Eda ŁUKASIK Baa PAŃCZYK Ja SIKOA CAŁKOWANIE SYMBOLICZNE W METODZIE ELEMENTÓW BZEGOWYCH FOUIEA STESZCZENIE Tradcja moda lmów brzgowch MEB pozwala zskać rozwąza problm, al lko w przpadk sa zago rozwązaa fdamalgo. Bardzj wrsal podjśc ofrj MEB Forra, kóra ralzj, prz pwch założach, oblcza bz zajomośc rozwązaa podsawowgo. ówoważość ob mod zosała pokazaa w prac. Współczk osaczgo kład rówań lowch wzacza są w przsrz Forra. W arkl zaprzowao mplmację całkowaa smbolczgo w pakc Malab do wzaczaa całk osoblwch w MEB Forra. Słowa klczow: Moda Elmów Brzgowch Galrka Forra, całkowa smbolcz. WSTĘP Moda lmów brzgowch MEB [5] js mrczą modą rozwązwaa rówań całkowo-brzgowch, w kórch poszkwaa fkcja dr Eda ŁUKASIK, dr Baa PAŃCZYK -mal: daf@cs.pollb.pl, baap@cs.pollb.pl prof. dr hab. ż. Ja SIKOA -mal: sk59@wp.pl Is Iformak, Is Elkrok Tchk Iformacjch, Polchka Lblska PACE INSTYTUTU ELEKTOTECHNIKI, zsz 60, 0
30 E. Łkask, B. Pańczk, J. Skora zajdj sę pod zakm całk oblczaj po brzg pwgo obszar. Do oblczń całk zwkl sosowa js całkowa mrcz [3, 5]. Clm jszj prac js zasosowa smbolczgo całkowaa [] do wzacza współczków kład rówań MEB Forra [] a przkładz rówaa Possoa, z wkorzsam zamplmowago w Malab pak do oblczń smbolczch [8].. METODA ELEMENTÓW BZEGOWYCH FOUIEA Załóżm, ż da js obszar o brzg z warkam brzgowm Drchla zdfowam a Nmaa zdfowam a. Podsawowm rówam MEB w -wmarowj przsrz js wówczas:, f z warkm brzgowm:,, gdz: zaa wlkość, f zaa warość w obszarz, k / opraor Laplac a. k Srmń a brzgach obszar opsj wd rówa: z warkm brzgowm: gdz: A, 3,, grad poszkwaj fkcj, wkor ormal skrowa a zwąrz obszar,
Całkowa smbolcz w modz lmów brzgowch Forra 3 -wmarow wkor, d ozacza d d lb d d d 3, A opraor brzgow, / k pochoda cząskowa ozaczaa jako k. Torcz podsaw MEB Forra przdsawoo w prac [], a skróow ch ops w [3]. W jszm arkl zosaą poda jd zbęd dfcj wrdza kocz do przdsawa procs oblczaa całk osoblwch w przsrz Forra. Trasformacja Forra -wmarowa: F, L, js zdfowaa jako:, d,, k k. 4 k Podsawą mod MEB Forra są dwa wrdza: Twrdz Parsvala:. 5 d d,, Twrdz o sploc w przsrz Forra w posac: F d. 6 Jśl locz skalar zosa zapsa w posac a, b a b d, zaś splo jako a b a b d, o wzor 5,6 mają odpowdo posać 7, 8:,,, 7
3 E. Łkask, B. Pańczk, J. Skora F. 8 Trasformacja kład rówań różczkowch cząskowch do przsrz Forra przkszałca opraor różczkow P w wraż algbracz P : F f - f, 9 gdz: P k k. 0 Fdamal rozwąza w przsrz Forra sprowadza sę do: F f f. Zgod z rozwąza: U F - U, po rasformacj do przsrz Forra sprowadza sę do wzacza odwroośc P : U. 3 Tak podjśc moż bć zasosowa do wszskch rówań różczkowch lowch z sałm współczkam. ozwąza fdamal dla akch rówań przsrz Forra js zam zawsz za []. Dla lmów prosch, wkor ormal k js lokal zalż od, wobc czgo: k k F k k U U U U 4 k j k U U j F j k j k U U
Całkowa smbolcz w modz lmów brzgowch Forra 33 Klascza MEB bazj a formłach Gra j. a zam rozwąza fdamalm. MEB Forra przdsawoa w prac [] js szczgól rsjąca w przpadk brak akgo rozwązaa. Osacz MEB Forra js przrasformowaą do przsrz Forra modą MEB Galrka [6] z zasosowam fdamalch wrdzń or dsrbcj [7] sprowadza sę do rozwązaa kład rówań różczkowch cząskowch posac [, 4]: j j j j K F H G, 5 gdz współczk są zdfowa w przsrz Forra wzoram: j j F, f U j j H, U j j, G A U j K : j,, 6 Za za warośc są aproksmowa przz sm wlomaów fkcj sowch z współczkam posac: N. 7 Fkcj sow względm pow bć co ajwżj low. 3. PODSTAWY OBLICZEŃ SYMBOLICZNYCH W MATLABIE Smbolc Mah ToolBo [8] w Malab dosarcza arzędz do wkowaa oblczń a wrażach smbolczch []. Pak wposażo js w fkcj do smbolczgo wzaczaa grac, rozwązwaa rówań, różczkowaa całkowaa.
