 0; ) i B ( ; 3) x a) Narysuj obie krzywe we wspólnym układzie współrzędnych b) Na drugiej gałęzi hiperboli wyznacz współrzędne takiego punktu C, który jest równo odległy od punktów A i B Zad 0 (3 pkt) Liczby x, x są takimi rozwiązaniami równania bx c 0 x x Oblicz b i c 4 x b 4c, że x x 3 i
ZESTAW IV R Zad (3 pkt) Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) 5 sin x, gdzie x R Zad (6 pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów płaszczyzny, których xy współrzędne ( x ; y) spełniają warunek: log log x log y Zad 3 (4 pkt) m m Wykaż, że wielomian W ( x) ( x ) ( x ) jest podzielny przez wielomian P ( x) x 3x dla każdego m N Zad 4 (8 pkt) Dany jest okrąg o równaniu x y x 6y 5 0 a) Napisz równania stycznych do danego okręgu, prostopadłych do prostej o równaniu x y 0 b) Oblicz pole trójkąta ABS, gdzie A, B są punktami przecięcia się stycznych z prostą o równaniu 3x y 4 0, zaś S jest środkiem danego okręgu Zad 5 (6 pkt) W trapez równoramienny o obwodzie 60 wpisano okrąg Przekątna trapezu ma długość 7 Oblicz pole trapezu Zad 6 (6 pkt) Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n n 6 a) Wykaż, że a n jest ciągiem arytmetycznym a i oblicz dla jakiej liczby naturalnej k stosunek wyrazu stojącego na miejscu k, licząc od początku, do wyrazu 3 stojącego na miejscu k, licząc od końca, jest równy 6 Zad 7 (4 pkt) a Wzór funkcji f ( x) c tworzymy w następujący sposób: ze zbioru x b Z 3,,,,,3, losujemy kolejno trzy liczby (bez zwracania); pierwsza z wylosowanych liczb jest równa współczynnikowi a, druga współczynnikowi b, trzecia współczynnikowi c Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A funkcja f jest funkcją malejącą w każdym ze zbiorów ; oraz ; B miejscem zerowym funkcji f jest liczba 0 Zad 8 (4 pkt) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy Oblicz cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne Zad 9 (5 pkt) b) Wybierz sto kolejnych początkowych wyrazów ciągu n Wyznacz algebraicznie zbiór tych wszystkich punktów P (x) osi liczbowej, których suma odległości od punktów A (3) oraz B () jest mniejsza od 5 Zad 0 (3 pkt) Wyznacz wszystkie ciągi geometryczne o wyrazach różnych od zera, w których każdy wyraz, poczynając od wyrazu trzeciego jest równy średniej arytmetycznej dwóch poprzednich wyrazów
ZESTAW V R Zad (4 pkt) Oblicz pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku, jeśli wiadomo, że BC 0 3 oraz sin5 4 Zad (3 pkt) Iloczyn dziewięciu kolejnych początkowych wyrazów pewnego ciągu geometrycznego wynosi 5 Oblicz piąty wyraz tego ciągu Zad 3 (7 pkt) x 3x Narysuj wykres funkcji f ( x) 3 x 4x x 6 Zad 4 (7 pkt) W trójkąt równoboczny ABC wpisano okrąg o środku w punkcie S ( 3; ) Wiedząc, że C ( ; 3), wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta Zad 5 (5 pkt) Dla jakich wartości parametru m każdy z dwóch różnych pierwiastków równania x mx 4 0 jest mniejszy od 4? Zad 6 (5 pkt) Pole trapezu jest równe P, a stosunek długości podstaw trapezu wynosi Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty Oblicz pole każdego z tych trójkątów Zad 7 (4 pkt) Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej jest równy :3 Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy Zad 8 (4 pkt) Rozwiąż równanie: x x 3 gdzie x x x x x 0 Zad 9 (4 pkt) Wiadomo, że P ( A B`) P( B A`), P( A B) 0,75, P( A B) 0, 5 Oblicz: P( B), P( A B) Zad 0 (4 pkt) Wykaż, że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany Zad (3 pkt) Wiadomo, że liczba a jest rozwiązaniem równania 9 x 9 x 4 Nie obliczając a wyznacz a a wartość wyrażenia 3 3
ZESTAW VI R Zad (5 pkt) Dane są dwie funkcje kwadratowe: f ( x) x bx oraz g ( x) bx cx 4, gdzie b 0 Wyznacz wszystkie wartości parametrów b i c, tak, aby funkcja f miała jedno miejsce zerowe i jednocześnie funkcja g przyjmowała wartości ujemne dla każdego x R Zad (8 pkt) Wyznacz wszystkie wartości k, k C, dla których trzy liczby ctg, sin, cos (w podanej kolejności) tworzą ciąg geometryczny 6 Zad 3 (5 pkt) W trójkąt ABC, w którym BAC oraz ABC, wpisano okrąg Punkty K, L, M są punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AB, BC i AC Wykaż, że MKL Zad 4 (8 pkt) Punkty A (0;0) oraz C (;8) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD o boku długości 34 Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu Zad 5 (5 pkt) Firma zatrudniła w tym samym czasie małżeństwo na