Ćwiczenie 9. Swobodne spadanie

Ćwiczenie 9. Swobodne spadanie Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Obserwacja swobodnego spadania przy użyciu elektronicznej rejestracji czasu przelotu kuli przez punkty pomiarowe. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego. Wprowadzenie Przez ruch swobodny rozumiemy ruch, w którym, oprócz grawitacji, nie działają na ciało żadne inne siły. Nazwa swobodne spadanie zarezerwowana jest dla ruchu swobodnego w dół wzdłuż prostej pionowej. Na odległościach małych w porównaniu z rozmiarami Ziemi swobodne spadanie jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, ze stałym przyspieszeniem g niezależnym od rodzaju ciała. Z codziennego doświadczenia wiemy, że swobodne spadanie jest zjawiskiem szybkim w ludzkiej skali czasu. W czasach Galileusza i Newtona ilościowy pomiar czasu w zjawisku swobodnego spadania był niemożliwy. W naszym eksperymencie problem ten rozwiązano dzięki zastosowaniu elektronicznego pomiaru czasu. Rysunek 1 przedstawia układ pomiarowy. Spadające ciało jest kulą spadającą wzdłuż pionowej łaty. Rys. 1. Schemat mechaniczny układu pomiarowego: Z źródło światła (reflektorek), D detektor światła (fotodioda), W wyrzutnik kul 9-1

Na łacie w trzech miejscach o współrzędnych x 1, x 2 i x 3 znajdują się trzy fotokomórki umożliwiające pomiar trzech odpowiadających czasów t 1, t 2 i t 3. Dla każdego z trzech punktów pomiarowych możemy zapisać równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego: x 1 = x 0 + v 0 t 1 + a t2 1 2, x 2 = x 0 + v 0 t 2 + a t2 2 2, (9.1) x 3 = x 0 + v 0 t 3 + a t2 3 2, gdzie v 0 oraz x 0 oznaczają prędkość początkową oraz położenie początkowe. Formuły (9.1) tworzą układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi x 0, v 0 i a. Rozwiązanie układu równań umożliwia wyznaczenie przyspieszenia, z jakim porusza się kulka z wzoru 2 a = t 3 t 1 ( x3 x 2 t 3 t 2 x 2 x 1 t 2 t 1 ). (9.2) Eliminacja wpływu oporu powietrza Ruch kulki jest spadaniem prawdziwie swobodnym, jeżeli eksperyment wykonamy w próżni. Wykonując eksperyment w powietrzu uzyskamy wartości przyspieszenia kulki a nieco mniejsze od przyspieszenia ziemskiego g. Dlatego, że oprócz dominującej siły grawitacji, na kulę działają, przeciwnie skierowane siły wyporu Archimedesa i oporu powietrza. Wypadkową siłę F działającą na kulę zapiszemy w postaci wzoru F = ρv g ρ p V g CA ρ pv 2 2. (9.3) Pierwszy jego składnik ρv g oznacza siłę grawitacji mg, przy czym masa spadającego ciała jest przedstawiona jako iloczyn objętości V i gęstości ρ. Składnik ρ p V g jest siłą wyporu Archimedesa, symbol ρ p oznacza gęstość ośrodka (dla powietrza 1, 2 10 3 g/cm 3 ). Trzeci składnik określa siłę oporu powietrza. W warunkach naszego eksperymentu opływ powietrza wokół kuli ma charakter turbulentny, z siłą oporu w przybliżeniu proporcjonalną do kwadratu prędkości ruchu v. Ponadto siła oporu jest proporcjonalna do gęstości ośrodka ρ p, pola przekroju poprzecznego A i współczynnika oporu C zależnego od kształtu ciała (dla kuli C 0, 5). 9-2

Zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie działające na ciało wynosi a = F ρv g ρ p V g CA ρpv2 m = 2 ρv. (9.4) Po podstawieniu wzorów na objętość i pole przekroju poprzecznego kuli ( V = 4/3πr 3, A = πr 2 ) i wykonaniu przekształceń algebraicznych otrzymujemy a = g const 1 ρ, const = gρ p + 3 Cρ p v 2. (9.5) 8 r Uzyskany rezultat jest przybliżeniem dlatego, że prędkość v i w konsekwencji siła oporu nie jest stała w czasie, zatem ruch kulki w powietrzu tylko w przybliżeniu pozostaje ruchem jednostajnie przyspieszonym. Równanie (9.5) jest jednak wystarczająco dokładne do interpretacji naszego eksperymentu. Różnica g a jest proporcjonalna do 1/ρ, czyli coraz większa dla coraz lżejszych kul. Sugeruje to metodę eliminacji czynników zakłócających na pomiar przyspieszenia ziemskiego. Eksperyment wykonamy przy użyciu kul o tym samym promieniu r, ale wykonanych z materiałów o różnej gęstości ρ (Pb, Fe, mosiądz, Al, plastik, drzewo). Ze zmierzonych współrzędnych x 1, x 2, x 3 i czasów t 1, t 2, t 3 obliczamy dla każdej kuli z osobna przyspieszenie a. Wykresem zależności a od odwrotności gęstości 1/r jest, zgodnie z równaniem (9.5), prosta o ujemnym nachyleniu. Składnik stały równania prostej (punkt przecięcia z osią pionową) określa wartość przyspieszenia ziemskiego g. Z wartości współczynnika nachylenia można uzyskać współczynnik oporu C. Realizacja pomiaru czasu Rysunek 2 pokazuje schemat elektryczny układu pomiarowego. Każda z trzech fotokomórek składa się ze źródła światła (reflektorka lub lasera) oraz fotodiody elementu półprzewodnikowego spełniającego rolę detektora. Trzy fotodiody połączone szeregowo są normalnie oświetlone, przepływa przez nie określony prąd tworzony przez elektrony wyzwolone w objętości czynnej fotodiod przez fotony światła. Przerwanie strumienia światła przez przelatującą kulę powoduje przerwanie generacji nośników prądu w jednej z fotodiod i w konsekwencji zmniejszenie prądu płynącego przez obwód do wartości bliskiej zeru. Zgodnie z prawem Ohma powoduje to proporcjonalne zmniejszenie napięcia na oporze R połączonym szeregowo z układem fotodiod. Dokładnym rozwiązaniem równania ruchu (4), dla warunków początkowych x 0 = 0 i v 0 = 0, jest funkcja: x(t) = g τ 2 ln cosh t τ, τ = 8 ρr 3 Cρ pg, g = g(1 ρ p/ρ). Stała τ jest charakterystycznym czasem określającym rodzaj ruchu: dla t < τ zbliżony do jednostajnie przyspieszonego, dla t > τ przechodzący w ruch jednostajny. 9-3

Przebieg napięcia na oporze R rejestrowany jest przy użyciu komputera z kartą oscyloskopową. Opis działania karty przedstawiono w podrozdziale 2.5. Krótko mówiąc, kartę uważać można za szybki woltomierz, który w zadanym krótkim czasie wykonuje tysiące pojedynczych pomiarów napięcia, zapamiętuje rezultaty i wyświetla je w formie krzywej U(t) na monitorze komputera. Na sygnale napięciowym U(t) (rys. 3) widzimy trzy skierowane w dół piki związane z przelotem kulki przez kolejne fotokomórki. Szerokość kolejnych pików maleje gdyż prędkość kuli rośnie. Rys. 2. Schemat połączeń elektrycznych dla źródeł i detektorów światła Rys. 3. Zarejestrowany przebieg U(t) oraz określenie czasów (t 1, t 2 lub t 3 ) na wykresie z 16-krotnie rozciągniętą skalą czasu 9-4

