UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ Krzysztof Janas Michał Krzeszowiec Koło Nauk Aktuarialnych Politechniki Łódzkiej Warszawa, 09-11.06.2008 r.
Plan Założenia wstępne: Teoria oprocentowania Teoria przeżywalności Funkcja generująca oenty Renta życiowa płatna w podokresach Terinowe ubezpieczenie na życie Składka netto Wybrane rozkłady ziennych losowych Przykłady
Teoria procentów Założenia Odsetki kapitalizowane są -krotnie w ciągu roku Stopa procentowa w k-ty okresie n-tego roku inwestycji wynosi I (( n 1) + k) i jest ona zienną losową P( I (0) = 0) = 1. ( I (( n 1) + k) ( 1, ) ) = 1 P Definiujey Y (t) : = ln(1+ I (t)), t = 0,1,2,...
Renta pewna Rentą pewną n-letnią płatną z góry -krotnie w ciągu roku nazyway ciąg płatności 1 w wysokości dokonywanych na początku każdego z n okresów. Wartość obecna takiej renty wyraża się wzore j s a n ( ) = 1 1 n j= 0 k = 0 e Y ( k )
Teoria przeżywalności Założenia T (x) - zienna losowa opisująca przyszły czas życia osoby w wieku x lat = P( T ( x) t) t p x > q = P( T ( x) t) = 1 t x t t u q x = P( t < T ( x) t + u p x ) K (x) - liczba okresów o długości roku całkowicie przeżytych przez osobę w wieku x lat l(x) - liczba osób z początkowej kohorty, które dożyły wieku x lat d(n) - liczba osób które zarły w wieku n lat 1
Założenie UDD Założenie UDD (jednostajnego rozkładu zgonów) przyjuje, że w okresie roku rozkład zgonów jest równoierny Przy ty założeniu prawdziwy jest wzór r 1 s+ q x = l ( x + s) l( x + s + l ( x) 1) Prawdopodobieństwo zgonu w każdy z okresów w dany roku jest jednakowe
Funkcja generująca oenty Funkcją generującą oenty ziennej tx losowej X nazyway M ( t) = E[ e ] Wiadoo, że dla ciągu niezależnych ziennych losowych zachodzi wzór M X X n = M i= 1 + X +... + X ( t) X ( ) t 1 2 n i
Renta życiowa Rentą życiową n-letnią płatną z góry -krotnie w ciągu roku nazyway struień 1 wypłat w wysokości dokonywanych na początku każdego z n okresów, jednak nie dłużej niż do śierci ubezpieczonego. Płatności tej renty nie są pewne.
Wartość obecna renty życiowej Wartość obecna renty życiowej jest zienną losową opisaną wzore X = a ( ) s 0 T ( ) s a n Wartością aktuarialną (składką jednorazową netto) takiej renty życiowej będziey nazywali wartość oczekiwaną ziennej losowej X^ i oznaczay ( ) sybole s a x : n T T < n n
Twierdzenie 1 Załóży, że zienne losowe są niezależne, Y rozkład oraz E[ e ają ten sa ] <, t = 1,..., n 1. Przyjijy założenie UDD o śiertelności ciągu roku. Wówczas ( ) n 1 k + 1 ( k + 1) + 1 1 u u n 1 d( x + k) + l( x + n) ( u u ) a s x gdzie = oraz K ( 1), Y (2),..., Y ( n 1) Y ( t) ] <, E[ e 2Y, Y (0), Y (1),..., Y ( n 1) : n l( x)(1 u) k = 0 1 u k 1 w k 1 u k 1 [ uw] ˆ 2 1 1 n + E[ X ] = + 2 3 1 w( w ) 2( wu [ uw] ) [ d( x + k)[ 1 w 1 u 1 uw + l( x) k = 0 1 w 2 k 1 u k 1 [ uw] 2u ( u ) uw [ uw] + 1 u 2 1 uw ]] + 2 ( u 1) 1 uw n n 1 n 1 n 1 n 1 1 l( x + n) w w 2 u 1 k w w uw u w + + 2 u + u 2 2 l( x) 1 w ( u 1) 1 w 1 uw ( t) 2 2 u = ( 1) ( w = ( 2). ( M Y 1) M Y 1)
Terinowe ubezpieczenie na życie Ubezpieczenie na życie nazyway uowę, w której ubezpieczyciel zobowiązuje się w przypadku śierci ubezpieczonego do wypłaty pewnej kwoty pieniędzy osobo uposażony. Rozważać będziey n-letnie ubezpieczenie na życie wypłacające 1 na koniec -tego podokresu w roku, w który nastąpiła śierć.
