MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 14 (1976) I O OPISIE FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁÓW SYPKICH TOMASZ H U E C K E L (WARSZAWA) 1 Wstęp Materiały sypkie wykazują cechy sprę ż yst e i plastyczne Sprę ż yśe cizachowują się w począ tkowej fazie obcią ż eni a oraz w czasie odcią ż ani a i docią ż ania kiedy stan napręż enia leży wewną trz powierzchni plastycznoś ci Są to procesy silnie nieliniowe nawet w zakresie małych deformacji Ponadto mają one inny charakter przy pierwszym cyklu odcią ż eni a niż przy wielokrotnym odcią ż ani u i docią ż ani u (por [3]) W czasie pierwszego odcią ż ani a z danego stanu naprę ż eni a zachodzą w materiale efekty mikropłynię cia plastycznego i dopiero po pewnej liczbie cykli odcią ż ani a i docią ż ani a zachowanie się materiału jest czysto sprę ż yst e (całkowita odwracalność odkształceń przy zamknię tych cyklach odcią ż eni a i docią ż enia) Pomijając mechanizmy stanów przejś ciowych celowe jest w pewnych przypadkach oddzielne traktowanie pierwszego odcią ż eni a oraz ustalonego odcią ż eni a idealnie sprę ż ystego Za przyczynę tak silnie nieliniowych efektów w materiałach rozdrobnionych uważa się na ogół znaczne zmiany gę stośi czwią zane z deformacją materiału Model matematyczny plastycznego zachowania się ciał o zmiennej gę stośi csformułowano w pracy [1] Wpływ zmian gę stośi cna sprę ż yst e i plastyczne cechy materiałów zanalizowano w pracy [2] zakładają c na podstawie przeprowadzonych eksperymentów w zakresie sprę ż ystym zależ nośi c stycznych modułów sprę ż ystośi cod odwracalnej zmiany gę stoś ci Założ enie takie dopuszcza wspomniane mikroefekty plastyczne przy odcią ż eni u oraz pozwala na znaczne uproszczenie opisu materiału [11] W pracy pokaż emy własnoś ci prostych (tj liniowych tensorowo) nieliniowych fizycznie zwią zków opisują cych cechy sprę ż yst e materiałów rozdrobnionych Na podstawie znanych warunków całkowalnoś ci i potencjalnoś ci takich zwią zków zbadamy róż nice wystę pują ce przy róż nych sposobach ich formułowania Okazuje się że na ogół znane zwią zki dla materiałów sypkich nie opisują efektów czysto sprę ż ystych ; moż na je więc odnosić wyłą cznie do pierwszego odcią ż enia Z drugiej strony wielu efektów nieliniowych o charakterze sprę ż ystym nie moż na opisać w zakresie małych deformacji przez zwią zki tensorowo liniowe Rozważ ać bę dziemy odwracalną czę ść przyrostowego zwią zku sprę ż ysto plastycznego którą zapiszemy w postaci (11) ds'ij = A iju da u lub też (12) do ij = B m de' kl gdzie ds'ij jest odwracalnym przyrostem odkształceń da u przyrostem naprę ż eń а А ц и stanowi macierz funkcji materiałowych którą wyznacza się doś wiadczalnie przy czym
