O różnych działach teorii liczb*

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria IU WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE IX (1967) A. SCHINZEL (Warszawa) O różnych działach teorii liczb* Rozwój teorii liczb doprowadził do powstania w jej łonie szeregu działów, które wyróżniają się osobnym przedmiotem badań. Próbę przedstawienia tych działów w ich wzajemnym powiązaniu stanowi tablica podana na str. 189, wzorowana na tablicy podziału matematyki naszkicowanej przez Z. Janiszewskiego (1915) ( 1 ). Przy opracowaniu tej tablicy skorzystałem z uwag dra J. W. S. Casselsa, prof. H. Davenporta i doc. J. Mycielskiego; ma ona obrazować sytuację w chwili obecnej i wkrótce może stać się nieaktualna. Podane obok rysunku objaśnienia nie mówią nic o istocie poszczególnych działów; poniżej postaram się działy te krótko scharakteryzować przez podanie przykładów twierdzeii i zagadnień. Charakterystyka ta z natury rzeczy jest niepełna, część pominiętych tu zupełnie danych historycznych można znaleźć w moim artykule Liczb teoria w Wielkiej Encyklopedii Powszechnej PWN. Elementy teorii liczb nie wyróżniają się osobnym przedmiotem badai1, ale obejmują fakty o podstawowym znaczeniu dla wielu różnych działów (np. twierdzenie o jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze) i wyróżnienie ich w tablicy jako odrębnego działu wydawało się z tego względu konieczne. Z elementami teorii liczb zapoznać się można z istniejących w języku polskim podręczników W. Sierpińskiego (1950) i I. M. Winogradowa (1954a). Pierwszy z nich informuje o wielu wynikach, które wykraczają już poza zakres elementów teorii liczb, dają się jednak uzyskać metodami elementarnyml Pod tym niezbyt dokładnie sprecyzowanym terminem i ozumie się na ogół rozumowania kombinatoryczne, elementarną algebrę i tzw. działania nieskończone (szeregi, iloczyny nieskoilczone itp. o wyrazach stałych). Dowody elementarne wielu twierdzeń z różnych dzia- *.Test to przeredagowany i uzupełniony danymi bibliograficznymi tekst odczytu wygłoszonego dla studentów matematyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 22 lutego l 964 r. ( 1 ) Podany w nawiasach rok publikacji służy do odszukania danej pozycji w zamieszczonej na końcu bibliografii.

188 A. Schinzel łów teorii liczb podane są u B. A. Wienkowa (1937) i u A. O. Gelfonda i J. W. Linnika (1962). Historię wszystkich wyników osiągniętych w teorii liczb metodami elementarnymi do r: 1919 zawiera monumentalne dzieło L. E. Dicksona (1919-1923), bardzo wiele informacji o wynikach osiągniętych później podaje Sierpiński (1964) ( 2 ). Wśród wyróżnionych w tablicy działów teorii liczb historycznie najstarszym są równania diofantyczne. Centralnym problemem tej teorii jest podanie metody rozstrzygnięcia, czy dane równanie algebraiczne f (x 1,, Xn) = O ma rozwiązania w liczbach całkowitych. Problem ten jest jeszcze daleki od rozwiązania w całej ogólności. Znane ono jest tylko dla równań stopnia < 2 z dowolną liczbą niewiadomych i równań dowolnego stopnia z jedną niewiadomą. 'V przypadku równań stopni wyższych niż 2 z dwiema niewiadomymi ogólne rozwiązanie problemu nie jest wprawdzie znane, ale O. L. Siegel dowiódł twierdzenia o zasadniczym znaczeniu, które pozwala rozstrzygnąć, czy takie równanie ma niesko1iczoną czy tylko skończoną liczbę rozwiązań całkowitych (patrz T. Skolem (1938)). Przykładem równania, o którym wiemy, że liczba jego rozwiązań całkowitych jest skończona, lecz jej nie znamy, jest równanie y 2 = a: 3-18. Dużo informacji na temat rozwiązywania równań tego typu w liczbach całkowitych i wymiernych znaleźć można w artykule L. J. Mordella (1964). Podstawowym źródłem do teorii równań diofantycznych pozostaje nadal monografia Skolema (1938). Od czasu jej wydania ukazały się jeszcze dwie inne: E. Landaua (1959) i S. Langa (1962). Druga z nich zawiera wiele najnowszych wyników, operuje jednak ciężkim aparatem geometrii algebraicznej. Jeżeli zamiast równania diofantycznego f(x 1,., Xn) = O rozpatrzymy kongruencję (1) f(xu., Xn) =O (modp) lub nieskończony ciąg kongruencji (2) f(xlk>,., x~>) ==O (mod pk), x}k> == x~k+i) (mod pk) (1 < i < n, k = 1, 2,... ), gdzie p jest liczbą pierwszą, to otrzymamy przykłady zagadnień w pierwszym przypadku z teorii cial skończonych, w drugim - z analizy p-adycznej. Klasy reszt mod p tworzą, jak wiadomo, ciało - jest to najprostszy przykład ciała skończonego, a kongruencję (1) można w tym ciele zapisać jako równanie (3) f(xu..., Xn) =O. ( 2 ) Dla uniknięcia nieporozumień należy zaznaczyć, że dowód elementarny" bardzo często nie oznacza łatwy".

