MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 13 (1975) OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA WŁASNE POWŁOKI STOŻ KOWEJ Z MATERIAŁU Ś CIŚ LIWEGO NIELINIOWO SPRĘ Ż YSTEGO FERDYNAND TWARDOSZ, TADEUSZ WEGNER (POZNAŃ) W pracy poddano analizie drgania własne cienkiej powł oki stoż kowej wykonanej z materiału jednorodnego, izotropowego i ś ciś liwego, dla którego zależ ność pomię dzy naprę ż -e niami i odkształceniami jest nieliniowa, ale odwracalna. Ograniczają c się do analizy małych drgań przyję to zwią zki geometryczne w postaci liniowej, zakł adają c przy tym prawdziwość hipotezy Kirchhoffa- Love'a. 1. Podstawowe równania i zwią zki Równania opisują ce swobodne obrotowo- symetryczne drgania podł uż ne i poprzeczne powł oki stoż kowej mają postać [4] dn ± d 2 u ds s ~^2 = 2QH Q t 2 s > + s s r ds ds 2 ds gdzie N t,n 2, M ±, M 2 oznaczają siły normalne i momenty zginają ce odniesione do jednostki długoś ci powierzchni ś rodkowej, u(s,t), w(s, t) skł adowe przemieszczenia punktów powierzchni ś rodkowej odpowiednio w kierunkach stycznym i normalnym, s odległość dowolnego punktu powłoki od wierzchołka stoż ka, a ką t pomię dzy normalną do powierzchni ś rodkowej i osią powł oki, 2/j grubość powłoki, Q gę stość materiału powł oki. Zgodnie z hipotezą Kirchhoffa- Love'a składowe obrotowo- symetrycznego stanu odkształ cenia dla elementu warstewki odległej o z od powierzchni ś rodkowej wyraż aj ą się wzorami gdzie (1.2) e t =, e 2 = (u+ wtga) są składowymi stanu odkształ cenia powierzchni ś rodkowej powł oki, a wyraż enia 1 dw charakteryzują zmianę głównych krzywizn.
394 F. TWARDOSZ, T. WEGNER Zajmiemy się z kolei okreś leniem skł adowych Stanu naprę ż enia. Potencjał sprę ż ystoś i c ciała izotropowego przedstawia wyraż enie [1]: gdzie 0 r (ś o ) = 9K o jest pracą odkształ cenia obję toś ciowego, pracą odkształ cenia postaciowego, a _ 3 F 2 J o o = J Ł ś rednimwydł uż eniem, Y " = y intensywnoś cią odkształ ceń stycznych, E E G- _ 3(1-2v)' " 2(1 moduł em ś ciś liwośi ci moduł em odkształ cenia postaciowego. Moduł Younga E i liczby Poissona v są stał ymi materiał owymi wyznaczonymi przy mał ych odkształ ceniach. Zał óż my, że funkcja wydł uż eni a x(e 0 ) oraz funkcja odkształ cenia postaciowego y(yl) mogą być przedstawione z dostateczną dokł adnoś ci ą w postaci [1]: «0Q) = 1, r(yo) = l gdzie stał ą g 2 wyznacza się doś wiadczalnie. Niech dla jednoosiowego rozcią gania- ś ciskani a mię dzy naprę ż eniem a a podł uż nym odkształ ceniem e zachodzi zwią zek 0-4) e = ~(l+ a 3 a 2 )a, wtedy zależ ność mię dzy współ czynnikiem a 3 a stał ą g 2 ma postać ii lub wyraż ając moduł y K i G za pomocą stał ych is i y otrzymamy E 2 v 3 0 ' 3 ^ = ~2 2 - «3> gdzie»o-
OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 395 Założ one powyż ej zwią zki bardzo dobrze aproksymują rzeczywiś cie zachodzą ce zależ nośic dla wielu waż nych w zastosowaniach technicznych materiałów (np. miedź, aluminium, stopy miedzi i inne). Stosują c oznaczenia potencjał sprę ż ystośi cwymienionych materiałów moż na wyrazić w postaci gdzie V = KQ2 + f a t d B h 1 b ai = E(l- bef)s u b = a 3 E 2 v\. Wielkość 0 jest wzglę dną zmianą obję toś ci, wielkoś ci <r ;, e ( są odpowiednio intensywnoś ci ą naprę ż eń i intensywnoś cią odkształceń. Założ enie cienkoś ciennośi cpowł oki pozwala, tak samo jak w teorii płyt cienkich, traktować elementy powłoki, jako bę dą ce w dwuwymiarowym stanie naprę ż enia, stą d z uogólnionego prawa Hooke'a, przyjmują c a Zz = 0, otrzymamy v,. \ 2v,. e 3z = - - ~j- fa z + e 2:) 0 = - j- - (e iz + e 2z ), gdzie oznaczono 1 3 L(1- T) 2 Ponieważ w przypadku drgań obrotowo- symetrycznych podł uż nych i poprzecznych = 0, to y 12z 4 gdzie fl 0 = fi (ef + e ) + J> 2 e x e 2, fl 2 : Pochodne czą stkowe funkcji V(e lz, e 2z ) okreś laj ą skł adowe stanu naprę ż eni a 8V s u dv j "2«a i oe 2z
396 F. TWARDOSZ, T. WEGNER Stąd 4. 16',/ / 1 cr lz = - YE[v 3 e 1 +v 4.s 2 +z(v 3 x 1 +v 4.x 2 )] ~hb\a 0 h'i i + y^2 s 2 +z L \~ z i[ v i e i + Y V2S2 + z j 2 \ a i ("i^i + Y / \ / J L \ 1? 3 «2 (j' aok^ + y^^ij + ai^i^+ y^ei.) + ^2 Ui I "1 «2 + y^ ^ I+ natomiast 1-2? 1 Dla cienkich powł ok sił y i momenty dział ają e c w przekrojach powł oki na jednostkę dł ugoś i cpowierzchni ś rodkowej zwią zane są (w przybliż eniu) z naprę ż eniami zależ noś ciami stąd po wykonaniu cał kowania mamy: h h Ni = J 0i z dz, N 2 = j a 2z dz, - h - h h h M x = - J a 12 zdz, M z = - J a 2z zdz, - h - h - / 1 \ - r / 1 \ / 1 \ i \ *. / L \ z I \ z / J 2- '' 2 e 1 l
OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 397 gdzie B- - jeh, D = ~Eh 3, B t = ^- Ebh, B 2 =^- Ebh 3, B 3 = ^Ebh 5. Jeż el i podstawimy powyż sze zależ nośi cdo układu równań (1.1), a wystę pują ce w nich wielkoś ci «0, a ls a it e u s 2, «i, x 2 wyrazimy przez u i w za pomocą zwią zków (1.5), (1.2) i (1.3), otrzymamy poszukiwane równania obrotowo- symetrycznych drgań powłoki stoż kowej w nastę pują cej postaci: 8 2 u 1/ du dw + + t 2 ~ (1.6){ du dw d 3 w dw\ d 2 d 2 u d 2 w d 3 w d 3 w d 2 w ] 3 f / du dw dw du + dw dw + dw + ~ds"w~w] 2 2 + 3 +U 5 L" 1 * 2 KSS 2 ~W!te +!JF~ds 3 +U '~ds '~ds ~W r ~dś 2 ~ 8 3 w'd 2 w 1 l8 2 w\ 2 dw + t ) I/ 2 1 2\ld 2 uldw\ 2. du d 2 w dw. d 3 w ds Id 2 w\ 2 ds dś 2 ds ds 3 dw \ ds 2 / 2 1 f3 I dw\ 3 duldw\ 2. a 2 w dw. d 2 w dw \ 1 2 I \ ds \ ds I ds 2 ds ds 2 ds / J 3.,/ IdwV ldw\ 2 \\., d 2 u dw 2
398 F. TWARDOSZ, T. WEGNER 2,r \ ds os os * ^1 s- I,?/ du 8w du\ dw du + tg 3 aw 3 ) - B 2 \ 3vl 2 - d 3 u jt - du x- 8 2 w 5.1 - d 2-5 d 2 b - w - - 5. - d 2 = u - -5 du d 3 x- - 5- - 5+ 2 - = - 5- - = - 5- + 4 = - 5- w J I \ 5s 3 os ds 2 \ ds 2 I ds 2 d1 d.1 2 2 ds ldu\ 2 d*w\ 3[ I d 3 u du dw d 3 u 8 2 w d 3 u d 2 w \ 3.9 / 5.? /,v L \ 3.r & as us 3 os os 3 os 2 3 2 ŁM dw d 2 u d 3 w d 2 u d 3 w d 2 u d 2 w dw 3.c ay c.v 3^^ av J o.y os ds du d*w du 3 4 M' _ du d 3 w dw 3 du Id 2 w + -. w - r-y + tg a - =- - a-- jm' + 2tg a - =- - g-r - «- + w tg a ^ ds (lv 4 & fo 4 b ds ds 3 ds 2 ds \ ds 2., / 0 S «SM 5 M ^ / S W \ \ ay 2 ra ra 2 \ c«/ & J / J 2 S W \ ] 1 [ 3 1 2\ / 3t/ dw Ć 3 M 5 3w. 3 2 if 3H SH 1. d 2 u d 2 w d 2 u d 2 w + 2tg a - T-- j- Y- w + 4-5- - 5-3- - 5 + 4-5- 3- «- v-r + 4tg a - r-- j- 3- -5 rlr <;,s' 9.r 3.? 