336 Т HUECKEL jest ona z uwagi na nieliniowość omawianych procesów funkcją stanów naprę ż eni a lub odkształcenia Z charakteru hipotez opartych na wynikach doś wiadczeń dotyczą cych postaci tej funkcji wynikają odmienne konsekwencje które ograniczają zakres stosowania postulowanych zwią zków Formułowanie tych hipotez odbywa się w dwojaki sposób Po pierwsze moż na przyją ć że na podstawie danych doś wiadczalnych da się wyznaczyć jednoznaczną zależ ność (moduły sieczne) mię dzy tensorem naprę ż eni a oy i tensorem odkształcenia sprę ż ysteg o e[j Zróż niczkowanie takiej zależ nośi cdaje zwią zek (11) lub (12) Po drugie powyż sze założ enie może być niesprawdzalne doś wiadczalnie natomiast udaje się z danych doś wiadczalnych znalezienie zwią zków mię dzy przyrostami daj oraz de'^ (moduły styczne) Oznacza to że takim samym przyrostom naprę ż eni a w róż nych stanach napręż enia (czy odkształcenia) odpowiadają róż ne przyrosty odkształcenia Tym samym kolejnych stanów naprę ż eni a i odkształcenia nie moż na ze sobą w ogólnoś ci powią zać jednoznacznie Poniż ej omówimy w ś wietle wyników uzyskanych dla zwią zków ogólnych [7 12] własnoś ci szczególnych postaci równań konstytutywnych mają cych zastosowanie do opisu oś rodków rozdrobnionych (por [8 9 5 6]) 2 Własnoś ci modułów siecznych (21) lub (22) W ogólnej formie zwią zek <r y = в и (е ' к 1 ) dla ciała izotropowego moż na zapisać jako [4] gdzie Ф 0 Ф х Ф 2 oraz l F 0 W t W 2 są dowolnymi funkcjami niezmienników tensora odpowiednio e'ij oraz ffy Zachowanie się materiału opisane przez powyż sze zwią zki znane jest jako sprę ż ystoś ć w sensie Cauchy Procesy deformacji mogą być w tym przypadku dysypatywne tzn przy pewnych zamknię tych cyklach w przestrzeni naprę żń e (albo odkształceń s'ij) materiał może dysypować energię mechaniczną (albo pobierać ją z otoczenia czy ź ródeł pozamechanicznych przy cyklach odwrotnych) Opis przez równania (21) lub (22) może być stosowany do pierwszego odcią ż eni a z danego stanu naprę ż eń a funkcje inwariantów Ф czy są dowolne Szczególną postacią zwią zków (21) lub (22) są zwią zki potencjalnej sprę ż ystośi c (w sensie Greena) lub hipersprę ż ystoś ci kiedy zachodzi (23) lub daj dla (22) a funkcje inwariantów U i V są potencjałami odkształceń e y i naprę ż e ń а и Rozpatrzmy konsekwencje wynikają ce z założ enia (23) dla nieliniowych zwią zków tensorowo liniowych
O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚI C 337 (tj dla których Ф 2 = 0!F 2 = 0) stosowanych w mechanice oś rodków sypkich To ostatnie założ enie pozwala rozprząc równania (21) i (22) na czę śi cdewiatorową i kulistą Zapisując np (21) w formie powszechnie stosowanej mamy (Ф jest tu jednorodną funkcją e' kk ) (24) a kk = K(s' kk e m ) e' kk ; s tj = G(e' kk e' m^e' i} Znajdź my pracę elementarną (25) du = a kk de' kk + s u de' i} bę dąą c w ogólnoś ci formą Pfaffa Wielkość U jest tylko wtedy niezależ na od drogi całkowania gdy wyraż enie Pfaffa du jest róż niczką zupełną (du du) tzn gdy zachodzi (23) czyli cr kk = du/ds' kk i s tj = д и /д е 'ц przy czym spełnione są zwią zki (2 6) do tt _ dsjj dsjj _ ds kl de'ij д е к ' к ' д е к 1 д е и Podstawiając do tego ostatniego warunku zwią zki fizyczne (24) widzimy że aby dla materiału opisanego przez nie istniał potencjał U moduły К i G muszą spełniać warunki (2 7) 8[K(e' kk e' k