Podróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki

Podróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012

WLM - 40(992) - 23.05.2012

Spis treści Wstęp 1 1 Trójmiany kwadratowe 5 1.1 Trójmiany kwadratowe i pierwiastki....................... 5 1.2 Złożenia i iteracje trójmianów kwadratowych.................. 9 1.3 Równania typu f(x) = g(x) dla trójmianów................... 10 1.4 Trójmiany o współczynnikach całkowitych i zbiór wartości.......... 11 1.5 Dodatkowe fakty i zadania o trójmianach kwadratowych........... 12 2 Pierwiastki wielomianów 15 2.1 Pierwiastki wielomianów trzeciego stopnia................... 15 2.2 Pierwiastki wielomianów czwartego stopnia................... 19 2.3 Pierwiastki wielomianów piątego stopnia.................... 21 2.4 Pierwiastki wielomianów szóstego stopnia.................... 23 2.5 Współczynniki całkowite i pierwiastki całkowite................ 24 2.6 Współczynniki całkowite i pierwiastki wymierne................ 26 2.7 Wielomiany z wszystkimi pierwiastkami rzeczywistymi............ 27 2.8 Wielomiany bez pierwiastków rzeczywistych................... 29 2.9 Wielomiany z Z[x] mające pierwiastki w każdym Z m.............. 30 2.10 Pierwiastki rzeczywiste i przedziały....................... 31 2.11 Dodatnie pierwiastki rzeczywiste......................... 32 2.12 Pierwiastki i pochodna.............................. 33 2.13 Pierwiastki zespolone............................... 33 2.14 Różne fakty i zadania o pierwiastkach wielomianów.............. 34 3 Relacja podzielności dla wielomianów jednej zmiennej 37 3.1 Reszta z dzielenia wielomianów.......................... 37 3.2 Rozkładalność nad Z i nad Q........................... 39 3.3 Kryterium Eisensteina............................... 44 3.4 Wielomiany Eisensteina.............................. 46 3.5 Inne kryteria nierozkładalności.......................... 47 3.6 Wielomiany a(x a 1 )(x a 2 ) (x a n ) ± 1.................. 48 3.7 Wielomiany a(x a 1 )(x a 2 ) (x a n ) + k................. 50 3.8 Wielomiany (x a 1 ) 2 (x a 2 ) 2 (x a n ) 2 + 1................. 51 3.9 Wielomiany 1 + a 1 1! x 1 + a 2 2! x 2 + + an n! xn.................... 52 3.10 Przykłady pewnych wielomianów......................... 52 3.11 Podzielność i rozkład na czynniki w R[x].................... 55 3.12 Podzielność i wielomiany nierozkładalne nad Z m................ 56 3.13 Dodatkowe fakty i zadania............................ 58 4 Wielomiany jednej zmiennej z małymi współczynnikami 59 4.1 Rozkłady wielomianów zero-jedynkowych.................... 59 4.2 Nierozkładalne wielomiany zero-jedynkowe................... 61 4.3 Rozkłady wielomianów o współczynnikach -1, 0, 1............... 62 4.4 Nierozkładalne wielomiany o współczynnikach -1, 0 i 1............ 64 4.5 Rozkłady wielomianów o współczynnikach 0, 1, 2............... 65 4.6 Nierozkładalne wielomiany o współczynnikach 0, 1 i 2............. 67 i

5 Rozkładalność i co najmniej dwie zmienne 69 5.1 Wielomiany nierozkładalne dwóch zmiennych.................. 69 5.2 Jednorodne wielomiany zero-jedynkowe w Z[x,y]................ 71 5.3 Wielomiany postaci (x + y) n ± x n ± y n..................... 72 5.4 Rozkłady dla trzech zmiennych.......................... 73 6 Wartości, obrazy i przeciwobrazy funkcji wielomianowych 75 6.1 Przeciwobrazy względem wielomianów...................... 75 6.2 Przeciwobrazy zbioru {±1}............................ 76 6.3 Obrazy względem wielomianów.......................... 77 6.4 Równości typu f(a) = b.............................. 78 6.5 Wartości wielomianów i cyfry........................... 83 6.6 Suma kwadratów współczynników wielomianu................. 83 6.7 Wielomiany o współczynnikach zespolonych................... 84 6.8 Różne fakty i zadania z wielomianami...................... 86 7 Funkcje wymierne 89 7.1 Ułamki właściwe.................................. 89 7.2 Ułamki proste................................... 93 7.3 Twierdzenie Abela................................. 95 7.4 Funkcje wymierne i jedna zmienna........................ 97 7.5 Funkcje wymierne i co najmniej dwie zmienne................. 99 7.6 Wielkie twierdzenie Fermata dla wielomianów................. 100 8 Wielomiany specjalnego typu 105 8.1 Wielomiany binomialne.............................. 105 8.2 Wielomiany nieujemne jednej zmiennej..................... 106 8.3 Wielomiany jednej zmiennej o nieujemnych współczynnikach......... 109 8.4 Wielomiany nieujemne dwóch zmiennych.................... 111 8.5 Wielomiany nieujemne wielu zmiennych..................... 113 8.6 Wielomiany przemienne.............................. 114 8.7 Wielomiany symetryczne i antysymetryczne................... 120 8.8 Liczby z zerową sumą............................... 122 8.9 Wielomiany 1 + x + x 2 +... + x n 1...................... 124 9 Wielomiany Czebyszewa 127 9.1 Przykłady..................................... 127 9.2 Własności wielomianów T n............................ 128 9.3 Własności wielomianów C n............................ 131 9.4 Własności wielomianów U n............................ 132 9.5 Wielomiany Czebyszewa i pochodna....................... 133 9.6 Różne fakty o wielomianach Czebyszewa.................... 134 9.7 Rekurencja f n+2 = xf n+1 - f n........................... 134 10 Wielomianowe ciągi rekurencyjne 137 10.1 Wielomiany Fibonacciego............................. 137 10.2 Wielomiany Lucasa................................ 140 10.3 Uogólnione wielomiany Fibonacciego i Lucasa................. 141 10.4 Wielomiany Hermite a............................... 142 ii

10.5 Inne wielomianowe ciągi rekurencyjne...................... 142 11 Pierwiastki z jedynki i macierze cykliczne 147 11.1 Zespolone pierwiastki z jedynki.......................... 147 11.2 Pierwotne pierwiastki z jedynki......................... 147 11.3 Macierze cykliczne................................. 151 11.4 Własności macierzy cyklicznych......................... 152 11.5 Wyznacznik macierzy cyklicznej......................... 154 12 Wielomiany cyklotomiczne 157 12.1 Podstawowe informacje o wielomianach cyklotomicznych........... 157 12.2 Nierozkładalność wielomianów cyklotomicznych................ 160 12.3 Następne własności wielomianów cyklotomicznych............... 162 12.4 Wielomiany cyklotomiczne nad ciałami..................... 165 12.5 Wielomiany Ψ n (x, y)............................... 166 12.6 Wielomiany cyklotomiczne i ich numery..................... 167 12.7 Współczynniki wielomianów cyklotomicznych.................. 171 12.8 Współczynniki wielomianu Φ pq (x)........................ 172 12.9 Współczynniki wielomianów Φ pqr (x) i Φ pqrs (x)................. 175 12.10 Podzielność liczb Φ n (a) przez liczby pierwsze.................. 177 12.11 Twierdzenie Hurwitza............................... 180 12.12 Twierdzenie Banga o rzędach........................... 180 12.13 Liczby pierwsze w postępach arytmetycznych.................. 183 12.14 Wielomiany podzielne przez x 2 + x + 1..................... 184 12.15 Inne zastosowania wielomianów cyklotomicznych................ 188 Spis cytowanej literatury 189 Skorowidz nazwisk 195 Skorowidz 198 iii

Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. 1

Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www.mat.uni.torun.pl/~anow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach 2008 2011. Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

o o o o o W dwunastej książce z serii Podróże po Imperium Liczb zajmujemy się wielomianami o współczynnikach całkowitych, wymiernych, zespolonych oraz o współczynnikach należących do danego ciała lub nawet do pierścienia przemiennego z jedynką. Rozpatrujemy głównie wielomiany jednej zmiennej. Są tu jednak również wybrane zagadnienia dotyczące wielomianów dwóch, trzech lub większej liczby zmiennych. Zbór wszystkich wielomianów zmiennych x 1, x 2,..., x n, o współczynnikach należących do pierścienia k, oznaczamy przez k[x 1,..., x n ]. W szczególności zapis f Z[x] informuje, że f jest wielomianem jednej zmiennej x i wszystkie jego współczynniki są liczbami całkowitymi. Jeśli k jest ustalonym pierścieniem, to dowolny niezerowy wielomian f, należący do k[x], jest postaci f = f(x) = a s x s + a s 1 x s 1 + + a 1 x + a 0, gdzie a 0, a 1,..., a s są elementami pierścienia k. W tym przepadku, jeśli a s 0, to a s nazywamy współczynnikiem wiodącym, a liczbę s nazywamy stopniem wielomianu f i oznaczamy ją przez deg f. Przyjmujemy, że stopień wielomianu zerowego jest równy. Mówimy, że wielomian jest moniczny, jeśli jego współczynnik wiodący jest równy 1. Książka składa się z dwunastu rozdziałów. W pierwszym rozdziale zajmujemy się trójmianami kwadratowymi, czyli wielomianami postaci ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami i przy tym a 0. W rozdziale drugim badamy pierwiastki wielomianów jednej zmiennej. Najpierw rozpatrujemy wielomiany stopni 3, 4, 5 i 6, a następnie wielomiany dowolnych stopni, o współczynnikach całkowitych. Oddzielne podrozdziały dotyczą: wielomianów z wszystkimi pierwiastkami rzeczywistymi, wielomianów bez pierwiastków rzeczywistych oraz takich wielomianów z pierścienia Z[x], które posiadają pierwiastki w każdym skończonym pierścieniu liczb całkowitych modulo m. Trzy następne rozdziały (3, 4 i 5) poświęcone są relacji podzielności oraz zagadnieniom związanym z problemami rozkładalności i nierozkładalności wielomianów. W rozdziale 3 przedstawiamy, między innymi, różne kryteria nierozkładalności wielomianów jednej zmiennej nad pierścieniem liczb całkowitym i nad innymi pierścieniami. W rozdziale 4, zajmujemy się wielomianami jednej zmiennej ze współczynnikami należącymi do zbiorów {0, 1}, { 1, 0, 1} lub {0, 1, 2}. Podobny charakter ma rozdział 5. Tu zamiast jednej zmiennej występują wielomiany co najmniej dwóch zmiennych. W rozdziale szóstym przedstawiamy różne własności, fakty, ciekawostki i zadania dotyczące wielomianów jednej lub kilku zmiennych. Następnie, w rozdziale siódmym, zajmujemy się funkcjami wymiernymi i ich rozkładami na ułamki proste. Rozdział ósmy poświęcony jest wielomianom specjalnego typu. Mówimy tu, między innymi, o wielomianach dodatnich, przemiennych, symetrycznych i antysymetrycznych. Kolejne dwa rozdziały (9 i 10) dotyczą wielomianowych ciągów rekurencyjnych. W rozdziale 9 podajemy, wraz z dowodami, szczegółowe informacje o ciągach wielomianów Czebyszewa pierwszego i drugiego rodzaju. Ciągi te definiuje się w sposób rekurencyjny. Dwa początkowe wyrazy ciągu są ustalonymi wielomianami, a następne spełniają regułę F n+2 (x) = 2xF n+1 F n (x). 3

Inne wielomianowe ciągi rekurencyjne znajdują się w rozdziałe 10, w którym między innymi mówimy o wielomianach Fibonacciego, uogólnionych wielomianach Fibonacciego i wielomianach Hermite a. Ostatni rozdział tej książki jest najobszerniejszy i zajmuje ponad 20 stron. Szczegółowo studiujemy w nim wielomiany cyklotomiczne. Większość faktów podanych w tym rozdziale przedstawiono wraz z dokładnymi dowodami. Jeśli n jest liczbą naturalną, to n-ty wielomian cyklotomiczny, oznaczany przez Φ n (x), definiujemy za pomocą pierwiastków pierwotnych n-tego stopnia z 1. Jeśli ω 1, ω 2,..., ω ϕ(n) (gdzie ϕ jest znaną funkcją Eulera) są tymi pierwiastkami, to ϕ(n) Φ n (x) = (x ω k ). k=1 Okazuje się, że wszystkie współczynniki wielomianu Ψ n (x) są liczbami całkowitymi i każdy taki wielomian jest nierozkładalny w Z[x]. W omawianym rozdziale zapoznamy się z przeróżnymi własnościami wielomianów cyklotomicznych. Przy pomocy tych własności podamy proste dowody pewnych ważnych twierdzeń z algebry i elementarnej teorii liczb. Przedstawiamy na przykład krótki dowód na to, że jeśli m jest dowolną liczbą naturalną, to w zbiorze {m + 1, 2m + 1, 3m + 1, 4m + 1,... } istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Jest to szczególny przypadek twierdzenia (z bardzo trudnym dowodem) Dirichleta o liczbach pierwszych w postępie arytmetycznym. 4

1 Trójmiany kwadratowe Trójmianem kwadratowym nazywamy każdy wielomian postaci ax 2 + bx + c, gdzie a 0, W tym rozdziale zajmować się będziemy głównie trójmianami kwadratowymi o współczynnikach rzeczywistych tzn. takimi trójmianami, w których wszystkie współczynniki a, b, c są liczbami rzeczywistymi. Liczbę = b 2 4ac nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego. Pierwiastkiem takiego trójmianu nazywamy każdą liczbę zespoloną z, dla której zachodzi równość az 2 + bz + c = 0. Każdy trójmian kwadratowy ma co najmniej jeden pierwiastek, będący liczbą zespoloną. Gdy 0, wówczas są dwa różne pierwiastki zespolone. W przypadku = 0 jest tylko jeden taki pierwiastek (nazywamy go pierwiastkiem podwójnym). W szczególny sposób interesować nas tu będą pierwiastki trójmianu kwadratowego, będące liczbami rzeczywistymi. Rzeczywiste pierwiastki istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy 0. 1.1 Trójmiany kwadratowe i pierwiastki 1.1.1. Jeśli a, b, c są niezerowymi liczbami rzeczywistymi, to co najmniej jeden z trójmianów ax 2 + 2bx + c, bx 2 + 2cx + a, cx 2 + 2ax + b ma pierwiastek rzeczywisty. ([OM] Moskwa 1993/1994). D. Najpierw zauważmy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność (a b) 2 + (b c) 2 + (c a) 2 0, z której - po przekształceniu - otrzymujemy nierówność (a 2 + b 2 + c 2 ) (ab + bc + ca) 0 Gdyby żaden z wypisanych trójmianów nie miał pierwiastka rzeczywistego, ( wówczas wyróżniki ) 4a 2 4bc, 4b 2 4ca, 4c 2 4ab byłyby mniejsze od zera, ich suma 4 a 2 + b 2 + c 2 (ab + bc + ca) byłaby zatem liczbą ostro mniejszą od zera wbrew temu, że ta suma jest nieujemna. 1.1.2. Jeśli p, q, r są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że p+q +r < 12, to chociaż jeden z trójmianów x 2 + px + q, x 2 + qx + r, x 2 + rx + p nie ma pierwiastków rzeczywistych. ([CieS] 1994). D. ([CieS] s.193). Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że p q r. Stąd p < 4. Mamy zatem p 2 4q < 4p 4q 0, a więc pierwszy trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych. Może się tak zdarzyć, że trójmian ax 2 + bx + c ma pierwiastek rzeczywisty, a trójmian a 2 x 2 + b 2 x + c 2 pierwiastka rzeczywistego nie ma. Tak jest na przykład gdy a = b = 1 i c = 2. Współczynniki a, b, c podnieśliśmy tu do kwadratów. Podobna sytuacja się nie zdarzy, gdy wszystkie współczynniki podniesiemy do trzeciej potęgi. 5