Wartość obecna terinowego ubezpieczenia na życie Wartość obecna n-letniego ubezpieczenia na życie jest zienną losową postaci n+ r n+ Y ( k ) k= 1 gdzie s v = e. Składką jednorazową netto tego ubezpieczenia nazyway wartość oczekiwaną ziennej 1( ) losowej. Ẑ r Zˆ i oznaczay sybole = s v K + 1 0 0 T T < n n s A x : n
Twierdzenie 2 Załóży, że zienne losowe są niezależne, rozkład oraz Y E[ e, Y (0), Y (1),..., Y ( n 1) ają ten sa Przy założeniu UDD oraz przy oznaczeniach K ( 1), Y (2),..., Y ( n) Y ( t) 2Y ( t) ] <, E[ e ] <, t = u = M Y 1) ( 1) oraz ay ( w = M 1) ( 2) Y ( n 1 1( ) u( 1 u ) k (i) s Ax: n = d( x + k) u l( x)(1 u) k = 0 1,...,. (ii) E[ Zˆ 2 ] = w(1 w ) l( x)(1 w) n 1 k = 0 d( x + k) w k
Składka netto Składką netto w ubezpieczeniu na życie nazyway łączną wysokość rocznych rat płatnych w wyniku zawarcia uowy ubezpieczenia. Będziey zakładali, że składka płatna jest -krotnie w ciągu roku. Składkę obliczay w oparciu o etodę równoważności, tzn. wartość obecna przyszłych świadczeń równa jest wartości obecnej przyszłych płatności dokonywanych przez ubezpieczonego. 1( ) Składka netto wyraża się wzore s x: n. s P = s A a ( ) x: n
Twierdzenie 3 Załóży, że zienne losowe są niezależne, rozkład oraz, Y (0), Y (1),..., Y ( n) ają ten sa Przyjijy założenie UDD o śiertelności w ciągu roku. Wówczas n 1 2 k u(1 u ) d( x + k) u s P = n 1 k = 0 K Y ( 1), Y (2),..., Y ( n) Y ( ) [ t 2Y ( t) E e ] <, E [ e ] <, t = 1,..., n. u d( x + k) k + 1 u 1 u k = 0 ( k + 1) + 1 + l( x + n)(2 u u n 1 ). gdzie u = M Y ( 1) ( 1) oraz w = M Y ( 1) ( 2).
Wybrane rozkłady Typ rozkładu M Y ( ) Y 1 ( 1) 1 t M M Y ( 2) P( Y 1 ( t) = 0,05) = 1 t e 0, 05 0,95123 0,90484 f ( x) = 400x 40 400 0 x (0;0,05) x x [0,05;0,1) x (0;0,1) Γ(5;100) 2 6000( x + 0,1x ) f ( x) = 0 x [0;0,1] x [0;0,1] 1 2e 400 0,05 t + t 2 100 100 t t + 20+ te 600 t 3 5 0,1 t e 20e 10 U (0;0,1) ( 0, 1t e 1) U ({0;0,01;0,02;,...;0,1}) Γ( 1;20) = Exp(20) Γ(0.05;1) t 1 11 10 e k = 0 20 20 t 1 1 t 0,01kt 0,05 0,1t 0,1t 0,95143 0,90559 0,95147 0,90573 0,95147 0,90574 0,95163 0,90635 0,95163 0,90665 0,95171 0,90909 0,96594 0,94655
Przykład 1 Rozważy osobę w wieku 25 lat, która chce zakupić 40-letnie ubezpieczenie na życie ze składką netto płatną na początku każdego iesiąca i ewentualny świadczenie pośiertny płatny na koniec iesiąca, w który nastąpiła śierć. Załóży, że zienne losowe Y są niezależne i 12 (1),...,Y12(480), K Y 12 12(1),...,Y12(480) ają ten sa rozkład. Przyjijy również założenie UDD o wyieralności w ułakowych okresach roku. Paraetry wyżej opisanego produktu, w zależności od rozkładu ziennych losowych Y 12 ( t) zawiera tabela (zakładay, że : E Y 12 ( t) = 0, ) [ ] 005
Przykład 1 c.d. Typ rozkładu P( Y 12 ( t) = 0,05) = 1 f ( x) = 40000x 400 40000 0 Γ(5;1000) U (0;0,1) x (0;0,005) x x [0,005;0,01) x (0;0,01) 12 s a 5 1(12) ˆ 2 10 A s ˆ 2 E[ X 5 12 ] Var[ X ] 10 P 25:40 25:40 12 s 12 14,813 4412,5 1609 0,01414 297,89 14,817 4414,9 1611 0,01416 297,96 14,818 4415,3 1611 0,01416 297,97 14,822 4417,2 1613 0,01418 298,02
Przykład 2 Rozważy przykład analogiczny do poprzedniego przy założeniu =1 (składka roczna płatna jest na początku każdego roku, zaś świadczenie pośiertne płatne jest na koniec roku śierci). Załóży do tego, że E Y ( t) [ 0,06]. 1 = Wówczas otrzyujey następującą tabelę
Przykład 2 c. d. Typ rozkładu P( Y 12 ( t) = 0,06) = 1 2500 (0;0,06) 100 9 x x 2500 f ( x) = [0,06;0,12) 3 (0;0,12) 0 9 x x x Γ(6;100) U (0;0,12) 1 s a 5 1(1) 2 10 s A [ X 1 ] 25:40 25:40 E ˆ ˆ 2 Var[ ] X 1 5 s 10 P 15,908 4292,21 0,01522 0,01338 269,81 15,962 4319,87 0,01547 0,01360 270,64 15,961 4319,69 0,01546 0,01360 270,64 16,015 4347,76 0,01572 0,01383 271,48 1
Dziękujey za uwagę