,I O różnych działach teorii liczb 189 Jako przykłady twierdzeń o równaniach nad ciałami skończonymi służyć mogą twierdzenie C. Chevalleya i twierdzenie A. Weila. Według twierdzenia Chevalleya równanie jednorodne stopnia s z. co najmniej s + 1 niewiadomymi ma w każdym ciele skończonym co najmniej jedno rozwiązanie niezerowe. UITIIII11J zasuw metod geometrycznych ~ CJ zasięg metod elementarnych ~ [ J'.){,~!>1 zasiąg metod.' probablu.stycznych ~ zas[a,g metod algebralcznych zasięg metod analitycznych zasiąg metody sum trygono - metrycznych Wielkość kola oznacza obszerność danego działu teorii liczb. Kreska oznacza związek między dwoma działami; grubość kreski oznacza ścisłość związku. Strzałka oznacza, że wyniki jednego działu mają zastoso'\\"anie w drugim Według twierdzenia Weila liczba rozwiązań równania f(x, y) =O w ciele skończonym o q elementach wynosi q+fjyq~ gdzie jfjj nie przekracza stałej zależnej tylko od f. Funkcja f jest tutaj wielomianem absolutnie nierozkładalnym o współczynnikach całkowitych. Równanie takie ma więc dla dostatecznie dużych q co najmniej jedno rozwiązanie.

190 A. Schinzel Elementy teorii ciał skończonych wyłożone są np. u Dicksona (1901), dowód twierdzenia 'Veila u :M. Eichlera (1962), pewne informacje na ten temat podają też Gelfond i Linnik (1962) oraz H. Hasse (1964). Dla teorii ciał skończonych podobnie jak dla teorii równań diofantycznych podstawowe znaczenie mają metody geometrii algebraicznej. Podobnie jak kongruencja (1) daje się zapisać jako równanie (3) w pewnym ciele skończonym, tak i ciąg kongruencji ( 2) można za pisać jako równanie (3) w ciele tzw. liczb p-adycznych. wspomnijmy krótko, co to są liczby p-adyczne. Nazwijmy ciągiem podstawowym liczb wymiernych ciąg rn o tej własności, że dla każdego k istnieje N takie, że dla n > m > N licznik ułamka rn - rm doprowadzonego do postaci nieskracalnej dzieli się przez pk. Nazwijmy dalej dwa ciągi podstawowe rn i sn równoważnymi, jeżeli ciąg r 1, s 1, r 2, s 2, jest podstawowy. Klasy ciągów równoważnych nazywamy liczbami p-adycznymi; łatwo się dowodzi, że tworzą one ciało. Podstawy teorii liczb p-adycznych, zwanej również analizą p-adyczną, wyłożone są w podręczniku z. I. Borewicza i J. R. Szafarewicza (1964). W przypadku gdy f jest formą (wielomianem jednorodnym) n zmiennych nieparzystego stopnia s, według przypuszczenia E. Artina nierówność n~ s 2 +1 wystarcza, aby równanie (3) miało w ciele liczb p-adycznych rozwiązanie niezerowe (por. wyżej twierdzenie Chevalleya). Przypuszczenie to zostało udowodnione w całej ogólności dla s = 3, a J. Ax i S. Kochen dowiedli (1965 ), że dla każdego s (również parzystego) istnieje co najwyżej skończenie wiele p, dla których hipoteza Artina może być fałszywa. Analiza p-adyczna znajduje zastosowania w arytmetycznej teorii form. Głównym przedmiotem badań tej ostatniej jest przedstawialnoś-ć liczb całkowitych przez formy wielu zmiennych o współczynnikach całkowitych. Nie chodzi tu, jak w teorii równań diofantycznych, o rozstrzygnięcie, czy równanie f ( x 1,, Xn) =_a ma