i)e' kk ] _ d[g(e' kk e' ki )e'ij] Podobnie dla tensorowo liniowego zwią zku typu (22) (28) s' kk = x(a kk Sij)a kk ; e' kl m(a kk s t ])s k i moż na sformułować warunki potencjalnoś ci (2 9) d M ff kk Sij)a kk ] _ d[co(cr kk s^sjj] dsij д е т к к Spełnienie warunków (28) lub (29) nałoż onych na moduły sieczne materiału zapewnia że zachowanie się materiału jest hipersprę ż yste tzn energia sprę ż yst a nie zależy od kolejnoś ci poprzednich stanów deformowania materiału lecz od aktualnej deformacji czy naprę ż enia Moż na zatem w ten sposób opisywać odcią ż ani e w stanie ustalonych własnoś ci Przy wyznaczaniu funkcji materiałowych dla opisu idealnie sprę ż ysteg o zachowania się materiału wymagane jest więc spełnienie przez te funkcje dodatkowych wię zów poza ich niezmienniczoś cią Spełnienie tych wię zów okreś la efekty fizyczne które model może opisać wykluczając inne Takie efekty wskaż emy na przykładzie dwóch zwią zków konstytutywnych typu (24) i (28) stosowanych w mechanice gruntów [5 6] Niech zachodzi odpowiednio (210) К = K(Q') G = G(Q') dla (24) i do'l'o' + Qo) = de' kk (211) x = x(a kk ) co = co(a kk ) dla (25) Fizyczny sens przyję cia modułów jako funkcji gę stoś c i czy ciś nienia ś redniego jest zwią zany z interpretacją zmiennej porowatoś ci w pierwszym a sił kontaktowych mię dzy ziarnami w drugim przypadku jako przyczyny zmian własnoś ci materiału przy deforma
338 Т HUECKEL cji Materiały te jak łatwo sprawdzić podstawiając (210) lub (211) do zwią zków (27) czy (29) nie są sprę ż yst e w sensie Greena Na przykład dla (210) zachodzi (212) 8[K(e kk )e' kk ] = 0 ф д [С (е к к)е ' ' и ] д е 'и Warunek (212) jest natomiast spełniony dla równań (210) (211) gdy moduły G(s' kk ) = = const czy a)((t kk) = const a zatem gdy odcią ż eni e jest liniowe Oba zwią zki (210) i (211) moż na więc stosować do opisu pierwszego odcią ż enia jeż eli założy się że obok odkształceń sprę ż ystyc h zachodzą procesy mikropłynię cia ł) Takie opracowanie wyników doś wiadczeń przy nieliniowych krzywych odcią ż enia gdy tensor materiałowy A ijkl spełnia warunki potencjalnoś ci a więc istnieją pewne wię zy na stałe materiałowe wymaga albo sprawdzenia tego a posteriori lub zgadnię cia postaci potencjału sprę ż ystego a nastę pnie okreś lenia zwią zku konstytutywnego i wyznaczenia jego stałych z doś wiadczeń Przyrostowe zwią zki dla materiałów nieliniowych moż na otrzymać przez róż niczkowanie równań (21) i (22) W szczególnoś ci dla zwią zków (24) i (28) mamy da = Ade'u + Eijde'ij (213) kk dsij Cij k ide k i + Dijde mm dla (24) gdzie д е к к Д К А ' Л Г A = K i Łmm + K E ij kk д е 'и Cijki л d G > oraz (214) d E ' k k = A d a * + E JJ d s 'J d l a (28) gdzie de'n = C Jkl ds k + Dijd0 kk д к du da m dsij dco dw iikl = ibkt SiJ+wdikdJ ' D J = 'datk S>j " Zauważ my że czę sto tego rodzaju zwią zki są stosowane do opisu całkowitej deformacji oś rodka z nieuzasadnionym jak widać z (212) założ eniem pełnej odwracalnoś ci odkształceń (np [9 10])