34 E. Łkask, B. Pańczk, J. Skora Smbolcz oprogramowa dfj ow p zwa obkm smbolczm ag. smbolc objc. Js o srkra dach, kóra zawra smbol przdsawo w posac łańccha. Obk rprzją zm smbolcz, cał wraża macrz. Oblcza smbolcz wkowa są a baz pak Mapl. Pak do oblczń smbolczch pozwala ralzować oblcza smbolcz poprzz odpowd zdfowa smbolczch wrażń opro-wa a ch za pomocą fkcj wwołwach podob jak zwkł fkcj Malaba. Polca sm sms dklarją zm wraża smbolcz. Na przkład ab zralzować smbolcz oblcza dla fkcj kwadraowj posac: f = a + b + c alż zadklarować zm w asępjąc sposób: a = sm'a' b = sm'b' c = sm'c' = sm'' lb jdm polcm: sms a b c Usęc zmch z pamęc Mapl js jdozacz z sęcm zmch z przsrz roboczj Malaba. Na przkład jśl js zadklarowa jako zma p ral za pomocą polca: sms ral o js obkm smbolczm w przsrz Malaba oraz dodaą zmą p ral dla Mapl. Polc: sms ral zos dklarację p ral dla zmj, a polc: mapl rsar swa wszsk dklaracj zmch z przsrz Mapl. Polc: clar swa lko z przsrz roboczj Malaba. Na przkład dla zmj p ral, polc: sms bz sęca z jądra Mapl, dla Malaba cągl ozacza, ż js dodaą zmą p ral.
Całkowa smbolcz w modz lmów brzgowch Forra 35 f Jśl f js wrażm smbolczm o: 3.. Całkowa smbolcz zajdj wraż smbolcz F, ak ż jgo pochoda: dfff = f. Ozacza o, ż wkm wwołaa fkcj f js smbolcza posać całk ozaczoj z fkcj f. Polc: f, v ozacza, ż wraż f ma bć całkowa względm smbolczj zmj v. Całkowa smbolcz js rdm zadam oblczowm. Całka F moż sć w ogól lb jj posać moż bć wrażoa za pomocą skomplkowaj fkcj. Całka F moż sć, al oprogramowa będz w sa jj wzaczć lb moż porzbować zb wl czas pamęc a ralzację oblczń. Tm mj dla wl zadań, Malab js w sa wzaczć smbolczą posać całk a w raz powodza zwraca js po pros wk posac wraża wjścowgo: f. Możlw js rówż smbolcz wzacza całk ozaczoch. Polca: oraz f, a, b f, v, a, b wzaczają smbolcz wraża okrślając odpowdo całk posac: b a f d. b a f v dv. 3.. Całkowa z paramram rzczwsm Jdą z sblośc oblczń smbolczch są róż dzdz paramrów całkowaa.