6 Wielomiany 1. Trójmiany kwadratowe 1.1.3. Jeśli trójmian ax 2 + bx + c ma pierwiastek rzeczywisty, to trójmian a 3 x 2 + b 3 x + c 3 również ma pierwiastek rzeczywisty. ([OM] Moskwa 1998/1999). D. Załóżmy. że trójmian ax 2 + bx + c ma pierwiastek rzeczywisty. Mamy wtedy nierówność b 2 4ac. Jeśli ac < 0, to a 3 c 3 < 0 i wtedy zachodzi oczywista nierówność (b 3 ) 2 > 4a 3 c 3. Jeśli natomiast ac 0, to (b 3 ) 2 = (b 2 ) 3 4 3 a 3 c 3 4a 3 c 3. W każdym więc przypadku wyróżnik trójmianu a 3 x 2 + b 3 x + c 3 jest nieujemny. Trójmian ten ma więc pierwiastek rzeczywisty. Implikacja w przeciwnym kierunku nie musi być prawdziwa. Dla przykładu trójmian 1 3 x 2 + 2 3 x + 2 3 ma pierwiastek rzeczywisty, a trójmian x 2 + 2x + 2 takiego pierwiastka nie ma. Drobna modyfikacja powyższego dowodu przekonuje nas, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie. 1.1.4. Jeśli trójmian ax 2 + bx + c ma pierwiastek rzeczywisty, to każdy trójmian postaci a n x 2 + b n x + c n, gdzie n jest nieparzystą liczbą naturalną, również ma pierwiastek rzeczywisty. 1.1.5. Niech a, b, c R. Każdy z następujących trójmianów ma pierwiastek rzeczywisty. (1) (x + a)(x + b) k(x + c) 2, gdy 0 < k < 1. ([Vis] 120). (2) a(x b)(x c) + b(x c)(x a) + c(x a)(x b), gdy a + b + c 0. ([Ko01] 47). (3) x 2 2ax + (a 2 b 2 c 2 ), ([Min] 32(2010)). (4) x 2 (a + b)x + (ab c 2 ), ([Min] 32(2010)). (5) (a 2 b 2 )x 2 + 2(a 3 b 3 )x + (a 4 b 4 ). ([OM] Moskwa 1999/2000). 1.1.6. Niech f(x) = x 2 + bx + c. Jeśli f(0) > 1 i f(1)f( 1) > 0, to wielomian f(x) nie ma pierwiastków w przedziale [ 1, 1]. ([S-kg] 66). 1.1.7. Niech a, b, c, d Z. Jeśli trójmiany x 2 +ax+b i x 2 +cx+d mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, który nie jest liczbą całkowitą, to a = c i b = d. ([Pa04a] 5.49). 1.1.8. Niech f(x) = ax 2 + bx + c Z[x], a 0. Jeśli wielomian f(x) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste należące do odcinka (0, 1) (takim wielomianem jest na przykład 5x 2 5x + 1), to a 5. ([Putn] 1967, [Kw] 3/2010 s.44). 1.1.9. Niech f(x) = ax 2 + bx + c, a 0. Niech u R. Następujące dwa warunki są równoważne. (1) Wielomian f(x) ma dwa takie pierwiastki rzeczywiste x 1 i x 2, że x 1 < u < x 2. (2) af(u) < 0. ([Ko01] 49).

Wielomiany 1. Trójmiany kwadratowe 7 1.1.10. Niech f(x) = x 2 + bx + c R[x]. Następujące dwa warunki są równoważne. (1) Wszystkie pierwiastki (zespolone) wielomianu f(x) leżą w kole z < 1. (2) Punkt (b, c) leży wewnątrz trójkąta o wierzchołkach (0, 1), (2, 1) i ( 2, 1). ([Putn] 1975). 1.1.11. Jeśli trójmian ax 2 + bx 17, gdzie a, b Z, ma dwa różne pierwiastki całkowite tego samego znaku, to a = 1. ([OM] Leningrad 1990). 1.1.12. Wielomian x 2 + 2ax + 3, gdzie a Z, ma dwa pierwiastki całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy a = ±2. ([OM] Ukraina 1998). 1.1.13. Istnieje nieskończenie wiele takich par (a, b), względnie pierwszych liczb naturalnych, że trójmiany x 2 + ax + b, x 2 + bx + a mają pierwiastki całkowite. ([OM] Indie 1995). 1.1.14. Trójmiany x 2 + 5x + 6 i x 2 + 5x 6 mają pierwiastki całkowite. Natomiast tylko jeden z trójmianów x 2 + 4x + 5 i x 2 + 4x 5 ma pierwiastek całkowity. Niech p, q R. Jeśli każdy z trójmianów ma pierwiastek całkowity, to p 2 = a 2 + b 2, x 2 + px + q, x 2 + px q, q = ab 2, dla pewnych a, b Z. ([Crux] 2000 s.491). 1.1.15. Niech f(x) = x 2 + ax + b Z[x], b 800. Jeśli f(120) jest liczbą pierwszą, to wielomian f(x) nie ma całkowitych pierwiastków. ([OM] St Petersburg 1999). 1.1.16. Niech f(x) Z[x]. Załóżmy, że reszta z dzielenia wielomianu f(x) przez x 2 12x + 11 jest równa 990x 889. Wtedy wielomian ten nie ma całkowitych pierwiastków. ([OM] Polska 1995/1996). R. Ponieważ x 2 12x + 11 = (x 1)(x 11), więc f(x) = (x 1)(x 11)g(x) + 990(x 1) + 101, gdzie g(x) Z[x]. Stąd wynika, że jeśli a Z jest pierwiastkiem wielomianu f, to a 1 101. Zatem a = 2, 102, 0 lub 100. Wstawiając każdą z tych wartości do powyższej równości otrzymujemy zawsze sprzeczność. 1.1.17. Niech f(x) i g(x) będą trójmianami kwadratowymi o współczynnikach rzeczywistych. Jeśli trójmiany te mają pierwiastki rzeczywiste i wielomian f(x) g(x) nie ma pierwiastka rzeczywistego, to wielomian f(x) + g(x) ma pierwiastek rzeczywisty. ([OM] Moskwa 1998/1999, [Pa04a] 5.50). 1.1.18. Niech f(x), g(x), h(x) będą wielomianami kwadratowymi o dodatnich wiodących współczynnikach. Jeśli każde dwa z tych wielomianów mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to wielomian f(x) + g(x) + h(x) ma pierwiastek rzeczywisty. ([OM] Leningrad 1982).

