SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 9 1. SYSTEMY... 13 Literatura:...22 2. TEORIA I KRYTERIA PODOBIEŃSTWA... 25 Literatura:...37 3. MODEL I MODELOWANIE... 39 3.1. WPROWADZENIE...39 3.2. MODELOWANIE MATEMATYCZNE...43 3.3. MODELOWANIE W MECHANICE...44 3.4. OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO SYSTEMÓW...52 3.5. MODELOWANIE W AUTOMATYCE I TEORII STEROWANIA...53 3.5.1. ZWYKŁE UKŁADY STEROWANIA AUTOMATYCZNEGO...54 3.5.2. ADAPTACYJNE UKŁADY STEROWANIA AUTOMATYCZNEGO...59 3.5.3. ROZGRYWAJĄCE UKŁADY STEROWANIA AUTOMATYCZNEGO...61 3.5.4. INNE KRYTERIA KLASYFIKACJI UKŁADÓW STEROWANIA AUTOMATYCZNEGO...61 3.5.5. PRZYKŁADY UKŁADÓW STEROWANIA AUTOMATYCZNEGO ORAZ ICH SCHEMATY BLOKOWE...64 Literatura:...77 4. MODELOWANIE MATEMATYCZNE DRGAŃ UKŁADÓW FIZYCZNYCH DYSKRETNYCH... 79 4.1. WPROWADZENIE...79 4.2. MAŁE DRGANIA UKŁADÓW LINIOWYCH O JEDNYM STOPNIU SWOBODY...80 4.3. MAŁE DRGANIA WŁASNE UKŁADU ZACHOWAWCZEGO NIELINIOWEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY...89 4.4. UKŁADY MECHANICZNE O JEDNYM STOPNIU SWOBODY Z OBCIĄŻENIEM FRAGMENTAMI LINIOWYM...92 Literatura:...98
6 5. PŁASZCZYZNA FAZOWA I TRÓJWYMIAROWA PRZESTRZEŃ FAZOWA...99 5.1. WPROWADZENIE...99 5.2. ANALIZA PUNKTÓW OSOBLIWYCH W PŁASZCZYŹNIE FAZOWEJ...102 5.3. ANALIZA PUNKTÓW OSOBLIWYCH PRZY POMOCY PAKIETU MATEMATYCZNEGO MATHEMATICA...110 5.4. ANALIZA PUNKTÓW OSOBLIWYCH OPISANYCH TRZEMA RÓWNANIAMI RÓŻNICZKOWYMI PIERWSZEGO RZĘDU...123 5.4.1. TEORIA DOTYCZĄCA ROZWIĄZANIA UKŁADU RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ORAZ METODY WYZNACZANIA PIERWIASTKÓW WIELOMIANU TRZECIEGO STOPNIA...124 5.4.2. ANALIZA PUNKTÓW OSOBLIWYCH OPISANYCH TRZEMA RÓWNANIAMI RÓŻNICZKOWYMI PIERWSZEGO RZĘDU ZA POMOCĄ PAKIETU MATEMATYCZNEGO MATHEMATICA...125 Literatura:...142 6. STABILNOŚĆ RUCHU...143 6.1. WPROWADZENIE...143 6.2. FUNKCJE LAPUNOWA I DRUGA METODA LAPUNOWA...168 6.3. KLASYCZNE TEORIE STABILNOŚCI I DYNAMIKA CHAOTYCZNA...182 Literatura:...186 7. MODELOWANIE DRGAŃ PARAMETRYCZNYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH O JEDNYM STOPNIU SWOBODY...189 7.1. WPROWADZENIE...189 7.2. RÓWNANIA MEISSNERA I MATHIEU...195 7.3. MODELOWANIE UOGÓLNIONEGO OSCYLATORA PARAMETRYCZNEGO...207 Literatura:...217 8. SYSTEMY CHAOTYCZNE I SYNCHRONICZNE...219 8.1. WSTĘP...219 8.2. MODELOWANIE I IDENTYFIKACJA CHAOSU...225 8.3. WYKŁADNIKI LAPUNOWA...234 8.4. WIDMO CZĘSTOŚCI...237 8.5. FUNKCJA AUTOKORELACJI...237 8.6. MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKŁADÓW DYSKRETNYCH...238 8.6.1. WPROWADZENIE...238 8.6.2. ODWZOROWANIE BERNOULLIEGO...243
7 8.6.3. ODWZOROWANIA LOGISTYCZNE...246 8.6.4. ODWZOROWANIE OKRĘGU W OKRĄG...252 8.6.5. DIABELSKIE SCHODY, DRZEWO FAREYA I LICZBY FIBONACCIEGO...256 8.6.6. ODWZOROWANIE HÉNONA...261 8.6.7. ODWZOROWANIE IKEDY...268 8.7. MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKŁADÓW RÓWNANIAMI RÓŻNICZKOWYMI ZWYCZAJNYMI...271 8.7.1. WPROWADZENIE...271 8.7.2. OSCYLATOR NIEAUTONOMICZNY O RÓŻNYCH POTENCJAŁACH...271 8.7.3. FUNKCJA MIELNIKOWA I CHAOS...274 8.7.4. OSCYLATOR VAN DER POLA Z OKRESOWYM WYMUSZENIEM ZEWNĘTRZNYM...278 8.7.5. ATRAKTOR LORENZA...280 8.8. MODELOWANIE ZJAWISKA SYNCHRONIZACJI...285 8.8.1. WPROWADZENIE...285 8.8.2. PROSTE UKŁADY SAMOWZBUDNE Z WYMUSZENIEM...287 8.8.2.1. Oscylator van der Pola... 287 8.8.2.2. Oscylator van der Pola-Duffinga... 