rozwiązanie całkowite, ale raczej o scharakteryzowanie zbioru liczb a i form f, dla których rozwiązania istnieją, oraz o wyznaczenie liczby rozwiązań, jeśli jest ona skończona. Do niedawna arytmetyczna teoria form ograniczała się do badania form kwadratowych i tych form wyższych stopni, które rozkładają się w ciele liczb zespolonych na czynniki liniowe. Teoria form kwadratowych doszła do znacznego stopnia rozwoju i np. dla form n zmiennych (n ~ 5) o wyróżniku d -=I- O ( 3 ) zasadnicze zagadnienie teorii zostało rozwiązane w sposób następujący. Jeśli forma f jest nieokreślona lub jeśli forma f jest określona dodatnio i a~ O(d) (stała O zależna od d), to równanie f(xu..., Xn) =a jest n ( 3 ) Jeśli f = }; aijxixj, gdzie aii = aji, to i,j=i (-1)nf 2 det (2aij) dla n parzystego, d= { ł (- 1 )(n- I)/ 2 det ( 2aii) dla n nieparzystego.

/ O różnych działach teorii liczb 191 rozwiązalne w licz bach 9ałkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozwiązalna kongruencja f(x1,..., Xn) - a (mod d). Dla form czterech zmiennych zachodzi twierdzenie podobne, chociaż nie identyczne. Dla form dwu zmiennych nic podobnego nie zachodzi, teoria tych form jako rozkładalnych daje się jednak posunąć daleko dzięki ich związkowi z teorią ciał liczbowych. Najwięcej zagadek kryją jeszcze formy trzech zmiennych. Zarys teorii form kwadratowych znaleźć można u G. h Watsona (1960), a dowód podanego wyżej twierdzenia wymagający metod analitycznych u A. W. Małyszewa (1962). Zastosowaniom metod analitycznych do teorii form kwadratowych, zwłaszcza do badania liczby przedstawieii, "poświęcone są wykłady Siegela (1957). 'V ostatnich czasach zaczęła rozwijać się ogólna teoria form wyższych stopni. H. Davenport dowiódł na przykład, że każde równanie postaci (3), gdzie f jest formą stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, zaś n~ 16, ma rozwiązanie niezerowe w liczbach całkowitych. Liczbę 16 można prawdopodobnie zastąpić liczbą mniejszą i nie jest nawet wykluczone, że jeśli f jest stopnia nieparzystego s i n~ s 2 +1, to (3) ma rozwiązanie niezerowe w liczbach całkowitych (por. wyżej hipoteza Artina). Ten krąg zagadnie1i.przedstawiony jest w wykładach Davenporta (1962). Stosunkowo niedawno zaczęto badać arytmetykę form, jak dotąd tyjko kwadratowych, o współczynnikach z dowolnego ciała algebraicznego. wykład dotychczasowych wyników z tego zakresu znaleźć można w dziele O. T: O'Meary (1963). 'V teorii algebraicznych cial liczbowych zasadniczym problemem jest ustalenie praw, według których ideały pierwsze jakiegoś ciała (w szczególno:foi ciała liczb wymiernych) rozkładają się na ideały pierwsze w jego algebraicznych rozszerzeniach. Dla rozszerzeń kwadratowych ciała liczb wymiernych takim Iffawem rozkładu jest sławne prawo wzajemności Gaussa. Problem powyższy został rozwiązany dotąd tylko dla rozszerzeń, których grupa Galois jest abelowa lub jest rzędu :s;; 8. Znacznie więcej można powiedzieć o istnieniu i gęstości liczb pierwszych, które rozkładają się na ideały pierwsze danego ciała algebraicznego według