8 Wielomiany 1. Trójmiany kwadratowe D. Spójrzmy na wykresy tych wielomianów. Widzimy parabole z ramionami skierowanymi ku górze. Części poniżej osi x-ów zrzutowane na tę oś przedstawiają trzy odcinki, z których każde dwa mają wspólny koniec. Istnieje zatem wspólny punkt należący do wszystkich tych odcinków (są to bowiem zbiory wypukłe). Istnieje więc punkt, w którym wszystkie trzy trójmiany mają niedodatnią wartość. W tym punkcie oczywiście suma f(x) + g(x) + h(x) ma wartość niedodatnią i stąd już łatwo wnioskujemy, że istnieje rzeczywisty pierwiastek tej sumy. 1.1.19. Istnieją trzy trójmiany kwadratowe, z których każdy ma pierwiastek rzeczywisty, a suma dowolnych dwóch z tych trójmianów nie ma pierwiastka rzeczywistego. ([OM] Rosja 2001). D. Tak jest na przykład dla trójmianów: x 2, (x 1) 2, (x + 1) 2. 1.1.20. Istnieją trzy trójmiany kwadratowe, z których każdy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, a suma dowolnych dwóch z nich nie ma pierwiastka rzeczywistego. ([Kw] 4/2001 s.50). D. Tak jest na przykład dla trójmianów: (x 3) 2 1, x 2 1, (x + 3) 2 1. 1.1.21. Jeśli trójmian f(x) ma dwa takie pierwiastki rzeczywiste x 1, x 2, że x 1 x 2 1995, to równanie f(x) + f(x + 1) + f(x + 2) + + f(x + 1995) = 0 ma dwa rzeczywiste rozwiązania. ([OM] St Petersburg 1995, [B-ik] 55/1995). 1.1.22. Jeśli trójmian f(x) ma dwa takie pierwiastki rzeczywiste x 1, x 2, że x 1 x 2 2010, to równanie f(x) + f(x + 1) + f(x + 2) + + f(x + 2010) = 0 ma dwa rzeczywiste rozwiązania. ([Min] 32(2010)). 1.1.23. Dany jest pewien skończony zbiór monicznych trójmianów kwadratowych o tym samym wyróżniku. Jeśli suma dowolnych dwóch z tych trójmianów ma dwa pierwias tki rzeczywiste, to suma wszystkich trójmianów ma dwa pierwiastki rzeczywiste. ([OM] St Petersburg 2000). 1.1.24. Niech p, q R. Równanie x 2 + p x + q = 0 ma 6 pierwiastków zespolonych wtedy i tylko wtedy, gdy pq < 0 i p 2 4 q 0. ([Mat] 4/1954 54). U. Na przykład równanie x 2 5 x + 6 = 0 ma 6 pierwiastków: 2, 2, 3, 3, i, i. Podobnie równanie x 2 + 5 x 6 = 0 ma 6 pierwiastków: 1, 1, 2i, 2i, 3i, 3i. Więcej przykładów tego rodzaju znajdziemy w książce [N10]. Z. Bobiński, P. Nodzyński, M. Uscki, Funkcja kwadratowa, [Min] 32(2010) 5-33.

Wielomiany 1. Trójmiany kwadratowe 9 1.2 Złożenia i iteracje trójmianów kwadratowych 1.2.1. Trójmiany kwadratowe f(x), g(x) R[x] są takie, że liczby 22, 7, 13 są pierwiastkami równania f(g(x)) = 0. Znaleźć czwarty pierwiastek. Odp. 28 lub 16 lub 42. ([OM] Czechy-Słowacja 2000). 1.2.2. Niech f(x) = x 2 + ax + b, g(x) = x 2 + cx + d R[x]. Jeśli wielomian f(g(x)) g(f(x)) nie ma pierwiastków rzeczywistych, to b d (oraz a = c). ([OM] Rosja 2003). 1.2.3. Niech f(x), g(x), h(x) będą wielomianami kwadratowymi. Czy liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 mogą być jednocześnie pierwiastkami równania f(g(h(x))) = 0? Odp. Nie mogą. ([Kw] 2/1996 M1515, [Dlt] 7/1996 14). 1.2.4. Niech f(x) = x 2 +bx+c. Wiadomo, że wielomian f(x) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty oraz, że wielomian f(f(f(x))) ma dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste. Znaleźć te pierwiastki. Odp. 1, 1 + 2, 1 2. ([OM] Rosja 1997/1998). 1.2.5. Niech f(x) = x 2 + 12x + 30. Znaleźć wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu ([OM] Rosja 2000). f(f(f(f(f(x))))). O. ([FieB]). Wielomian ten ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste: ± 326 6. Jest to szczególny przypadek stwierdzenia 1.2.6. 1.2.6. Niech f(x) = x 2 + 12x + 30. Dla każdej liczby naturalnej n wielomian f n (x) ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste. ([FieB]). D. ([FieB] s.58). Zauważmy, że f(x) = (x + 6) 2 6. Mamy więc: f 2 (x) = f(f(x)) = (f(x) + 6) 2 6 = (x + 6) 4 6, f 3 (x) = f 2 (f(x)) = (f(x) + 6) 4 6 = (x + 6) 8 6 i ogólnie f n (x) = (x + 6) 2n 6, dla wszystkich n N. Jeśli więc f n (x) = 0, to x = ± 2n 6 6.

10 Wielomiany 1. Trójmiany kwadratowe 1.2.7. Niech f(x) = x 2 + 10x + 20. Dla każdej liczby naturalnej n wielomian f n (x) ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste. D. Powtarzamy poprzedni dowód. Zauważmy, że f(x) = (x + 5) 2 5. Mamy więc: f 2 (x) = f(f(x)) = (f(x) + 5) 2 5 = (x + 5) 4 5, f 3 (x) = f 2 (f(x)) = (f(x) + 5) 4 5 = (x + 5) 8 5 i ogólnie: f n (x) = (x + 5) 2n 5, dla wszystkich n N. Jeśli więc f n (x) = 0, to x = ± 2n 5 5. 1.2.8. Niech f(x) = x 2 2. (1) Wielomian f(f(f(x))) x ma 8 rzeczywistych pierwiastków. ([Min] 2, 122). (2) Wszystkie pierwiastki wielomianu f n (x) x (gdzie n N) są rzeczywiste i parami różne. ([IMO] 1976, [Br83] 31). (3) Wielomian f n (x) x (gdzie n N) ma dokładnie 2 n prierwiastków rzeczywistych.. ([Efth] s.30). 1.2.9. Istnieje taki trójmian kwadratowy, na przykład f(x) = 2x 2 1, że dla dowolnej liczby naturalnej n równanie f n (x) = 0 ma dokładnie 2 n różnych rozwiązań. ([Kw] 2/2006). 1.2.10. Znaleźć współczynnik przy x 2 w wielomianie Odp. P n (x) = (... ((( x 2) 2 2) 2 2) 2... 2) 2. }{{} n 1 12 (42n 4 n ). ([OM] Chiny 1980, [Pa97]). 1.3 Równania typu f(x) = g(x) dla trójmianów 1.3.1. Niech f(x), g(x) będą różnymi trójmianami kwadratowymi o współczynnikach wiodących równych 1. Wiadomo, że f(19) + f(92) = g(19) + g(92) Dla jakich x zachodzi równość f(x) = g(x)? Odp. Tylko dla x = 55 1 2. ([Fom] 21/92). 1.3.2. Dwa różne moniczne trójmiany kwadratowe f(x) i g(x) spełaniają równość f( 12) + f(2000) + f(4000) = g( 12) + g(2000) + g(4000). Znaleźć pierwiastki rzeczywiste równania f(x) = g(x). ([OM] Mołdawia 1996).