36 E. Łkask, B. Pańczk, J. Skora Na przkład, jśl a js zadklarowa jako dodaa zma p ral, a o wraż js okrślo dodam waroścam krzwj w kszałc dzwo zbżj do 0 prz. Na przkład dla a = / mam: sms a = sm/; f = p a * ; Jdak prz oblcza całk a d, bz okrśla p zmj a, Malab założ, ż a js lczbą zspoloą dlago zwróc wk w posac zspoloj. W przpadk kd a ma bć dodaą lczbą p ral, całka powa bć oblczaa za pomocą asępjącch polcń: sms a posv; sms ; f = p a * ; f,, f, f W wk orzmj sę: as = /a/ * p/. W cl wzacza całk dla dowolj warośc rzczwsj zmj a kocz dodaj, paramr a alż zdfować asępjąco: sms a ral f = p a * ; F = f,, f, f 4. CAŁKOWANIE SYMBOLICZNE W ÓWNANIU POISSONA Prakcz oblcza całk osoblwch zosaą pokaza a przkładz rozwązaa rówaa Possoa, zdfowago a dwwmarowm obszarz [ 0,] [0,], z wwęrzm, sacjoarm źródłm cpła f. Tmprara a brzg go obszar ma warość 0. Prz ch warkach, problm Drchla prowadz do rówaa Possoa posac:
Całkowa smbolcz w modz lmów brzgowch Forra 37 f, 8, 0. Brzg zosał podzlo a 8 lmów []. ozwązam fdamalm js fkcja: l, U U, 9 gdz: l,,, U U. 0 Prz wark = 0 kład rówań lowch 5 rdkj sę do kład: j j H F 0, gdz: j j d d U H, j j d d U f F. 3 Fkcj sow dla go przpadk w przsrz Forra mają posać []: / / /, 4 / / / /, 5 / / 3 /. 6
38 E. Łkask, B. Pańczk, J. Skora Prz dskrzacj brzg kwadra jdoskowgo ośmoma lmam, kład rówań do rozwązaa js posac: 8 j j, U, f U, j,...,8. 7 Czl p.: H, U / / d d 8 Elm lżąc a główj przkąj macrz kład, są okrślo całkam osoblwm, wzaczam smbolcz w Malab. Ab wzaczć warość H w przsrz Forra zosała wkorzsaa ożsamość z []: sg d 9 Oraz wrdz Parsvala 5 w posac: d d 30 Osacz: / / H d d / / d / / sg d 3 d
Całkowa smbolcz w modz lmów brzgowch Forra 39 5 [] sg 3 / / sg F F 3 l 3 F d / / / / d Lsg przdsawa kod źródłow do smbolczch oblczń dwóch przkładowch warośc całk osoblwch zajdjącch sę a główj przkąj macrz. d Lsg. Oblcza całk w przsrz Forra %ozb a poszczgól krok %oblcza calk h, h clar all clar mapl sms w % dsp'trasformaa Forra sg/^3:' forrsgm=rsgw % dsp'trasformaa Forra ff :' forrff=smplfforrf*f dsp'trasformaa Forra locz sgm f*f:' f=rsgw.*forrff dsp'calka z locz rasforma:' f=smplff, f,f./.*p./.*p./ H=sbsf % dsp'trasformaa Forra ff :' forrff=smplfforrf*f dsp'trasformaa Forra locz sgm f*f:' f=rsgw.*forrff dsp'calka z locz rasforma:' f=smplff, f,f./.*p./.*p./ H=sbsf
40 E. Łkask, B. Pańczk, J. Skora Do oblczń wkorzsao pomoccz fkcj rsg, f f, kórch kod źródłow pokazao a Lsg. Lsg. Kod pomocczch fkcj fco f = rsg %rasformaa sgm/^3 f=.*.*logabs 3./; d fco f=f %bz dzla przz względo w sg f=.*p.*./ ; fco f=f %bz dzla przz względo w sg f=.*p.* p.*./; Procs oblczń w przsrz Forra przdsawa zrz kra zaprzowa a rsk. s.. Zrz kra z oblczam w przsrz Forra przkładowj całk osoblwj H
Całkowa smbolcz w modz lmów brzgowch Forra 4 Z rsk wka, ż osacz całka H w Malab smbolcz wos: z locz rasforma -log/4 + 3/8/*p = -/6l+3, co daj przblżoą warość rzczwsą: H = -0.0873. Uproszczo do mmm procs oblczow z Lsg przdsawa Lsg 3. Lsg 3. Oblcza smbolcz w ajkrószm z zapsów %Oblcza smbolcz całk w przsrz Forra clar all clar mapl sms w %H: f=rsgw.*smplfforrf*f ; H=smplff, f,f./.*p./.*p./; H=sbsH %H: f=rsgw.*smplfforrf*f ; H=smplff, f,f./.*p./.*p./; H=sbsH Dla rozważago przpadk, wszsk lm przkąow H, =,...,8 mają aką samą warość jak H wzaczaą w aalogcz sposób. Oblczając warośc całk osoblwch H w radcjj modz MEB sosj sę mod mrcz [5], kór zasosowa do aalzowago przpadk dał dokład ak sam rzla. Wzacza całk osoblwch modam mrczm zosało dokład omówo w pozcj [3]. Koljm problmm js procs oblczow całk lżącch poza główą przkąą. Są o jż całk osoblw, a ch warośc wzacza sę mrcz. 5. WNIOSKI Moda lmów brzgowch Forra js o l rsjąca, ż moża ją zasosować do rozwązwaa kładów rówań różczkowch cząskowch,
