Transformata falkowa

Transformata falkowa dr inż. Przemysław Berowski p.berowski@iel.waw.pl Instytut Elektrotechniki Warszawa

Joseph Fourier Fourier na podstawie badań rozpływu ciepła w niejednorodnie ogrzewanych ciałach zasugerował, że każda funkcja matematyczna, obojętnie jak skomplikowana, może być przedstawiona jako suma pewnych prostych funkcji podstawowych, a mianowicie takich jak te, które opisują czysty ton w muzyce lub czystą barwę światła. LA Steen, Matematyka współczesna. 12 esejów. WNT, Warszawa 1983 Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 Auxerre 1830 Paris

Skąd wzięły się falki? W XIX w. w standardową techniką rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych było stosowanie do tego celu szeregu Fouriera, jednak Cauchy, Abel i Dirichlet wskazywali na problemy, związane z rozbieżnością szeregu Fouriera dowolnej funkcji. Paul David Gustav du Bois-Reymond 1831 Berlin 1889 Freiburg W 1873 r. Paul Du Bois-Reymond jako pierwszy podał przykład ciągłej funkcji okresowej o okresie 2π, której rozwinięcie w szereg Fouriera jest rozbieżne w punkcie.

Skąd wzięły się falki? W 1910 r. Haar podaje nowy system ortogonalny, oparty na funkcji Rozwinięcie w szereg Fouriera nie daje informacji o zachowaniu się takiej funkcji, a także nie daje dobrej aproksymacji w otoczeniu punktu x=0. zdefiniowanej w przedziale [0,1]. Alfréd Haar 1885 Budapeszt 1933 Szeged

Historia falek 1938, Paley-Littlewood, diadyczne grupowanie częstotliwości, 1948, Shannon, podstawy teorii informacji, 1977, Calderon, dekompozycja atomowa dystrybucji w przestrzeniach parabolicznych H p, 1981, Stromberg, usprawnienie systemu Haara, 1984, Grossman i Morlet, analiza sygnałów sejsmicznych za pomocą dekompozycji funkcji Hardyego na całkowalne z kwadratem falki, 1986, Meyer, konstrukcja bazy ortogonalnej w L 2, z przesuwaniem i rozszerzaniem funkcji gładkiej, 1987, Daubechies, ortogonalny system falek oparty na nośniku zwartym (compactly supported), 1988, Mallat, analiza wielorozdzielcza i unifikacja konstrukcji falek Stromberga, Battle-Lemarie a i Meyera. GW Pan, Wavelets in Electromagnetics and Device Modeling, Wiley 2003

Fala i falka Fala sinusoidalna stała amplituda, nieskończona energia, analiza Fouriera. Falka skończona energia skupiona wokół punktu, analiza falkowa.

Falka zerowa wartość średnia normalizacja skupiona wokół t=0 skończone pasmo przenoszenia

Rodzina falek przesunięcie u i skalowanie s falki bazowej (ang. mother wavelet) normalizacja

Transformata falkowa Ciągła TF (ang. Continuous (Integral) Wavelet Transform, CWT (IWT)) Jest miarą zmienności funkcji f(t) w otoczeniu u o rozmiarze proporcjonalnym do s

Odwrotna transformata falkowa Calderon, Grossmann, Morlet gdzie: warunek dopuszczalności ang. admissibility condition falka nie może mieć składowej stałej musi być różniczkowalna w sposób ciągły

Wady CWT zmiana współczynników u i s w sposób ciągły, nieskończona ilość generowanych współczynników, oczywiście w praktyce obliczeniowej przyjmuje się skończony krok próbkowanie płaszczyzny czasowoczęstotliwościowej Funkcja i jej CWT z użyciem maksykańskiego kapelusza (Mexican hat wavelet) S Mallat, A wavelet tour of signal processing

Funkcja skalująca φ (t) przyjęcie granicznej wartości współczynnika skali s=s 0, jeśli Wf(u,s) jest znane tylko dla wartości s<s 0 to do odtworzenia oryginalnej funkcji f(t) konieczna jest informacja o Wf(u,s) dla s>s 0, w tym celu wprowadza się funkcję skalującą (ang. scaling function) i tworzy rodzinę funkcji skalujących (funkcja bazowa funkcji skalującej bywa nazywana po angielsku father wavelet), funkcja skalująca jest połączeniem wszystkich falek o współczynniku skali s>s 0

Funkcja skalująca φ (t) Wartość średnia różna od zera!!! Falka Funkcja skalująca

Falka Haara Falka Haara nie jest ciągła i w konsekwencji jest trudno lokalizowalna w przedziale częstotliwości Iwona Piotrowska, Falki otrzymywane metodą analizy wieloskalowej i ich zastosowania,praca magisterska, UAM Poznań 2004

Falka Shanonna Iwona Piotrowska, Falki otrzymywane metodą analizy wieloskalowej i ich zastosowania,praca magisterska, UAM Poznań 2004

Falka Franklina Iwona Piotrowska, Falki otrzymywane metodą analizy wieloskalowej i ich zastosowania,praca magisterska, UAM Poznań 2004