określonego pra,va. Twierdzenia na ten temat dają się niejednokrotnie wysłowić w języku teorii kongruencji; tak na przykład tzw. twier- <lzenie Probeniusa o gęstości można sformułować w sposób następujący. Niech n(x) będzie liczbą wszystkich liczb pierwszych p :s;; x, a N(x) liczbą tych spośród nich, dla których dany wielomian f ( x) o współczynnikach całkowitych i bez pierwiastków wielokrotnych rozkłada się na czynniki nierozkładalne mod p stopni k 1, k 2,, k. w ów czas. N(x) h lim-. - = -, X-+oo n(x) g

192 A. Sohinzel gdzie g jest rzędem grupy Galois równania f(x)_ = O, a h liczbą tych permutacji w grupie, które rozkładają się na cykle rozłączne długości ku k 2,,kr. Jeżeli h =O, to lim N(x) <ex:>. x~oo Istnieje wiele dzieł, w których wyłożone są podstawy teorii algebraicznych ciał liczbowych np. E. Hecke (1923), E. Landau (1927, tom trzeci, 1928), N. G. Czebotarew (1937), H. Weyl (1940), H. B. Mann (1955), H. Hasse (1963), Z. I. Borewicz i I. R. Szafarewicz (1964). Bardziej zaawansowane części tej teorii nie są w żadnym z języków europejskich systematycznie i obszernie przedstawione; brak ten wyrównują w. pewnej mierze referaty przeglądowe D. Hilberta (1897), Dicksona, Mitchella, Vandivera i Wahlina (Algebraic numbers, 1923, 1928) i Hassego (1926-1930), z których pierwszy zbliża się do monografii. Niektóre z najnowszych wyników podaje S. Lang (1964). Do dowodu twierdzeń o gęstościach (analogicznych do twierdzenia Frobeniusa) przynajmniej w ich. najmocniejszej postaci potrzebna jest analityczna teoria tzw. funkcyj L, wprowadzonych po raz pierwszy przez Dirichleta przy dowodzie twierdzenia o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych postaci ax+b, gdzie (a, b) = 1. Najprostszym przykładem funkcji L jest sławna funkcja ' Riemanna omówiona w artykule S. Knapowskiego (1963). Informacje o ogólnej teorii funkcyj L znaleźć można u Landaua (1928) i N. G. Czudakowa (1947). Ponieważ rozmieszczenie liczb pierwszych zostało omówione w cytowanym artykule Knapowskiego w powiązaniu z teorią funkcji '' pozostaje jeszcze powiedzieć coś o następujących działach: addytywna teoria liczb, funkcje liczbowe, aproksymacje diofantyczne, geometria liczb i geometria asymptotyczna liczb. Addytywna teoria liczb zajmuje się padaniem przedstawień liczb naturalnych przez sumy składników wziętych z pewnych ustalonych zbiorów. Dzieli się oj).a na ogólną i szczegółową. Przykład twierdzenia z teorii ogólnej stanowi następujące twierdzenie Manna. Niech dla danego ciągu rosnącego A liczb naturalnych a 1 < a 2 <...,. k(x) da =lllf--, x;;;:.1 X gdzie k(x) oznacza liczbę wyrazów aj ~x. Jeżeli A= {ai},b ={bi}, zaś A +B jest uporządkowanym według wielkości ciągiem liczb postaci ai, bj oraz ai+bj, to da+b ~ min(l, da +db) W szczególnej addytywnej teorii liczb zbiory składników mają pewną określoną postać. Najsławniejsze i ogólnie znane problemy tej teorii są związane z nazwiskami Waringa i Goldbacha. Dotyczą one przypadków, gdy owe zbiory złożone są odpowiednio z k-tych potęg liczb całkowitych ~O lub z liczb pierwszych.