Wielomiany 1. Trójmiany kwadratowe 11 R. Niech f(x) = x 2 + ax + b, g(x) = x 2 + cx + d. Wtedy f(x) g(x) = (a c)x + (b d). Z równości podanej w zadaniu wynika, że 1996(a c) + (b d) = 0. Ponieważ f(x) g(x), więc a c i b d. Stąd wnioskujemy, że jedynym pierwiastkiem równania f(x) = g(x) jest x = 1996. 1.3.3. Dwa różne moniczne trójmiany kwadratowe f(x) i g(x) spełniają równość f(1) + f(10) + f(100) = g(1) + g(10) + g(100). Dla jakich x zachodzi równość f(x) = g(x)? Odp. Tylko dla x = 37. ([Fom] 36/92). 1.4 Trójmiany o współczynnikach całkowitych i zbiór wartości 1.4.1. Niech f(x) = x 2 + x + 1. Wtedy dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba naturalna m, że f(n)f(n + 1) = f(m). ([OM] Moskwa 1997/1998). 1.4.2. Niech f(x) = x 2 + ax + b Z[x]. Wówczas dla każdej liczby całkowitej n istnieje taka liczba całkowita m, że f(n)f(n + 1) = f(m). ([OM] Słowenia 1998). D. Liczba m = n 2 + na + b + n spełnia równość f(n)f(n + 1) = f(m). 1.4.3. Dla dowolnych liczb całkowitych a, b istnieje taka liczba całkowita c, że zbiory są rozłączne. ([IMO] Longlist 1995). { } x 2 + ax + b; x Z, { } 2x 2 + 2x + c; x Z 1.4.4. Dla dowolnych liczb całkowitych a, b istnieją takie liczby całkowite p, q, że zbiory { } x 2 + ax + b; x Z, są rozłączne. ([OM] St Petersburg 1996). { } 2x 2 + px + q; x Z 1.4.5. Niech f(x) = x 2 + 1. Zbiór f(z) nie zawiera żadnego nieskończonego postępu geometrycznego (różnego od ciągu stałego). ([OM] St Petersburg 1995). 1.4.6. Niech f(n) = 2n 2 + 14n + 25. Wiadomo, że f(0) = 25 = 5 2. Znaleźć dwie takie liczby naturalne n, że f(n) jest liczbą kwadratową. ([Crux] 1999 s.2). R. (Maple). f(17) = 29 2, f(116) = 169 2 = 13 4, f(693) = 985 2, f(4056) = 5741 2, f(23657) = 33461 2, f(137900) = 195025 2.

12 Wielomiany 1. Trójmiany kwadratowe 1.4.7. Jeśli f(x) = 2002x 2 + 2003x + 1, to dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba naturalna m, że liczba f(m) jest podzielna przez 2 n. ([NoO] 53, patrz 1.4.8). 1.4.8. Niech f(x) = ax 2 + bx + c Z[x], a 0. Załóżmy, że b jest nieparzyste oraz istnieje takie u N, że f(u) jest liczbą parzystą. Wtedy dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba naturalna m, że liczba f(m) jest podzielna przez 2 n. D. (Na podstawie [NoO] s.53). Jeśli n = 1, to teza jest oczywista. Załóżmy, że teza zachodzi dla pewnego n 1. Niech f(m) = 2 n d, gdzie d N, m Z. Jeśli d jest parzyste, to f(m) jest podzielne przez 2 n+1. Załóżmy więc, że d jest nieparzyste. Ponieważ f(x) = f(y) = (x y)(as(x + y) + b), więc wtedy f(m + 2 n ) f(m) = 2 n (a(2m + 2 n ) + b), więc f(m + 2 n ) = 2 n (a(2m + 2 n ) + b + d) i liczba a(2m + 2 n ) + b + d jest parzysta. Zatem f(m + 2 n ) jest podzielne przez 2 n+1. ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.5 Dodatkowe fakty i zadania o trójmianach kwadratowych ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.5.1. Dowolny trójmian kwadratowy jest sumą dwóch trójmianów kwadratowych z zerowymi wyróżnikami. ([OM] Rosja 2004). D. ([FieB] s.127). Niech f(x) = ax 2 +bx+c, a 0, = b 2 4ac. Jeśli 0, to f(x) = g(x)+h(x), gdzie g(x) = a ( x + b ) 2, h(x) = a ( x + b + ) 2. 2 2a 2 2a Jeśli > 0, to f(x) = g(x) + h(x), gdzie g(x) = 2a ( x + b + /2 2a ) 2, h(x) = a ( x + b + 2 2a W obu przypadkach g(x) i h(x) są trójmianami kwadratowymi z zerowymi wyróżnikami. ) 2. 1.5.2. Wyróżnik wielomianu kwadratowego ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c Z, nigdy nie jest równy 23. ([Min] 2,13). 1.5.3. Dane są trzy trójmiany kwadratowe z parami różnymi współczynnikami wiodącymi. Wykresy każdych dwóch z tych trójmianów mają dokładnie jeden punkt wspólny. Wykazać, że wszystkie trzy wykresy mają punkt wspólny. ([OM] St Petersburg 2002). D. Niech f(x), g(x), h(x) R[x] będą tymi trójmianami i niech a < b < c będą odpowiednio ich współczynnikami wiodącymi. Ponieważ trójmian f(x) g(x) ma tylko jeden pierwiastek i jego współczynnik wiodący jest ujemny, więc f(x) g(x) dla wszystkich x R. Analogicznie g(x) h(x) dla wszystkich x R. Zatem f(x) g(x) h(x) dla wszystkich x R. Ale f(t) = h(t) dla pewnego t R. Zatem f(t) = g(t) = h(t).

Wielomiany 1. Trójmiany kwadratowe 13 1.5.4. Jeśli f(x) = ax 2 + bx + c R[x], gdzie a, b, c 0, to f(xy) 2 f(x) 2 f(y) 2 dla x, y R. ([OM] Rosja 1997). 1.5.5. Nie istnieje żaden taki wielomian f(x) R[x], że f(f(x)) = x 2 1996. ([OM] Rosja). 1.5.6. Niech f(x) R[x]. Wiadomo, że f(x 2 + 1) = 6x 4 x 2 + 5. Znaleźć f(x 2 1). Odp. f(x) = 6x 4 15x 2 + 11. ([OM] Szwecja 2000). 1.5.7. Istnieje nieskończenie wiele takich wielomianów f(x) Z[x], ż f(0) = 0 oraz f(x 2 1) = f(x) 2 1. ([OM] Indie 1994). S. Haruki, A property of quadratic polynomials, [Mon] 86(7)(1979) 577-579. B. Pisarevsky, Proste i parabole (po rosyjsku), [Kw] 4/2003 48-52. R. E. Rice, B. Schweizer, A. Sklar, When is ff(z) = az 2 + bz + c?, [Mon] 4(1980) 252-263. W książce [N-4] jest oddzielny podrozdział o trójmianach kwadratowych i liczbach pierwszych.

