PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO nr 19 AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI 2006 SAMBOR GUZE Akademia Morska w Gdyni Katedra Matematyki UWAGI O WŁAŚCIWOŚCIACH LICZBY ZNIEWOLENIA DLA GRAFÓW W pracy zdefiniowano liczbę zniewolenia dla grafów. Następnie omówiono podstawowe właściwości, a w szczególności dokładne wartości liczby zniewolenia dla grafów pełnych, ścieżek, cykli oraz drzew. Przedstawione zostały także oszacowania górne i dolne dla tej liczby. Na zakończenie podano przykłady wyznaczania liczby zniewolenia w dowolnych grafach. WPROWADZENIE Rozpatrujemy grafy G proste, nieskierowane ze zbiorem wierzchołków V (G) oraz zbiorem krawędzi E (G). Graf nazywamy prostym, gdy nie posiada on pętli i krawędzi wielokrotnych. Pętla to krawędź łącząca wierzchołek z nim samym. Uporządkowany ciąg wierzchołków u 1, u 2,..., u k, taki że każdy wierzchołek występuje w nim co najwyżej raz oraz dla każdego i zachodzi {u i, u i+1 } E (G), nazywamy drogą łączącą dwa wierzchołki u 1 i u k w grafie G. Graf jest nieskierowany, gdy droga potrzebna do pokonania krawędzi nie zależy od kierunku ruchu. Jeśli można dostać się z pierwszego wierzchołka do drugiego, to tą samą drogą można dotrzeć z powrotem. Moc zbioru V (G) nazywamy stopniem grafu. Dla wierzchołka u V (G) sąsiedztwem będzie zbiór N G (u) = N (u) wszystkich wierzchołków będących sąsiadami wierzchołka u. Ogólnie, dla zbioru U V sąsiedztwem będzie zbiór N( U ) = N( u) u U. Stopień wierzchołka u oznaczamy przez d (u) = N (u). Największy stopień wierzchołka w grafie G oznaczamy jako (G), a najmniejszy jako δ (G). Zbiór D V (G) nazywamy zbiorem dominującym grafu G, jeśli D N (D) = V (G). Liczba dominowania jest to natomiast moc najmniejszego zbioru dominującego. Oznaczamy ją γ (G). Grafem spójnym nazywamy graf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone drogą. Najmniejsza liczba krawędzi, których usunięcie spowoduje, że graf spójny nie będzie spójny, nazywamy liczbą spójności krawędziowej. 51
Dla pary wierzchołków s i t w grafie jest to najmniejsza liczba krawędzi, których usunięcie separuje s i t. Liczbę tę oznacza się najczęściej przez λ. Długość najkrótszej drogi łączącej wierzchołki u i v w tym grafie jest odległością między wierzchołkami u i v w grafie spójnym G, oznaczaną przez d (u, v). Według Brighama, Chinna i Duttona [2] wierzchołek v jest krytyczny wtedy i tylko wtedy, gdy γ (G v) < γ (G). Autorzy ci zdefiniowali również wierzchołkowo krytycznie zdominowany graf G, który tak nazywamy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek w G jest krytyczny. Graf jest regularny stopnia r lub inaczej r-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień równy r. Cyklem Cn nazywamy n-wierzchołkowy graf spójny, 2-regularny. Ścieżka P n jest cyklem C n bez jednej krawędzi. Drzewem nazywamy graf spójny, który nie posiada cykli. Z każdego wierzchołka drzewa można dotrzeć do każdego innego wierzchołka i tylko jednym sposobem. Powyższe pojęcia służą do zdefiniowania i pokazania właściwości liczby zniewolenia. 1. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI LICZBY ZNIEWOLENIA Fink, Jacobson, Kinch i Roberts wprowadzając liczbę zniewolenia grafu [4], podali jej następującą definicję: Definicja 1 Liczbą zniewolenia b(g) niepustego grafu G nazywamy najmniejszą moc zbioru krawędzi B E(G), dla których γ (G B) > γ (G). Liczba zniewolenia jest zatem najmniejszą liczbą krawędzi, których usunięcie powoduje wzrost liczby dominowania. Wymienieni już wcześniej autorzy podali też podstawowe właściwości tej liczby [4]. Rozpoczęli od grafów pełnych, czyli takiej rodziny grafów, w której każdy wierzchołek jest sąsiadem wszystkich pozostałych. Dla grafu pełnego stopnia n oznaczanego przez K n prawdziwy jest poniższy lemat [4]. Oznaczenie 1 Przez x oznaczamy najmniejszą część całkowitą liczby x nie mniejszą od x, tzn. x x. Lemat 1 n Liczba zniewolenia dla grafów pełnych K n (n 2) wynosi b( Kn) =. 2 Poniżej, opierając się na [4], pokazano wartości liczby zniewolenia dla cykli C n oraz ścieżek P n. Wcześniej jednak przytoczono lemat, który dotyczy 52
liczby dominowania dla cykli i ścieżek długości n [4]. Lemat 2 Liczba dominowania dla cykli i ścieżek rzędu n wynosi odpowiednio: n γ ( ) = dla n 3, 3 C n n γ ( ) = dla n 1. 3 P n Na podstawie powyższego lematu otrzymuje się następujące twierdzenie [4]: Twierdzenie 1 Liczba zniewolenia dla cykli długości n wynosi: 3 dla n 1 (mod 3) b( Cn ) =. 2 w innym przypadku Z powyższego twierdzenia wynika wniosek [4]: Wniosek 1 Liczba zniewolenia dla ścieżki długości n wynosi: 2 n 1 (mod 3) b( P n ) =. 1 w innym przypadku Istotną rolę w teorii grafów odgrywają drzewa. Nadal posługując się wynikami z [4], podano liczbę zniewolenia dla tej rodziny. Twierdzenie 2 Gdy T jest drzewem, to liczba zniewolenia dana jest nierównością b(t ) 2. Z powyższego wysuwa się wniosek: Wniosek 2 Jeśli dowolny wierzchołek w drzewie T sąsiaduje z przynajmniej dwoma wierzchołkami końcowymi, to b(t ) = 1. 2. GÓRNE I DOLNE OGRANICZENIA Obok dokładnych wartości b(g ) uzyskanych w [4] otrzymano też kilka 53
górnych ograniczeń. Znajdują się one poniżej [1], [4]. Twierdzenie 3 Jeśli G jest niepustym grafem, to: b(g ) min {deg(u) + deg(v) 1 : u i v są wierzchołkami sąsiednimi}. Łatwo można podać inne oszacowanie. Z powyższego twierdzenia wynika: Wniosek 3 Jeśli (G) oraz δ (G) oznaczają odpowiednią największy i najmniejszy stopień wierzchołka w spójnym grafie G, to b(g) (G) + δ (G) 1. Jest także ograniczenie górne, które wskazuje na związek pomiędzy liczbą zniewolenia a liczbą dominowania [4]. Twierdzenie 4 Jeśli G jest niepustym grafem w liczbą dominowania γ (G) 2, to b(g) (γ (G) 1) (G) + 1. Wyniki twierdzenia można rozszerzyć do przypadku, w którym rozpatruje się dwa wierzchołki w grafie G oddalone od siebie o co najwyżej 2 [1], [5]. Lemat 3 Jeśli G jest nietrywialnym grafem, to b(g) d(u) + d(v) 1 dla każdej pary wierzchołków u i v, dla których zachodzi nierówność d(u, v) 2. Hartnell i Rall [6] oraz niezależnie Teschner [10] znaleźli uogólnienie twierdzenia 3. Lemat 4 Jeśli spójność krawędziowa λ w grafie G spełnia λ (G) 1, to b(g) (G) + λ (G) 1. Następny lemat pokazuje kolejne oszacowania dla pary wierzchołków sąsiadujących [6]. Lemat 5 Jeśli G jest grafem nietrywialnym, to dla każdej pary sąsiednich wierzchołków u i v prawdziwa jest nierówność b(g) d(u) + d(v) 1 N (u) N (v). Ta część artykułu kończy się twierdzeniem, które do tej pory pozostaje problemem otwartym [10]. 54