następujących warunkach: mąż otrzyma za pierwszy przepracowany miesiąc 00 zł, a żona 600 zł Pensja męża będzie wzrastać co miesiąc o 00 zł, a żony o 40 zł a) Po przepracowaniu którego miesiąca, żona odbierze pensję w wysokości 680 zł? b) Ile miesięcy muszą pracować małżonkowie, aby suma zarobków męża stanowiła 50% sumy zarobków żony (licząc od początku zatrudnienia)? Zad 6 (6 pkt) W trapezie ABCD ramiona mają długości AD 0 oraz BC 7 zaś tangens kąta 4 nachylenia ramienia AD do dłuższej podstawy wynosi Oblicz pole trójkąta DBC, jeśli 3 wiadomo, że w dany trapez można wpisać okrąg Zad 7 (3 pkt) Dany jest zbiór X,,3,, n, n 3, n N Ze zbioru X losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej Zad 8 (5 pkt) Uporządkuj rosnąco trzy liczby:, 0,5 3, log log 3 log 4 Zad 9 (5 pkt) Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny Każda krawędź boczna ma długość d i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem Oblicz objętość ostrosłupa
liczba uczniów ZESTAW VII R Zad (5 pkt) Funkcja f każdej liczbie naturalnej dodatniej n przyporządkowuje liczbę wszystkich liczb naturalnych należących do zbioru rozwiązań nierówności n xx n0 z niewiadomą x Napisz wzór funkcji f i narysuj jej wykres dla n 6 Zad (5 pkt) Liczba jest miejscem zerowym wielomianu W (x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) x 3x jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu (x) x otrzymujemy resztę 5 W przez dwumian Zad 3 (4 pkt) Udowodnij, że średnica okręgu, wpisanego w trapez równoramienny, ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu Zad 4 (6 pkt) W trójkącie równoramiennym ABC AC BC poprowadzono wysokości CK oraz AM Widząc, że AB CK AM wyznacz cosinus kata przy podstawie trójkąta Zad 5 (5 pkt) Dla jakich wartości parametru m, równanie x m m ma dwa pierwiastki dodatnie? Zad 6 (6 pkt) W pewnym liceum, wśród uczniów 30-osobowej klasy (każdy uczeń pochodzi z innej rodziny), zebrano dane na temat posiadanego rodzeństwa Wyniki badań przedstawiono na diagramie a) Wychowawca wybrał losowo 3 osoby 8 z tej klasy Oblicz prawdopodobieństwo, 6 że jedna z nich ma dwoje rodzeństwa, a 4 dwie pozostałe są jedynakami Wynik zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku b) Oblicz średnią arytmetyczną, 0 odchylenie standardowe i medianę liczbę 8 dzieci w jednej badanej rodzinie 6 4 0 3 4 liczba rodzeństw a Zad 7 (4 pkt) Wiadomo, że ciąg,b, geometrycznym Wyznacz a i b a jest ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg, a,b jest ciągiem
Zad 8 ( 4 pkt) Romb o kacie ostrym 60, obraca się wokół boku Oblicz pole powierzchni i objętość otrzymanej bryły wiedząc, że długość boku rombu jest równa a Zad 9 (3 pkt) Cena biletu na mecz piłki nożnej była równa 60 zł Gdy cenę obniżono okazało się, że na mecz przychodziło o 0% widzów więcej, a dochód uzyskany ze sprzedaży biletów na jeden mecz wzrósł o 0% O ile złotych obniżono cenę biletu? Zad 0 (4 pkt) Przekątna równoległoboku, poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego, ma długość 8 cm i dzieli ten kąt na dwa kąty o miarach 45 i 75 Oblicz pole równoległoboku Wynik przedstaw w postaci a b c, gdzie a, b, c są liczbami naturalnymi Zad (4 pkt) Wykresy funkcji kwadratowych f ( x) x bx a oraz g( x) x ax b, gdzie a b, przecinają się w punkcie leżącym na osi OX Wiedząc, że osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu x 0, oblicz a i b
ZESTAW VIII R Zad (4 pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj wykres funkcji: x 4x 4 9 6x x f ( x), gdzie x ;3 3; x x 3 Zad (4 pkt) W trapez prostokątny można wpisać okrąg Jedna z jego podstaw ma długość a, druga zaś jest trzy razy dłuższa Oblicz pole trapezu oraz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu Zad 3 (5 pkt) x Funkcja f ( x) przyjmuje wartości ujemne tylko wtedy, gdy x ; 5 ; x b a) Oblicz b b) Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej c) Wyznacz zbiór tych argumentów, dla których funkcja f osiąga wartości niewiększe 3x 8 niż funkcja g ( x) x 5 Zad 4 (6 pkt) Trzy liczby, których suma jest równa 93, tworzą ciąg geometryczny Te same liczby stanowią pierwszy, drugi i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego Wyznacz te liczby Zad 5 (5 pkt) Kąt ostry równoległoboku ma miarę 30 Odległości punktu przecięcia przekątnych równoległoboku od jego boków SA odpowiednio równe oraz 6 Oblicz pole równoległoboku i długość jego krótszej przekątnej Zad 6 (3 pkt) 3 Dla jakich wartości parametru a, wielomian W ( x) x sin 4 x 3x sin 4 5 jest podzielny przez dwumian x? Zad 7 (5 pkt) Długości boków trójkąta a, b, c (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny Wyraź w procentach, jaką część wysokości trójkąta poprowadzonej na bok długości b stanowi promień okręgu wpisanego w ten trójkąt Zad 8 (6 pkt) a) Dla jakich wartości parametru m równanie x y mx m 0 opisuje okrąg? Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu b) Dla jakich wartości parametru m okrąg ten jest styczny do prostej o równaniu x 4? Zad 9 (5 pkt) W prawidłowym graniastosłupie trójkątnym, pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej Zad 0 (4 pkt) Wielokąt wypukły ma n wierzchołków n 3 i n N, spośród których losujemy jednocześnie dwa Wyznacz n wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków wyznaczających przekątną tego wielokąta jest mniejsze od 0,8 Zad (3 pkt) Wiadomo, że liczba a jest rozwiązaniem równania x 5, gdzie x 0 Nie wyznaczając x 3 a, oblicz wartość wyrażenia a 3 a
ZESTAW IX R Zad (5 pkt) Nie używając kalkulatora, porównaj liczby: a log 5 log 0 log oraz b 6 5 Zad (6 pkt) Liczby x, x są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f ( x) x a x a Zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru a, aby ciąg x x,, x x był ciągiem geometrycznym Zad 3 (4 pkt) Oblicz sumę tangensów kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek pola tego trójkąta do pla kwadratu, którego bokiem jest przeciwprostokątna danego trójkąta, wynosi 6 Zad 4 (7 pkt) Na prostej l : x y 6 0 wyznacz taki punkt C, aby długość łamanej ACB, gdzie A (;3 ), B (;) była najmniejsza Uzasadnij swoje rozumowanie Zad 5 (6 pkt) Miary katów wielokąta tworzą ciąg geometryczny, którego różnica równa jest 4 Największy kąt ma miarę 7 Ile boków ma ten wielokąt? Ile ma przekątnych? Zad 6 (4 pkt) Wykaż, że jeśli A, B są dowolnymi zdarzeniami przestrzeni, to P( A B) P( A) P( B) P( A B) Zad 7 (4 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których zbiorem rozwiązań nierówności m jest przedział ( 3;7) 3 x Zad 8 (4 pkt) W równoległoboku ABCD kąt ostry DAB ma miarę 30, zaś dłuższy bok ma długość 8 Promień koła opisanego na trójkącie ABD ma długość 4 Oblicz pole równoległoboku Zad 9 (4 pkt) 3 x x f 3 x x W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj wykres funkcji ( x) x Zad 0 (6 pkt) Trapez prostokątny obraca się wokół boku, tworzącego z podstawami kąty proste Podstawy trapezu mają długość odpowiednio 0 cm i 7 cm Pole trapezu wynosi 68 cm Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej
ZESTAW X R Zad (3 pkt) Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 00 n 4 0 n 4 liczby naturalnej 9 jest kwadratem Zad (3 pkt) Wyznacz sumę wszystkich liczb n-tego wiersza tablicy n N, n w zależności od n 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 0 Zad 3 (7 pkt) Wiedząc, że 30, OC 6 3, AB 5 oraz AB BC, oblicz pole i obwód trapezu ABCD przedstawionego na rysunku Zad 4 (6 pkt) Liczby x, x są pierwiastkami równania x x A 0, liczby x 3, x4 są pierwiastkami równania x 4x B 0 Wiadomo, że x, x, x3, x4 jest ciągiem geometrycznym o wyrazach całkowitych Wyznacz A i B Zad 5 (6 pkt) Napisz równanie okręgu o środku S (; ), który na prostej o równaniu x y 4 0 odcina cięciwę AB długości Wykonaj rysunek Zad 6 (4 pkt) 3 Wielomian W( x) ax bx cx d, gdzie a 0, ma dwa różne miejsca zerowe: x oraz x 3, przy czym pierwiastek x jest dwukrotny Dla argumentu wartość wielomianu jest równa Wyznacz wartości współczynników a, b, c, d Dla wyznaczonych współczynników rozwiąż nierówność W ( x) 0
Zad 7 (6 pkt) Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden bok ma długość c 4, a kąty przyległe do tego boku mają miary 75, 45 Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia koła opisanego na podstawie Oblicz objętość ostrosłupa Podaj jej dokładna wartość Zad 8 (3 pkt) Wiedząc, że log 3 4 a i log 3 5 b, oblicz log 7 0, 8 Zad 9 (7 pkt) Z podanego równania, gdzie x y x y, wyznacz y jako funkcje zmiennej x Narysuj wykres funkcji y f ( x ) Zad 0 (5 pkt) W urnie znajduje się n kul czarnych i n kul białych n N n Losujemy jednocześnie dwie kule Dla jakich n prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru jest większe od prawdopodobieństwa wylosowania dwóch kul różnych kolorów?