14 Wielomiany 1. Trójmiany kwadratowe

2 Pierwiastki wielomianów 2.1 Pierwiastki wielomianów trzeciego stopnia Z ogólnej własności wielomianów nieparzystego stopnia wynika, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. 2.1.1. Niech f(x) = x 3 + px + q R[x]. Wszystkie pierwiastki wielomianu f(x) są liczbami rzeczywistymi wtedy i tylko wtedy, gdy 4p 3 + 27q 2 0. Wielomian f(x) ma trzy parami różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy 4p 3 + 27q 2 < 0. ([MoS], [Crux] 2001 s.265). 2.1.2. Niech f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c R[x]. Wszystkie pierwiastki wielomianu f(x) są liczbami rzeczywistymi wtedy i tylko wtedy, gdy 4(3b a 2 ) 3 + (27c 9ab + 2a 3 ) 2 0. Wielomian f(x) ma trzy parami różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy 4(3b a 2 ) 3 + (27c 9ab + 2a 3 ) 2 < 0. ([MoS], [Crux] 2001 s.265). Z powyższych faktów wynika: 2.1.3. Wielomian f(x) = x 3 + px + q R[x] ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty wtedy i tylko wtedy, gdy 4p 3 + 27q 2 > 0. 2.1.4. Wielomian f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c R[x] ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty wtedy i tylko wtedy, gdy 4(3b a 2 ) 3 + (27c 9ab + 2a 3 ) 2 > 0. 2.1.5. Niech f(x) R[x] będzie wielomianem trzeciego stopnia. Istnieje wówczas taka liczba naturalna k, że wielomian f(x) + f(x + 1) + + f(x + k) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. ([OM] St Petersburg 1995, [B-ik] 66/1995, patrz 2.8.5). 15

16 Wielomiany 2. Pierwiastki wielomianów 2.1.6. Następujące wielomiany mają dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. (1) x 3 + 2x 2 + 3x + 4, ([Crux] 2001 s.265); (2) x 3 + 3x 2 + 2x + 1, ([Crux] 2001 s.265); (3) x 3 + 3x 2 + 3x + 2; (4) x 3 + x 2 + 3x + 5; (5) x 3 + 3x 2 + 5x + 7; (6) x 3 + 4x 2 + 6x + c, gdzie c R. ([KoM] F2434). 2.1.7. Wielomian x 3 3x 2 3x 1 ma trzy parami różne pierwiastki rzeczywiste. ([Crux] 2001 s.265). 2.1.8. Jeśli wielomian x 3 + ax 2 + bx + c ma trzy pierwiastki rzeczywiste, to: (1) 8ac 3b 2, ([Mat] z.1478); (2) a 2 3b, ([MM] 40(1)(1967) 43); (3) co najmniej jeden z pierwiastków jest mniejszy lub równy ([MM] 40(1)(1967) 43). 1 ( 2 ) a 3 2 3b a, 2.1.9. Niech f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c. Jeśli b < 0 i ab = 9c, to wielomian f(x) ma trzy parami różne pierwiastki rzeczywiste. ([Crux] 1997 401). 2.1.10. Jeśli wielomian x 3 + ax 2 + bx + c ma trzy parami różne pierwiastki rzeczywiste, to wielomian x 3 + ax 2 + 1 4 (a2 + b)x + 1 (ab c) 8 także ma trzy parami różne pierwiastki rzeczywiste. ([OM] Polska 1993/1994). 2.1.11. Jeśli wielomian ax 3 ax 2 + 9bx b, gdzie a, b R, ma trzy pierwiastki dodatnie, to są one parami różne. ([Bryn] 3.4). 2.1.12. Niech a, b Z. Jeśli wielomian x 3 + ax 2 + bx 17 ma trzy parami różne pierwiastki całkowite, to a = 17 i b = 1. ([OM] Leningrad 1990). 2.1.13. Nie ma takich liczb całkowitych a i b, że wszystkie pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny. ([M-sj] 471). x 3 + ax 2 + 7x + b 2.1.14. Niech f(x) = x 3 3x + 1. Równanie f(f(x)) = 0 ma 7 różnych rzeczywistych rozwiązań. ([NoO] s.77).

Wielomiany 2. Pierwiastki wielomianów 17 2.1.15. Niech f(x) = x 3 + 6x 2 + 12x + 6. Dla każdej liczby naturalnej n wielomian f n (x) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. D. Zauważmy, że f(x) = (x + 2) 3 2. Mamy więc: f 2 (x) = f(f(x)) = (f(x) + 2) 3 2 = (x + 2) 9 2, f 3 (x) = f 2 (f(x)) = (f(x) + 2) 9 2 = (x + 2) 27 2 i ogólnie: f n (x) = (x + 2) 3n 2, dla wszystkich n N. Jeśli więc f n (x) = 0, to x = 3n 2 2. 2.1.16. Jeśli liczba r (rzeczywista lub nawet zespolona) jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu trzeciego stopnia o współczynnikach wymiernych, to r jest liczbą wymierną. ([CieS] 1988). D. ([CieS] s.188). Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że r jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu postaci f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c Q. Liczba r jest więc również pierwiastkiem pochodnej f (x) = 3x 2 + 2ax + b. Stąd dalej wynika, że r jest także pierwiastkiem wielomianu ax 2 + 2bx + 3c = 3f(x) xf (x). Jeśli a = 0, to 2br+3c=0 i jest wtedy jasne, że r Q. Dalej załóżmy, że a 0. Liczba r jest również pierwiastkiem wielomianu (6b 2a 2 )x + (9c ab) = 9f(x) (3x + a)f (x). Mamy zatem równość: (6b 2a 2 )r = ab 9c. Jeśli 6b 2a 2 0, to r jest oczywiście liczbą wymierną. Załóżmy dalej, że 6b 2a 2 = 0. Mamy wtedy równości a 2 = 3b oraz ab = 9c, z których wynika, że b 0 oraz b 2 = 3ac (gdyż a/b = b/3c). Ale ar 2 + 2br + 3c = 0, więc 0 = a (ar 2 + 2br + 3c) = a 2 r 2 + 2abr + 3ac = (ar) 2 + 2(ar)b + b 2 = (ar + b) 2. Zatem ar + b = 0 i stąd r = b a jest liczbą wymierną. Zanotujmy kilka wniosków z powyższego twierdzenia 2.1.16 2.1.17. Jeśli u, v są liczbami rzeczywistymi (a nawet zespolonymi) takimi, że trzy liczby: 2u + v, u 2 + 2uv, u 2 v są wymierne, to liczby u, v są również wymierne. D. (Sposób I). Oznaczmy a = (2u + v), b = u 2 + 2uv, c = u 2 v. Mamy wtedy równość (x u) 2 (x v) = x 3 + ax 2 + bx + c, a zatem u jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu x 3 + ax 2 + bx + c. Jest to wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach wymiernych. Teza wynika więc z 2.1.16. (Sposób II). Niech p = (2u + v), q = u 2 + 2uv, r = u 2 v. Wtedy: p 2 3q = 4u 2 + 4uv + v 2 3u 2 6uv = u 2 2uv + v 2 = (u v) 2, pq 9r = 2u 3 + 4u 2 v + u 2 v + 2uv 2 9u 2 v = 2u(u 2 2uv + v 2 ) = 2u(u v) 2, a zatem liczby (u v) 2 oraz u(u v) 2 są wymierne i stąd łatwo wynika, że liczby u, v są również wymierne.

