Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27

Plan wykładu 1 Relacje konsekwencji sematycznej 2 Podstawowy system dowodzenia Aksjomaty Reguły wnioskowania Standardowy system formalny ( S dedukcja) Przykład 3 Inne modalne systemy formalne 4 Poprawność systemu dowodzenia Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 2 / 27

Wybór relacji konsekwencji Wzorując na logice rachunku zdań, chcemy definiować pojęcie Formuła modalna φ jest logiczną kosekwencją zbioru Φ modalnych hipotez" Na pierwszy rzut oka, problem wygląda na dość oczywisty. Np. to zachodzi wówczas, gdy φ jest prawdziwa w każdym modelu dla zbioru Φ. Ale są dwa zasadnicze problemy: Po pierwsze, nie jest oczywiste którego z trzech modeli należy użyć. Z postaci trzech wprowadzonych relacji nie mamy wskazania, która z nich jest lepsza od innych. Po drugie, na razie nie wiadomo która formuła modalna może być formułą bazową (aksjomatem), a która nie. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 3 / 27

Trzy relacje konsekwencji Przypomnijmy, że rozróżnialiśmy trzy typy relacji spełnialności t.j. punktową, wartościowaniową, i strukturalną (oznaczenie: p, v i u). Definicja relacja konsekwencji semantycznej Niech k {u, v, p} będzie typem spełnialności. Dla każdego zbioru formuł Ψ i formuły φ, relacja Φ = k φ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy każda k-struktura, która jest modelem dla Ψ jest również modelem dla φ. Relację tę nazywamy relacją konsekwencji logicznej lub relacją konsekwencji semantycznej. Twierdzenie zależność typów konsekwencji Dla każdego zbioru formuł Ψ i każdej formuły φ zachodzi: Φ = p φ Φ = v φ Φ = u φ Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 4 / 27

Dowód zależności typów konsekwencji Załóżmy, że Φ = p φ oraz, że v-struktura (K, val) jest modelem dla Φ. Pokażemy, że (K, val) jest również modelem dla φ. Jeżeli wybierzemy dowolny stan s w strukturze K to z założenia (K, val, s) jest modelem punktowym dla Φ, a zatem także dla φ. Ale ponieważ wybieraliśmy dowolny stan s, to poprzednie zdanie jest prawdziwe dla wszystkich stanów w K. To zaś oznacza, że dla każdego stanu s mamy spełnialność punktową φ, co jest równoważne (z definicji), spełnialności φ dla (K, val). Dowód implikacji Φ = v φ Φ = u φ jest całkowicie analogiczny. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 5 / 27

Zależności typów konsekwencji Na ogół tych implikacji nie można odwrócić. Na przykład: φ = v φ zachodzi dla każej formuły φ ale dla dowolnej zmiennej p można bez trudu pokazać model punktowy p, p, w którym φ = p φ nie musi zachodzić. Pokażemy lemat, który określa pewne własności relacji konsekwencji semantycznej. Własności te stanowią podstawowe aksjomaty w w systemach dowodzenia. Lemat Następujące implikacje są prawdziwe dla każdego zbioru formuł Ψ i dla dowolnych formuł θ, φ: (P) φ Ψ Ψ = v φ Ψ = (MP) v } θ φ Ψ = v θ (N) Ψ = v φ Ψ = v φ Ψ = v φ Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 6 / 27

Standardowy (formalny) system modalny S Zbiór aksjomatów standardowego systemu modalnego S składa się z: 1 Wszystkich tautologii rachunku zdań (bez operatorów modalnych). 2 Tautologii typu (K) dla logiki modalnej, gdzie: (K) (φ θ) ( φ θ). 3 Wszystkich formuł otrzymanych z wyżej wymienionych tautologii przez podstawienie zmiennych formułami. Trzeci z warunków powyżej stanowi, że zbiór aksjomatów jest zamknięty ze względu na podstawienia. W kolejnych systemach, zbiór S będzie wzbogacany o kolejne formuły ze zbioru formuł {D, T, B, 4, 5...} zdefiniowanych na poprzednim wykładzie. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 9 / 27

Reguły wnioskowania dla S System dowodzenia dla logiki modalnej posiada dwie reguły wnioskowania. Pierwszą jest poznany już modus ponens (MP - reguła odrywania) zaś drugą reguła wymuszania (N jak Necessitation), która włacza we wnioskowania operator(y) modalne. Reguły wnioskowania 1 Modus ponens: 2 Reguła wymuszania: (MP ) (N) θ θ θ θ φ φ Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 11 / 27

Wywód w systemie S Niech S będzie systemem określonym przez zbiór aksjomatów S, Φ będzie dowolnym zbiorem formuł modalnych (zbiorem hipotez): Wywodem w systemie S ze zbioru Φ nazywamy każdy ciąg formuł φ 0, φ 1,..., φ n taki, że dla każdej formuły φ i z ciągu (0 i n), zachodzi co najmniej jedno z: (hyp) φ i Φ (aks) φ i jest aksjomatem (φ i S) (mp) Istnieją formuły φ j, φ k występujące wcześniej w tym ciągu (tzn. j, k < i) takie, że (n) Istnieje indeks s < i taki, że φ k = (φ j φ i ) φ i = φ s Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 13 / 27

Konsekwencja formalna (syntaktyczna) w S Formuła φ jest S-konsekwencją zbioru Φ (tzn. konsekwencją w systemie S), co oznaczamy Φ S φ, wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieje w systemie S wywód z Φ, na końcu którego otrzymujemy φ. Dla lepszego pokazania na czym polega dedukcja w systemie modalnym, na nastepnych slajdach przedstawiamy przykład. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 14 / 27