/ O różnych działach teorii liczb 193 Zagadnienie Waringa dalekie jest od pełnego rozwiązania nawet w przypadku k = 3; udowodniono, że każda dostatecznie duża liczba naturalna jest sumą 7 sześcianów, nie wiadomo jednak czy nie wystarczają już 4. Zagadnienie Goldbacha wydaje się przynajmniej z pozoru bliższe ostatecznego rozwiązania. vvinogradow dowiódł, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta jest sumą trzech liczb pierwszych, a ostatnio kilku autorów (E. Bombieri,.A..A. Buchsztab i.a. I. Winogradow) dowiodło, że każda dostatecznie duża liczba parzysta jest sumą liczby pierwszej i liczby mającej najwyżej 3 czynniki pierwsze (Goldbach przypuszczał, że wystarczają dwie liczby pierwsze). Przegląd wyników ogólnej i szczególnej addytywnej teorii liczb zawiera monografia H. H. Ostmanna (1956). Wyniki osiągnięte metodami elementarnymi w XIX i XX w. przedstawione są odpowiednio przez P. Bachmanna (1901) i przez Gelfonda i Linnika (1962). W szczególnej addytywnej teorii liczb metody elementarne ustępują jednak znacznie co do siły i skuteczności tzw. metodzie sum trygonometrycznych. Najpełniejsze jej przedstawienie zawiera angielskie wydanie monografii Winogradowa (1954 b ), obszerniejsze od rosyjskiego oryginału. Wyniki uzyskane w ostatnim dziesięcioleciu znaleźć można u L. K. Hua (1964) i u.a. Walfisza (1964). Rozmaite warianty problemu Goldbacha omawia Hua (1959). Ostatnio J. W. Linnik stworzył nową metodę tzw. dyspersyjną, zbliżoną ideowo do rachunku prawdopodobieństwa i za jej pomocą dowiódł, że każda dostatecznie duża liczba naturalna jest sumą liczby pierwszej i dwu kwadratów. Wykład tej metody znajduje się w monografii Linnika (1961). Możliwość stosowania metod rachunku prawdopodobieństwa stanowi jedyną chyba obecnie wspólną cechę addytywnej teorii liczb i teorii funkcyj liczbowych. Funkcją liczbową nazywa się każda funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych, przedmiotem badań powyższej teorii są jednak przede wszystkim funkcje liczbowe f(n) addytywne lub multyplikatywne, tj. takie, że dla liczb n, m względnie pierwszych f(nm) równa się odpowiednio f (n) +f (m) lub f (n)f(m). Klasycznym twierdzeniem teorii jest następujące twierdzenie P. Erdosa i M. Kaca o funkcji v(m)-- liczbie czynników pierwszych m. Jeśli kn(wu w 2 ) jest liczbą liczb całkowitych m, 1 ~ m ~n, dla których log log n+w 1 Vlog logn < 11(m) <log logn+w 2 Vlog logn, to (zwraca uwagę analogia z rozkładem normalnym prawdopodobieństwa). Wyniki osiągnięte w teorii funkcyj liczbowych metodami probabilistycznymi przedstawione są w monografii J. Kubiliusa (1962). 13 - Wiadomości matematyczne IX.2

194 A. Schinzel Metody probabilistyczne znajdują również zastosowanie w teorii aproksymacji diofantycznych. Przedmiotem badali tej teorii są rozwiązania całkowite nierówności. Przykładem twierdzenia jest następujący sławny wynik K. ]1. Rotha. Jeżeli {} jest liczbą algebraiczną niewymierną, to dla każdego s > O istnieje takie O(s) >O, że dla wszystkich par liczb całkowitych x, y (y >O) l {}_! I > _a.(s). Y y2+e Nie jest znana żadna metoda obliczenia O(s), mimo to twierdzenie Rotha znajduje ważne zastosowanie w teorii równali diofantycznych. Teorią aproksymacji diofantycznych zajmują się książki J. F. Koksmy (1936) i J. W. S. Casselsa (1957). Do teorii tej należą również badania nad liczbami przestępnymi, z którymi można się zapoznać z wykładów Siegela (1949) oraz monografij Gelfonda (1950) i T. Schneidera (1957). Z teorią aproksymacji diofantycznych wiąże się bardzo ściśle geometria liczb. Przedmiotem badań tej ostatniej są