z wykorzystaniem relacyjnych systemów dual tableaux Instytut Filozofii, Uniwersytet Warszawski j.golinska@uw.edu.pl I Ogólnopolska Konferencja Filozofia w logice i informatyce Warszawa, 6 listopada 2015
Plan 1 Systemy dedukcyjne 2 Dual tableaux 3 Logika relacyjna 4 Relacyjne dual tableaux 5 Relacyjne procedury decyzyjne
Motywacje Jedno z najważniejszych zadań projektu AI (Artificial Intelligence) i KR (Knowledge Representation): wypracowanie metod reprezentacji wiedzy i wnioskowań za pomoca środków zrozumiałych dla komputerów.
Motywacje Jedno z najważniejszych zadań projektu AI (Artificial Intelligence) i KR (Knowledge Representation): wypracowanie metod reprezentacji wiedzy i wnioskowań za pomoca środków zrozumiałych dla komputerów. Logiki nieklasyczne i formalne systemy dowodowe oferowane przez logikę maja ogromny potencjał aplikacyjny. Metody logiczne znalazły zastosowanie w różnych dziedzinach, w szczególności w sztucznej inteligencji i technologiach informacyjnych.
Motywacje Jedno z najważniejszych zadań projektu AI (Artificial Intelligence) i KR (Knowledge Representation): wypracowanie metod reprezentacji wiedzy i wnioskowań za pomoca środków zrozumiałych dla komputerów. Logiki nieklasyczne i formalne systemy dowodowe oferowane przez logikę maja ogromny potencjał aplikacyjny. Metody logiczne znalazły zastosowanie w różnych dziedzinach, w szczególności w sztucznej inteligencji i technologiach informacyjnych. Relacyjne systemy dedukcyjne w stylu dual tableaux stanowia ważny nurt badań w teorii automatycznej dedukcji i logicznej reprezentacji wiedzy.
Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł
Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie
Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie rachunek sekwentów Gentzena
Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie rachunek sekwentów Gentzena tablice analityczne Beth 1955, Hintikka 1955
Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie rachunek sekwentów Gentzena tablice analityczne Beth 1955, Hintikka 1955 Diagramy Rasiowa-Sikorski 1960
Systemy dedukcyjne Systemy aksjomatyczne Systemy w stylu Hilbertowskim: aksjomaty (wiele) + reguły (jedna lub kilka) dowód skończony ciag formuł Systemy nie-hilbertowskie rachunek sekwentów Gentzena tablice analityczne Beth 1955, Hintikka 1955 Diagramy Rasiowa-Sikorski 1960 Tableaux Smullyan 1968, Fitting 1990
Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego
Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker
Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n
Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja
Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT
Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT Reguły zachowuja tautologiczność formuł
Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT Reguły zachowuja tautologiczność formuł aksjomaty wyróżnione zbiory formuł
Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT Reguły zachowuja tautologiczność formuł aksjomaty wyróżnione zbiory formuł Dowód: drzewo dekompozycji
Systemy dual tableaux Systemy oparte na diagramach Rasiowej-Sikorskiego Systemy typu validity checker Φ Reguły maja postać: Φ 1... Φ n, meta-alternatywa meta-koniunkcja X jest TAUT meta-alternatywa formuł z X jest TAUT Reguły zachowuja tautologiczność formuł aksjomaty wyróżnione zbiory formuł Dowód: drzewo dekompozycji Dowód formuły: istnienie odpowiedniego drzewa
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Reguły dekompozycji dla spójników: (RS ) (RS ) ϕ ψ ϕ, ψ ϕ ϕ (RS ) (ϕ ψ) ϕ ψ Reguły dekompozycji dla kwantyfikatorów: (RS ) xϕ(x) ϕ(z) (RS ) xϕ(x) ϕ(z), xϕ(x) z jest nowa zmienna z jest dowolna zmienna
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Reguły specyficzne: (RS=) ϕ(x) x = y, ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x) ϕ jest formuła atomowa, y jest dowolna zmienna
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Reguły specyficzne: (RS=) ϕ(x) x = y, ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x) ϕ jest formuła atomowa, y jest dowolna zmienna Aksjomaty: Dowolny nadzbiór: {ϕ, ϕ} lub {x = x}
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Reguły specyficzne: (RS=) ϕ(x) x = y, ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x) ϕ jest formuła atomowa, y jest dowolna zmienna Aksjomaty: Dowolny nadzbiór: {ϕ, ϕ} lub {x = x} Twierdzenie Φ Niech będzie RS-reguła. Wówczas Φ jest RS-zbiorem Φ 1 Φ 2 wtedy i tylko wtedy, gdy Φ 1, Φ 2 sa RS-zbiorami.