O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚ I C 339 Z powyż szych zwią zków widać że zachodzi sprzę ż eni e izotropowych i dewiatorowych czę śi cprzyrostów tzn przyrost ciś nienia ś redniego powoduje przyrost odkształceń dewiatorowych a wzrost naprę żń e dewiatorowych wywołuje przyrost obję toś ci Ponadto z uwagi na nieliniowość zwią zków (24) i (28) mimo iż tensory o y oraz е 'и mają wspólne kierunki główne tensory ich przyrostów mogą w ogólnoś ci nie być współosiowe Sprzę ż eni e to zależy od wielkoś ci odkształceń (czy naprę ż eń od ) których liczymy przyrosty a w stanie naturalnym znika Dla pewnych materiałów rozdrobnionych sprzę ż eni e przyrostów izotropowych i dewiatorowych jest uważ ane za efekt niż szego rzę du Należy wówczas założ yć że dla wszystkich cfij i e'ij współczynniki E tj = = 0 oraz Ły = D u = 0 Ze wzorów (212) i (214) wynika wówczas że (215) К = K(e' kk ) G = G(e' u ) i x = ф к к) co = co(s t j) Zauważ my wreszcie że materiały dla których przyjmujemy współosiowość przyrostów tensorów naprę ż eni a i odkształcenia s' ijt wyraż ająą c się zwią zkami (216) da kk Ade' kk ds tj = Gde\j muszą spełniać warunek G = const Jeż eli zatem zakładamy izotropię materiału hipersprę ż ysteg o i współosiowość tensorów przyrostów to nie moż emy opisać nieliniowego zachowania się materiału przy ś cinaniu Podobny wniosek moż na otrzymać z (214) Dodajmy że założ enie współosiowoś ci w sprę ż ystym prawie przyrostowym jest bardzo konsekwentne dla zwią zków spręż ysto plasfycznych dla których nie zakłada się wzmocnienia anizotropowego Równoznaczne jest to z przyję ciem że proces sprę ż ysto plastyczn y nie wywołuje w materiale ż adnej zorientowanej struktury 3 Własnoś ci modułów stycznych Przyrostowe zwią zki (213) i (214) mają tę własnoś ć że zachowanie się materiału wokół pewnego stanu naprę żń e czy odkształceń wyznacza jednoznacznie zachowanie się tego materiału dla wszystkich innych stanów na róż nych drogach obcią ż eni a czy deformacji a więc zwią zki (Ty ey Dla niektórych materiałów rozdrobnionych takie stwierdzenie może być niesprawdzalne Obserwowałny jest natomiast zwią zek pomię dzy przyrostami (foy i fifey Prawo fizyczne wówczas wyraża jednoznaczną zależ ność mię dzy przyrostami dla danego stanu ciała Taki jednoznaczny obiektywny zwią zek pomię dzy wymienionymi tensorami przyrostów oraz samym tensorem odkształceń [4] moż na zapisać przy pominię ciu nieliniowych członów wzglę dem cfey w postaci (31) de = aod + aye' + a 2 ds' + а 3 в ' 2 + а 4 (е 'с /в ' + de' e') + a s (s' 2 de' + de' E' 2 ) gdzie a 0 a lt a 3 są funkcjami niezmienników J i в к к J 2 = s k is kt J 3 e km e m isi k Y 0 = de' kk Y t = E k ide' k i Y 2 = e kl e' lm de' mk a a 2 ot 4 a 5 są funkcjami jedynie niezmienników J[ J' 2 J' 3 Załóż my dla dalszych celów że zwią zki (31) mają postać zwią zków proporcjonalnych (12) tzn a 0 a a 3 pozostaną
