Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Teoria miary i całki Measure and Integration Theory Kod przedmiotu: Poziom przedmiotu: II stopnia Liczba godzin/tydzień: 3W E, 3C Semestr: II Liczba punktów: 7 ECTS I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. Zapoznanie studentów z podstawami teorii miary i całki, w szczególności miary i całki Lebesgue a w k-wymiarowych przestrzeniach euklidesowych i na rozmaitościach. Nabycie umiejętności obliczania całek Lebesgue a funkcji rzeczywistych (także wektorowych) w k-wymiarowych przestrzeniach i na rozmaitościach WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Wiedza z zakresu teorii mnogości i topologii 2. Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II i III 3. Wiedza z zakresu algebry liniowej 4. Umiejętność obliczania pochodnych funkcji (także wektorowych), całkowania w zakresie całki Riemanna 5. Umiejętność wykonywania operacji na zbiorach EFEKTY KSZTAŁCENIA EK 1 definiuje podstawowe pojęcia i wymienia twierdzenia teorii miary i całki EK 2 przedstawia konstrukcję miary i całki Lebesgue a w w k-wymiarowej przestrzeni euklidesowej oraz jej własności EK 3 przedstawia konstrukcję miary i całki Lebesgue a na rozmaitości oraz jej własności EK 4 - rozwiązuje proste problemy z zakresu teorii miary i całki oraz stosuje podstawowe twierdzenia do wyznaczania całki Lebesgue a EK 5 - oblicza całki Lebesgue a funkcji rzeczywistych (oraz funkcji wektorowych) w k-wymiarowej przestrzeni euklidesowej EK 6 - oblicza całki Lebesgue a funkcji rzeczywistych (oraz funkcji wektorowych) na rozmaitości całki krzywoliniowe i powierzchniowe TREŚCI PROGRAMOWE Forma zajęć WYKŁADY Liczba godzin W 1 Przestrzenie mierzalne i odwzorowania mierzalne 3 W 2 Zbiory borelowskie. Odwzorowania mierzalne o wartościach w R i w zbiorze R 3 rozszerzonym W 3 Miary i ich podstawowe własności 3 W 4 Miary zewnętrzne i twierdzenie Caratheodory ego 3 W 5 - Miara Lebesgue a w k-wymiarowej przestrzeni euklidesowej 3 W 6 - Ogólna teoria całki. Całkowanie funkcji prostych, nieujemnych funkcji 3 mierzalnych i dowolnych funkcji mierzalnych W 7 - Własności całkowania 4
W 8 - Całka Lebesgue a w k-wymiarowej przestrzeni euklidesowej 5 W 9 - Produktowanie miar. Twierdzenie Tonellego i Fubiniego. Całki iterowane 5 W 10 - Miara i całka Lebesgue a na rozmaitości 4 W 11 - Całki krzywoliniowe i powierzchniowe pierwszego rodzaju 3 W 12 - Twierdzenie Radona-Nikodyma 3 W 13 - Całkowanie przez podstawienie 3 Forma zajęć ĆWICZENIA Liczba godzin C 1 Zbiory mierzalne, przestrzenie mierzalne i odwzorowania mierzalne 3 C 2 - Zbiory borelowskie. Odwzorowania mierzalne o wartościach w R i w zbiorze R 3 rozszerzonym C 3- Podstawowe własności miar 3 C 4 Miary zewnętrzne, warunek Caratheodory ego 3 C 5 Całki względem miary konstrukcja i własności 3 C 6 Miara zewnętrzna Lebesgue a i miara Lebesgue a w k-wymiarowej przestrzeni 3 euklidesowej C 7 Rozmaitości - miara Lebesgue a na rozmaitości 3 C 8 - Całka podwójna iteracja całki. Obliczanie całek podwójnych 4 C 9 Całka potrójna- iteracja całki. Obliczanie całek potrójnych 5 C 10 Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 3 C 11 Całki powierzchniowe pierwszego rodzaju 5 C 12 Całkowanie przez podstawienie 5 C 13 - Kolokwium 2 NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1. wykład z wykorzystaniem prezentacji multimedialnych 2. ćwiczenia tablicowe SPOSOBY OCENY ( F FORMUJĄCA, P PODSUMOWUJĄCA). ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń. ocena aktywności podczas zajęć. ocena umiejętności rozwiązywania postawionych problemów zaliczenie na ocenę. ocena opanowania materiału nauczania będącego przedmiotem wykładu zaliczenie na ocenę zadań i teorii OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA Forma aktywności Godziny kontaktowe z prowadzącym Zapoznanie się ze wskazaną literaturą Przygotowanie do ćwiczeń Obecność na konsultacjach Przygotowanie do kolokwium Przygotowanie do egzaminu Obecność na egzaminie Suma SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego Średnia liczba godzin na zrealizowanie aktywności 45W 45 C 90h 16 h 30 h 5 h 15 h 15 h 4 h 175 h 7 ECTS 4 ECTS Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym, w tym zajęć laboratoryjnych i 4,4 ECTS
projektowych LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA A. Birkholc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. PWN, Warszawa 2002 G. Plebanek Miara i całka. Skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste, www.math.uni.wroc.pl/~grzes/dydaktyka09_10/fr_main2.pdf W.J. Kaczor, M.T. Nowak Zadania z analizy matematycznej. Część 3 Całkowanie. PWN, Warszawa 2006 PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL) 1. dr hab. Małgorzata Klimek, prof. PCz. mklimek@im.pcz.pl MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Efekt kształcenia EK1 EK2 EK3 EK4 EK5 EK 6 Odniesienie danego efektu do efektów zdefiniowanych dla kierunku Matematyka Cele przedmiotu Treści programowe W1-W4, W6-W7, W9 -C5 W5, W8-W9 W10-W11 W5, W8-W9 C5-C6 W5, W8-W9, W13 C8, C9, 2 W10, W11 C7, 0-1 Narzędzia dydaktyczne Sposób oceny 1 1
II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY Na ocenę 2 Na ocenę 3 Na ocenę 4 Na ocenę 5 EK1-EK3 Student nie spełnia kryteriów oceny 3 Zna definicje i twierdzenia podane na wykładzie. Ma kłopot z ich poprawnym formalnym zapisem. Potrafi jednak wyjaśnić ich znaczenie. Poprawnie formułuje większość definicji i twierdzeń z zakresu teorii miary i całki. Potrafi wykazać proste własności zbiorów mierzalnych, miar oraz całek. Poprawnie formułuje definicje i twierdzenia oraz dowodzi wybrane twierdzenia. EK4-EK6 Student nie spełnia kryteriów oceny 3 Rozwiązuje proste przykłady z zakresu teorii miary i całki. Stosuje podstawowe twierdzenia do obliczania całek Lebesgue a. Poprawnie rozwiązuje większość zadań dotyczących podstaw teorii miary i całki oraz całkowania w zakresie całek Lebesgue a na przestrzeni euklidesowej i na rozmaitościach. Poprawnie rozwiązuje zadania w zakresie podstaw teorii miary i całki oraz całkowania w sensie Lebesgue a na przestrzeni euklidesowej i na rozmaitościach. Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE 1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej: www.wimii.pcz.pl 2. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki: www.im.pcz.pl