12 STEREOMETRI 1 12 Stereometria 12.1 Podstawy geometrii przestrzennej Prostopadłościan jest utworzony z dwóch sześcianów, tóre mają wspólną ścianę P QRT. (Rys. 8.9) Sorzystaj z rysunu w zadaniach 1, 2, 3 i 4. 1. Oceń, tóre stwierdzenia są prawdziwe. Punt należy do płaszczyzny: a) (P R); b) (QR) c) (QT ). 2. Oceń, tóre stwierdzenia są prawdziwe. Proste Q i R są: a) równoległe; b) sośne; c) prostopadłe; d) przecinające się. 3. Oblicz miarę ąta nachylenia: a) prostej do płaszczyzny (); b) płaszczyzny (P R) do płaszczyzny (). 4. Oblicz miarę ąta, jai tworzą: a) proste i ; b) płaszczyzny (QR) i ( ). T P Q Rys.8.9 R Rys.8.16 Rys.8.17 4. Na rysunu 8.17 przedstawiono sześcian. Wsaż cztery wierzchołi sześcianu, tóre wyznaczają czworoąt będący przerojem sześcianu. Ile jest taich czworoątów? 5. Narysuj siatę wielościanu (Rys. 8.19), tórego rawędzie mają długości 4cm i 2cm oraz jedna jego ściana jest wadratem, dwie - trójątami równobocznymi, a pozostałe ściany - trapezami. F Rys.8.19 E 5. any jest sześcian o rawędzi, tórej długość wynosi a. (Rys. 8.10) Oblicz miarę ąta: a) nachylenia prostej do płaszczyzny (); b) między płaszczyznami ( ) i (); c) nachylenia prostej do płaszczyzny ( ). 12.3 Graniastosłupy 1. Wysoość graniastosłupa trójątnego ma długość 1 dm. Oszacuj sumę długości wszystich jego rawędzi bocznych. 2. zy istnieje graniastosłup, w tórym można wsazać: a) trzy wysoości różnej długości? b) dwie wysoości różnej długości? Podaj przyłady Rys.8.10 3. Oblicz pole powierzchni graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego, w tórym rawędź podstawy ma długość 2 dm, a najdłuższa przeątna - 5 dm. 12.2 Wielościany 1. Który wielościan ma najmniejszą liczbę wierzchołów? 2. Ile rawędzi i ile wierzchołów może mieć pięciościan? 3. Ile ścian, wierzchołów i rawędzi ma wielościan, tórego siatę przedstawiono na rysunu 8.16? 4. Oblicz pole powierzchni sześcianu, w tórym przeątna jest o 1 cm dłuższa od rawędzi. 5. Oblicz pole powierzchni graniastosłupa trójątnego prawidłowego, w tórym odcine o długości d, łączący wierzchołe jednej podstawy ze środiem przeciwległej rawędzi drugiej podstawy, jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod ątem α. 6. Sprawdź, tóra bryła ma więszą objętość: prostopadłościan o wymiarach 3 cm, 4 cm i 5 cm czy sześcian o przeątnej długości 7 cm.
12 STEREOMETRI 2 7. Podstawą prostopadłościanu jest prostoąt o boach mających długości 6 cm i 8 cm. Przeątna prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy ąt 45. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu. 8. Przeątna prostopadłościanu ma długość d i jest nachylona do sąsiednich ścian bocznych odpowiednio pod ątem α i β. Oblicz objętość tego prostopadłościanu. 9. Oblicz objętość prostopadłościanu, tórego podstawa jest prostoątem o boach długości a i b, a jego przeątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 60. 10. zworoąt o wierzchołach będących wierzchołami sześcianu, z tórych trzy nie należą do jednej ściany, ma pole równe 12dm 2. Oblicz objętość tego sześcianu. 11. Oblicz objętość prostopadłościanu, w tórym podstawą jest wadrat a przeątne sąsiednich ścian bocznych o długościach równych 2 cm tworzą ąt 60. 12. Oblicz cosinus ąta nachylenia przeątnej ściany bocznej do płaszczyzny sąsiedniej ściany bocznej w graniastosłupie trójątnym prawidłowym, w tórym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól jego podstaw. 13. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójąt równoramienny o 2 dm i 4 dm, a wysoość graniastosłupa jest równa 3 3dm. Oblicz objętość tego graniastosłupa. 14. Z osiemnastu jednaowej długości awałów drutu zespawano szielet graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego o objętości 3 3 3 dm3. Jaą długość miały awałi drutu? 15. W graniastosłupie czworoątnym prawidłowym przeątna o długość 4 dm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 30. Oblicz objętość tego graniastosłupa. 16. W graniastosłupie trójątnym prawidłowym rawędź podstawy ma długość a. Płaszczyzna wyznaczona przez trzy wierzchołi nie należące do jednej podstawy tworzy z płaszczyzną podstawy ąt 60. Oblicz objętość graniastosłupa. 17. Pole powierzchni graniastosłupa czworoątnego prawidłowego wynosi 112cm 2, a jego objętość 80cm 3. Oblicz długości rawędzi graniastosłupa. 