340 Т HUECKEL zależ ne jedynie od niezmienników mieszanych F ; Wówczas rozbijając (31) na czę ść dewiatorową oraz izotropową otrzymamy układ równań da kk = Fds kk + Hijde'ij 3 ' 2 ' ) ds t j = M tjkl de' kl +Njde kk gdzie F Hj h M ijkl /V są funkcjami tensora odkształceń е ' и oraz jego niezmienników Przyrostowy zwią zek typu (32) w którym wielkoś ci te zależą od tensora naprę żń e oraz jego niezmienników jest równoważ ny zwią zkowi hiposprę ż ystemu Rozpatrzmy obecnie na przykładzie zwią zków (32) warunki jakie muszą spełniać zwią zki przyrostowe aby opisywały one prawo nieliniowej sprę ż ystoś ci (Są to warunki analogiczne do warunków dla hiposprę ż ystośi c por [7]) Okreś lenie jednoznacznej zależ nośi c o" y e' tj ze zwią zków przyrostowych (32) wymaga założ enia ich całkowalnoś ci Ponadto jeś li otrzymany zwią zek ffy e y ma opisywać sprę ż ystoś ćmusi spełniać warunki potencjalnoś ci Równania (32) stanowią z uwagi na niezależ ność ich prawych stron od naprę ż eń dwie formy Pfaffa Są one zatem całkowalne w sposób zupełny wtedy gdytoż samoś ciowo zachodzi (33) df dhij dhjj = dh kl д е 'и ' de'kk de' u Mi ' dm im dnij dm m dm ijm de' д е 'к ' de' mn de'ki natomiast współczynniki F H u M ijkl orazvvy są odpowiednimi pochodnymi czą stkowymi П 41 F d k k (1<Jkk dsi d S i J H M ' N de' kk ' ' J de'ij' " u de' kl ' " J de' kk ' Zatem dla okreś lonych doś wiadczalnie zwią zków (32) spełniają cych warunki (33) moż emy okreś lić jednoznaczne zwią zki a kk = cr kk (e' kk е 'ц )oraz = Sij(s' kk e' tj ) Zwią zki te stanowią potencjalne prawo sprę ż ystoś ci o ile elementarna praca wyraż ona przez równanie (25) stanowi róż niczkę zupełną tzn kiedy bę dą spełnione warunki (27) Ponieważ z założ enia całkowalnoś ci wynikają zwią zki (34) warunki potencjalnoś ci (27) moż na wyrazić w postaci dalszych wię zówna współczynniki w zwią zku (32) (3 5) Н и=м и M i]kl = M klij Łatwo sprawdzić że równania (213) spełniają warunki (33) i (34) toż samoś ciowe Podobne warunki moż na uzyskać dla materiałów hiposprę ż ystych W ś wietle powyż szego widzimy że materiał przyrostowy o stycznych modułach zależ nych od bież ą ce j zmiany gę stoś cibę dąy c szczególną postacią materiału (32) o równaniach dokk = Kde' kk ds kl = Gde' kl K= K(g') G = G(Q') dq'l'q Q + Q') = de' kk spełnia warunki (33) jedynie dla przypadku gdy G = const Podobnie dla materiału o modułach zależ nych od ciś nienia ś redniego a kk jest on hiposprę ż yst y tylko wtedy gdy
O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚ I C 341 jego moduł styczny jest stały w const [8] Jako przykład moż na tu podać zamknię ty program (cykl) obcią żń e dla materiału (36) po dokonaniu którego w materiale pozostają odkształcenia trwałe Ab 6& О с P C I2 oc tg 6 (91) Rys Rozważ any przyrostowy cykl naprę żń e OABCO (rys 1) zawarty całkowicie wewną trz powierzchni plastycznoś ci składa się ze ś cinania z nałoż onym ś ciskaniem hydrostatycznym powodują cym zagę szczenie materiału; cykl zamyka się zdję ciem obcią ż eni a ś cinają cego a nastę pnie ciś nienia hydrostatycznego Na odcinku AB wielkość o' wzrasta zatem wzrasta także moduł G a przez to odcią ż eni e BC zachodzi już przy innej wartoś ci modułu odpowiadają cej wię kszemu g' niż w