kraty, tj. zbiory punktów przestrzeni n-wymiarowej postaci n n n (,I1 a 1i Xi,,I1 a 2j Xj,,,I1 ani Xj), f=l f=l f=l gdzie aij są rzeczywiste, zaś xi całkowite. Liczba [det(aij)\, niezmienna przy przekształceniach liniowych unimodularnych, nazywa się wyznacznikiem kraty. Jednym z głównych problemów geometrii liczb jest wyznaczenie dla danego obszaru K przestrzeni n-wymiarowej kresu dolnego L1(K) liczb cl takich, że istnieje krata A o wyznaczniku d(a) = d, nie mająca z obszarem K punktów wspólnych poza (O, O,..., O). Klasyczne twierdzenie Minkowskiego orzeka, że jeśli K jest bryłą wypukłą o n-wymiarowej mierze V symetryczną względem (O, O,..., O) to L1 (K);;;; 2-n V. W przypadku gdy K jest kulą n-wymiarową dokładna wartość L1 (K) znana jest dla n ~ 8; dla n > 8 problem pozostaje otwarty. Wyniki geometrii liczb, zwłaszcza w zakresie wymienionego wyżej zagadnienia, mają znaczenie dla arytmetycznej teorii form kwadratowych. Z geometrią liczb można zapoznać się z książek Casselsa (1959) i C. A. Rogersa (1964). Odrębny dział stanowi geometria asyrnptotyczna liczb, zajmująca się badaniem liczby punktów o współrzędnych całkowitych (tzw. punktów kratowych) wewnątrz prostych figur lub brył, np. kul n-wymiarowych. Oznaczając liczbę punktów kratowych w kuli n-wymiarowej o promieniu y,; przez An(x), mamy

/ O różnych działach teorii liczb 195 gdzie wn jest objętością kuli jednostkowej, Rn(x) = o(xn 12 ) ( 4 ) i zagadnienie sprowadza się w tym przypadku do wyznaczenia kresu dolnego Dn liczb 1} takich, że Rn(x) = o(xil). Dotychczasowy stan wiedzy na ten temat wyraża się wzorami 12 1 2 1 n - > fr2 ~ -, - ~Da~-, Dn= - -1 (n~ 4); 37 4 3 2 2 przypadkiem n = 2 zajmuje się Landau (1927, tom drugi), przypadkiem n ~ 4 Walfisz (1957), inne wyniki z asymptotycznej geometrii liczb rozproszone są w pracach specjalnych. Bibliografia Algebraic numbers (1923, 1928), Report of the Committee on algebraic numbers, Bulletin of the National Research Council 8 and 62, Washington D. C. J. Ax and S. Ko chen (1965), Diophantine problems over local fields I, Amer. Journ. of Math. 87, str. 605-630. P. Bachmann (1901), N_iedere Zahlentheorie, Bd. II, Leipzig. E. Bom bieri (1965), On the large sieve, Ma thema tika, 12, str. 201-225. Z. I. Borewicz, I. R. Szafarewicz (1964) (3. M. BopeBIPI, I. P. IllacpapeBIPI}, Teopu!(, "łuce.a, MocRBa-Jlem,rnrpap;. A. A. Buchsztab (1965) (A. A. ByxnITao), Hoebze peay.abmambi e ucc.rie8oeahuu npo6.ae.mbi I'o.ab6axa-9u.aepa u npo6.ae.mbt npocmbix "łuce.a 6.auaHelfoe,,Il;oRJI. ARap;. HayR CCCP 162, str. 735-738. J. W. S. Cassels (1957), An introduction to Diophantine approximation, Cambridge. (1959), An introduction to the geometry of numbers, Berlin-Gottingen-Heidelberg. N. G. Czebotarew (1937) (H. r. qeootapeb), Teopu!t I'a.aya II, MoCRBa- -Jlemrnrpap;. N. G. Czudakow (1947) (H. r. ąyp;arob), Bee8eHue e meopu10 L-rfiyHK,lfUU l(upux.ae, MocRBa-Jlemrnrpap;. H. Davenport (1962), Analytic methods for Diophantine equations and Diophantine inequalities, Ann Arbor, skrypt. L. E. Dickson (1901), Linear groups with an exposition of the Galois Field Theory, Leipzig. - (1919-1923), History of the theory of numbers, 3 vols., Washington D. C. M. Eichler (1962), Einfiihrung in die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen, Basel-Stuttgart. A. o. Gelfond (1950) (A. o. rejibcpohp;), TpaHClfeH8eHmHbie u a.riee6paułf,ec11>ue 1tuc.aa, Mocirna-Jlem,rnrpap;. A. o. Gelfond i J. w. Linnik (1962) (A. o. rejibcpoh,ll; li IO. B. JlHHHHR), 9.ae.MeHmapHbie.Memo8bi e aha.aumu1teckou meopuu "łuce.a, MocRBa. H. Hasse (1926-1936), Bericht iiber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkorper, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 35, str. 1-55, 36, str. 233-311, Erganzung Band 6. (4) Przypominamy, że f(x) = o(g (x)) oznacza, że lim f(x) = O. x.-+oo g(x)

