czyli tuzin zadań Wojciech Guzicki Sielpia, 22 października 2016 r.

Transkrypt

1 1 O OBLICZENIACH, czyli tuzin zadań Wojciech Guzicki

2 W. Guzicki: O obliczeniach 2 Zadanie 1.(XVI OM) Znajdź wszystkie takie liczby pierwsze p, że 4p 2 +1i6p 2 +1sąrównieżliczbamipierwszymi. p 4p p

3 W. Guzicki: O obliczeniach 3 Zadanie2.(LVIIIOM)Ciąg(x n )jestokreślonynastępująco: x 1 = 1 2, x n= 2n 3 2n x n 1 dlan=2,3,4,... Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n 1 zachodzi nierówność x 1 +x x n <1. x 1 = 1 2, x 2= 1 8, x 3= 1 16, x 4= 5 128, x 5 = 7 256, x 6= , x 7= , x 8=

4 W. Guzicki: O obliczeniach 4 x 1 = 1 2, x 2 = 1 8, x 3 = 1 16, x 4 = 5 128, x 5 = 7 256, x 6 = , x 1 = 1 2, x 1 +x 2 = 5 8, x 1 +x 2 +x 3 = 11 16, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = , x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = , x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 =

5 W. Guzicki: O obliczeniach 5 x 1 = 1 2, x 2 = 1 8, x 3 = 1 16, x 4 = 5 128, x 5 = 7 256, x 6 = , 1 x 1 = 1 2, 1 (x 1 +x 2 )= 3 8, 1 (x 1 +x 2 +x 3 )= 5 16, 1 (x x 4 )= , 1 (x x 5 )= , 1 (x x 6 )=

6 W. Guzicki: O obliczeniach 6 x 1 = 1 2, x 2 = 1 8, x 3 = 1 16, x 4 = 5 128, x 5 = 7 256, x 6 = , 1 x 1 = 1 2 =x 1, 1 (x 1 +x 2 )= 3 8 =3x 2, 1 (x 1 +x 2 +x 3 )= 5 16 =5x 3, 1 (x x 4 )= =7x 4, 1 (x x 5 )= =9x 5, 1 (x x 6 )= =11x 6.

7 W. Guzicki: O obliczeniach 7 Przypomnijmy: x 1 = 1 2, x n= 2n 3 2n x n 1 dlan=2,3,4,... Hipoteza: 1 (x 1 +x x n )=(2n 1) x n, czyli x 1 +x x n =1 (2n 1) x n.

8 W. Guzicki: O obliczeniach 8 Zadanie3.(IIMałaOM)Ciąg(x n )jestokreślonywnastępujący sposób: x 1 =1, x n =nx n 1 +( 1) n dlan 2. Udowodnij,żedlakażdejliczbynaturalnejn 2liczbax n jestpodzielnaprzezn 1. x 1 = 1, x 2 = 2 1+( 1) 2 = 3 = 1 3, x 3 = 3 3+( 1) 3 = 8 = 2 4, x 4 = 4 8+( 1) 4 = 33 = 3 11, x 5 = 5 33+( 1) 5 = 164 = 4 41, x 6 = ( 1) 6 = 985 =

9 W. Guzicki: O obliczeniach 9 x 3 2 =4=1+3=x 1+x 2, x 4 3 =11=3+8=x 2+x 3, x 5 4 =41=8+33=x 3+x 4, x 6 5 =197=33+164=x 4+x 5. Hipoteza: dlan 3mamiejscerówność x n =(n 1) (x n 2 +x n 1 ).

10 W. Guzicki: O obliczeniach 10 Zadanie4.(XIIOMJ)Wkażdepoletablicy11 11należywpisaćjednązliczb 1,0,1wtakisposób,abysumaliczbwkażdej kolumnie była nieujemna, a suma liczb w każdym wierszu była niedodatnia. Jaką najmniejszą liczbę zer można w ten sposób wpisać w pola tablicy? Odpowiedź uzasadnij.

11 W. Guzicki: O obliczeniach

12 W. Guzicki: O obliczeniach 12 Zadanie 5.(XII OMJ) Liczby całkowite a, b są dodatnie. Wykaż, żeconajmniejjednązliczba,b,a+bmożnaprzedstawićwpostaci różnicy kwadratów dwóch liczb całkowitych.