0,9 ds 2 ds 2 ć te 2 35 12. 8 2 u I dw\ I du\ 2 d 2 w du d 3 w du d 3 w 3i 2 \ ds I \.ds I ds 2 ds ds 3 ds ds 3 du d 2 w dw, 3 4 w 3 4 w, 5 3 w dw 1 d 2 w\ 2 + M x- - - :- - "T~ + 2tg + 4 t g + 3 t 1 (1.6){ r j n, o 4 w,, 3 3 M' dw du\ 2 dw, du 8 2 w ^ri 4 FF t( T + 4tga^- - - ^- w + 3- ir - 2 / \ 3.y 2 3.? d d 3^2 3.y \ 2 3J / ds Bu d 2 w., 3 3 w 3 3 w _, d 3 w - j ~ w+2zu 2 - ^- r 2 5 - r w ds ds - + 4tgaw- ^- 3-w + 2tga- 5-2 8s 3 ds 3 ds 3 du dw n du dw, 3 2 w _ d 2 w + 2 t + > + 2 t + 2 / 3w\ 3w\ 3[ ld A wd 2 wdw I d s wv 8w + + \ d?) ds^j + 7T 1 ^ 2 \ lf& \ 1 37 + \ds
OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 399 'd 3 w I d 2 w\ \ 2 2 ] \(d*wldw\ 2 8 3 w d 2 i 1. 1 \(d*w(dw\ 2 w dw 2 2 / j s* 2 I \ os* \ os j ds 3 ds 2 2 + 3 Ą - wi dwldw\ M ld 2 ldw\ 2 8w d 2 w 2. Przybliż one całkowanie równań ruchu Ukł ad równań (1.6) scał kujemy w sposób przybliż ony metodą Bubnowa- Galerkina. W przypadku powł oki stoż kowej z wierzchoł kiem ś cię tym, o swobodnie podpartych krawę dziach, zakładamy funkcje u, w w postaci sumy (2-D gdzie U, (t), W,(t) są nieznanymi funkcjami czasu, natomiast f m (s) i g, a (s) przyjmujemy w postaci (2.2) f, (s) - cosmra^-, g-,(j) Funkcje (2.2) speł niają tylko kinematyczne warunki na brzegach powł oki, natomiast warunki statyczne są spełnione w przybliż eniu [3]. Po wykonaniu calkowań i uporzą dkowaniu oraz wprowadzeniu wielkoś ci bezwymiarowych (2.3) X = i ^, Z = - Ł T- flrf, ^ =, gdzie w jest pulsacją podstawową drgań rozważ anego układu, ml = «, a 9 bezwymiarową czę stoś ci ą drgań, otrzymamy dla każ dego 7«dwa nieliniowe równania róż niczkowe zwyczajne wzglę dem funkcji X, Z (2.4) Poszczególne współczynniki układu (2.4) mają nastę pują ce wartoś ci: R - 2 = d ' d 2r 2 +gd 3 di
400 F. TWARDOSZ, T. WEGNER c 4 d s r a c s r _ d 6 r 2 +gd 7 : A>3 > 73 T~ d 8 r 3 +gd 9 r d, Cl = 15 4p* 3 o ^~c s, 1 /. 15 45 ^3 =V 3 4
OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 401 295 32i> 4 + przy czym p = nrn, k t p S TT 7 Mechanika Teoretyczna
402 F. TWARDOSZ, T. WEGNER W ukł adzie równań (2.4) wyrazy nieliniowe są małe w porównaniu z liniowymi. W zwią z- ku z tym moż emy dany układ traktować jako słabo nieliniowy. Zastosujemy zatem do rozwią zania metodę małego parametru [2]. Aby wyznaczyć przybliż one rozwią zanie okresowe wykorzystujemy fakt, że nieliniowość ukł adu wpł ywa na wielkość okresu drgań swobodnych. W zwią zku z tym poszukujemy rozwią zania w postaci rozwinię ć (2.5) Z- Z 0 + bz r +b 2 Z 2 +..., O 2 = Rozwinię cie poszukiwanej czę stoś i cdrgań w szereg wzglę dem potę g parametru b pozwala wyeliminować z rozwią zania człony sekularne i uzyskać przybliż one rozwią zanie okfesowe. Po podstawieniu zależ nośi c(2.5) do układu (2.4) i