4 E. Łkask, B. Pańczk, J. Skora dla kórch js zaa posać rozwązaa fdamalgo. Ns mplmacja Forr BEM js zacz rdjsza ż klasczj mod. W arkl pokazao możlwość wkorzsaa oblczń smbolczch pak Malab do wzaczaa współczków macrz sa okrśloch za pomocą całk osoblwch. LITEATUA. Dddck F.: Forr BEM. Gralzao of Bodar Elm Mhod b Forr Trasform. Sprgr. Brl, 00.. Łkask E., Pańczk B., Skora J, Mhods of Opmsao ad Daa Aalss. Slcd Isss, scfc dors: Ksra Nrmd ad Tomasz Komorowsk, chapr 8 : Malab smbolc grao for Galrk BEM, sr. 37-55, Szczc 00. 3. Łkask E., Pańczk B., Skora J., Całkowa mrcz aalcz a przkładz mod lmów brzgowch Galrka, Mod formak Sosowaj. 0, r 3, s. 9-04. 4. Pańczk B., Skora J., "Torcz podsaw mod lmów brzgowch Forra", IAPGOS, zsz /0. 5. Skora Ja, "Podsaw mod lmów brzgowch", wdawcwo ksążkow Is Elkrochk, Warszawa 009. 6. Sradhar A., Palo G.H., Gra L. J., "Smmrc Galrk Bodar Elm Mhod", Sprgr-Vrlag, Brl Hdlbrg 008. 7. Zagórsk A., "Mod mamacz fzk", Ofca Wdawcza Polchk Warszawskj, Warszawa 007. 8. hp://www.mahworks.com ękops dosarczoo da.08.0 r. SYMBOLIC INTEGATION FO FOUIE BOUNDAY ELEMENT METHOD Eda ŁUKASIK, Baa PAŃCZYK, Ja SIKOA ABSTACT Th radoal Bodar Elm Mhod BEM allows for h solo of h problm, b ol f hr s a kow fdamal solo. A mor vrsal approach h Forr BEM offrs. I mplms, dr cra assmpos, calclaos who kowg h fdamal solo. Th qvalc of boh mhods s show. Coffcs of h fal ssm of lar qaos ar drmd h Forr spac. Th papr prss h mplmao of h smbolc grao MATLAB o drm h sglar grals Forr BEM. Kwords: Forr Bodar Elm Mhod, Galrk Bodar Elm Mhod, smbolc grao
Całkowa smbolcz w modz lmów brzgowch Forra 43 Dr Eda ŁUKASIK kończła sda mamacz a UMCS w Lbl. Tł dokora zskała a Wdzal Mamak, Fzk Iformak UMCS w Lbl w rok 007. Tł rozpraw dokorskj: Mod racj dla lowch rglar osoblwch kładów rówań. Od 998 rok pracowk akow Polchk Lblskj. W laach 998-007 zardoa a saowsk assa, a od maja 007 a saowsk adka w Isc Iformak PL. Obszar zarsowań akowch o przd wszskm jęzk programowaa algormzacja, srkr dach, mod mrcz mod opmalzacj. Dr Baa PAŃCZYK kończła sda mamacz a UMCS w Lbl. W laach 989-0 pracowk akow ass, adk w Isc Iformak Polchk Lblskj. Tł dokora zskała w rok 996 a Wdzal Elkrczm PL. Tma rozpraw dokorskj: Kosrkcja obraz rozkład właścwośc fzczch obk modą Impdacjj Tomograf Komprowj. Od rok 0 a saowsk sarszgo wkładowc. Obszar zarsowań ddakczch akowch o mod mrcz jęzk programowaa. Prof. dr hab. ż. Ja SIKOA kończł Wdzał Elkrcz Polchk Warszawskj. W cąg 34 la prac zawodowj zdobł wszsk sop, ł saowska łącz z saowskm profsora zwczajgo a swojj macrzsj czl. Z Ism Elkrochk w Warszaw js zwąza od 998 rok. Od rok 008 pracj a Wdzal Elkrochk Iformak Polchk Lblskj w Kadrz Elkrok. W laach 00-004 pracował jako Sor sarch Fllow w Uvrs Collg Lodo w Grp Tomograf Opczj Prof. S. Arrdg a. Jgo zarsowaa akow skpają sę wokół mrczch mod pola lkromagczgo.
44 E. Łkask, B. Pańczk, J. Skora