punkcie A Po zamknię ciu pę tli OABCO pozostaje więc pewne odkształcenie postaciowe a ponadto magazynuje się w materiale pewna energia odpowiadają ca zakreskowanemu polu na rys 1 Przy cyklu odwrotnym OCBAO energia ta przybiera wartość ujemną Równania (32) mogą być całkowalne również w sposób niezupełny Zachodzić to może wzdłuż dróg w cewien sposób sparametryzowanych w przestrzeni odkształceń Na przykład w przypadku dróg radialnych gdy przy stałym e kl (37) e' kl = t' k \r ds' k = 4dr równania (32) są równaniami zwyczajnymi o rozdzielonych zmiennych W podobny sposób moż na stwierdzić że praca wzdłuż tych dróg jest jednoznacznie okreś lona przez zmienną r Wynika stąd istotny wniosek że prowadząc doś wiadczenie mają ce wykryć odwracalność odkształceń na zamknię tych cyklach musimy z tych eksperymentów wykluczyć cykle po drogach radialnych jako nieczułe na efekty niepotencjalnoś ci ч
342 Т HUECKEL 4 Własnoś ci pewnych nieliniowych potencjałów sprę ż ystyc h (4 1) Dobór funkcji materiałowych A' G czy x i co z danych doś wiadczalnych w taki sposób aby spełniały one warunki ustalonej sprę ż ystośi jest c praktycznie bardzo trudny Znacznie łatwiej jest postulować istnienie potencjału sprę ż ysteg o o przepisanej formie a nastę pnie dobierać jego stałe Konieczna jest w tym celu znajomość własnoś ci równań konstytutywnych wynikają cych z danej postaci potencjału Rozpatrzmy tensorowo liniową postać równania (21) wyprowadzonego z potencjału U = U(J[ J' 2 ) (przez и л oznaczono du/dj'i) \a u = 3U 1 (Ą Ą ) + 2U 2 (J[J 2 )J[ Ь и = 2U_ 2 'J[J' 2 )e' ij Widzimy że niezależ nie od szczególnej postaci potencjału U dewiatory s tj i e' u są współosiowe i proporcjonalne natomiast wielkoś ci o kk i e' kk nie są proporcjonalne dopóki nie jest jednorodną funkcją J t W zależ nośi cod postaci funkcji U a w' szczególnoś ci w przypadku czysto postaciowych deformacji J[ = 0 stan naprę żń e może mieć zarówno składową dewiatorową jak i izotropową Ten ostatni efekt (odpowiadają cy jest typowy dla oś rodków sypkich Przyrostowa forma zwią zków (41) jest nastę pują ca : do u = 3[U n +2U l2 J' l +2U 2 +2(3U_ l2 + 2U 22 J' l )J' 1 ]de' u + 2(3U 12 + U A U A dylatacji) (42) dsn 2\U 12 + 3 U 22 J' 1 je' i jds' kk + 2(U 22 e' ij e' kl +U 2 <\ l d i j) + 2U 22 J' 1 )e' k ide' k i Omówimy własnoś ci kilku form potencjałów U a) Potencjał bi eliptyczny: (43) U = a y J\ + <x 2 J\ a > 0 a 2 > 0 Równanie konstytutywne ma postać 1 1 (44) = 2 \ J'?+J' 2l Zatem dla czystego odkształcenia postaciowego (J[ = 0) nie wystę pują naprę ż eni a hydrostatyczne Niemniej nieliniowe moduły sprę ż ystośi zależą c zarówno od odkształceń postaciowych jak i obję toś ciowych Z tej przyczyny wystę puje sprzę ż eni e przyrostowych efektów izotropowych i dewiatorowych (45) dau = 3 16 dsij = ~ 64 12a 2 + 3 0(2 а 2 А е \^е к к ' + А а 2 J[ 2 +~a 2 Ą de' a + \6tx 2 J[ e' k de' kt + J'id )d k i ój de' H Zauważ my że sprzę ż eni e to dla szczególnych stanów J[ = 0 lub J' 2i = 0 znika Potencjał (43) jest wypukły z uwagi na dodatnią okreś loność w przestrzeni J[ J' 2i