18 Wielomiany 2. Pierwiastki wielomianów 2.1.18. Niech y, t będą liczbami rzeczywistymi (a nawet zespolonymi). Jeśli trzy liczby: (2 + t)y, (1 + 2t)y 2 oraz ty 3 są wymierne, to liczby y, t są również wymierne. D. Oznaczmy: u = y, v = ty. Mamy wtedy: 2u + v = (2 + t)y Q, u 2 + 2uv = (1 + 2t)y 2 Q oraz u 2 v = ty 3 Q i wykorzystujemy fakt poprzedni. 2.1.19. Niech f(x) będzie wielomianem o współczynnikach wymiernych stopnia d 3. Jeśli liczba r (rzeczywista lub nawet zespolona) jest (d 1)-krotnym pierwiastkiem wielomianu f(x), to r jest liczbą wymierną. D. Rozważmy (d 3)-pochodną wielomianu f(x). Pochodna ta jest wielomianem trzeciego stopnia o współczynnikach wymiernych i liczba r jest jej podwójnym pierwiastkiem. Teza wynika zatem z twierdzenia 2.1.16. 2.1.20. Pierwiastki a, b, c, wielomianu x 3 x 1, spełniają równość ([OM] Słowenia 1993). 1 a 1 + a + 1 b 1 + b + 1 c 1 + c = 1. 2.1.21. Jeśli a, b, c są pierwiastkami wielomianu x 3 x 2 x 1, to dla każdej liczby naturalnej n liczba a n b n a b + bn c n b c + cn a n c a jest całkowita. ([FQ] B-347). 2.1.22. Niech a, b, c będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu trzeciego stopnia f(x) R[x], którego wyraz wolny jest różny od zera. Jeśli f(1/2) + f( 1/2) = 1000f(0), to ([OM] Australia 1996, [Crux] 2000 s.459). 1 ab + 1 bc + 1 ca = 1996. 2.1.23. Wielomian postaci x 3 2x 2 2x + m nie może mieć trzech parami różnych pierwiastków wymiernych. ([OM] Wietnam 1980, [ChKh] 37, 97). 2.1.24. Niech 0 c, d Z. Wielomian x 3 3cx 2 dx + c ma co najwyżej jeden pierwiastek wymierny. ([Bryn] 3.3).

Wielomiany 2. Pierwiastki wielomianów 19 2.1.25. Jeśli wielomian x 3 + px + q (gdzie p, q Q) nie ma pierwiastków wymiernych, to żaden jego pierwiastek rzeczywisty nie jest konstruowalny (za pomocą cyrkla i linijki). ([Dlt] 3/1996 17). 2.1.26. Niech P (x, y) będzie wielomianem trzeciego stopnia zmiennych x i y o współczynnikach rzeczywistych. Wiadomo, że P (x, y) = 0 dla siedmiu różnych punktów (x, y) pewnego okręgu. Wykazać, że P (x, y) = 0 dla wszystkich punktów tego okręgu. ([Zw] 1994). A. R. Amir-Moez, Khayyam s solution of cubic equations, [Mon] 35(5)(1962) 269-271. K. A. Brandt, J. C. Roma, Real roots of cubic polynomials, [Crux] 2001 264-266. R. Garver, Transformations on cubic equations, [Mon] 36(7)(1929) 366-369. A. G. Mordkowicz, Ekstrema wielomianów trzeciego stopnia, [Kw] 11/1974 8-11. T. D. Nagle, A method for the solution of the general cubic, [Mon] 59(2)(1952) 326-328. H. A. Nogrady, A new method for solution of cubic equations, [Mon] 44(1)(1937) 36-38. N. Sato, How to solve the cubic, [Crux] 2000 171-176. 2.2 Pierwiastki wielomianów czwartego stopnia 2.2.1. Poniższe wielomiany nie mają pierwiastków rzeczywistych. x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1, x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x + 3, x 4 x 3 + 3x 2 x + 9, x 4 2x 3 + 4x 2 3x + 2. 2.2.2. Dla każdego wielomianu f(x) R[x], stopnia 4, istnieje taka liczba naturalna k, że wielomian f(x) + f(x + 1) + + f(x + k) nie ma pierwiastków rzeczywistych. (2.8.5). 2.2.3. Każdy wielomian postaci (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) c, gdzie a, c R, c 0, ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. ([Bryn] 3.5). 2.2.4. Jeśli pierwiastkami wielomianu ax 2 + (c b)x + (e d) R[x] są liczby rzeczywiste większe od 1, to wielomian ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. ([OM] Grecja 1995, [Pa97]). 2.2.5. Jeśli wielomian x 4 + ax 3 + 2x 2 + bx + 1 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, to a 2 + b 2 8. ([TT] 1993).

20 Wielomiany 2. Pierwiastki wielomianów 2.2.6. Jeśli wielomian stopnia czwartego, o współczynnikach całkowitych, ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, to pierwiastek ten jest liczbą wymierną. ([Bryn] 3.6, [MOc] 2003 z.233). 2.2.7. Wielomian x 4 1994x 3 + (1993 + m)x 2 11x + m, gdzie m Z, ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity. ([Balk] 1994). 2.2.8. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu (x 1)x(x + 1)(x + 2) + 1. ([Miss] 19992(4) z.47). R. Wielomian jest równy (x 2 + x 1) 2. Jego pierwiastkami są liczby 1 + 5 2 oraz 1 5. 2 2.2.9. Każdy z następujących wielomianów ma taki pierwiastek zespolony, który nie jest liczbą rzeczywistą. (1) x 4 + 4x 3 + 8x 2 + 3x 1, ([Crux] 2001 s.266); (2) x 4 + ax + b, gdzie a, b R, b 0, ([Min] 2,45). Następne fakty dotyczą takich wielomianów czwartego stopnia, których wszystkie pierwiastki są liczbami rzeczywistymi. 2.2.10. Załóżmy, że f(x) R[x] jest takim wielomianem czwartego stopnia, którego wszystkie cztery pierwiastki są dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Wówczas: (1) równanie ( 1 4x x 2 f(x) + 1 1 4x x 2 ma cztery dodatnie rozwiązania, ([OM] Wietnam 1994, [Pa97]); ) f (x) f (x) = 0 (2) jeśli f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 x + 1, to c 80a + b, ([Mon] 67(1)(1960) E1367); (3) jeśli f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx c, to a + b 80. ([Zw] 1999). 2.2.11. Załóżmy, że f(x) R[x] jest takimi wielomianem czwartego stopnia, krórego wszystkie 4 pierwiastki są parami różnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas: (1) jeśli f(x) = x 4 + ax 3 + bx + c, to ab < 0, ([Kw] 8/1978 M 469); (2) jeśli f(x) = x 4 +2x 3 +ax+b, to wartość bezwzględna każdego pierwiastka jest mniejsza od 3. ([OM] Węgry 1999). 2.2.12. Jeżeli wielomian x 2 + ax + b ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, to wielomian x 4 + ax 3 + (b 2)x 2 ax + 1 ma cztery parami różne pierwiastki rzeczywiste. ([OM] Rosja 1994, [Pa97]).