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ}
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ} Każdy wierzchołek, z wyjatkiem korzenia, powstaje przez zastosowanie jednej z reguł do jego poprzednika.
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ} Każdy wierzchołek, z wyjatkiem korzenia, powstaje przez zastosowanie jednej z reguł do jego poprzednika. Wierzchołek nie ma następnika wtedy i tylko wtedy, gdy jest aksjomatyczny lub nie stosuje się do niego żadna z reguł.
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ} Każdy wierzchołek, z wyjatkiem korzenia, powstaje przez zastosowanie jednej z reguł do jego poprzednika. Wierzchołek nie ma następnika wtedy i tylko wtedy, gdy jest aksjomatyczny lub nie stosuje się do niego żadna z reguł. Gałaź domknięta Gałaź zawierajaca zbiór aksjomatyczny.
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Drzewo dowodowe dla ϕ Korzeń drzewa = {ϕ} Każdy wierzchołek, z wyjatkiem korzenia, powstaje przez zastosowanie jednej z reguł do jego poprzednika. Wierzchołek nie ma następnika wtedy i tylko wtedy, gdy jest aksjomatyczny lub nie stosuje się do niego żadna z reguł. Gałaź domknięta Gałaź zawierajaca zbiór aksjomatyczny. Drzewo domknięte Drzewo, w którym wszystkie gałęzie sa domknięte.
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Dowodliwość Formuła jest dowodliwa w systemie RS, gdy istnieje dla niej domknięte drzewo dowodowe.
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Dowodliwość Formuła jest dowodliwa w systemie RS, gdy istnieje dla niej domknięte drzewo dowodowe. Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej formuły ϕ logiki 1-go rzędu z identycznościa następujace warunki sa równoważne:
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa Dowodliwość Formuła jest dowodliwa w systemie RS, gdy istnieje dla niej domknięte drzewo dowodowe. Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej formuły ϕ logiki 1-go rzędu z identycznościa następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia logiki 1-go rzędu z identycznościa. 2 ϕ jest dowodliwa w systemie RS.
Przykład x(ϕ ψ(x)) (ϕ xψ(x)) x(ϕ ψ(x)) (ϕ xψ(x)) (RS 2) x(ϕ ψ(x)), ϕ, xψ(x) (RS ) z now a zmienna z x(ϕ ψ(x)), ϕ, ψ(z) (RS ) ze zmienn a z (ϕ ψ(z)), ϕ, ψ(z),... ϕ, ϕ,... domknięta (RS ) ψ(z), ψ(z),... domknięta
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa System RS można sformułować w wersji negatywnej.
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa System RS można sformułować w wersji negatywnej. System RS jest dualna wersja systemu w stylu tableau, tzn. istnieje funkcja przekładu drzew dowodowych w systemie RS na drzewa w systemie tablicowym (i odwrotnie).
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa System RS można sformułować w wersji negatywnej. System RS jest dualna wersja systemu w stylu tableau, tzn. istnieje funkcja przekładu drzew dowodowych w systemie RS na drzewa w systemie tablicowym (i odwrotnie). Dowód w systemie RS jest łatwo przekładalny na dowód w systemie Hilbertowskim, dowód w rachunku sekwentów Gentzena, dowód w systemie rezolucji.
System RS dla logiki 1-go rzędu z identycznościa System RS można sformułować w wersji negatywnej. System RS jest dualna wersja systemu w stylu tableau, tzn. istnieje funkcja przekładu drzew dowodowych w systemie RS na drzewa w systemie tablicowym (i odwrotnie). Dowód w systemie RS jest łatwo przekładalny na dowód w systemie Hilbertowskim, dowód w rachunku sekwentów Gentzena, dowód w systemie rezolucji. Kwestie te sa szczegółowo dyskutowane w ksiażce: E. Orłowska, J. Golińska-Pilarek, Dual Tableaux: Foundations, Methodology, Case Studies, Springer 2011.
Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH
Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest Logika RL LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH Logiczny odpowiednik reprezentowalnych algebr relacyjnych Tarskiego.
Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest Logika RL LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH Logiczny odpowiednik reprezentowalnych algebr relacyjnych Tarskiego. Wspólne jadro wielu logik nieklasycznych.
Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest Logika RL LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH Logiczny odpowiednik reprezentowalnych algebr relacyjnych Tarskiego. Wspólne jadro wielu logik nieklasycznych. Wiele logik, różniacych się językiem, aksjomatyka i/lub semantyka, można wyrazić jako teorie logiki relacyjnej:
Relacyjne systemy dual tableaux Klasyczna i najbardziej użyteczna logika relacyjna jest Logika RL LOGIKA RL RELACJI DWUARGUMENTOWYCH Logiczny odpowiednik reprezentowalnych algebr relacyjnych Tarskiego. Wspólne jadro wielu logik nieklasycznych. Wiele logik, różniacych się językiem, aksjomatyka i/lub semantyka, można wyrazić jako teorie logiki relacyjnej: (wielo) modalne intuicjonistyczne wielowartościowe temporalne dynamiczne relewantne logiki do wnioskowań o przestrzeni logiki informacyjne logiki rozmyte
Logiki relacyjne dlaczego? Szeroka stosowalność.
Logiki relacyjne dlaczego? Szeroka stosowalność. Elementy struktur relacyjnych moga być interpretowane jako możliwe światy, punkty czasowe (interwały), stany maszyny Turinga, etc.
Logiki relacyjne dlaczego? Szeroka stosowalność. Elementy struktur relacyjnych moga być interpretowane jako możliwe światy, punkty czasowe (interwały), stany maszyny Turinga, etc. Zyskujemy kompozycyjność: operatory intensjonalne interpretowane sa w logice relacyjne jako obiekty kompozycyjne.
Logiki relacyjne dlaczego? Szeroka stosowalność. Elementy struktur relacyjnych moga być interpretowane jako możliwe światy, punkty czasowe (interwały), stany maszyny Turinga, etc. Zyskujemy kompozycyjność: operatory intensjonalne interpretowane sa w logice relacyjne jako obiekty kompozycyjne. Umożliwiaja reprezentację interakcji pomiędzy informacja o statycznych i dynamicznych własnościach badanych obiektów w jednym formalizmie logicznym.
Relacyjne systemy dual tableaux dlaczego? Świetne narzędzie do reprezentacji w zunifikowanym formalizmie podstawowych składników systemu formalnego: języka, semantyki, dedukcji.
Relacyjne systemy dual tableaux dlaczego? Świetne narzędzie do reprezentacji w zunifikowanym formalizmie podstawowych składników systemu formalnego: języka, semantyki, dedukcji. Ogólna baza do reprezentacji, porównywania i implementowania teorii różniacych się językiem/semantyka/dedukcj a.
Relacyjne systemy dual tableaux dlaczego? Świetne narzędzie do reprezentacji w zunifikowanym formalizmie podstawowych składników systemu formalnego: języka, semantyki, dedukcji. Ogólna baza do reprezentacji, porównywania i implementowania teorii różniacych się językiem/semantyka/dedukcj a. Modularność: relacyjny system dual tableaux dla logiki RL stanowi jadro większości systemów typu dual tableau dla logik nieklasycznych.