Przykład - własnosci S Lemat - wymuszanie (konieczność) implikacji Dla dowolnych formuł modalnych φ, θ mamy S φ θ S φ θ Dowód: Podstawmy α = φ θ. Kolejne kroki w wywodzie są następujące: 1 α = φ θ (hipoteza) 2 (α) (reguła N) 3 (α) ( φ θ) (aksjomat K) 4 φ θ (Modus ponens) Czyli jest to wywód o długości 4 w systemie S. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 16 / 27

Alternatywne systemy monomodalne Do systemu standartowego, oprócz aksjomatów typu K, możemy dołączyć jeszcze formuły typu D, T, B, 4 lub 5. System standartowy oznaczamy zwykle przez K, gdyż zawiera tylko formuły typu K. Systemy KD, KB, KT, K4, K5 są rozszerzeniami systemu K o aksjomaty typu D, T, B, 4 lub 5, odpowiednio. Analogicznie możemy rozszerzyć te systemy do np. KD4, KD5,... W ten sposób, możemy teoretycznie otrzymać 2 5 = 32 różne kombinacje. Ale, jak się później okaże, wśród nich jest tylko 15 istotnie różnych systemów dowodzenia. Będziemy w dalszych rozważaniach używać oznaczenia: S4 = KT4 S5 = KT5 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 18 / 27

Relatywna moc systemu formalnego Wprowadzamy pojęcie (relatywnej) mocy systemu. Mówimy, że system S 1 jest nie mocniejszy niż system S 2, i oznaczamy to przez S 1 S 2, jeśli φ ( S1 φ S2 φ) Dwa systemy S 1, S 2 są równoważne jeśli S 1 S 2 i S 2 S 1. Mamy następujące fakty: Dwa systemy S 1, S 2 są równoważne jeśli S 1 S 2 i S 2 S 1. Przy zachowaniu uprzedniej notacji zachodzi: Lemat - D jest słabsze od T Formuły D są słabsze niż T, tzn. czyli KD4 S4 i KD5 S5 KD KT Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 19 / 27

Relatywna moc systemu formalnego Dowód lematu D jest słabsze od T Musimy wskazać wywód dla D w którym wykorzystamy T. Przyjmiemy następujące oznaczenia pomocnicze: α = φ β = φ γ = α = φ Wtedy wywód dla D = β γ to: α φ (T) (α φ) (φ α) (Tautologia) φ γ (Modus ponens) β φ (T) (β φ) ((φ γ) (β γ)) (Tautologia) ((φ γ) (β γ)) (MP) β γ (MP) Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 20 / 27

Zależności między systemami formalnymi Fakty pomocnicze 1 KDB5 S5 2 K4 KB5 KDB4 KDB5 3 K5 KB5 KT5 KTB4 4 KT KDB4 - aby to pokazać, trzeba użyć wszystkich 3 poprzednich. Twierdzenie Dowód: S5 = KT5 KTB4 (Fakt 3) KDB4 (Fakt 4) KDB5 (Fakt 2) S5 (Fakt 1) S5 = KDB4 = KDB5 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 21 / 27

Zawieranie się sytemów fomalnych Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 22 / 27

Relacje konsekwencji Na poprzednich slajdach definiowaliśmy 3 relację konsekwencji semantycznej = k dla k = u, v, p. Wprowadziliśmy pojęcie logicznej prawdziwości formuł modalnych jako: Definicja konsekwencji semantycznej Niech S będzie standardowym systemem o zbiorze aksjomatów S. Niech k {u, v, p} będzie typem spełnialności. Dla każdego zbioru formuł Φ i formuły φ, relacja Φ = k S φ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy każda k-struktura, która jest modelem dla S i dla Φ, jest również modelem dla φ UWAGA: W zasadzie relacja = k S może być zastąpiona przez =k, gdyż Φ = k S φ Φ S =k φ ale dalej używamy także parametryzowanej wersji = k S, gdyż w pewnych sytuacjach możemy potrzebować wskazać w jakim systemie jesteśmy. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 24 / 27

Relacje konsekwencji Dotąd wprowadziliśmy dla każdego systemu formalnego S cztery relacje konsekwencji, w tym relację syntaktycznej konsekwencji: i trzy relacje semantycznej konsekwencji: S Próbujemy odpowiadać na pytanie: = p S, = v S, = u S Jak te relacje mają się do siebie? Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 25 / 27

Związki relacji konsekwencji Z twierdzenia o związkach relacji konsekwencji semantycznej (przez postawienie Ψ = Φ S) mamy Φ = p S φ Φ =v S φ Φ =u S φ Możemy stosunkowo łatwo pokazać twierdzenie o poprawności systemu dowodzenia: Poprawność modalnego systemu dowodzenia Dla każdego systemu formalnego S (zadanego zbiorem aksjomatów S), zbioru hipotez Φ i formuły φ mamy zależność: Φ S φ Φ = v S φ Dowód: Indukcja względem długości wywodu dla Φ S φ. Główne kroki indukcyjne dowodzi się za pomocą wcześniej wprowadzonego lematu o prawdziwości reguł wnioskowania (P,MP,N). Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 26 / 27

Pożytki z poprawności Twierdzenie o poprawności możemy wykorzystać do pokazania, że dwa formalne systemy są istotnie różne. Na przykład, wiemy, że KD KT. Aby pokazać, że te systemy są różne, wystarczy znaleźć formułę φ taką, że: KT φ i nie prawda, że KD φ Z Twierdzenia o poprawności wynika, że drugi warunek jest spełniony jeśli pokażemy, że nieprawda, że = v KD φ Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 27 / 27