18. Przerój poprzeczny anału ma ształt trapezu równoramiennego o podstawach 24 m i 10 m oraz wysoości 4 m. Kanał ten ma długość 100 m. Ile metrów sześciennych ziemi wydobyto przy wyopie tego anału? 19. Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa, tórego siatę, przedstawioną na rysunu 8.36, tworzą: dwa trójąty, dwa prostoąty i wadrat. 6dm 4dm Rys.8.36 20. Oblicz objętość graniastosłupa, tórego podstawą jest trójąt równoboczny o polu 6 3dm 2, jeśli jedna z jego ścian bocznych jest rombem o polu 12dm 2 zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny podstawy. 21. W graniastosłupie czworoątnym prawidłowym przeątne sąsiednich ścian bocznych o długości d tworzą ąt 60. Oblicz objętość graniastosłupa. 22. Najrótsza przeątna graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego o długości 16 2cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 45. Oblicz objętość tego graniastosłupa. 12.4 Ostrosłupy 1. W ostrosłupie trójątnym prawidłowym rawędź podstawy ma długość 6 cm, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 30. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa. 2. W ostrosłupie czworoątnym prawidłowym odległość środa podstawy od ściany bocznej wynosi d, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. 3. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa czworoątnego prawidłowego, tórego rawędź boczna o długości 4 dm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 60. 4. Rozstrzygnij, czy na wadratowym aruszu artonu o bou 3 dm można wyreślić siatę ostrosłupa, o podstawie wadratu o bou 1 dm i wysoości 1 dm, a spode jest wierzchołiem podstawy. 5. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa trójątnego prawidłowego, tórego rawędź podstawy ma długość 6 cm, a rawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 60. 6. Piramida heopsa (Rys.8.53) jeden z siedmiu cudów świata i najwięsza z piramid w Gizie - jest najcięższą budowlą wzniesioną przez człowiea. Podstawę piramidy stanowi wadrat o bou długości 230 m, a ąt nachylenia rawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 42. Wiedząc, że średnia gęstość amienia użytego do jej budowy wynosi 2, 306 g cm, oblicz masę piramidy w 3 tonach. 7. Oblicz objętość ostrosłupa czworoątnego prawidłowego, w tórym rawędź podstawy ma długość 2 dm, rawędź boczna 4 dm. 8. Oblicz objętość czworościanu foremnego o rawędzi długości a. 230m Rys.8.53 42 o 230m
12 STEREOMETRI 3 9. W ostrosłupie trójątnym ażde dwie rawędzie boczne są prostopadłe i ażda z nich ma długość. Oblicz objętość ostrosłupa. 10. Odległość środa podstawy ostrosłupa czworoątnego prawidłowego od rawędzi bocznej jest liczbą d. Krawędź boczna w tym ostrosłupie jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. Oblicz objętość ostrosłupa. 11. Oblicz objętość ostrosłupa sześcioątnego prawidłowego, w tórym rawędź podstawy ma długość a, rawędź boczna długość b. 12. Oblicz objętość ostrosłupa trójątnego prawidłowego, w tórym rawędź boczna o długości jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. 13. Siatę ostrosłupa tworzą dwa trójąty równoboczne, ażdy o bou długości a, i dwa trójąty prostoątne. Oblicz objętość i pole powierzchni tego ostrosłupa. 12.5 ryły obrotowe 1. Opisz bryłę obrotową, tórej przerojem osiowym jest: a) trójąt równoboczny o bou a; b) wadrat o bou a; c) oło o średnicy a; d) prostoąt o boach a i b. 2. zęść stoża zawartą między jego podstawą a przerojem poprzecznym nazywamy stożiem ściętym. Jaą figurą jest przerój osiowy stoża ściętego? Wyonaj rysune. 3. Opisz bryłę (Rys. 8.62), tóra powstaje w wyniu obrotu doooła prostej : a) trójąta ; b) trójąta ; c) trójąta. M 4. Oblicz pole przeroju osiowego bryły (Rys. 8.63), tóra powstaje w obrocie trapezu równoramiennego doooła prostej zawierającej jego podstawę. ane są: = 12cm, = 8cm, = 30. 5. Opisz bryłę obrotową tóra powstaje w wyniu obrotu figury przedstawionej na rysunu 8.64. 6. Oblicz długość tworzącej stoża, tórego pole przeroju osiowego jest równe Q, a tworząca stoża jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. 7. Oblicz pole przeroju stoża przedstawionego na rysunu 8.65 płaszczyzną tóra dzieli wysoość stoża w stosunu 1 : 2, licząc od wierzchoła; dane: l i ąt α. 12.6 Pola powierzchni brył obrotowych Rys.8.65 1. Prostoąt o boach długości a i b obraca się doooła prostej zawierającej bo o długości a. Oblicz pole powierzchni powstałej bryły. 2. W trójącie prostoątnym przeciwprostoątna ma długość c, a ąt ostry jest równy α. Oblicz pole powierzchni bryły, tóra jest wyniiem obrotu danego trójąta doooła prostej, tóra zawiera jedną z jego przyprostoątnych. 3. Pole przeroju osiowego walca jest równe 8cm 2, a pole powierzchni walca 24πcm 2. Oblicz średnicę i wysoość tego walca. 4. Pole przeroju osiowego stoża jest równe 48 3cm 2, a ąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy wynosi 30. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stoża. l Α E 5. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniu obrotu doooła prostej prostoąta przedstawionego na rysunu 8.73. 6. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniu obrotu doooła prostej trójąta przedstawionego na rysunu 8.74. H 7. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniu obrotu doooła prostej trójąta prostoątnego przedstawionego na rysunu 8.75. Rys.8.62 Rys.8.63 Rys.8.64 8. Oblicz, jaie masymalne pole powierzchni bocznej ma walec wpisany w stoże, tórego tworząca ma długość 6 cm, wysoość 4 cm. 9. Trójąt prostoątny o przyprostoątnych równych 2 dm i 4 dm obraca się doooła prostej zawierającej przeciwprostoątną. Oblicz pole powierzchni powstałej bryły.
12 STEREOMETRI 4 45 o 2. Na rysunu 8.81 wyreślono dwa oła i prostoąt; ich wymiary są wyrażone w decymetrach. Jaą najwięszą objętość ma walec, tórego powierzchnię można wyonać z wyreślonych figur? 2 dm 2 dm d 2 2 4 4 dm Rys.8.81 12.56 30 o Α Rys.8.73 Rys 8.74 Rys.8.75 10. Oblicz, ile razy zwięszy się pole powierzchni uli, a ile razy jej objętość, jeśli jej promień wzrośnie pięciorotnie. 11. Oblicz pole powierzchni uli, tórej powierzchnia zawiera wszystie wierzchołi sześcianu o długości rawędzi równej 6 dm. 12. Przerój osiowy bryły obrotowej jest trapezem równoramiennym o długości podstaw równych 6 dm i 10 dm, jego ramiona mają z olei po 4 dm. (a) Oblicz pole powierzchni tej bryły. (b) Oblicz pole powierzchni stoża, tórym można uzupełnić powstałą bryłę do stoża pełnego. 13. Pole przeroju osiowego stoża jest równe 3m 2, a długość tworzącej ma 10m. Oblicz pole powierzchni stoża. 14. Przerojem osiowym stoża jest trójąt równoboczny. Oblicz stosune pola powierzchni bocznej do pola podstawy tego stoża. 15. Na esponowanie ogłoszeń wyonano z blachy słup w ształcie walca zaończony opułą w ształcie półuli. Średnica słupa wynosiła 1, 2m wysoość 2, 6m. Ile metrów wadratowych blachy zużyto na wyonanie słupa, doliczając 5% blachy na spawy i odpady? 12.7 Objętości brył obrotowych 1. Pole przeroju osiowego walca jest równe 12dm 2, a jego średnica ma długość 8dm. Oblicz objętość tego walca. 3. Wysoość walca jest równa średnicy jego podstawy. Promień tego walca ma długość 1m. Oblicz pole powierzchni i objętość walca. 4. Ile ton ropy zawiera napełniony zbiorni w ształcie walca o średnicy 18 m i wysoości 7 m? (iężar właściwy ropy wynosi 0,85 g/cm 3 ). 5. Puszę do onserw w ształcie walca o średnicy i wysoości równej 8 cm wyonano w całości z pasa blachy o szeroości 8 cm. Jaą minimalną długość miał ten pase? 6. Pusza w ształcie walca ma objętość równą 0, 785dm 3 i średnicę 1dm. Wyznacz wymiary (z doładnością do 0, 1dm) artonu prostopadłościennego do zapaowania 12 pusze. 7. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o długości bou równej 4dm. Przeątne sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa są prostopadłe i ażda ma 5dm. (a) Jaą najwięszą objętość ma walec, tóry zawiera się w tym graniastosłupie? (b) Jaą najmniejszą objętość ma walec, tóry zawiera ten graniastosłup? 8. ługości przyprostoątnych trójąta prostoątnego są równe a i b, przy czym a > b. Sprawdź, tóry stoże ma więszą objętość: stoże powstały w wyniu obrotu tego trójąta doooła prostej zawierającej przyprostoątną o długości a czy b. 9. Krawędź boczna w ostrosłupie trójątnym prawidłowym ma długość b i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. (a) Oblicz objętość tego ostrosłupa. (b) Oblicz objętość stoża opisanego na tym ostrosłupie. (c) Oblicz objętość stoża wpisanego w ten ostrosłup. 10. Wycine oła o promieniu a i ącie środowym 216 zwinięto w powierzchnię boczną stoża. Oblicz objętość tego stoża.
12 STEREOMETRI 5 11. Na wystawie mebli zbudowano namiot w ształcie stoża o średnicy 12m i wysoości 6m. Wewnątrz namiotu wyonano pomieszczenie w ształcie walca, w tórym stosune wysoości do średnicy wynosił 5 : 14. Oblicz ubaturę tego pomieszczenia. 12. Na ile ul o średnicy 3cm można przetopić ulę z ołowiu, tórej średnica jest równa 30cm? 12.8 Zadania różne 1. Słodycze są paowane do pudełe w ształcie graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego, tórego ażda rawędź ma długość 1 2dm. Pudeła ze słodyczami są następnie paowane do artonów prostopadłościennych. Zaprojetuj arton o najmniejszej powierzchni do zapaowania: a) dwóch pudełe; b) trzech pudełe; c) sześciu pudełe; d) dwunastu pudełe. 2. Kios ma ształt graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego, a ażda ściana tego iosu ma znowu ształt graniastosłupa, tym razem o podstawie trapezu, tórego rótsza podstawa ma długość 2m, a wysoość - długość 0, 2m. Kupiono pewną ilość paneli - ażdy o szeroości 16cm - do wyłożenia ścian wewnętrznych i taą samą ilość innego gatunu paneli - też ażdy o szeroości 16cm - do wyłożenia ścian zewnętrznych. Na wystrój wnętrza doładnie starczyło paneli, natomiast zabrało paneli zewnętrznych. Oblicz, ile zabrało paneli. 8. Oblicz objętość bryły obrotowej, tórej przerój osiowy, będący sumą półola, prostoąta i trójąta, przedstawiono na rysunu 8.85. 9. (Ćw.)Rysune 8.84 przedstawia Panteon wybudowany w Rzymie za panowania cesarza Hadriana. Kopuła Panteonu jest w ształcie półuli o promieniu równym wysoości walca stanowiącego podstawę budowli. Wyznacz objętość Panteonu. Oblicz pole powierzchni narażonej na działanie promieni słonecznych. 2 cm 4 cm 2 cm Rys.8.85 Rys.8.84 21.6m 2cm 3. W prostopadłościanie rawędzie podstawy mają długości 4cm i 3cm, a rawędź boczna ma długość 5cm. Oblicz: (a) długość przeątnej podstawy; (b) miarę ąta nachylenia przeątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy; (c) pole przeroju płaszczyzną zawierającą przeątną prostopadłościanu. 4. Przerój osiowy walca jest wadratem o bou 4cm. Oblicz pole powierzchni i objętość walca. 5. Przerój osiowy stoża jest trójątem równobocznym o bou długości 2 3. Oblicz pole powierzchni i objętość stoża. 10. Podstawa ostrosłupa prawidłowego czworoątnego o rawędzi bocznej równej 6cm jest wpisana w orąg o średnicy 6 2cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa. 11. Podstawą ostrosłupa jest trójąt. Krawędź jest wysoością ostrosłupa (rys.). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że = 12, = 6, = = 13. 12. Trójąt równoboczny o bou 12cm obraca się doooła jednego z boów. Oblicz objętość oraz pole powierzchni 6. Przerój graniastosłupa prawidłowego czworoątnego płaszczyzną zawierającą przeątną bryły jest wadratem o polu 36. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły. 7. Przeątna prostopadłościanu o podstawie wadratu ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 60. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły. powstałej figury przestrzennej. Rys.84b