rozwinię ciu lewej i prawej strony równań w szeregi wzglę dem potęg parametru b oraz przyrównaniu do siebie wyrazów stoją cych przy tych samych potę gach b, uzyskamy rekurencyjne układy równań róż niczkowych : (2.6) (2-7) d 2 X 'o y 2 d 2 X 0 It 2 ' d 2 Z 0 dr 2 d 2 X = U, d 2 X 0 = - t/ 2 - - p 3 (X 2 Z x + (2.8) dr 2 - + y o^2- yi^2 = - </ 2 z 0 ar ar' 1?Zi +2X 0 Z 0 X 1 )- y^z 2 X 1 +2X0Z0Z, )- 30 s ZgZ Ł, Niech funkcja Z(T) speł nia warunki począ tkowe (2.9) Z(0) - B, Ź (0) = 0, wtedy (2.10) Ż o(0) = Z t (0) = Ż 1 (0) = Z 2 (0) = gdzie kropka oznacza pochodną wzglę dem czasu. Rozwią zanie nasze ograniczymy do drgań swobodnych jednoczę stoś ciowych. W tym przypadku warunki począ tkowe dla funkcji X(t) zależą od warunków począ tkowych dla Z(T) i wynikają z rozwią zania zagadnienia jako warunek konieczny drgań jednoczę stoś ciowych.
OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 403 Rozwią zania szczególnego układu równań (2.6) poszukujemy w postaci \X 0 = J \^Q &!<. Podstawiając założ oną postać rozwią zania do (2.6) uzyskamy dwa algebraiczne układy równań } yiax + (yo Ol)B L «= 0, \~yia 2 + (y Q 6o)B 2 = 0; stą d warunek istnienia niezerowego rozwią zania ma postać = 0. Rozwinię cie wyznacznika daje równanie dwukwadratowe na czę stość drgań własnych ukł adu zlinearyzowanego (b = 0), mianowicie ską d (2.11) Ol = Układ zlinearyzowany ma dwa szczególne rozwią zania harmoniczne o czę stoś ciach okreś lonych wzorem (2.11). Pierwsza wyż sza czę stość (znak + ) odpowiada drganiom podłużnym, druga niż sza czę stość (znak ) drganiom poprzecznym powłoki. Drgania te zachodzą dla ś ciśe l okreś lonych wartoś ci współczynnika postaci drgań własnych Wartoś ci te wyznaczamy ze zwią zku Ponieważ ^! = IB 1, A 2 = kb 2, wię c dla warunków począ tkowych Z o (0) = B, Ż o (0) = 0, mamy B L = B, A t - IB, B 2 0, A 2 = 0. Ostatecznie rozwią zanie szczególne układu zlinearyzowanego (2.6) ma postać (2.13) X o = IBCOST, Z o =.BCOST. Po podstawieniu powyż szego rozwią zania do układu (2.7) uzyskujemy układ równań (2.14) Y~ + $ a X x $ x Z x = PiCOST + PiCosSr, u i,,o d 2 Z, ^ n Po 2- +y 0 Z 1 ~y l Xi = AICOST+ / V2COS3T, Civ gdzie P x = XBd 1 +3B 3 p l, P 2 = B 3 Pi, R L = B6 X + 3B3 r 1, R 2 = B 3 r x, 7*
404 F. TWARDOSZ, T. WEGNER zaś Aby uzyskać periodyczne rozwią zanie powyż szego ukł adu, zakł adamy rozwią zanie szczególne w postaci X x = C 1 które po podstawieniu do (2.14) daje cztery algebraiczne ukł ady równań: O? o - 0g)C 1 - /? 1.D 1 = P t, (Po- 96l)C 2 - p 1 D 2 = P 2, - yic. + Cyo- O^D,= R u - y 1 C 2 + (y o ~90 2 o)d 2 = R 2, (Po- B&Ct- hdt = 0, 0 o - 9d 2 o)c 4 - ^D 4 = 0, - YiC t + (y 0 - Oi)D t = 0, - y i c 4 + ( Yo - 9B 2 o)d 4 = 0. Wyznaczniki charakterystyczne ukł adów równań (2.15)! i (2.15) 3 są równe zeru. Warunek istnienia rozwią zań ukł adu (2A5) 1 ma więc postać stąd wykorzystując zwią zek (2.12) mamy - Vi, R = Pityi+Ripi = 0. Po podstawieniu P t i R t uzyskujemy warunek = 0, z którego wyznaczamy (2.16) gdzie A 1 " _ Dla wyznaczonej wartoś ci 6± równania ukł adu (2.15) L są liniowo zależ ne. Mię dzy stał ymi C t i Dj zachodzi zwią zek Podobiiie równania ukł adu (2.15) 3 są liniowo zależ ne, stąd zwią zek mię dzy stał ymi C 3 = 1 > 3. Z ukł adu równań (2.15) 2 wyznaczamy stał e C 2 i D 2, otrzymując
OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁ OKI STOŻ KOWEJ 405 gdzie Analogicznie z równań (2.15) 4 mamy C 4 =» 4 = 0. Wykorzystując warunki począ kowe Z t (0) = 0, Ż t (0) = 0 dostaniemy stąd >i = - Di = ~B 3 z 1 oraz D 3 = - 3D A = 0. Posł ugując się wyznaczonymi wartos'ciami stał ych D^ i D 3 uzyskujemy c 3 = o. Rozwią zanie szczególne ukł adu (2.14) ma więc postać '- 2 ' 17 ' 1 Podobnie postę pując uzyskujemy JX X = # 3 (X 1 COST+ X 2 COS3T), \ Zi = ^3Zi (COS 3 TT- COST). \X 2 = (0 1 K\ [Z 2 = 5 5 [Z 2 (COS3T COST)+ 2 3 (cos 5T COST)], dla 0 2 = - 5 4^ 2, gdzie przy czym e Ą m y o - 25d 2 o, p 2 = - X t 'd' 1 + (3x 1 + x 1 )p s - 2z t p e, r 2 = p 3 = - 9x 2 # 1 + ( r s =
406 F. TWARDOSZ, T. WEGNER Ograniczają c się do drugiego przybliż enia uzyskamy poszukiwane rozwią zanie w postaci (2.20) X = XBcosr+bB 3 (x 1 cost+x 2 co&3t)+b 2 B s (x 3 cosz+x 4.cos3r+ + X 5 COS5T)+..., Z = i? cos T+ bb 3 z t (cos 3 r cos T)+ b 2 B 5 [z 2 (cos 3 r cos T) + + z 3 (cos 5T COST)] +..., fl2 = fl2_j Powyż sze rozwią zanie jest szeregiem potę gowym ze wzglę du na wielkość bb 2. Aby szereg był szybko zbież ny, co umoż liwia korzystanie tylko z kilku jego pierwszych składników, wartość bb 2 musi być mała. Na podstawie prób rozcią gania [1] przy naprę ż eniach nie przewyż szają cych wartoś ci 1000 kg/ cm 2 uzyskano dla czystej miedzi nastę pują ce wielkoś ci stałych: K = 1,37 10 6 kg/ cm 2, G - 0,46 10 6 kg/ cm 2, g 2 = 0,18 10 6, stą d b = 0,323 10 6. Ponieważ przyję to zwią zki geometryczne w postaci liniowej ograniczając analizę do mał ych drgań, wię c wielkość bb 2 może odgrywać rolę małego parametru, a uzyskane rozwią zanie ma charakter asymptotyczny dla mał ych wartoś ci parametru bb 2. Na skutek nieliniowoś ci ukł adu (b ^ 0) w rozwią zaniu pojawiły się wyż sze harmoniczne, a czę stość drgań własnych ulega zmianie i zależy od amplitudy. 3. Analiza wyników W celu zbadania wpływu nieliniowoś ci sprę ż yste j materiału na drgania powłoki przeanalizowano nastę pują ce funkcje: A t (A) = l+avl(x 1 +x 2 ), A n {A) = X+AvKxi+x^A- A 2 v%(x 3 +x A +x 5 ), Indeksy I, II oznaczają tu odpowiednio pierwsze i drugie przybliż enie. Bezwymiarowy argument A = a 3 E 2 B 2 jest iloczynem stałej materiałowej a 3 okreś lają ce j nieliniowość sprę ż yst ą materiału [wyznaczonej przy jednoosiowym rozcią ganiu ś ciskaniu (1.4)] kwadratu modułu Younga E i kwadratu bezwymiarowej amplitudy drgań poprzecznych B. Współ czynnik postaci drgań wł asnych A okreś la stosunek amplitudy drgań podł uż nych do amplitudy drgań poprzecznych, dla którego zachodzą analizowane drgania wł asne powł oki, A =»- Z(0)' 6 2 zaś jest kwadratem bezwymiarowej czę stoś i c dfgań własnych powłoki. W ukł adzie współ rzę dnych A A oraz 6 2 A wykresy pierwszego przybliż enia analizowanych funkcji są liniami prostymi, drugiego przybliż enia parabolami. Krzywe te cha-
OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 407 rakteryzują ce drgania jednego rodzaju (podłuż ne lub poprzeczne) zależą od nastę pują cych pię ciu parametrów: m oznacza liczbę okreś lają ą c ilość półfal na dł ugoś ci powł oki, / u stosunek najmniejszego promienia krzywizny powł oki do jej dł ugoś ci, /S poł owę ką ta wierzchoł kowego stoż ka, % stosunek gruboś ci powłoki do jej dł ugoś ci, v liczbę Poissona. Pozostałe parametry: a 3 współ czynnik okreś lają cy nieliniowość materiału (1.4), E moduł Younga, Q gę stość materiału powł oki, / długość powł oki mierzona wzdłuż tworzą cej zawarte są w bezwymiarowych współ rzę dnych gdzie W mak jest amplitudą drgań poprzecznych (gię tnych), w pulsacją drgań rozważ anej powłoki. podstawową Materiałom o «mię kkich» charakterystykach (a 3 > 0) odpowiada czę ść wykresu dla A > 0, materiałom liniowo sprę ż ystym (a 3 = 0) odpowiada A = 0, materiał om o «sztywnych» charakterystykach (a 3 < 0) odpowiada czę ść wykresu dla A < 0. Jako przykł ad naszych rozważ ań przeanalizujemy drgania wł asne powł ok stoż kowych (przy m = 1) o nastę pują cych wartoś ciach parametrów: H - 0,5, tg/s = 0,2, x = 4-10- 3, v- 0,3. Na rys. 1 przedstawiono wykresy funkcji A{A) oraz 6 2 (A) dla drgań podł uż nych, na rys. 2 dla drgań poprzecznych. Drgania podłuż ne charakteryzują się znacznie wyż szą czę - stoś cią drgań od drgań poprzecznych. Oczywiś cie dla drgań podłuż nych zachodzi zwią zek \ A\ > 1, natomiast dla drgań poprzecznych \ A\ < 1. Jak wynika z przytoczonego przykładu dla charakterystyk «mię kkich» ze wzrostem amplitudy czę stość maleje, dla «sztywnych» roś nie. Cecha ta jest silniejsza dla materiałów o wię kszym współczynniku \a 3 \. Wpływ parametrów ju oraz /? na drgania poprzeczne przy niezmienionych wartoś ciach pozostał ych parametrów ilustrują odpowiednio rys. 3 i 4. Przy /? = 0 uzyskujemy charakterystyki dla powł oki walcowej. Zmiany parametru % w zakresie od 2 10" 3 do 8 10" 3 nie wpływają na zmianę wartoś ci analizowanych funkcji. Ś ciś liwoś ć materiału dość znacznie wpływa na czę stość drgań własnych oraz na współczynnik postaci drgań własnych, w przypadku materiału nieliniowo sprę ż ystego. W przypadku materiał u podlegają cego prawu Hooke'a ś ciś liwoś ć materiał u wpływa w mał ym stopniu na czę stość drgań wł asnych. Wpływ ś ciś liwośi cna analizowane funkcje w przypadku drgań poprzecznych przedstawia rys. 5. Przyjmowanie założ enia upraszczają cego, iż materiał powłoki jest nieś ciś liwy, może być przyczyną duż ych bł ę dów w przypadku zastosowania uproszczonej teorii do analizy drgań powł ok wykonanych z materiał ów nieliniowo sprę ż ystych. Zjawisko zmiany czę stoś c i drgań wł asnych ze zmianą amplitudy ma duże znaczenie w przypadku drgań wymuszonych, a w szczególnoś ci w przypadku rezonansu.