13 W. Guzicki: O obliczeniach

14 W. Guzicki: O obliczeniach 14 Zadanie 6.(Crux Mathematicorum, 1996, str. 205) Dany jest trójkąt liczbowy Każda liczba w tym trójkącie, oprócz liczb z pierwszego wiersza, jest sumą dwóch liczb stojących bezpośrednio nad nią z lewej i prawej strony. Udowodnij, że liczba stojąca w najniższym wierszu jest podzielna przez 2017.

15 W. Guzicki: O obliczeniach

16 W. Guzicki: O obliczeniach a m,n =2 m 2 ((m 1)+2 (n 1) ). a n+1,1 =2 n 1 (n+2 0)=n 2 n 1.

17 W. Guzicki: O obliczeniach 17 Zadanie 7.(Crux Mathematicorum, 1998, str. 12) Dany jest nieskończonyciągarytmetyczny(a n ),któregowyrazamisąliczbycałkowitedodatnieiwktórymliczbaa 1 jestkwadratemliczbycałkowitej. Udowodnij,żewtymciąguistniejenieskończeniewielewyrazówa n będących kwadratami liczb całkowitych.

18 W. Guzicki: O obliczeniach 18 a n =q 2 +(n 1)r. q r=2 r=3 r=4 r=

19 W. Guzicki: O obliczeniach 19 Zadanie 8.(XII OMJ) Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym ACB=45.NiechBCEDorazACFGbędąkwadratamileżącymi na zewnątrz trójkąta ABC. Udowodnij, że środek odcinka DG pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. E F C D G A B

20 W. Guzicki: O obliczeniach 20 D=(0,2a) AS 2 = BS 2 = CS 2 = (a 1) E B=(a,a) S = (1,a 1) C=(0,0) A=(2,0) F G=(2, 2)

21 W. Guzicki: O obliczeniach 21 Zadanie 9.(LXVIII OM) Odcinki AD, BE są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC. Punkt M jest środkiem odcinka AB. Punkty P i Q są symetryczne do punktu M odpowiednio względem prostych AD,BE.Wykazać,żeśrodekodcinkaDEleżynaprostejPQ. C P E D Q A M B

22 W. Guzicki: O obliczeniach 22 B=(2a,2b) BC: y= b a x, C=(0,0) D Q P E T S M=(a+1,b) A=(2,0) AD: y= a b x+2a b, ( ) 2a 2 2ab D= a 2 +b 2, a 2 +b 2, E=(2a,0), P= ( ) 2a 2 2ab a 2 +b 2 a+1, a 2 +b 2 b, Q=(3a 1,b).

23 W. Guzicki: O obliczeniach 23 Zadanie 10.(LXVIII OM) Wykazać, że równanie (x 2 +2y 2 ) 2 2(z 2 +2t 2 ) 2 =1 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych x, y, z, t. Równanie Pella x 2 2y 2 =1.

24 W. Guzicki: O obliczeniach 24 Zadanie 11.(LXVIII OM) Dla ustalonej dodatniej liczby całkowitej n rozważamy równanie x 1 +2x nx n =n, wktórymniewiadomex 1,...,x n mogąprzyjmowaćwartościcałkowite nieujemne. Dowieść, że równanie to ma tyle samo rozwiązań (x 1,...,x n )spełniającychwarunek (1) dlakażdegok {1,...,n 1}: x k >0 lub x k+1 =0, ilemarozwiązań(x 1,...,x n )spełniającychwarunek (2) dlakażdegok {1,...,n}: x k =0 lub x k =1.

25 W. Guzicki: O obliczeniach 25 Zadanie 12.(XII OMJ, test) Istnieje dodatnia liczba całkowita n o następującej własności: można tak przestawić cyfry zapisu dziesiętnegoliczby2 n,abyotrzymaćpewnącałkowitąpotęgęliczby: b)5; c) =512, 5 3 =125 oraz 2 8 =256, 5 4 = =1024, 7 4 =2401 oraz 2 20 = , 7 8 =

26 W. Guzicki: O obliczeniach 26 KONIEC