Zastosowanie rachunku ró»niczkowego i caªkowego w ekonomii. Zastosowanie rachunku ró»niczkowego i caªkowego w ekonomii Zadanie. Koszt produkcji x jednostek towaru 50 x 00 wynosi k(x) = 60x 0.5x 3/ + 80 zª. Natomiast utarg wynosi u(x) = 70x 0.03x zª. Poda funkcje: k kr (x) kosztu kra«cowego u kr (x) utargu kra«cowego oraz z kr (x) zysku kra«cowego. Ile wynosi koszt kra«cowy utarg kra«cowy oraz zysk kra«cowy dla x = 00? Zadanie. Pewna rma mo»e wyprodukowa x sztuk pewnego towaru miesi cznie przy koszcie produkcji sztuki po 30 0.0x zª za± ka»d sztuk mo»na sprzeda w cenie 800 0.5x zª. Ponadto staªe miesi czne koszty rmy wynosz 90000 zª. Firma jest w stanie wyprodukowa miesi cznie co najwy»ej 650 sztuk. Przy jakiej miesi cznej produkcji zysk jest maksymalny i ile wynosi? Zadanie 3. A baseball team plays in a stadium that holds 55 000 spectators. With tickets prices at $0 the average attendance has been 7 000. When ticket prices were lowered to $8 the average attendance rose to 33 000. a) Find the demand function assuming that it is linear b) how should tickets prices be set to maximize revenue? Zadanie 4. During the summer months Terry makes and sells necklaces on the beach. Last summer he sold the necklaces for $0 and his sales averaged 0 per day. When he increased the price by $ he found that he lost two sales per day. a) Find the demand function assuming that it is linear b) if the material for each necklace costs Terry $6 what should the selling price be to maximize prots? Zadanie 5. A manufacturer has been selling 000 television sets a week at $450 each. A market survey indicates that for each $0 rebate oered to the buyer the number of sets sold will increase by 00 per weak. a) Find the demand function b) how large a rebate should the company oer the buyer in order to maximize its revenue? c) if its weekly cost function is C(x) = 68 000 + 50x how should it set the rise of the rebate in order to maximize its prots? Zadanie 6. The manager of a 00 units apartment complex knows from experience that all units will be occupied if the rent is $400 per month. A market survey suggests that on the average one additional unit will remain vacant for each $5 increase in rent. What rent should the manager charge to maximize revenue? Zadanie 7. Przy produkcji x ton pewnego proszku dziennie koszt produkcji ka»dej tony wynosi 4700 x zª. Poda elastyczno± kosztu produkcji ze wzgl du na wielko± produkcji. Jak wpªynie zwi kszenie obecnej produkcji 86 ton o ka»dy procent na zmniejszenie kosztów produkcji ka»dej tony? Aktualizacja: czerwca 0
Zastosowanie rachunku ró»niczkowego i caªkowego w ekonomii Zadanie 8. Funkcja popytu na pomidory ma posta y = 0 0.4x gdzie x oznacza cen pomidorów w zª na kg natomiast y popyt miesi czny w kg na osob. Wyznaczy elastyczno± popytu dla ceny maksymalizuj cej utarg. Zadanie 9. Przedsi biorstwo nabyªo urz dzenie które zapewnia zysk (na jednostk czasu) Z (t) = (0 5 ) t t > 0 gdzie t oznacza liczb lat eksploatacji urz dzenia. Koszty (na jednostk czasu) zwi zane z utrzymaniem urz dzenia w stanie sprawno±ci wzrastaj z czasem przy czym wzrost ten okre±la funkcja K (t) = t. Obliczy ª czny zysk osi gni ty z urz dzenia w okresie jego eksploatacji. Zadanie 0. Dla ka»dej z funkcji Törnquista T (x) = a x x + b T (x) = a x c x + b T 3 (x) = ax x c x + b obliczy i zinterpretowa : (a) granic w + (b) elastyczno±. x > 0 a b > 0 (popyt na dobra podstawowe) x c a b c > 0 (popyt na dobra wy»szego rz du) x c a b c > 0 (popyt na dobra luksusowe) Zadanie. Rozwa»my rm produkuj c jednorodny towar sprzedawany na trzech ró»- nych rynkach na których popyt dany jest zale»no±ciami: Q (P ) = 4 (63 P ) Q (P ) = 5 (05 P ) Q 3 (P ) = 6 (75 P ) gdzie P oznacza cen. Funkcja caªkowitego kosztu produkcji jest postaci gdzie Q oznacza wielko± produkcji. C (Q) = 0 + 5Q (a) Wyznaczy wielko±ci produkcji Q Q Q 3 na poszczególne rynki maksymalizuj ce zysk (i równowa» ce popyt) wiedz c»e ceny na ka»dym z rynków nie musz by takie same (b) jak jest elastyczno± popytu wzgl dem ceny dla cen zapewniaj cych maksymalny zysk? Odp.: ceny: 39 60 45 produkcje: 6 9 5. Aktualizacja: czerwca 0
Modele Leontiewa. Modele Leontiewa Zadanie. Dla danej macierzy przepªywów mi dzygaª ziowych 375 80 55 X = 40 390 30 650 5 355 oraz wektora produkcji globalnej X = 300 500 400 T obliczy : macierz nakªadów bezpo±rednich macierz Leontiewa oraz wektor produktu ko«- cowego. 5 4 3 5 75 8 4 59 8 T Odp.: A = Ȳ = 0 80 70. 30 50 35 7 80 Zadanie 3. Dla danej macierzy przepªywów mi dzygaª ziowych 6730 370 X = 5690 40 oraz wektora produktu ko«cowego Ȳ = 000 00 T obliczy : macierz nakªadów macierz Leontiewa oraz wektor produkcji globalnego. 673 37 T 00 00 Odp.: A = X = 000 000. 569 00 4 00 Zadanie 4. Dla danej macierzy nakªadów bezpo±rednich 99 0.355 40 A = 3 0.30 70 oraz wektora produkcji globalnej T X = 000 400 wyznaczy : macierz przepªywów mi dzygaª ziowych oraz wektor produktu ko«cowego. 70 990 T Odp.: X = 640 460 Ȳ = 300 300. Zadanie 5. Rozwa»my dwudziaªow gospodark zªo»on z energetyki i górnictwa. Wiadomo»e Aktualizacja: czerwca 0 3
Modele Leontiewa energetyka do wyprodukowania dobra o warto±ci zu»ywa swój produkt o warto±ci 0 centów oraz dobro wytworzone przez górnictwo o warto±ci 60 centów górnictwo dla wyprodukowania dobra o warto±ci zu»ywa dobro wytworzone przez energetyk o warto±ci 50 centów oraz nie zu»ywa wªasnego produktu. Produkt ko«cowy energetyki ma warto± 000 mld za± górnictwa 000 mld. Wyznaczy macierz nakªadów bezpo±rednich oraz wektor produktu ko«cowego. Zadanie 6. Dana jest macierz nakªadów bezpo±rednich 0.05 0.5 0.34 A = 0.33 0.0 0. 0.9 0.38 0.00 T oraz wektor produktu kocowego Y = 800 00 900. (a) Wyznaczy wektor produkcji globalnej (b) wyja±ni znaczenie danych 0.33 0. 0.00 00 (c) czy suma wyrazów trzeciej kolumny ma sens ekonomiczny (d) czy suma wyrazów trzeciego wiersza ma sens ekonomiczny (e) znale¹ macierz przepªywów mi dzygaª ziowych zinterpretowa powy»sze sumy obliczone dla tej macierzy. Zadanie 7. W dynamicznym modelu Leontiewa dana jest macierz nakªadów bezpo±rednich A = 5 5 oraz macierz wspóªczynników inwestycyjnych Z =. 3 Dla wektora pocz tkowej produkcji globalnej X (0) = 00 90 T oraz wektorów czystego produktu ko«cowego C (0) = 30 5 C () = 0 0 C () = 5 wyznaczy wektory X () X () X (3) produkcji ko«cowej. Odp.: X () = 00 95 X () = 655 595 6 6 Ȳ () =. 65 70 3 5 64 0 9 X (3) = 4373 36 3863 36 Ȳ () = Aktualizacja: czerwca 0 4
3 Model paj czyny 3. Model paj czyny Zadanie 8. Dla podanych w modelach paj czyny funkcji popytu o poda»y (a) Q d (t) = 8 3P (t) Q s (t) = 3 + 4P (t ) (b) Q d (t) = 3P (t) Q s (t) = + P (t ) (c) Q d (t) = 9 6P (t) Q s (t) = 5 + 6P (t ) wyznaczy cen równowagi. Niech (a) P (0) = 4 (b) P (0) = 7 (c) P (0) = 3. Wyznaczy ±cie»k cenow oraz zbada jej charakter. Narysowa diagram paj czyny. Aktualizacja: czerwca 0 5