Hipoteza 1 3 Dla dowolnego grafu G b( G) ( G). 2 W kolejnym kroku pokazano znane dolne ograniczenia dla liczby zniewolenia [10]. Twierdzenie 5 Jeśli β (G) = γ (G), to 1) b(g) δ(g), 2) b(g) δ(g) + 1, gdy G jest grafem wierzchołkowo krytycznie zdominowanym. Następnie mamy poniższe ograniczenie [10]. Twierdzenie 6 n Niech G będzie grafem, gdzie 2 γ ( G), wówczas 2 n γ ( G) 1) b( G) min { δ ( G), m }, 2 n γ ( G) 2) b( G) min{ δ ( G) + 1, m }, gdy G jest grafem wierzchołkowo 2 krytycznie zdominowanym. Dla rodziny grafów wierzchołkowo krytycznie zdominowanych istnieje poniższa hipoteza [2]. Hipoteza 2 Gdy graf G jest wierzchołkowo krytycznie zdominowany, to prawdziwa jest nierówność b(g) δ (G) + 1. 3. PRZYKŁADY W celu zrozumienia omawianego problemu podano kilka przykładów. Przykład 1 Na rysunku 1 dany mamy graf pełny K 4. Zgodnie z lematem 1 wiemy, że b(k 4 ) = 2, więc usuwamy dwie krawędzie. Wierzchołki należące do 55
najmniejszego zbioru dominującego są oznaczone kolorem czarnym. Jak widać w przypadku a) γ (K 4 ) = 1, po usunięciu γ ( K 4 ) = 2. Natomiast w przypadku b) rozpatrujemy graf K 5, dla którego γ (K 5 ) = 1. Zgodnie z lematem 1 znów otrzymujemy b(k 5 ) = 3, czyli usuwamy trzy krawędzie zaznaczone na rysunku linią przerywaną. a) b) K 4 K 4 K 5 K 5 Rys. 1. Liczba zniewolenia dla grafów pełnych K 4 i K 5 W kolejnym przykładzie pokazano zastosowanie lematu 2. Przykład 2 Dane mamy dwa cykle C 6 i C 5, gdzie γ (C 6 ) = 3 i γ (C 5 ) = 2; odpowiednie zbiory dominujące są zaznaczone kolorem czarnym. Zgodnie z lematem 2 otrzymujemy, że b(c 6 ) = 3 i b(c 5 ) = 2. Na rysunku 2 linią przerywaną zaznaczono krawędzie, które można usunąć w celu zwiększenia liczby dominowania. a) C 6 C 6 b) C 7 C 5 56
Rys. 2. Liczba zniewolenia dla cykli C 6 i C5 Następny przykład dotyczy drzew. Przykład 3 Na rysunku 3 kolor czarny ponownie oznacza najmniejszy zbiór dominujący wierzchołków. Drzewo T jest przykładem drzewa, dla którego b(t ) = 2. Natomiast dla drzewa W mamy b(w) = 1. Jest to zgodne z twierdzeniem 2. Linią przerywaną oznaczono krawędzie, których usunięcie powoduje wzrost liczby dominowania. a) T T b) W W Rys. 3. Liczba zniewolenia dla drzew Przykład 4 Mamy dany dowolny graf A i chcemy określić dla niego wielkość b(a). Liczba dominowania dla tego grafu wynosi 2. Najmniejszy zbiór dominujący jest zaznaczony czarnymi wierzchołkami (rys. 4). Żeby określić liczbę zniewolenia, usuwamy najpierw pojedyncze krawędzie, za każdym razem sprawdzamy, czy liczba dominowania wzrasta. Gdy tak nie jest, zaczynamy usuwać krawędzie parami. I znów sprawdzamy wzrost liczby dominowania. Kolejny krok to usuwanie trójek krawędzi. I tu widzimy, że dla grafu B właśnie b(a) = 3, bo wystarczy usunąć trójkę krawędzi zaznaczoną w grafie B. Widać, że w grafie B, gdy odrzucimy oznaczone linią przerywaną 3 krawędzie, liczba dominowania wyniesie 3. Odpowiedni zbiór dominujący jest oznaczony czarnymi wierzchołkami. 57