Aparatura Przyrząd do badania swobodnego składa się z łaty, wyrzutnika kul, układu trzech fotokomórek i przymiaru milimetrowego. Źródłami światła w jednym zestawie ćwiczeniowym są reflektorki z żarówkami halogenowymi, w drugim lasery. W skład układu elektrycznego wchodzą ponadto: zasilacz 5 V, płytka z bateryjką 9 V i oporem R = 20 kω i komputer z kartą oscyloskopową. Wykonanie ćwiczenia 1. Zestawić (lub sprawdzić) układ elektryczny detekcji światła wg schematu z rysunku 1. 2. Uruchomić komputer z kartą. Sprawdzić działanie układu pomiarowego wyzwalając kartę przy długim czasie pomiaru (8,192 s) i przerywając w tym czasie ręką światło w kolejnych fotokomórkach. 3. Aby uzyskać jak największą dokładność pomiaru i uwidocznić wpływ oporu powietrza, odległości między fotokomórkami winny być nie mniejsze niż 50 cm. Współrzędne położenia x 1, x 2 i x 3 odczytujemy z dokładnością nie mniejszą niż 1 mm i od razu obliczamy różnice x 2 x 1 oraz x 3 x 2. 4. Właściwy eksperyment polega na jednoczesnym wyzwoleniu karty i przesunięciu zasuwki powodującej spadanie kulki. Stosować czas pomiaru 819,2 ms. Jeżeli nie uda się zarejestrować trzech pików za pierwszym razem, należy powtarzać doświadczenie aż do skutku. 5. Dla zarejestrowanego sygnału wykonujemy odczyt czasów t 1, t 2 i t 3. W tym celu: a) najeżdżamy kursorem na dany pik wykorzystując przyciski <, > (przesuw co cztery punkty ekranu) oraz, (przesuw co 1 punkt), b) przy użyciu lupy czasowej (kilkakrotne naciśnięcie +) rozciągamy 16-krotnie skalę czasu, c) ustawiamy kursor na środek piku (rys.3), d) czas spisujemy z odpowiedniego okienka na monitorze (z dokładnością 0,1 ms), e) wykonujemy odczyt czasu dla dwu pozostałych pików (pierwotną skalę czasu przywraca kilkakrotne naciśnięcie ). 6. Dla każdego pomiaru obliczamy różnice t 2 t 1, t 3 t 2, i t 3 t 1. Na bieżąco obliczamy też wartość a. Jeżeli nie otrzymaliśmy około 9 10 m/s 2, trzeba sprawdzić, czy nie popełniamy błędu grubego przy pomiarze, zapisie lub obliczeniach. Taki czas pomiaru wynika z faktu, że pracująca w układzie dwójkowych pamięć karty ma 2 13 = 8192 komórek pamięci, na każdą przypada czas dokładnie 0,1 ms. 9-5

7. Pomiar powtarzamy dla kolejnych kul. Można to zrobić na dwa sposoby: albo przy tych samych położeniach x 1, x 2 i x 3, albo zmieniając je nieznacznie za każdym razem (w granicach kilku cm). Wybór metody pomiaru ma wpływ na obliczanie niepewności pomiaru, vide pkt 4 opracowania wyników. Uwaga. Jeżeli nie zdążymy dla wszystkich, wybierać kule o wyraźnie różnych gęstościach. Gęstości kul są podane. Opracowanie wyników 1. Zestawić rezultaty w tabeli zawierającej bezpośrednie wyniki pomiaru, wartości różnic t 3 t 2, t 2 t 1, t 3 t 1 i obliczone wartości przyspieszenia a. 2. Wykonać wykres a w funkcji 1/ρ. 3. Dopasować prostą metodą najmniejszych kwadratów. Przyspieszenie ziemskie g jest składnikiem stałym równania prostej 4. Uwaga na temat oceny niepewności g: a) Jeżeli każdy pomiar wykonano dla innych wartości x 1, x 2 i x 3, uzyskaną z wzorów metody najmniejszych kwadratów niepewność u(b) utożsamiamy wprost z u(g). b) Gdy pomiary dla kolejnych kul wykonano nie zmieniając położeń x 1, x 2 i x 3, obliczona wartość u(b) jest składnikiem niepewności g pochodzącym tylko od błędu przypadkowego pomiaru czasów t 1, t 2 i t 3. Składnik pochodzący od niepewności pomiaru długości obliczyć trzeba z wzoru (9.2) za pomocą prawa przenoszenia niepewności, przyjmując określoną wartość u(x). Obydwa składniki zsumować geometrycznie. 5. Czy uzyskana wartość g jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzonej, z wartością tabelaryczną (por. tab. 1)? Tabela 1: Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej Φ Φ[ ] g[m/s 2 ] 0 9,780 40 9.802 50 9.811 60 9.819 90 9.832 9-6