289 8.8.2.3. Oscylator van der Pola-Duffinga ze wzbudzeniem parametrycznym... 290 8.8.2.4. Układy nieautonomiczne z l 1 2 stopniem swobody... 290 8.8.3. UKŁADY SAMOWZBUDNE ELEKTRYCZNE...290 8.8.3.1. Wprowadzenie... 290 8.8.3.2. Metoda funkcji opisującej... 291 8.8.3.3. Dynamika prostych generatorów... 292 Literatura:...299 9. MODELOWANIE PROSTYCH UKŁADÓW DYSKRETNYCH PRZY UŻYCIU KLASYCZNYCH METOD PERTURBACYJNYCH... 303 9.1. NIEKTÓRE KLASYCZNE METODY PERTURBACYJNE...304 9.1.1. UKŁADY AUTONOMICZNE...304 9.1.1.1. Metoda Kryłowa... 304 9.1.1.2. Metoda Kryłowa-Bogolubowa-Mitropolskiego (KBM)... 310 9.1.1.3. Ekwiwalentna linearyzacja... 319 9.1.2. UKŁADY NIEAUTONOMICZNE...322 9.1.2.1. Wprowadzenie... 322 9.1.2.2. Drgania poza rezonansem... 323 9.1.2.3. Drgania w pobliżu rezonansu... 329 Literatura:...345 10. MODELOWANIE UKŁADÓW CIĄGŁYCH METODĄ KONTYNUALIZACJI I DEKONTYNUALIZACJA... 347 10.1. WPROWADZENIE...347
8 10.2. ŁAŃCUCH JEDNOWYMIAROWY POŁĄCZONYCH OSCYLATORÓW...348 10.3. SIATKA PŁASKA SZEŚCIOKĄTNA POŁĄCZONYCH OSCYLATORÓW...353 10.4. DEKONTYNUALIZACJA...360 Literatura:...364 11. MODELOWANIE DWUWYMIAROWYCH STRUKTUR ANIZOTROPOWYCH PRZY ZASTOSOWANIU METODY PERTURBACYJNEJ...367 Literatura:...375 12. MODELOWANIE DRGAŃ CHAOTYCZNYCH ZAMKNIĘTYCH POWŁOK WALCOWYCH I PANELI...377 Literatura:...394 13. OPTYMALIZACJA SYSTEMÓW...395 13.1. WPROWADZENIE...395 13.2. PROSTE PRZYKŁADY OPTYMALIZACJI W ZAGADNIENIACH APROKSYMACYJNYCH...396 13.3. EKSTREMA WARUNKOWE...399 13.4. MODELOWANIE RUCHU PODWÓJNEGO WAHADŁA FIZYCZNEGO...404 Literatura:...413 14. OPTYMALIZACJA STATYCZNA...415 14.1. WPROWADZENIE...415 14.2. LOKALNA APROKSYMACJA FUNKCJI...417 14.3. PUNKTY STACJONARNE I FORMY KWADRATOWE...420 14.4. WYPUKŁOŚĆ ZBIORÓW I FUNKCJI...422 14.5. ZADANIA OPTYMALIZACJI BEZ OGRANICZEŃ...425 14.6. WARUNKI OPTYMALNOŚCI FORMY KWADRATOWEJ...427 14.7. OGRANICZENIA RÓWNOŚCIOWE...428 14.8. FUNKCJA I MNOŻNIKI LAGRANGE A...431 14.9. OGRANICZENIA NIERÓWNOŚCIOWE...434 Literatura:...438 15. OPTYMALIZACJA PRACY AMORTYZATORA DRGAŃ...439 15.1. WPROWADZENIE...439 15.2. PRZYKŁAD OPTYMALIZACJI...439 Literatura:...454
PRZEDMOWA W roku 2004 Dyrektor Instytutu Matematyki na Politechnice Łódzkiej Profesor Tadeusz Poreda zwrócił się do mnie z prośbą o przygotowanie i poprowadzenie wykładów i seminariów dla studentów V roku o specjalności Matematyka pt. Matematyczne modelowanie systemów. Niniejsza książka jest wynikiem prowadzenia tych zajęć, jak i moich własnych przemyśleń. Niektóre z rozdziałów tej książki były również wykorzystywane podczas pracy dydaktycznej na Politechnice Łódzkiej w ramach wykładów dla studentów Wydziału Mechanicznego z Podstaw Automatyki oraz na studiach doktoranckich o kierunku Mechanika. Książka przedstawia pogląd autora na modelowanie systemów od strony zastosowań (inżynierskich), a zatem wskazuje na szeroki wachlarz zastosowań matematyki w różnych naukach aplikacyjnych