196 A, Schinzel H. Has se (1963), Zahlentheorie, Berlin. - (1964), Vorlesungen iiber Zahlentlieorie, Berlin-Gottingen-Heidelberg. E. Hecke (1923), Vorlesungen iiber die Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig. D. Hilbert (1897), Bericht iiber die Theorie der algebraischen Zahlen, Jber. Deutschen Math.-Verein. 4, str. 175-546. L. K. Hua (1959), Additive Primzahltheorie, Leipzig. Z. Janiszewski (1915), Wstęp ogólny, Poradnik dla samouków, T. I., str. 3-27, Warszawa. S. Knap owski ( 1963), Przegląd niektórych zagadnień analitycznej teorii liczb dotyczących rozkładu liczb pierwszych, Wiadom. Mat. 6, str. 115-134. J. F. Koksma (1936), Diophantische Approximationen, Berlin. J. Kubilius (1962) (fi. Hy61IJIIoc), Bepo!imHocmHMe.Memoihi e meopuu "iuccji,, BIIJibHIOC. E. Landau (1927), Vorlesungen iiber Zahlentheorie, 3 Bande, Leipzig. - (1928), Einfiihrung in die elementare und analytische Theorie der algebraischen Zahlen und Ideale, Leipzig. (1959), Diophantische Gleichungen mit endlich vielen Losungen, Berlin. S. Lang (1962), Diophantine geometry, New York-London. - (1964), Algebraic numbers, Reading (Mass.)-Palo Alto-London. J. W. Linnik (1961) (IO. B. JlIIHHIIH), l{ucnepcuohhbiu.memoa e 6uHapHbix a()()umu6hbix aa()a"iax, JleHIIHrpa;::i;. A. W. Małyszew (1962) (A. B. MaJihlIIIeB), O npeacmamehuu l(c.ttbix "tucm noj1,oj«:umej1,bhbi.mu Keaapamu'l{Hbi.Mu rjjop.ma.mu, Tpy;::i;hl MaTeM. 11HCTIITyTa nm. B. A. CTeHJIOBa LXV, MocHBa-JJenIIHrpa;::i;. H. B. Mann (1955), Algebraic theory of numbers, Columbus (Ohio). L. J. Mordell (1964), Równanie diofantyczne y 2 = ax3+bx 2 +cx+d, Wiadom. Mat. 7, str. 203-210. O. T. O'Meara (1963), Introduction to quadratic forms, Berlin-Gottingen-Heidelberg. H. H. Ostmann (1956), Additive Zahlentheorie, 2 Bande, Berlin-Gottingen- Heidelberg. C. A. Rogers (1964), Packing and covering, Cambridge. T. Schneider (1957), Einfiihrung in die transzendenten Zahlen, Berlin-Gottingen-Heidelberg. C. L. Siegel (1949), Transcendental numbers, Princeton. - (1957), Lectures on quadratic forms, Bombay, skrypt. W. Sierpiński (1950), Teoria liczb, Warszawa-Wrocław. (1964), Elementary theory of numbers, Warszawa. T. Skolem (1938), Diophantische Gleichungen, Berlin. A. Walfisz (1957), Gitterpunkte in mehrdimensionalen Kugeln, Warszawa. (1963), Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Berlin. G. L. Watson (1960), Integral quadratic forms, Cambridge. H. Weyl (1940), Algebraic theory of numbers, Princeton. B. A. Wienkow (1937), (B. A. BeHHOB), 9Jl,e.MeHmapHaR meopu!i tucm, MocHBa-JleHIIHrpa;::i;. I. M. Winogradow (1954a), Elementy teorii liczb, Warszawa. (1954b), The method of trigonometrical sums in the theory of numbers, London-New York. A. I. Winogradow (1965) (A. 11. BIInorpa;::i;oB), flj1,omhocm1wr eunomeaa, 11aB. AHap;. HayH CCCP, 29, str. 903-934.

/ O różnych działach teorii liczb 197 Dodane w korekcie. Ukazały się lub sygnalizowano następujące cenne monografie: z teorii równań diofantycznych J. W. S. Cassels, Diophantine equations with special reference to elliptic curves, J. London Math. Soc. 41 (1966), str. 193-291; z algebraicznej teorii liczb L. Holzer, Klassenkorpertheorie, Leipzig 1966, Algebraic number theory, London-New York 1966, zbiór artykułów; z ogólnej addytywnej teorii liczb H. B. Mann, Addition theorems, New York-London-Sydney 1965.