Dodatek. Wpływ oporu powietrza W warunkach naszego eksperymentu opływ powietrza wokół kuli ma charakter turbulentny. Siłę oporu powietrza dla przepływu turbulentnego, proporcjonalną do kwadratu prędkości chwilowej v(t), wyraża przybliżony wzór F D = c D A ρ pv 2 (x). (9.6) 2 w której ρ f oznacza gęstość ośrodka (dla powietrza 1, 2 10 3 g/cm 3 ), A jest polem przekroju poprzecznego (A = πr 2 ) i c D bezwymiarowym współczynnikiem oporu (dla kuli c D 0, 5). Równanie ruchu Newtona ma = F dla kuli spadającej z prędkością chwilową v(t) zapisujemy w postaci m dv(t) dt = ρv g c D A ρ pv 2 (x). (9.7) 2 Składnik ρv g wyraża siłę grawitacji dla ciała o gęstości ρ oraz objętości V (dla kuli V = (4/3)πr 3 ). Równanie różniczkowe (9.7) można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych. Uwzględniając warunki początkowe v(t = 0) = x(t = 0) = 0 otrzymujemy funkcję v(t) = gτ tgh t τ, (9.8) której scałkowanie daje wzór na położenie kuli w funkcji czasu, x(t) = gτ 2 ln cosh t τ. (9.9) We wzorach (9.8), (9.9) występują funkcje tangensa oraz kosinusa hiperbolicznego: tgh x = (e x e x )/(e x + e x ), cosh x = (e x + e x )/2. Stała czasowa 8 ρr τ = 3 Cρ p g, (9.10) jest miarą czasu, w którym ruch kuli, początkowo zbliżony do jednostajnie przyspieszonego, przechodzi w ruch jednostajny z prędkością gτ. Dla kuli o promieniu 1 cm i gęstości 1 g/cm 3 stała czasowa τ = 2,1 s. Zatem w naszym eksperymencie t/τ < 1, co wskazuje, że pożyteczne będzie rozwinięcie funkcji (9.9) w szereg Taylora x(t) = 1 2 gt2 1 gt 4 12 τ 2 + 9 gt 6 45 τ 4.... (9.11) 9-7

W pierwszym składniku szeregu rozpoznajemy wzór dla spadania w próżni, pozostałe składniki stanowią poprawkę na wpływ oporu powietrza. Podstawienie dwu pierwszych wyrazów rozwinięcia (9.11) do wzoru (9.2) prowadzi do wyrażenia na uzyskaną w naszym eksperymencie pozorną wartość przyspieszenia ziemskiego g = g + a 1 ρ, gdzie a = c Dρ p g 2 (x 1 + x 2 + x 3 + x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 ). 8r (9.12) Formuła (9.12) jest dowodem słuszności zastosowanej ekstrapolacji liniowej, jeżeli argumentem jest zmienna 1/ρ. Z wartości nachylenia a prostej wzór (9.12) pozwala obliczyć współczynnik oporu c D. 9-8