i tym samym zachęca studentów do pracy naukowej i zawodowej w obszarach wspólnych dla matematyki i nauk (głównie) inżynierskich. W zamierzeniu ma to umożliwić nie tylko łatwość zatrudnienia absolwentów po tej specjalności, ale również powinno prowadzić do wzbogacenia wielu ośrodków badawczo-rozwojowych i przemysłowych nowymi pomysłami związanymi z modelowaniem i sterowaniem procesami technicznymi. Książka ta jednocześnie wyraża wieloletni i niezmienny pogląd autora, że nie można obecnie uczyć w szczególności nauk inżynierskich bez solidnych podstaw matematycznych. Ponadto doświadczenie autora wskazuje na to, że łatwiej jest matematykowi douczyć się danej dyscypliny technicznej i w jej obszarze pracować, niż inżynierowi, który poznał przedmioty inżynierskie obudowane jedynie minimalną lub często uproszczoną matematyką, wykorzystywać osiągnięcia matematyki niezbędne do rozwiązania wielu aktualnych problemów technicznych. Książka ta może być wykorzystana przez studentów matematyki
10 i nauk stosowanych jako podręcznik, ale jednocześnie są w niej zawarte elementy monograficzne. Rozdział 1 poświęcono opisaniu pojęcia systemu i wprowadzeniu różnych jego definicji. Rozdział 2 obejmuje teorię i kryteria podobieństwa z uwypukleniami zalet takiego podejścia oraz zawiera kilka przykładów zastosowań prowadzonych rozważań teoretycznych. Rozdział 3 definiuje pojęcie modelu i modelowania, ze szczególnym uwzględnieniem modelowania w mechanice. Ponadto obszerną część tego rozdziału stanowi modelowanie stosowane w automatyce i teorii sterowania z wieloma przykładami systemów technicznych. W rozdziale 4 zastosowano modelowanie matematyczne drgań układów fizycznych dyskretnych, tzn. opisanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. Jednakże w odróżnieniu od podejścia stosowanego w większości podręczników poświęconych drganiom, zastosowano tu koncepcję pojęcia rozwiązania zespolonego, co umożliwiło szybsze otrzymanie wyników w postaci zwartej. Opisano również proste układy mechaniczne liniowe z obciążeniami kawałkami liniowymi oraz wskazano na trudności obliczenia okresu drgań układu zachowawczego nieliniowego o jednym stopniu swobody przy użyciu funkcji elementarnych. Rozdział 5 obejmuje pojęcie płaszczyzny fazowej i definicję punktów osobliwych, a ponadto rozszerza tę koncepcję na punkty osobliwe w trójwymiarowej przestrzeni fazowej, czego nie można znaleźć w większości książek związanych z teorią drgań. Rozdział 6 poświęcono problematyce stabilności ruchu z szerszym ujęciem niż to spotykamy w podręcznikach i monografiach poświęconych teorii stabilności. Chodzi tutaj o zagadnienia tzw. stabilności technicznej, jak również o wykorzystanie koncepcji stabilności Zhukowskiego i jej zastosowanie do oceny stabilności ruchów chaotycznych. Rozważania teoretyczne przeprowadzone w tym rozdziale zostały zilustrowane kilkoma przykładami. Rozdział 7 stanowi wprowadzenie do modelowania dynamiki układów opisanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi o zmiennych w czasie współczynnikach. Wiele uwagi poświęcono równaniom Hilla, Mathieu oraz Meissnera, przy czym to ostatnie należy do bardzo rzadko opisywanych w podręcznikach poświęconych teorii drgań. Na końcu tego rozdziału wskazano na trudności związane z modelowaniem uogólnionego oscylatora parametrycznego. Obszerny rozdział 8 poświęcono modelowaniu systemów chaotycznych i synchronicznych. Oryginalny wkład autora polega tutaj
