Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Część 07 Ciągi rekurencyjne Rozdział 12 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Andrzej Nowicki 17 maja 2012, http://wwwmatunitorunpl/~anow Spis treści 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 159 121 Ciąg x n+1 = f(n)x n + g(n) 159 122 Ciąg x n+2 = f(n)x n+1 + g(n)x n 160 123 Ciąg x n+2 = (x s n+1 + 1)/x n 160 124 Ciąg x n+2 = (x 2 n+1 + p)/x n 162 125 Ciąg x n+3 = (x n+1 x n+2 + p)/x n 164 126 Ciągi rekurencyjne z pierwiastkami 166 127 Różne ciągi 167 Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www-usersmatunitorunpl/~anow

12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych W rozdziałach 10 i 11 zajmowaliśmy się problemem całkowitości wyrazów pewnych jednorodnych ciągów rekurencyjnych W tym rozdziale zajmujemy się tym samym problemem dla innych ciągów rekurencyjnych 121 Ciąg x n+1 = f(n)x n + g(n) 1211 Niech x 1 = 1 oraz x n = 4n 6 x n 1 n dl 2 Wykazać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi Wsk x n+1 = 1 ( ) 2n ([Bryn] 515b) n + 1 n 1212 Niech x 1 = 1, x n = 4n 2 x n 1 Wtedy x 2000 jest liczbą całkowitą n ([MG] 501(2000) s533) 1213 Niech x 1 = 2 oraz x n = 4n 2 x n 1 n dl 2 Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ( ) 2n Dowód = ([OM] Irlandia 1994, [Pa97], [Crux] 1998 s458) n 1214 Niech k N i niech x 1 = 1, x n+1 = nx n + 2(n + 1) 2k n + 2 dl 1 Wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są liczbami całkowitymi Ponadto, x n jest nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy ([MM] 62(3)(1989) 199, [OM] Taiwan 1992, [Pa97]) 1215 Niech x 1 = 0, n 1 (mod 4) lub n 2 (mod 4) (n + 1) 3 x n+1 = 2n 2 (2n + 1)x n + 2(3n + 1) dl 1 Ciąg ten posiadieskończenie wiele wyrazów będących liczbami naturalnymi ([OM] Serbia-Czarnogóra 2004) 159

160Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 122 Ciąg x n+2 = f(n)x n+1 + g(n)x n 1221 Niech x 0 = x 1 = 1, (n + 1)x n+1 = (2n + 1)x n + 3nx n 1 Wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są liczbami całkowitymi ([KoM] 1997 N149) 1222 Niech x 0 = x 1 = 1, (n + 3)x n+1 = (2n + 3)x n + 3nx n 1 Wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są liczbami całkowitymi ([KoM] 2000(3) A233) U ([KoM]) x 2 = 2, x 3 = 4, x 4 = 9, x 5 = 21, x 6 = 51, x 7 = 127, x 8 = 323, x 9 = 835, x 10 = 2188 Można wykazać, że n x n+2 = x n+1 + x k x n k Można wykazać również, że x n = n k=0 k=0 ( n )( 2k ) k k k + 1 1223 Niech x 2 = x 3 = 1, (n + 1)(n 2)x n+1 = n(n 2 n 1)x n (n 1) 3 x n 1 Wówczas x n jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą ([Mon] 106(2)(1999) 169) 123 Ciąg x n+2 = (x s n+1 + 1)/x n 1231 Niech s N i niech x 1 = x 2 = 1, x n+2 = xs n+1 + 1 Ciąg ten posiadastępujące własności (1) Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ([Crux] 1997 s123) (2) Każde dwa sąsiednie wyrazy są względnie pierwsze (3) x n+1 jest podzielnikiem liczby x s n + 1 (4) x n x n+1 jest podzielnikiem liczby x s n + x s n+1 + 1 D Liczby x 3 = 2, x 4 = 2 s + 1 są oczywiście naturalne Niech n 2 i załóżmy, że wszystkie wyrazy x 1, x 2,, x n+1, x n+2 są liczbami naturalnymi Wtedy x n+2 x n x s n+1 = 1 i stąd wynika, że liczby x n i x n+1 są względnie pierwsze Mamy wówczas: x n ( x x s s ) n+2 + 1 = n+1 + 1 s + 1 = γ nx n+1 + 1 + x s n x n x s n = γ nx n+1 + x n+1 x n 1 x s n = x n+1(γ n + x n 1 ) x s, n gdzie γ n jest pewną liczbą naturalną Ponieważ liczby x n+1 i x s n są względnie pierwsze, więc x s n+2 + 1 jest podzielne przez x n+1 Zatem x n+3 jest liczbą naturalną i stąd (na mocy indukcji) wszystkie liczby postaci x n są naturalne Udowodniliśmy własności (1) i (2) Z równości x n+1 x n 1 x s n = 1 wynika (3) i stąd dalej (4)

Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 161 1232 Niech s N, a Z i niech x 1 = 1, x 2 = a x n+2 = xs n+1 + 1 x n Jeśli wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi, to a { 2, 1, 1, 2} 1233 Niech a 1 = a 2 = 1, +2 = +1 + 1 Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną Ciąg ten jest okresowy z czystym okresem 1, 1, 2, 3, 2 Dowód Jest to wniosek z 1231 1234 Niech a 1 = a, a 2 = b, gdzie a, b są danymi liczbami całkowitymi +2 = +1 + 1 (1) Ciąg ten jest okresowy z czystym okresem: a, b, b + 1 a, a + b + 1, ab a + 1 b (2) Jeśli a b + 1 i b a + 1 i przy tym a 1 oraz b 1, to każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą 1235 Niech b 1 = b 2 = 1, b n+2 = b2 n+1 + 1 Ciąg ten posiadastępujące własności b n (1) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną (2) Nie ma wyrazu podzielnego przez 3 (3) Ciąg (b n (mod 10)) jest okresowy z czystym okresem długości 30 (4) b 2 n + b 2 n+1 = 3b nb n+1 1 (5) b n+2 = 3b n+1 b n ([Crux] 1997 s123) (6) b n = u 2(n 2)+1, n 2, gdzie (u n ) jest ciągiem liczb Fibonacciego D Własność (1) jest konsekwencją 1231 Ciąg (b n (mod 3)) jest okresowy i jego okres jest równy 1, 1, 2, 2 Stąd wynika (2) Pozostałe własności sprawdzamy bez trudu Przykłady: n b n 1 1 2 1 3 2 4 5 5 13 6 34 7 89 8 233 9 610 10 1597 n b n 11 4181 12 10946 13 28657 14 75025 15 196418 16 514229 17 1346269 18 3524578 19 9227465 20 24157817 n b n 21 63245986 22 165580141 23 433494437 24 1134903170 25 2971215073 26 7778742049 27 20365011074 28 53316291173 29 139583862445 30 365435296162

162Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 1236 Niech c 1 = c 2 = 1, c n+2 = c3 n+1 + 1 c n (1) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną (2) Każde dwa sąsiednie wyrazy są względnie pierwsze (3) Liczba c 3 n + 1 jest podzielna przez c n+1 (4) Liczba c 3 n + c 3 n+1 + 1 jest podzielna przez c nc n+1 (5) Niech x n = c 2 nc n+1, y n = c 2 n+1, z n = c n t n = (c 3 n + c 3 n+1 + 1)/c nc n+1 Wówczas liczby x n, y n, z n są względnie pierwsze oraz ([Mat] 5/1959) x n y n + y n z n + z n x n = t n D Własności (1) (4) wynikają z 1231 Własność (5) jest łatwa do sprawdzenia Dowody znajdziemy np w [Mat] 5/1959 (zadania konkursowe 538, 539) U Wyrazy badanego ciągu szybko rosną Kilka przykładów: c 3 = 2, c 4 = 9, c 5 = 365, c 6 = 5403014, c 7 = 432130991537958813, c 8 = 1493516928410152587449167346326841453652359305 1237 Niech b 1 = b 2 = 1, b n+2 = b n+1 + 2 Wyrazy tego ciągu nie muszą być liczbami b n całkowitymi Przykłady: b 3 = 3, b 4 = 5, b 5 = 7/3, b 6 = 13/15, b 7 = 43/35, b 8 = 339/91 1238 Niech k 2 i c 1 będą liczbami naturalnymi Niech x 0 = 1, x 1 = 1, x n+2 x n = cx k n+1 + 1, dl 0 Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy c = 1 124 Ciąg x n+2 = (x 2 n+1 + p)/x n 1241 Ciąg (y n ) spełnia warunki: y 1 0, y 2 0, y n+2 = y2 n+1 + p y n, gdzie p jest daną liczbą Oznaczmy: b = y2 1 + y2 2 + p y 1 y 2 (1) Każdy wyraz ciągu (y n ) jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby y 1, y 2, b są całkowite ([Balk] 1986) (2) W szczególności, jeśli y 1 = y 2 = 1 i p Z, to każdy wyraz ciągu (y n ) jest liczbą całkowitą

Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 163 (3) Załóżmy, że każdy wyraz ciągu (y n ) jest liczbą całkowitą Czy wtedy p Z? (4) y n+2 + y n y n+1 = y2 n + y 2 n+1 + p y n y n+1 = b, dla wszystkich n 1 (5) (y n ) jest uogólnionym ciągiem Fibonacciego: ([OM] Bułgaria 1978, [Pa97]) y n+2 = by n+1 y n D Z definicji ciągu (y n ) wynika, że y n+1 y n+3 + y 2 n+1 = y 2 n+2 + p + y 2 n+1 = y 2 n+2 + y n y n+2 Stąd otrzymujemy równości y n+3 + y n+1 y n+2 = y n+2 + y n y n+1 = = y 3 + y 1 y 2 = y 2 2 +p y 1 + y 1 = y2 1 + y2 2 + p = b, y 2 y 1 y 2 z których bez trudu wykażemy wszystkie własności oprócz (3) Nie znam odpowiedzi na pytanie postawione w (3) 1242 Ciąg ( ) jest określony wzorami: a 1 = a 2 = 1, Ciąg ten posiadastępujące własności +2 = a2 n+1 + 2 (1) a 3 = 3, a 4 = 11, a 5 = 41, a 6 = 153, a 7 = 571, a 8 = 2131, a 9 = 7953, a 10 = 29681 (2) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną Dowód Wynika z 1241 ([Dlt] 12/1985) (3) Wszystkie wyrazy ( ) są liczbami nieparzystymi (4) Ciąg ( (mod 5)) jest okresowy z okresem 1, 1, 3 (5) Ciąg ( (mod 100)) jest okresowy Okres ma długość 60 1243 Ciąg (b n ) określony jest wzorami: b 1 = b 2 = 1, Ciąg ten posiadastępujące własności b n+2 = b2 n+1 + 3 b n (1) b 3 = 4, b 4 = 19, b 5 = 91, b 6 = 436, b 7 = 2089, b 8 = 10009 (2) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną Dowód Wynika z 1241 (3) Ciąg (b n (mod 10)) jest okresowy i jego okres jest czysty i ma długość 12 (4) Ciąg (b n (mod 100)) jest okresowy i jego okres jest czysty i ma długość 60 1244 Dany jest ciąg ( ) określony wzorami: a 1 = a 2 = 1, +2 = a2 n+1 + 4 Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą (Wynika z 1241)

164Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 1245 Dany jest ciąg ( ) określony wzorami: a 1 = a 2 = 1, +2 = a2 n+1 2 Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą Dokładniej: a 2n 1 = ( 1) n+1, a 2n = ( 1) n+1 1246 Ciąg rekurencyjny (x n ) określony jest wzorami: x 0 = 1, x 1 = 1, x n+2 x n = x 2 n+1 + x n+1 + 1, dl 0 Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są całkowite oraz, że x n+2 + x n + 1 0 (mod x n+1 ) dl 0 1247 Niech a, b będą niezerowymi liczbami całkowitymi takimi, że a = b Ciąg (x n ) określony jest wzorami: x 1 = b, x 2 = b 2 a 2, x n+2 x n = x 2 n+1 a 2(n+1), dl 1 Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są całkowite ([MM] 61(2)(1988) 115-116) 125 Ciąg x n+3 = (x n+1 x n+2 + p)/x n 1251 Niech a 1 = a 2 = a 3 = 1 oraz +3 = +1+2 + 1 dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą ([Mon] 68(4)(1961) E1431, [Mock] 1/2004) 1252 Niech a 1 = a 2 = a 3 = 1 oraz +3 = +1+2 + 2 dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą ([OM] Irlandia 2002) D Można łatwo sprawdzić, że = 4 1 2, gdy n jest parzyste oraz = 2 1 2, gdy n nieparzyste 1253 Niech a 1 = a 2 = 1 oraz +3 = +1+2 + 1989 dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([AnE] s82)

Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 165 D ([AnE]) Mamy dwie równości +1 2 = 1 + 1989, 3 = 1 2 + 1989 Odejmując stronami otrzymujemy równość 2 (+1 + 1 ) = ( 1 + 3 ), czyli an+1+an 1 = 1+ 3 2 Mamy zatem: a 2n+1 + a 2n 1 a 2n a 2n+2 + a 2n a 2n+1 = a 2n 1 + a 2n 3 a 2n 2 = = a 3 + a 1 a 2 = 200 1 = 200; = a 2n + a 2n 2 a 2n 1 = = a 4 + a 2 a 3 = 2189 199 = 11 Wykazaliśmy więc, że a 2n+1 = 200a 2n a 2n 1, a 2n+2 = 11a 2n+1 a 2n Stąd wynika, że każde jest liczbą całkowitą Jest oczywiste, że każde jest liczbą dodatnią; jest więc liczbą naturalną Powtarzając powyższy dowód, otrzymujemy: 1254 Niech ( ) będzie ciągiem takim, że a 1, a 2, a 3 są liczbami naturalnymi oraz +3 = +1+2 + b dl N, gdzie b jest daną liczbą naturalną Jeżeli liczby a 2a 3 +b naturalne, to każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną a 1, a 1+a 3 a 2, a 1a 2 +a 2 a 3 +b a 1 a 3 są 1255 Niech a 1 = a 2 = 1, a 3 = 2 oraz +3 = +1+2 + 7 dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([OM] Niemcy 2002/2003) 1256 Niech a 1 = a 2 = 1, a 3 = u oraz +3 = +1+2 + p dl N, gdzie p, u są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p = ru 1, gdzie r Z ([Mon] 68(4)(1961) s379) 1257 Niech u będzie liczbą naturalną i p liczbą pierwszą Niech a 1 = a 2 = a 3 = p oraz dl N +3 = +1+2 + u (1) Jeśli p 3, to każde jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p 2 u (2) Jeśli p = 2, to każde jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p u ([MM] 61(4)(1988) 262-263)

166Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 126 Ciągi rekurencyjne z pierwiastkami 1261 Niech x 1 = 3 oraz xn+1 = 2 x n + 3(1 + x n ) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([OM] ZSRR 1986) D Łatwo sprawdzić, że x 2 = 48 oraz, że x n+2 = 14x n+1 x n + 6 1262 Niech x 0 = 1 oraz x n+1 = 1 2 ( ) 3x n + 5x 2 n 4 Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([OM] WBrytania 2002) 1263 Niech x 1 = c, x n+1 = cx n + (c 2 1)(x 2 n 1) (1) Jeśli c jest liczbą naturalną, to wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ([Bryn] 59, [OM] RPA 2000) (2) x n = 1 2 (pn + q n ) dl N, gdzie p = c + c 2 1, q = c c 2 1 ([Bryn] s121) 1264 Niech a 0 = 0, +1 = 7 + 48a 2 n + 1 Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi ([MG] 1966 307) 1265 Niech m, p, a Z i niech x 0 = a oraz x n+1 = mx n + (m 2 1)(x 2 n a 2 ) + p 2 Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi ([MM] 42(1969) 111-113) 1266 Niech a N i niech x 0 = 0 oraz x n+1 = (x n + 1)a + (a + 1)x n + 2 a(a + 1)x n (x n + 1) Wykazać, że każde x n jest liczbą naturalną ([IMO] Shortlist 1983, [Djmp] 166(459)) 1267 Niech x 1 = 603, x 2 = 102 oraz x n+2 = x n + x n+1 + 2 x n x n+1 2 Wtedy: (1) każdy wyraz x n jest liczbą naturalną; (2) istnieje nieskończenie wiele wyrazów z końcówką 2003; (3) nie ma wyrazu z końcówką 2004 ([OM] Wietnam 2004) Murray S Klamkin, Perfect squares of the form (m 2 1)a 2 n + t, [MM] 42(3)(1969) 111-113

Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów różnych ciągów rekurencyjnych 167 127 Różne ciągi 1271 Wyznaczyć liczbę takich ciągów (x n ) liczb całkowitych, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełnione są warunki x n 1, x n+2 = x n + 2006 x n+1 + 1 Odp Jet 14 takich ciągów (Czesko-Polsko-Słowackie Zaw Mat 2006, [Zw] 2006) 1272 Niech a 1 = 2, a 2 = 500, a 3 = 2000 oraz dl 2 Wtedy: +2 + +1 +1 + 1 = +1 1 (1) każdy wyraz ciągu ( ) jest liczbą naturalną; (2) 2 2000 dzieli a 2000 ; (3) +2 = 2 +1 dl N ([OM] Słowenia 1999) 1273 Niech x 0, x 1, x 2 N i niech x n+3 = x n+2 + x n+1 + 1 x n, n = 0, 1, 2, Opisać wszystkie takie ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami naturalnymi ([MOc] 2001 z79) O Istnieje pięć typów takich ciągów Są to ciągi okresowe: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 5, 3 1, 2, 1, 4, 3, 8, 3, 4 1, 2, 2, 5, 4, 5, 2, 2 1, 4, 1, 6, 2, 9, 2, 6 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3 Trójka (x 0, x 1, x 2 ) może rozpoczynać się w każdym miejscu tych okresów 1274 Niech a 0 = 2, a 1 = 5 oraz +1 1 a 2 n = 6 n 1 dl 2 Wykazać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ([OM] WBrytania 1981) D Indukcyjnie wykazuje się, że = 2 n + 3 n 1275 Istnieje dokładnie jeden ciąg ( ) taki, że a 1 = 1, a 2 > 1, +1 1 = a 3 n + 1 i wszystkie wyrazy są całkowite ([OM] WBrytania 1981)

168 Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów różnych ciągów rekurencyjnych Literatura [AnE] T Andreescu, B Enescu, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, Boston - Basel - Berlin, 2006 [Balk] Balkan Mathematical Olympiad [Bryn] M Bryński, Olimpiady Matematyczne, tom 7, 31-35, 79/80-83/84, WSiP, Warszawa, 1995 [Crux] Crux Mathematicorum, Canadian Mathematical Society, popolarne matematyczne czasopismo kanadyjskie [Djmp] D Djukić, V Janković, I Matić, N Petrović, The IMO Compendium A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: 1959-2004, Problem Books in Mathematics, Springer, 2006 [Dlt] Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny [IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna [KoM] KöMal, Kozepiskolai Matematikai Lapok, węgierskie czasopismo matematyczne, 1894-2012 [Mat] [MG] [MM] Matematyka, polskie czasopismo dlauczycieli The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne Mathematics Magazine, popularne czasopismo matematyczne [MOc] Mathematical Olympiads Correspondence Program, Canada, 1997-2012 [Mock] Mock Putnam Exam [Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America [OM] Olimpiada Matematyczna [Pa97] H Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 1997 [Zw] Zwardoń, Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej