Badanie koncentracji naprężeń - doświadczalne wyznaczanie współczynnika kształtu oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski 1. Wstęp Występowaniu skokowych zmian kształtu obciążonego elementu, obecności otworów, wcięć lub szczelin, a także lokalnych oddziaływań innych elementów (obciążeń skupionych lub działających na niewielkim obszarze) towarzyszy koncentracja naprężeń. Maksymalne wartości naprężeń mogą znacznie przekraczać wartości dopuszczalne (obliczane z reguły przy założeniu ich równomiernego lub wolnozmiennego charakteru rozkładu), a miejsca ich występowania to z reguły obszary powstawania pęknięć zmęczeniowych lub uszkodzeń o charakterze doraźnym. Występowanie spiętrzeń naprężeń jest wiązane z pojęciem zbiorów: wypukłego i niewypukłego [1]. W pierwszym przypadku, odcinek łączący dwa punkty tego zbioru przebiega wewnątrz zbioru, natomiast w drugim istnieją odcinki, które nie spełniają tego warunku rys. 1. a) b) Rys. 1. Zbiory: a) wypukły, b) niewypukły W praktyce, wpływ ukształtowania danego elementu na zjawisko koncentracji naprężeń może być uwzględniony za pomocą współczynnika koncentracji naprężeń definiowanego ogólnie jako: α k = σ max /σ nom (1) Występujące we wzorze (1) naprężenie nominalne σ nom jest najczęściej obliczane przy założeniu równomiernego charakteru rozkładu naprężeń, np. nieuwzględniającego występowanie skokowej zmiany kształtu, obecności otworu, itp.. Wartość współczynnika α k można wyznaczyć w niektórych przypadkach analitycznie lub na drodze obliczeń numerycznych (np.[2]). Jednak doświadczalne wyznaczanie współczynnika koncentracji naprężeń jest równie efektywne, a nawet niezbędne, np. w celu weryfikacji przyjętych w obliczeniach założeń i uproszczeń. 2. Cel ćwiczenia i obiekt badań Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie współczynnika kształtu α k, określającego wpływ geometrii obciążonego elementu na spiętrzenie naprężeń, zdefiniowanego ogólnie za pomocą wzoru (1). Obiektem badań są rozciągane próbki o przekroju prostokątnym (rys. 2). 1
a) b) 2b 2R 2b R 2b 1 Rys. 1. Schematy badanych próbek 3. Obliczenia wartości współczynnika koncentracji naprężeń W przypadku próbki pokazanej na rys. 2a, teoretyczną wartość współczynnika koncentracji naprężeń można obliczyć na podstawie rozwiązania zadania Kirscha, tj. rozkładu naprężeń w nieskończonej tarczy z kołowym otworem, jednokierunkowo rozciąganej (rys. 3). p y R y = 0 r x Θ p Rys. 3. Nieskończona tarcza z otworem kołowym oznaczenia 2
Korzystając z potencjałów zespolonych opisujących pole naprężeń, uzyskuje się wzory umożliwiające obliczenie składowych stanu naprężenia w dowolnym punkcie tarczy (np.[3]), określonym we współrzędnych biegunowych (ρ,θ), przy czym ρ= r/r: σ Θ = p[(1 + R 2 / r 2 ) (1 + 3 R 4 / r 4 ) cos 2Θ]/2 σ ρ = p[(1 - R 2 / r 2 ) + (1-4 R 2 / r 2 + 3 R 4 / r 4 ) cos 2Θ]/2 (2) τ ρθ = -p[(1 + 2 R 2 / r 2 3 R 4 / r 4 ) sin 2Θ]/2 Łatwo wykazać, że dla r=r, tj. ρ=1, jest: σ ρ = τ ρθ = 0, natomiast σ Θ max = 3p, przy czym naprężenie p jest naprężeniem działającym w obszarze niezakłóconym przez otwór (w nieskończoności), a miejsce występowania maksymalnej wartości naprężenia na krawędzi otworu określa kąt Θ = π/2 (y = 0). Tak więc, teoretyczna wartość współczynnika koncentracji naprężenia wynosi: α k teoret = 3. W przypadku próbek o skokowo zmiennej szerokości można przyjąć, że współczynnik koncentracji naprężeń uwzględnia wartość σ nom obliczoną dla szerszej części próbki: σ nom = F / 2bt (3) gdzie: F siła, t grubość próbki, stąd teoretyczna wartość współczynnika koncentracji naprężeń wynosi: α k teoret = σ max /σ nom = b / b 1 (4) bowiem naprężenie działające w węższej części próbki (co wynika z warunku równowagi) ma wartość: σ = F / 2b 1 t (5) 4. Metoda pomiaru Wartości współczynników kształtu, charakteryzujących koncentrację naprężeń w pokazanych powyżej przypadkach, należy wyznaczyć metodą elastooptyczną [3]. Istotą elastooptyki jest wykorzystywanie światła, jako nośnika informacji, oraz związku między właściwościami optycznymi niektórych materiałów, a polem odkształceń (naprężeń). W szczególności, w tej metodzie pomiaru wykorzystywane jest zjawisko polaryzacji światła oraz anizotropii optycznej (dwójłomności wymuszonej) niektórych materiałów (np. szkła, żywicy epoksydowej, żelatyny). Obserwacja w świetle spolaryzowanym, elementów lub modeli obiektów rzeczywistych wykonanych z takich materiałów, pozwala zarejestrować efekty optyczne w postaci prążków zwanych izochromami i izoklinami. Są one jednoznacznie związane z polem odkształceń, a w zakresie liniowo-sprężystych odkształceń materiału również z polem naprężeń. Na ich podstawie można przeprowadzić analizę rozkładu naprężeń normalnych i stycznych w analizowanym obszarze. W szczególności, podstawowe równanie elastooptyki, wiąże różnicę naprężeń głównych (σ 1 σ 2 ) z efektem optycznym (rzędem izochromy N), równaniem o postaci: 3