na uwypukleniu roli liczb, wywodzącej się jeszcze ze szkoły pitagorejskiej i związkach tych poglądów z dynamiką quasi-okresową i chaotyczną reprezentowaną odwzorowaniami Bernoulliego, logistycznego, okręgu w okrąg, Hénona i Ikedy. W rozdziale 9 pokazano, w jaki sposób, poprzez zastosowanie klasycznych metod perturbacyjnych, można wykryć i oszacować jakościowo i ilościowo wiele ważnych cech nieliniowej dynamiki charakteryzującej się np. zależnością okresu drgań od warunków początkowych, zjawisk przeskoku rozwiązań, histerezy czy też istnienia kilku niezależnych rozwiązań dla tego samego zbioru parametrów oraz oceny ich stabilności. Rozdział 10 został poświęcony modelowaniu układów równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą jednego równania różniczkowego cząstkowego oraz procesu odwrotnego (dekontynualizacji) oraz ich znaczenia w zastosowaniach technicznych. W rozdziale 11 opisano zastosowanie metody perturbacyjnej i przeskalowania do analizy procesów falowych opisanych równaniem różniczkowym nieliniowym cząstkowym, jak również oszacowano stabilność otrzymanych analitycznie rozwiązań falowych. Rozdział 12 dotyczy modelowania i kontroli dynamiki chaotycznej układów silnie nieliniowych ciągłych na przykładzie analizy drgań zamkniętej powłoki walcowej. Pokazano, jak przy pomocy metody Bubnowa-Galerkina i reprezentacji Fouriera można dokonać dekontynualizacji, tzn. sprowadzić zagadnienie do analizy równań różniczkowych zwyczajnych. Rozdział ten przedstawia dość obszerną wiedzę dotyczącą metod modelowania i analizy chaosu czasowo- -przestrzennego i bifurkacji w układach opisanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi silnie nieliniowymi w pigułce. Rozdział 13 poświęcony jest wprowadzeniu do optymalizacji systemów. Rozważono w nim klasyczne przykłady optymalizacji w zagadnieniach aproksymujących, ekstrema warunkowe oraz metodę mnożników Lagrange a. Rozdział 14 obejmuje podstawowe pojęcia matematyczne związane z optymalizacją statyczną. Opisano w nim lokalną aproksymację funkcji, punkty stacjonarne i formy kwadratowe, wypukłość zbiorów i funkcji, zadania optymalizacji bez ograniczeń, warunki optymalności formy kwadratowej, ograniczenia równościowe i nierównościowe oraz funkcje i mnożniki Lagrange a. W ostatnim rozdziale 15 przeprowadzono rozważania analityczne dotyczące optymalizacji pracy amortyzatora drgań, zamodelowanego poprzez układ liniowy tłumiony o jednym stopniu swobody. 11
12 Autor gorąco dziękuje swojej doktorantce Pani Nataszy Sawieliewej za udostępnienie obszernego streszczenia swej pracy doktorskiej wykorzystane w rozdziale 12, za pomoc pana D. Sendkowskiego przy obliczeniach w rozdziale 15, oraz Panom M. Kaźmierczakowi i W. Dziubińskiemu za pomoc przy ostatecznej redakcji książki. Łódź, maj 2006 Autor