A B Rys. 4. Liczba zniewolenia dla dowolnego grafu 6-wierzchołkowego 5. PODSUMOWANIE Teoria dominowania jest wykorzystywana najczęściej przy analizie sieci komunikacyjnych, takich jak na przykład sieć komputerowa. Sieć taka składa się z połączeń komunikacyjnych pomiędzy ustalonym zbiorem stron. Problemem jest wybór najmniejszego zbioru stron, na których można umiejscowić nadajniki, tak aby każda strona w sieci nieposiadająca nadajnika miała bezpośrednie połączenie ze stroną, na której ten nadajnik się znajduje. Problem ten sprowadza się do znalezienia najmniejszego zbioru dominującego w grafie, który odpowiada strukturze tej sieci. Wierzchołek odpowiada każdej stronie, a krawędź istnieje tylko wtedy, gdy odpowiednie strony mają bezpośrednie połączenie. Nasuwa się pytanie, co będzie, gdy połączenie zawiedzie. Jaka jest więc najmniejsza liczba połączeń, które należy rozłączyć, aby konieczne było dołożenie co najmniej jednego nadajnika dla zachowania komunikacji między wszystkimi stronami sieci? Innymi słowy teorię liczby zniewolenia możemy wykorzystać przy analizie wrażliwości danej sieci komputerowej na atak intruza, bądź awarię połączenia. I tu pojawia się kolejne pytanie: ilu połączeń taki intruz musi pozbawić daną sieć, żeby przestała być ona siecią wszystkich podpiętych komputerów? Można się też zastanawiać nad użytecznością tej liczby przy ustalaniu strategii bezpieczeństwa dla klastrów w ośrodkach obliczeniowych na wypadek awarii jednego z podzespołów. LITERATURA 1. Bauer D., Harary F., Nieminen J., SuJel C.L., Domination alteration sets in graphs, Discrete Math. 47, 153 161 (1983). 2. Brigham R.C., Chinn P., Dutton R.D., Vertex domination-critical graphs, Networks 18, 173 179 (1988). 3. Dunbar J.E., Haynes T.W., Teschner U., Volkmann L., Bondage, insensitivity, and reinforcement, [w:] T.W. Haynes, S.T. Hedetniemi, P.J. Slater (Eds.), Domination in Graphs: Advanced Topics, Marcel Dekker, New York, 471 489 (1998). 58
4. Fink J.F., Jacobson M.S., Kinch L.F., Roberts J., The bondage number of graph, Discrete Math. 86, 47 57 (1990). 5. Hartnell B.L., Rall D.F., A bound on the size of a graph with given order and bondage number, Discrete Math. 198, 409 413 (1999). 6. Hartnell B.L., Rall, D.F. Bounds on the bondage number of a graph, Discrete Math. 128, 173 177 (1994). 7. Kang L., Yuan J., Bondage number of planar graphs, Discrete Math. 222, 191 198 (2000). 8. Teschner U., A counterexample to a conjecture on the bondage number of a graph, Discrete Math. 122, 393 395 (1993). 9. Teschner U., A new upper bound for the bondage number of graphs with small domination number, Australas. J. Combin., 27 35, 12 (1995). 10. Teschner U., New results about the bondage number of a graph, Discrete Math. 171, 249 259 (1997). REMARKS ON PROPERTIES OF GRAPH BONDAGE NUMBER (Summary) The definition of the bondage number for graphs was introduced. Further, its elementary properties in particular the exact values of the bondage number for complete graphs, paths, cycles and trees were presented. The upper and lower bounds for this number were given as well. Finally, examples of determinig the bondage numbers in optional graphs were presented. 59