Wielomiany 2. Pierwiastki wielomianów 21 2.2.13. Dla jakich liczb rzeczywistych a wielomiany mają wspólny pierwiastek? ([WaG]). x 4 + ax 2 + 1 i x 3 + ax + 1 R. Tylko dla a = 2. Wspólny pierwiastek jest pierwiastkiem wielomianu czyli jest równy 1. (x 4 + ax 2 + 1) x(x 3 + ax + 1) = 1 x, 2.2.14. Jeżeli liczby a i b są pierwiastkami wielomianu x 4 + x 3 1, to liczba a b jest pierwiastkiem wielomianu x 6 + x 4 + x 3 x 2 1. ([OM] USA 1977, [Pa97]). 2.2.15. Niech f(x) = x 4 + x 3 1, g(x) = x 4 x 3 2x 2 + 1. Jeśli f(a) = 0, to g(a 2 ) = 0. ([M-sj] 488). 2.2.16. Jeśli liczba r jest potrójnym pierwiastkiem wielomianu czwartego stopnia o współczynnikach wymiernych, to r jest liczbą wymierną. (Patrz 2.1.19). 2.2.17. Znaleźć wielomian najniższego stopnia o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest 2 + 3. Odp. x 4 10x 2 + 1. ([Br80] 36). R. Chalkley, Cardan s formula and biquadratic equations, [Mon] 47(1)(1974) 8-14. A. Henderson, A. W. Hobbs, The cubic and biquadratic equations Vieta s transformation in the complex plane, [Mon] 37(10)(1930) 515-521. 2.3 Pierwiastki wielomianów piątego stopnia 2.3.1. Następujące wielomiany piątego stopnia mają co najmniej jeden pierwiastek, który nie jest liczbą rzeczywistą. (1) x 5 + 2x 3 4x 2 + 1, ([Crux] 2001 s.266); (2) x 5 + ax 3 + b R[x], gdzie b 0, ([Mat] 3/2001 z.1510, wynika z 2.14.2). 2.3.2. Dla każdego wielomianu f(x) R[x], stopnia 5, istnieje taka liczba naturalna k, że wielomian f(x) + f(x + 1) + + f(x + k) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. (2.8.5). 2.3.3. Jeżeli wielomian ax 5 + bx 4 + c, gdzie ac 0, ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to wielomian cx 5 + bx + a także ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste. ([OM] Rosja 1994, [Pa97]).

22 Wielomiany 2. Pierwiastki wielomianów 2.3.4. Istnieje nieskończenie wiele takich par (a, b) liczb całkowitych, że wielomian x 5 ax + b ma dwa pierwiastki rzeczywiste, których iloczyn jest równy 1. ([Dlt] 5/2000 z.394). 2.3.5. Niech c będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian x 5 5x 3 + 4x c ma pięć parami różnych pierwiastków rzeczywistych x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. Wtedy suma wartości bezwzględnych współczynników wielomianu jest równa 100 + c 2. ([OM] Polska 2003/2004). (x x 2 1)(x x 2 2)(x x 2 3)(x x 2 4)(x x 2 5) 2.3.6. Niech f(x) = x 5 + x 2 + 1, g(x) = x 2 2 i niech r 1, r 2,..., r 5 będą pierwiastkami wielomianu f(x). Wówczas g(r 1 )g(r 2 ) g(r 5 ) = 23. ([UsaT]). D. g(r 1 ) g(r 5 ) = (r 2 1 2) (r 2 5 2) = (r 1 2)(r 2 2) (r 5 2)(r 5 + 2) = f( 2) ( f( 2)) = ( 2 5 + 2 2 + 1)( 2 5 + 2 + 1) = (4 2 + 3)( 4 2 + 3) = 23. 2.3.7. Jeżeli c jest liczbą całkowitą, to równanie x(x 2 1)(x 2 10) = c nie może mieć 5 całkowitych rozwiązań. ([Kw] 10/1989 68).

Wielomiany 2. Pierwiastki wielomianów 23 2.4 Pierwiastki wielomianów szóstego stopnia 2.4.1. Niech a, b, c, d będą liczbami rzeczywistymi, z których co najmniej jedna jest różna od zera. Rozpatrzmy wielomian f(x) = x 6 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Wielomian ten ma co najmniej jeden taki pierwiastek zespolony, który nie jest liczbą rzeczywistą. ([OM] Indie 1989). D. ([Crux] 1992 s.6). Przypuśćmy, że wszystkie pierwiastki x 1, x 2,..., x 6 tego wielomianu są liczbami rzeczywistymi. Ponieważ współczynniki przy x 5 i x 4 są zerowe, więc 6 x i = 0, i=1 1 i<j 6 x i x j = 0. Stąd ( 6 6 x 2 i = x i x j = 0, a więc x 1 = x 2 = = x 6 = 0 i stąd i=1 i=1 x i)2 2 i<j f(x) = x 6. Zatem a = b = c = d = 0; sprzeczność. To samo można wysłowić w następujący sposób. 2.4.2. Jeżeli wielomian f(x) = x 6 + ax 3 + bx 2 + cx + d ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, to a = b = c = d = 0. ([OM] Indie 1989, [Pa97]). 2.4.3. Jeśli a, b, c, d R, to wielomian nie ma 6 dodatnich pierwiastków. ([Fom] D61). x 6 + 12x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + 68 2.4.4. Wielomian f(x) = x 6 x 5 + x 4 x 3 + x 2 x + 3 4 ([OM] Szwecja 1989, [Pa97]). nie ma pierwiastków rzeczywistych. 2.4.5. Dla każdego wielomianu f(x) R[x], stopnia 6, istnieje taka liczba naturalna k, że wielomian f(x) + f(x + 1) + + f(x + k) nie ma pierwiastków rzeczywistych. (2.8.5). 2.4.6. Niech f(x) R[x] będzie wielomianem stopnia 6 spełniającym równości: f(a) = f( a), f(b) = f( b), f (0) = 0, dla pewnych liczb rzeczywistych 0 < a < b. Wówczas f(x) = f( x). ([Balt] 1998).

24 Wielomiany 2. Pierwiastki wielomianów 2.4.7. Pierwiastkiem wielomianu x 6 6x 4 6x 3 + 12x 2 36x + 1 jest liczba rzeczywista a = 2 + 3 3. Jest to wielomian minimalny nad Q dla liczby a, to znaczy, jest to wielomian najmniejszego stopnia o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkiem jest a. ([OM] Wietnam 1984, [ChKh] 39, 103). ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 2.5 Współczynniki całkowite i pierwiastki całkowite ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Najpierw zajmiemy się takimi wielomianami o współczynnikach całkowitych, które nie mają pierwiastków całkowitych. 2.5.1. Niech f(x) Z[x], 2 m N. Jeżeli wśród liczb f(0), f(1),..., f(m 1) nie ma liczby podzielnej przez m, to wielomian f(x) nie ma pierwiastków całkowitych. D. Przypuśćmy, że istnieje taka liczba całkowita a, że f(a) = 0. Niech a r (mod m), gdzie r {0, 1,..., m 1}. Wtedy 0 = f(a) f(r) (mod m) i mamy sprzeczność: m f(r). Zanotujmy szczególne przypadki powyższego faktu. 2.5.2. Niech f(x) Z[x]. Jeżeli liczby f(0) i f(1) są nieparzyste, to wielomian f(x) nie ma całkowitych pierwiastków. ([Dlt] 2/1981, [GaT] 8/41). 2.5.3. Niech f(x) Z[x]. Jeżeli wielomian f(x) ma całkowity pierwiastek, to co najmniej jedna z liczb f(0), f(1), f(2) jest podzielna przez 3. 2.5.4. Niech f(x) Z[x]. Jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków, to wielomian f(x) nie ma pierwiastków całkowitych. (1) f(1993) f(1994) = 1995, ([OM] Rosja 1993, [Pa97]). (2) f(2000) f(2001) f(2002) = 12345678. (3) f(a) = f(b) = f(c) = 1, gdzie a, b, c są parami różnymi liczbami całkowitymi, ([Str72] 30, [B-rs] 211). (4) Wielomian f(x) 5 ma co najmniej 5 różnych pierwiastków całkowitych, ([SaP] 24). (5) Wielomian f(x) + 12 ma co najmniej 6 parami różnych pierwiastków całkowitych, ([AuP] 1988). (6) Każda z liczb f(1), f(2),..., f(1998) jest trzycyfrową liczbą naturalną, ([Balt] 1998). 2.5.5. Niech f(x) Z[x]. Jeśli wielomian f(x) s, gdzie s Z, ma co najmniej trzy parami różne całkowite pierwiastki, to wielomian nie ma całkowitych pierwiastków. f(x) (s + 1)