σ 1 σ 2 = N f σ (6) gdzie: f σ tzw. naprężeniowa wartość rzędu izochromy. W przypadku wyznaczenia tzw. parametru izokliny α, bezpośrednio z pomiaru można wyznaczyć wartość naprężenia stycznego: τ xy = (N f σ sin 2α)/2 (7) W ogólnym przypadku, w celu określenia składowych normalnych stanu naprężenia, konieczne jest tzw. rozdzielenie naprężeń metodami numerycznymi lub z wykorzystaniem wyników dodatkowych pomiarów wykonywanych innymi metodami. Jednak na nieobciążonych, obciążeniami normalnymi lub stycznymi, krawędziach badanych elementów jest σ 2 = 0, tak więc wartość naprężenia działającego stycznie do krawędzi jest wprost proporcjonalna do rzędu izochromy zmierzonego w danym jej punkcie: (σ 1 ) i = N i f σ (8) co pozwala wyznaczać w takich przypadkach wartość naprężeń maksymalnych na zasadzie pomiaru maksymalnej wartości rzędu izochromy. Pożądany stan polaryzacji światła, umożliwiający śledzenie efektu dwójłomności, uzyskuje się w tzw. polaryskopach. Są one wyposażone w elementy optyczne umożliwiające uzyskanie światła o określonej polaryzacji (kołowej lub liniowej) oraz analizę zmian wywołanych anizotropią optyczną badanego ośrodka. Typowy schemat polaryskopu z transmisyjną wiązką światła pokazano na rys. 3. zespół polaryzatora zespół analizatora źródło światła kierunek obserwacji 5. Sprzęt pomiarowy i przebieg pomiarów Rys. 3. Schemat polaryskopu transmisyjnego badana próbka (model) Pomiary realizowane są na stanowisku wyposażonym w polaryskop transmisyjny f-my Carl Zeiss Jena, układ do realizacji obciążeń statycznych badanych próbek oraz układ do rejestracji obrazów izochrom (np. aparat cyfrowy ze statywem). W przypadku rozciągania pasma z otworem, współczynnik α k jest wyznaczany dla próbek o zmiennej szerokości, dla stosunku R/b wynoszącego: 1.5; 2; 3 i 4, przy stałej wartości promienia otworu R = 6 mm i wartości σ nom = const. (tabela 1). Natomiast próbki o skokowo zmiennej szerokości mają stały stosunek b/b 1 i zmienny promień R, wynoszący: ~ 0.0; 2.5; 4.0 i 6.0 mm. 4
Szerokość i obciążenie badanych próbek Tabela 1. Próbka b [mm] F/F P1 P1 9.0 1.00 P2 12.0 1.33 P3 18.0 2.00 6. Opracowanie danych uzyskanych z pomiarów Obliczenie wartości współczynnika koncentracji naprężeń sprowadza się do: a) wyznaczenia, na podstawie zarejestrowanych obrazów izochrom całkowitych (N = 0; 1; 2; ) i połówkowych (N = 0.5; 1.5; ) wartości N max, dla określonej geometrii badanej próbki i poziomu obciążenia, b) obliczenia wartości σ max na podstawie wzoru (3), c) obliczenia wartości σ nom, d) wyznaczenia wartości α k na podstawie wzoru (1), e) sporządzenia wykresów α k jako funkcji stosunku R/b. Na podstawie przeprowadzonej analizy danych pomiarowych należy określić: 1. wpływ skończonej szerokości rozciąganego pasma z otworem na spiętrzenie naprężeń wokół otworu wykres α k (R/b) oraz określić charakter rozkładu σ Θ w przekroju y=0 (Θ=π/2) - wzór (4) oraz wykresu N(x) w tym samym przekroju, 2. wpływ zmiany promienia R na spiętrzenie naprężeń w miejscu zmiany szerokości (sztywności) pasma wykres α k (R/b) W obu przypadkach należy uzyskane rezultaty porównać z wartościami teoretycznymi współczynników koncentracji naprężeń. 7. Sprawozdanie z ćwiczenia Sprawozdanie powinno zawierać: P4 24.0 2.66 schemat stanowiska pomiarowego i obciążenia próbek, charakterystyki badanych próbek (geometria, dane materiałowe), zdjęcia izochrom użytych do obliczeń współczynników koncentracji naprężeń, w tym ewentualne wyniki ekstrapolacji rzędów izochrom, przykładowe obliczenia współczynników oraz wykresy α k (R/b), wnioski wynikające z przeprowadzonych doświadczeń. 5
Literatura [1] Gawęcki A., Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych, wyd. Alma Mater, Polit. Poznańska, 2003. [2] Laboratorium wytrzymałości materiałów, pod red. K. Gołosia, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2000. [3] Gabryszewski Z., Teoria sprężystości, skrypt Polit.Wrocławskiej, Wrocław, 1977. 6