Falka Meyera

Modyfikacja odwrotnej transformaty falkowej Funkcję skalującą można traktować jak odpowiedź impulsową filtru dolnoprzepustowego, natomiast falkę filtru pasmowego

Kostka Heisenberga jej powierzchnia jest niezależna od współczynnika skali rozdzielczość względem czasu i częstotliwości zależy od współczynnika skali

Falki dyskretne Jeśli ciągłe skalowanie s i przesunięcie u zastąpi się dyskretnym otrzyma się dyskretną rodzinę falek (j,k liczby całkowite) Zazwyczaj przyjmuje się oraz, co daje diadyczne próbkowanie i obliczenia prowadzi się oktawę po oktawie Zatem rodzinę falek otrzymujemy przez skalowanie j i przesunięcie k

Analiza falkowa Sygnał może zostać przedstawiony jako suma funkcji skalujących i falek, tworzących rodzinę funkcji ortogonalnych.

Piramida Mallata Mallat podał zależności między kolejnymi współczynnikami rozkładu. h współczynniki filtru dolnoprzepustowego skalującego H, g współczynniki filtru górnoprzepustowego falkowego G.

Piramida Mallata na wyjściu filtru H otrzymujemy uśrednioną, wygładzoną informację o sygnale wejściowym, na wyjściu filtru G szczegóły sygnału.

Piramida Mallata 3-poziomowa analiza Zakresy częstotliwości

Ograniczenia Rozmiar analizowanego sygnału czy funkcji musi mieć rozmiar 2 n, n N. Powstały metody dopasowujące rozmiar sygnału, przez dodanie dodatkowych informacji na jego krańcach.

Ograniczenia Zero-padding: poza swoim oryginałem sygnał równy 0, nieciągłości na granicy. Symetryzacja : symetryczne powielanie sygnału, nieciągłość pierwszej pochodnej na granicy, dobrze nadaje się do obrazów. Smooth-padding 0: ekstrapolacja stała, dodanie pierwszej wartości sygnału po lewej i ostatniej po prawej jego stronie.

Ograniczenia Smooth-padding 1: ekstrapolacja pierwszą pochodną, rozszerzenie sygnału musi pokrywać się z pierwszymi dwoma i ostatnimi dwoma wartościami sygnału, do funkcji gładkich. Periodic-padding 1: dla parzystej liczby próbek rozszerzenie okresowe, nieciągłości na granicy. Periodic-padding 2: dla nieparzystej liczby próbek, dodaje się dodatkową wartość po prawej stronie równą ostatniej wartości sygnału, potem (jw.).

Dekompozycja sygnału filtr dolnoprzepustowy filtr górnoprzepustowy

Przykładowa analiza sygnału

Analiza obrazu Obraz przed i po DWT

Analiza obrazu

Kompresja obrazu Po DWT część współczynników stanie się bardzo mała można je pominąć (tu: 88,15%)

Kompresja obrazu JPEG, bez kompresji, 438 874 B Kompresja bezstratna Kompresja stratna W 1986 roku została powołana grupa Joint Photographic Expert Group mająca zająć się standaryzacją algorytmów do przetwarzania obrazów monochronatycznych i kolorowych. W 1991 w normie ISO zawarto standard JPEG. Standard ten odnosi się do obrazów statycznych, a zatem polega na usunięciu nadmiarowej informacji drogą kodowania wewnątrzobrazowego, tj. dokonanego w obrębie jednego obrazu.

Kompresja obrazu Oko ludzkie, w przypadku kolorowych detali, nie wymaga tak dużej rozdzielczości, jak w przypadku obrazów czarno-białych. Dlatego też na początku w stratnej kompresji obrazu - w przypadku obrazu kolorowego - wyjściowy obraz przenosimy z przestrzeni RGB do przestrzeni kolorów YUV. Ludzkie zmysły są bardziej wyczulone na składowe Y (luminancję) niż na składowe U (chrominancję, zmiany odcienia szarości w kierunku niebieskim). czy też V (chrominancję, zmiany odcienia szarości w kierunku czerwonym). Obraz jest tablicą pikseli i z powodu ogromnej liczby pikseli w jednym obrazie nie wszystkie piksele są jednocześnie poddawane przetworzeniu. Najpierw dzielimy nasz obraz (macierz) na bloki pikseli rozmiaru 8x8 (zaczynając od lewego górnego rogu), i dopiero te bloki podlegaj kompresji jeden po drugim za pomoc systemu JPEG.

Kompresja obrazu W roku 2001 grupa Joint Photographic Expert Group okeśliła nowy standard JPEG2000. Standard ten należy traktować jako rozszerzenie poprzedniego, gdyż jego ogólna struktura jest anologiczna, czyli: przeniesienie obrazu do przestrzeni Y UV, transformacja wartości, kwantyzacja, kodowanie. Uwzględnia on jednak użycie nowych narzędzi jakimi są falki.

Kompresja obrazu JPEG kompresja 90% 16 116 B JPEG2000 kompresja 90% 19 469 B

Kompresja macierzy współczynników Jeśli potraktuje się macierz współczynników jak obraz cyfrowy i zastosuje się do niej dwuwymiarową transformatę falkową to znaczna część współczynników stanie się bardzo mała i będzie mogła zostać pominięta (jak przy kompresji obrazu).