Relacyjne systemy dual tableaux dlaczego? Świetne narzędzie do reprezentacji w zunifikowanym formalizmie podstawowych składników systemu formalnego: języka, semantyki, dedukcji. Ogólna baza do reprezentacji, porównywania i implementowania teorii różniacych się językiem/semantyka/dedukcj a. Modularność: relacyjny system dual tableaux dla logiki RL stanowi jadro większości systemów typu dual tableau dla logik nieklasycznych. Umożliwiaja nie tylko weryfikację tautologiczności formuł danej logiki, ale również weryfikację wynikania (entailment), prawdziwości i spełniania w konkretnym modelu.
Ogólna metodologia tworzenia relacyjnych systemów dual tableaux Reprezentacja logiki L w logice relacyjnej.
Ogólna metodologia tworzenia relacyjnych systemów dual tableaux Reprezentacja logiki L w logice relacyjnej. Konstrukcja systemu dla relacyjnej wersji logiki L.
Ogólna metodologia tworzenia relacyjnych systemów dual tableaux Zaleta: Reprezentacja logiki L w logice relacyjnej. Konstrukcja systemu dla relacyjnej wersji logiki L. Nie musimy budować systemu od poczatku; rozszerzamy tylko system RL o moduł odzwierciedlajacy warunki specyficzne.
Ogólna metodologia tworzenia relacyjnych systemów dual tableaux Zaleta: Reprezentacja logiki L w logice relacyjnej. Konstrukcja systemu dla relacyjnej wersji logiki L. Nie musimy budować systemu od poczatku; rozszerzamy tylko system RL o moduł odzwierciedlajacy warunki specyficzne. Istniejace implementacje Translacja formuł logik modalnych na formuły RL: [FOO06] System dual tableau dla RL: [FNA06] Relacyjne systemy dual tableaux dla pewnych logik nieklasycznych: [FNA06] i [MMG11] (logiki modalne), [GMM08] i [BMOO09] (logiki dla wnioskowań z dokładnościa do rzędu wielkości).
Logika relacyjna RL Język
Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,...
Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,...
Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1
Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ;
Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ; Termy i formuły
Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ; Termy i formuły Termy atomowe: zmienne i stałe relacyjne
Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ; Termy i formuły Termy atomowe: zmienne i stałe relacyjne Termy złożone: P, P Q, P Q, P 1, P ; Q
Logika relacyjna RL Język zmienne nazwowe: x, y, z,... zmienne relacyjne: P 1, P 2,... stałe relacyjne: 1, 1 operacje:,,, 1, ; Termy i formuły Termy atomowe: zmienne i stałe relacyjne Termy złożone: P, P Q, P Q, P 1, P ; Q Formuły: xt y
Logika relacyjna RL Model: M = (U, m)
Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór
Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór m(p ) relacja dwuargumentowa na U
Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór m(p ) relacja dwuargumentowa na U m(1) = U U, m(1 ) = Id U
Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór m(p ) relacja dwuargumentowa na U m(1) = U U, m(1 ) = Id U m( Q) = (U U) \ m(q) m(q T ) = m(q) m(t ) m(q T ) = m(q) m(t ) m(q 1 ) = m(q) 1
Logika relacyjna RL Model: M = (U, m) U niepusty zbiór m(p ) relacja dwuargumentowa na U m(1) = U U, m(1 ) = Id U m( Q) = (U U) \ m(q) m(q T ) = m(q) m(t ) m(q T ) = m(q) m(t ) m(q 1 ) = m(q) 1 m(q; T ) = m(q); m(t ) = {(x, y) U U : z U((x, z) m(q) (z, y) m(t ))}.
Logika relacyjna RL Wartościowanie Dowolna funkcja v : zmienne nazwowe U.
Logika relacyjna RL Wartościowanie Dowolna funkcja v : zmienne nazwowe U. Semantyka Spełnianie, M, v = xt y: (v(x), v(y)) m(t )
Logika relacyjna RL Wartościowanie Dowolna funkcja v : zmienne nazwowe U. Semantyka Spełnianie, M, v = xt y: (v(x), v(y)) m(t ) Prawdziwość, M = xt y: wszystkie wartościowania spełnianie w M przez
Logika relacyjna RL Wartościowanie Dowolna funkcja v : zmienne nazwowe U. Semantyka Spełnianie, M, v = xt y: (v(x), v(y)) m(t ) Prawdziwość, M = xt y: wszystkie wartościowania spełnianie w M przez Tautologiczność: prawdziwość we wszystkich modelach.
Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ).
Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m):
Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W
Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W m(p) W, dla dowolnej zmiennej p.
Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W m(p) W, dla dowolnej zmiennej p. R może spełniać dodatkowe warunki.
Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W m(p) W, dla dowolnej zmiennej p. R może spełniać dodatkowe warunki. Spełnianie zdefiniowane indukcyjnie, w szczególności: M, w = ϕ dla każdego w U, jeśli wrw, to M, w = ϕ.
Standardowe logiki modalne L Język Zbiór formuł to najmniejszy zbiór zawierajacy zmienne zdaniowe p, q, r,... i domknięty na operatory zdaniowe: klasyczne (,, ) i modalne (, ). Modele to struktury postaci (W, R, m): W niepusty zbiór światów możliwych oraz R W W m(p) W, dla dowolnej zmiennej p. R może spełniać dodatkowe warunki. Spełnianie zdefiniowane indukcyjnie, w szczególności: M, w = ϕ dla każdego w U, jeśli wrw, to M, w = ϕ. Prawdziwość i tautologiczność zdefiniowane standardowo.
Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R
Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R Modele RL L Modele logiki relacyjnej (U, m) takie, że relacja m(r) U U spełnia te same własności co w modelach logiki L.
Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R Modele RL L Modele logiki relacyjnej (U, m) takie, że relacja m(r) U U spełnia te same własności co w modelach logiki L. Niech τ : zmienne zdaniowe 1-1 zmienne relacyjne
Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R Modele RL L Modele logiki relacyjnej (U, m) takie, że relacja m(r) U U spełnia te same własności co w modelach logiki L. Niech τ : zmienne zdaniowe 1-1 zmienne relacyjne Translacja τ(p) = τ (p) ; 1 τ(ϕ ψ) = τ(ϕ) τ(ψ) τ( ϕ) = (R ; τ(ϕ)) τ( ϕ) = τ(ϕ) τ(ϕ ψ) = τ(ϕ) τ(ψ) τ( ϕ) = R ; τ(ϕ)
Relacyjna reprezentacja logiki modalnej L Język RL L Język logiki RL + stała relacyjna R Modele RL L Modele logiki relacyjnej (U, m) takie, że relacja m(r) U U spełnia te same własności co w modelach logiki L. Niech τ : zmienne zdaniowe 1-1 zmienne relacyjne Translacja τ(p) = τ (p) ; 1 τ(ϕ ψ) = τ(ϕ) τ(ψ) τ( ϕ) = (R ; τ(ϕ)) τ( ϕ) = τ(ϕ) τ(ϕ ψ) = τ(ϕ) τ(ψ) τ( ϕ) = R ; τ(ϕ) Twierdzenie ϕ jest tautologia L xτ(ϕ)y jest tautologia RL L.
Relacyjne systemy dla L Reguły dekompozycji: ( ) x T y xt y ( ) x(t T )y xt y, xt y ( ) x (T T )y x T y x T y ( ) x(t T )y xt y xt y ( ) x (T T )y x T y, x T y (; ) x(t ; T )y xt z, x(t ; T )y zt y, x(t ; T )y z dowolna zmienna ( ; ) x (T ; T )y x T z, z T y z nowa zmienna (1 1) xt y xt z, xt y y1 z, xt y T atomowy term (1 2) xt y x1 z, xt y zt y, xt y z dowolna zmienna
Relacyjne systemy dla L Przykładowe reguły specyficzne: (refr) xry x1 y, xry (symr) xry yrx (tranr) xry xrz, xry zry, xry z dowolna zmienna
Relacyjne systemy dla L Przykładowe reguły specyficzne: (refr) xry x1 y, xry (symr) xry yrx (tranr) xry xrz, xry zry, xry z dowolna zmienna Zbiory aksjomatyczne Nadzbiory następujacych zbiorów: {xt y, x T y} {x1 x} x1y
Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne:
Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L.
Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L. Wynikanie
Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L. Wynikanie ϕ wynika z ϕ 1,..., ϕ n wtedy i tylko wtedy, gdy formuła:
Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L. Wynikanie ϕ wynika z ϕ 1,..., ϕ n wtedy i tylko wtedy, gdy formuła: x(1; (τ(ϕ 1 )... τ(ϕ n )); 1) τ(ϕ))y jest RL L -dowodliwa.
Wlasności Twierdzenie o poprawności i pełności Dla dowolnej L-formuły ϕ następujace warunki sa równoważne: 1 ϕ jest tautologia L. 2 xτ(ϕ)y jest dowodliwa w systemie dla logiki RL L. Wynikanie ϕ wynika z ϕ 1,..., ϕ n wtedy i tylko wtedy, gdy formuła: x(1; (τ(ϕ 1 )... τ(ϕ n )); 1) τ(ϕ))y jest RL L -dowodliwa. System dla RL L można łatwo rozszerzyć do systemu umożliwiajacego weryfikację prawdziwości i spełniania w konkretnym modelu.
Relacyjny dowód formuły p p System: dual tableau dla RL + reguła dla symetrii (symr)
Relacyjny dowód formuły p p System: dual tableau dla RL + reguła dla symetrii (symr) x( (P ; 1) (R ; (R ; (P ; 1))))y ( ) x (P ; 1)y, x (R ; (R ; (P ; 1)))y ( ; ), nowa z i ( ) x (P ; 1)y, x Rz, z(r ; (P ; 1))y (; ) ze zmienna x x Rz, zrx,... x(p ; 1)y, x (P ; 1)y,... (sym R) x Rz, xrz,... domknięta domknięta
Systemy dual tableaux W podobny sposób można skonstruować systemy typu dual tableaux dla następujacych logik:
Systemy dual tableaux W podobny sposób można skonstruować systemy typu dual tableaux dla następujacych logik: (prawie) wszystkich (wielo) modalnych (temporalnych, interwałowych, informacyjnych, dynamicznych, epistemicznych, etc.) wielowartościowych intuicjonistycznych relewantnych rozmytych
Relacyjne procedury decyzyjne Metodologia tworzenia relacyjnych systemów w stylu dual tableaux nie gwarantuje, że uzyskany system będzie optymalny.
Relacyjne procedury decyzyjne Metodologia tworzenia relacyjnych systemów w stylu dual tableaux nie gwarantuje, że uzyskany system będzie optymalny. Reguły systemu dla RL dopuszczaja możliwość nieskończonego ich stosowania.
Relacyjne procedury decyzyjne Metodologia tworzenia relacyjnych systemów w stylu dual tableaux nie gwarantuje, że uzyskany system będzie optymalny. Reguły systemu dla RL dopuszczaja możliwość nieskończonego ich stosowania. W szczególności systemy dla rozstrzygalnych standardowych logik modalnych nie sa procedurami decyzyjnymi.
Relacyjne procedury decyzyjne Metodologia tworzenia relacyjnych systemów w stylu dual tableaux nie gwarantuje, że uzyskany system będzie optymalny. Reguły systemu dla RL dopuszczaja możliwość nieskończonego ich stosowania. W szczególności systemy dla rozstrzygalnych standardowych logik modalnych nie sa procedurami decyzyjnymi. Problem Jak skonstruować relacyjna procedurę decyzyjna?
Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa.
Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł.
Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications.
Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych.
Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych. Skonstruowano relacyjne procedury decyzyjne dla: pewnych rozstrzygalnych fragmentów RL
Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych. Skonstruowano relacyjne procedury decyzyjne dla: pewnych rozstrzygalnych fragmentów RL standardowych logik modalnych K, T, D, K4, KD4, S4
Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych. Skonstruowano relacyjne procedury decyzyjne dla: pewnych rozstrzygalnych fragmentów RL standardowych logik modalnych K, T, D, K4, KD4, S4 pewnych logik intuicjonistycznych
Możliwe modyfikacje systemów dual tableaux Ograniczenie języka relacyjnego i/lub stosowalności reguł RL, które moga generować nieskończone drzewa. Nowe reguły zamiast złych reguł. Dodatkowe techniki typowe dla systemów tableaux: backtracking, backjumping, simplifications. Dowolna kombinacja powyższych. Skonstruowano relacyjne procedury decyzyjne dla: pewnych rozstrzygalnych fragmentów RL standardowych logik modalnych K, T, D, K4, KD4, S4 pewnych logik intuicjonistycznych pewnych logik deskrypcyjnych, w tym ALC
Dziękuję za uwagę! Badania prowadzone w ramach projektu Logiki dla wnioskowań jakościowych, nr DEC- 2011/02/A/HS1/00395, program MAESTRO 1, Narodowe Centrum Nauki.
References [BMOO09] A. Burrieza, A. Mora, M. Ojeda-Aciego, and E. Orłowska. An implementation of a dual tableaux system for order-of-magnitude qualitative reasoning, International Journal of Computer Mathematics 86(10-11), 1852-1866, 2009. [CAO11] D. Cantone, M. N. Asmundo, and E. Orłowska. Dual tableau-based decision procedures for relational logics with restricted composition operator, Journal of Applied Non-Classical Logics 21(2) 177-200, 2011. [FNA06] A. Formisano and M. Nicolosi-Asmundo. An efficient relational deductive system for propositional non-classical logics, Journal of Applied Non-Classical Logics 16(3-4), 367-408, 2006.
References [FOO06] A. Formisano, E. G. Omodeo, and E. Orłowska. An environment for specifying properties of dyadic relations and reasoning about them II: Relational presentation of non-classical logics, In H. C. M. de Swart, E. Orłowska, G. Schmidt, and M. Roubens, (eds.), Theory and Applications of Relational Structures as Knowledge Instruments II, International Workshops of COST Action 274, TARSKI, 2002-2005, Selected Revised Papers, volume 4342 of Lecture Notes in Computer Science, 89-104, 2006. [GMM08] J. Golinska-Pilarek, A. Mora Bonilla, and E. Munoz Velasco. An ATP of a relational proof system for order of magnitude reasoning with negligibility, non-closeness and distance, In T. B. Ho and Z. H. Zhou (eds.), PRICAI 2008, volume 5351 of Lecture Notes in Artificial Intelligence, 128-139, 2008.
References [GMM12] J. Golinska-Pilarek, E. Munoz-Velasco, and A. Mora-Bonilla. Relational dual tableau decision procedure for modal logic K, Logic Journal of IGPL 20(4), 747-756, 2012. [GHM13] J. Golinska-Pilarek, T. Huuskonen, and E. Munoz-Velasco. Relational Dual Tableau Decision Procedures and their Applications to Modal and Intuitionistic Logics, Annals of Pure and Applied Logics 165(2), 2014, 409-427, DOI: 10.1016/j.apal.2013.06.003 [Kon02] B. Konikowska. Rasiowa-Sikorski deduction systems in computer science applications, Theoretical Computer Science 286(2), 323-366, 2002.
References [MMG11] A. Mora, E. Munoz-Velasco, and J. Golinska-Pilarek. Implementing a relational theorem prover for modal logic K, International Journal of Computer Mathematics 88(9), 1869-1884, 2011. [Orl88] E. Orłowska. Relational interpretation of modal logics, In H. Andreka, D. Monk, and I. Nemeti (eds.), Algebraic Logic, Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai 54, 443-471, 1988. [Orl97] E. Orłowska. Relational formalisation of non-classical logics, In C. Brink, W. Kahl, and G. Schmidt (eds), Relational Methods in Computer Science, Springer 1997, 90-105.
References [OGP11] E. Orłowska, J. Golinska-Pilarek. Dual Tableaux: Foundations, Methodology, Case Studies, Springer, 2011. [RAS60] H. Rasiowa and R. Sikorski. On Gentzen theorem, Fundamenta Mathematicae 48, 57-69, 1960. [Tar41] A. Tarski, On the calculus of relations, Journal of Symbolic Logic 6, 73-89, 1941.