410 F. TWARDOSZ, T. WEGNER pierwsze przybliż eni e drugie przybliż enie O 1 drugi* przybliż enie A Literatura cytowana w tekś cie 1. H. KAUDERER, Nichtlineare Mechanik, Berlin 1958. 2. N. MINORSKI, Drgania nieliniowe, Warszawa 1967. 3. IO. IO. TpAnE3HH, O Majiux KOjieoauunx Kpyeoeoii mohkoanemwu KonuuecKOii OSO/ IOHKU, Pac^eTH Hi npo^raoctłj B. 2, MocKBa 1958. 4. P. TWARDOSZ, Osiowo- symetryczne drgania nieliniowo- sprę ż ystejpowłoki stoż kowej, Poznań skie Towarzystwo Przyjaciół Nauk, zeszyt 8, Poznań 1971. 5. B. C. BJIACOB, O6u{an meopun oso/ iouek, MocKBa 1949. P e 3 IO M e COECTBEHHŁIE KPyrJIOCHMMETPIOTECKHE KOJIEBAHHH KOHI- MECKOH OEOJICra<H H3 GKHMAEMC- ro HEJIHHEHHO- ynpyroro MATEPHAJIA B pa6ote nccjie#yiotch co6ctbemiłie i<ojie6anhh (c KpyroBoii CHMMeTpneii) CBo6oflno oneptoft no KpaHM.TOHKOH osojiotjkh B BHfle yce^ehhoro Konyca H3 ofluopoflhoro, H3OTponHoro, jihueiiho ynpyroro, OKHMaeMoro MaTepnajia. Ilpn orpaiih^eniih anajih3a K cnyqaio Mantix KoJie6aHHH 3 flonycnimo Hcnont-
OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 411 30BaHHe reoivietperaeckh JlHHetabK 3aBHCHMocTeił. IToJiyqeHa CHcteivia #Byx HejiHHefiHLix fliicpibepehi(hajibhbix ypabhenhh c ^acthbimh npoh3boflhbimh qetbeptoro nophflka, onpeflenhmiuhx npoflojithłie H nonepemibie KOJieSaHiui. YpaBHeHHH cbeflehh MeTOflOM EySHOBa- FaJiepKHHa K o6bikhobemibim fliicbypabheiihhm. lipa npeflnowenhh o cjia6oii HeJiHHeiłHociH, ypabhenmi penienw c no- Meiofla Manoro napamctpa. PemeHHH orpahh^hbajihcb KO BTopoMy npa6jih>kehhio. HŁie peiuehhhj HJunocipHpyioinHe BirHHHHe ynpyron HennHeHHOcTH Ha KOJie6aiiHH OSOJIO^ CTaBJieubi rpacjjiraeckh. Summary ROTATIONALLY SYMMETRIC FREE VIBRATIONS OF A CONICAL SHELL MADE OF COMPRESSIBLE, NON- LINEAR ELASTIC MATERIAL The paper deals with the analysis of rotationally free vibrations of a thin truncated conical shell, simply supported on both edges. The material of the shell is assumed to be homogeneous, isotropic, non- linear elastic and compressible. The problem is limited to the analysis of small vibrations what makes it possible to use the linear geometric relations. As a result, the system of partial differential equations of fourth order is obtained describing the longitudinal and transverse vibrations. By applying the variational Bubnov- Galerkin method, partial equations are reduced to the ordinary differential equations. Assuming weak non- linearity, the equations are then solved by the perturbation method, the solution being limited only to second approximation. The equations obtained describing the influence of elastic non- linearity of the material on the vibrations of the shell have been presented graphically. POLITECHNIKA POZNAŃ SKA, POZNAŃ Praca została złoż ona w Redakcji dnia 8 listopada 1974 r.