Macierz DWT Macierz przekształcenia falkowego W: filtr H filtr G

Macierz DWT Macierz ortogonalna, macierz odwrotna do niej jest równa jej macierzy transponowanej. Spełnione są zależności: h 0 2+ h 1 2+ h 2 2+ h 3 2 = 1, h 2 h 0 + h 3 h 1 = 0, h 3 - h 2 + h 1 + h 0 = 0, 0h 3-1h 2 + 2h 1-3h 0 = 0.

Kompresja macierzy współczynników W macierzy można zaniedbać wszystkie współczynniki o wartości bezwzględnej mniejszej od przyjętego progu. Pozostanie nam wtedy około współczynników o wartościach różnych od zera.

Kompresja macierzy współczynników Macierz pełna po DWT i zaniedbaniu współczynników

Wpływ na prędkość obliczeń Czasy rozwiązywania układów równań po DWT macierzy współczynników 552,6 5477,5 Dla 8192 równań przyspieszenie do 31,4 razy przy błędzie względnym ok. 1%.

Uzupełnianie układu równań Jeśli rozmiar macierzy nie jest całkowitą potęgą 2 uzupełniamy macierz do takiego rozmiaru zerami poza i jedynkami na głównej przekątnej, uzupełniamy jedynkami wektor prawych stron.

Uzupełnianie układu równań

DWT z permutacjami (DWTPer) macierz przekształcenia - macierz zerowa, - macierz jednostkowa o wymiarach 2 L-1 1, gdzie L poziom DWTPer

DWT z permutacjami (DWTPer)

DWT z permutacjami (DWTPer) skrócenie obliczeń już dla 4096 elementów, jednak większe błędy rozwiązania

Zastosowania falek próby detekcji fal grawitacyjnych (CWT), badanie aktywności Słońca i plam na Słońcu (CWT), JPEG2000, cyfrowe znaki wodne, automatyczne monitorowanie ruchu statków na podstawie obrazów satelitarnych, charakterystyka obrazów (van Gogh, Picasso, Monet, Klee i in.), analiza danych sejsmicznych (CWT i DWT), rozwiązywanie równań różniczkowych i całkowych, filtracja obrazów radarowych (SAR, Synthetic Aperture Radar),

Zastosowania falek rozpoznawanie i identyfikacja twarzy (falka Gabora), rozpoznawanie pisma (OCR) drukowanego i ręcznego, analiza dokumentów, projektowanie czcionek, 32 64 eliminacja szumów z obrazów i sygnałów, analiza i klasyfikacja faktury (tekstury), falkowe deskryptory kształtu

Zastosowania falek Rozpoznawanie głosu, Detektory wykrywające zdalnie moment pęknięcia tafli szklanej drogą analizy odebranego sygnału dźwiękowego, Identyfikacja stanu funkcjonalnego mózgu, Redukcja zakłóceń mięśniowych w sygnale elektrokardiograficznym, Detekcja zwarć w systemach elektroenergetycznych, Identyfikacja nasycenia rdzeni transformatorów energetycznych, Klasyfikacja dźwięków instrumentów muzycznych, Klasyfikacja sygnałów

Zastosowania falek w ekonomii Badanie własności procesów ekonomicznych oraz zależności między procesami w różnych skalach czasu (w długim i krótkim okresie), Badanie lokalnych i globalnych własności procesów w różnych rozdzielczościach (z większą bądź mniejszą dokładnością), Wykrywanie załamań strukturalnych, obserwacji nietypowych, punktów zwrotnych, nieciągłości czy skupiania się wariancji, Badanie sezonowości i dostosowywania sezonowego szeregów, Wygładzanie szeregów i wyznaczanie trendów, Modelowanie dynamiki procesów nieliniowych za pomocą sieci falkowych, Badanie procesów z długą pamięcią, Odkrywanie fraktalnej natury procesów ekonomicznych. J. Bruzda, Teoria ekonometrii wykłady, Katedra Ekonometrii i Statystyki WNEiZ UMK

Zastosowania falek Monitorowanie tętna i oddychania P Addison, The little wave with the big future, Physics World, March2004

Zastosowania falek wdech (czarny) wydech (biały)

Zastosowania Wizualnie wyraźnie widoczna korelacja między sygnałem a jego CWT informacje te mogą zostać zanalizowane przez komputer metodami statystycznymi. Konwencjonalna transformata Fouriera nie dostarcza użytecznych informacji o cechach sygnału!

Astronomia Odkrycie okresowości oscylacji pola magnetycznego Słońca Oscylacje o okresach: 1,50 ± 0,04 roku, 1,79 ± 0,06 roku oraz 3,6 ± 0,3 roku. U góry: analiza falkowa badanych danych, u dołu: analiza Fouriera. R Knaack, JO Stenflo, SV Berdyugina, Periodic oscillations in the north south asymmetry of the solar magnetic field, A&A 418, L17 L20 (2004)

Dziękuję za uwagę