O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚ I C 343 b) Potencjał złoż ony z paraboli i koła Istotną trudność stanowi opisanie materiału wykazują cego sprzę ż eni e dewiatorowych i izotropowych czę śi csamych tensorów <т у е 'ц Wymaga to założ enia niesymetrycznych wzglę dem J' 2d postaci potencjału w przestrzeni J'i i J'id Przyję cie w tym celu powierzchni ekwipotencjalnej np w formie obróconej elipsy spełniają cej powyż szy wymóg prowadzi do lokalnej wklę słośi cpotencjału 2 * a także do osobliwoś ci w stanie czysto hydrostatycznym wynikają cej z niegładkoś ci potencjału dla J'u = 0 To samo zachodzi dla potencjałów typu cosinusoidy itp (rys 2a b) Trudnoś ci Rvs 2 te moż na ominąć postulując potencjał złoż ony z paraboli w czę śi c odpowiadają cej rozcią ganiu oraz stycznego do niej okrę gu dla strefy ś ciskania Równanie potencjału ma postać (rys 3) aj[ +/4 (46) fi 1 a 2 Ą = /«Vi a + (l a a )(/J+iii/i a ) Ad' U-const a /3 stałe materiałowe; m = 1 dla J[ < 0 m = 0 dla J[ ^ 0 czę ść kołowa linii ekwipotencjalnej (dla rozcią gania) wyraż ająa c się dla U = U 0 przez równanie U 0 = fi[(j[ c) 2 +J' 2 d] = 0 o promieniu yu 0 \fi i ś rodku okrę gu w punkcie J' x = с = a]/u 0 j/3 2 1 Zachodzi wówczas niejednoznaczność rozwią zania problemu brzegowego Prowadzić do tego może mię dzy innymi pełne rozwinię cie wielomianowe funkcji potencjału U = U(J[ Ju) por np [12] a także 19]
344 Т HUECKEL przecina oś odcię tych J[ w punkcie J[ = ]/ U 0 /f3 (1 +a); natomiast czę ść paraboliczna (dla ś ciskania) o równaniu U 0 = fi[j 2d 2cJ' 1 +c 2 ] styczna do okrę gu w punkcie J[ = 0 1 a 2 l przecina oś J[ w punkcie J[ = ]/ U 0 /fi Równanie konstytutywne odpowiadają ce potencjałowi (46) daje aj[ + 2J[[m + a 2 {\ m)] 0_ a " ~oj[ą ±Ji 2 1 a 2 ' (47) 2[(l av 2 d ] fi!j ~ + aą Ą 2 ±Ą 1 a 2 e «Zgodnie z założ eniem proces czystych deformacji postaciowych wywołuje naprę ż eni e hydrostatyczne o wielkoś ci A = _J oraz odwrotnie stan czystego ś cinania wywołuje odkształcenia obję toś ciowe (rozluź nianie) Ponadto materiał inaczej zachowuje się w stanie czystego ś ciskania niż rozcią gania Równania konstytutywne (47) mimo że stowarzyszone z dosyć prostym potencjałem (46) (rys 3) mają bardzo złoż oną postać; analityczne odwrócenie (ych zwią zków jest skomplikowane 5 Wnioski Wnioski z powyż szych rozważ ań są nastę pują ce Przystę pując do matematycznej aproksymacji wyników doś wiadczalnych ustalonego odcią ż eni a sprę ż ysteg o wykazują cego sprzę ż eni e efektów dewiatorowych i izotropowych należy postulować niesymetryczną formę potencjału sprę ż ysteg o i wynikają ce z niego równania konstytutywne dopasować do krzywych eksperymentalnych Potencjały dopuszczają ce sprzę ż eni e prowadzą do złoż onych i trudnych w interpretacji i zastosowaniu równań konstytutywnych Prostszą formę równań moż na uzyskać wprowadzając symetryczne potencjały dopuszczają ce sprzę ż eni e przyrostów poza drogami J[ = 0 i J' 2i = 0 Najprostsze postacie równań konstytutywnych spełniają ce warunki potencjalnoś ci nieuwzglę dniająe c sprzę ż enia nie opisują niektórych istotnych efektów nieliniowych Wydaje się więc celowe dla obliczeń inż ynierskich stosowanie prostych w budowie zwią zków fizycznych o łatwej interpretacji doś wiadczalnej niespełniają cych warunków potencjalnoś ci Zastrzec należy przy tym dopuszczalny zakres ich waż nośi c(drogi radialne i do nich zbliż one) W pracy [2] podano konkretną postać takiego rodzaju zwią zków opierając się na wynikach przeprowadzonych doś wiadczeń oraz przedyskutowano procedurę wyznaczania funkcji materiałowych Zauważ my że uwagi odnoś nie całkowalnoś ci oraz potencjalnoś ci zwią zków dyskutowanych w p 2 i p 3 odnoszą się także do zwią zków w których wprowadza się rozmaitego rodzaju uogólnione nieliniowe moduły Younga i zmienne współczynniki Poissona [8 10] Autor wyraża swoją wdzię czność Panu profesorowi Z MROZOWI za liczne uwagi i pomoc przy opracowaniu tego artykułu
O FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚ I C 345 Literatura cytowana w tekś cie 1 Z MRÓZ K KWASZCZYŃ SKA Pewne problemy brzegowe dla ciał rozdrobnionych o wzmocnieniu gę stoś ciowym Rozp Inż 19 1 (1971) 15 42 2 T HUECKEL A DRESCHER On dilatational effects of inelastic granular media Arch Mech Stos 27 1 (1975) 157 172 3 В О HARDIN V P DRNEVICH Shear modulus and damping in soils Proc ASCE SM6 98 (1972) 603 624 4 R S RIVLIN Further remarks on stress deformation relation for isotropic materials J Rat Mech Anal 4 (1955) 681 702 5 J P WEIDLER P R PASLAY Constitutive relations for inelastic granular medium Proc ASCE EM 4 (1970) 395 406 6 G Y BALADI The latest development in the non linear elastic nonideally plastic work hardening cap model Proc Symp Plasticity Soil Mechanics Ed A Palmer Cambridge 1973 51 55 7 B BERNSTEIN Hypoelasticity and elasticity Arch Rat Mech An 6 89 (1960) 8 A VERRUIJT Non linear analysis of stresses and strains on soils Prog Rep 1 (1972) Univ Delft 9 J M DUNCAN Ch Y CHANG Nonlinear analysis of stress and strain in soils Proc ASCE SM5 (1970) 1629 1653 10 L DOMASCHUK N H WADE A study of bulk and shear moduli of a sand Proc ASCE SM2 95 (1969) 561 581 U T HUECKEL Plastic flow of granular and rocklike materials with variable elasticity moduli Bull Acad Polon Sci Serie Sci Tech 23 (1975) 12 M D EVANS and RI COON Recoverable deformation of cohesion/ess soils Proc ASCE SM2 97 (1971) 375 391 Р е з ю ме К В О П Р О У С О Б О П И С А Н И И Ф И З И Ч Е СИ К Н Е Л И Н Е Й НЙ О У П Р У Г О СИ Т С Ы П У Ч Х И М А Т Е Р И А ЛВ О В р а б ое т п р и в е д ы е нр а з л и ч не ыв а р и а ы н тф з о в а ы н д ля о п и с а ня и с в о й св т с ы п у чх и м и з и ч е сх к уи р а в н е н ик йо т о р е ы м а т е р и а л о в о г т у б ы ть и с п о л ь Summary ON THE DESCRIPTION OF NON LINEAR ELASTICITY OF GRANULAR MEDIA Various physical laws are proposed in the paper aimed at the application to the description of granular materials INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI PAN Praca została złoż ona w Redakcji dnia 4 czerwcu 1975 r