Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 14 listopada 2013 Proseminarium licencjackie
Dlaczego opóźnienie czasowe może powodować powstawanie cykli Przykład t=0,1, dynamika strzałkowa -m 0 m wprowadźmy opóźnienie warunki początkowe Pojawia się cykl stabilny o amplitudzie i okresie
Wprowadźmy stochastyczne zaburzenie z prawdopodobieństwem 1 - ε = z prawdopodobieństwem ε Otrzymaliśmy prosty przykład dynamiki stochastycznej z opóźnieniem czasowym
m = 20 = 9 ε = 0.1
jeżeli przez stan naszego układu w czasie t będziemy uważaćτ+ 1 położeń (x(t), x(t-1), x(t-2), x(t-τ)) to otrzymamy ergodyczny łańcuch Markowa z rozkładem stacjonarnym µ ε i przestrzenią stanówω Definicja jest stochastycznie stabilny jeśli lim ε 0 µ ε (x) > 0 (=1) Twierdzenie lim ε 0 µ ε (cykl) = 1
Dynamika populacji czas A i B - dwa możliwe zachowania, fenotypy, strategie osobników
GRA Przykład 1) Zbiór graczy n = 2 myśliwych I= {1,,n} 2) Zbiór strategii S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 3) Wypłaty jeleń - zając - 10 utils 3 utils U i : S n R i=1,,n J Z J Z J 5 0 5 3 Z 3 3 0 3
Równowaga Nasha Jak grać? Przypisanie graczom strategii, tak iż żadnemu z graczy, przy ustalonych strategiach wszystkich innych graczy, nie opłaca się zmienić swojej strategii
Formalnie gra w jelenia i zająca (St,St) równowaga efektywna (H,H) równowaga bezpieczna średnia St - 5/2 średnia H - 3 problem wyboru równowagi
Prosty model ewolucji Selekcja osobnicy oddziałują w parach grają w gry uzyskują wypłaty = liczba potomstwa Fenotypy są dziedziczone Potomstwo może mutować
Dobór osobników do gry każdy gra z każdym losowe spotkania graczy gry na grafach, populacje ze strukturą przestrzenną
Stochastyczna dynamika skończonych populacji n - liczba osobników z t - liczba osobników grających A w czasie t Ω ={0,,n} - przestrzeń stanów z t+1 > z t selekcja jeśli średnia z A > średnia z B mutacje Każdy osobnik może zmienić swoją strategię z prawdopodobieństwem ε
Łańcuch Markowa z jedyną miarą stacjonarną µ ε n
Klasyczne wyniki Każdy gra z każdym, Kandori-Mailath-Rob 1993 A B A a b B c d a>c i d>b, (A,A) i (B,B) równowagi Nasha A jest stategią efektywną, a>d B jest strategią dominującą ze względu na ryzyko c+d>a+b
Lemat drzewny (Freidlin and Wentzell) ergodyczny łańcuch Markowa ze skończona przestrzenią Ω, macierzą przejścia P ε, i jedyną miarą stacjonarną µ ε z 1 z 2 z 3 P ε (z 4 z 1 ) z 4 z 5 x
Gry przestrzenne z lokalnymi oddziaływaniami
Dynamika deterministyczna reguła najlepszej odpowiedzi i Br(St,St)=St Br(H,H)=H Br(H,St)=Br(St,H)=H
Dynamika stochastyczna a) zaburzona najlepsza odpowiedź z prawdopodobieństwem, 1-ε gracz wybiera najlepszą odpowiedź z prawdopodobieństwem ε gracz myli się b) reguła log-linear
Jeleń i Zając na Z, z oddziaływaniem najbliższych sąsiadów i zaburzoną najlepszą odpowiedzią liczenie błedów
Deterministyczna dynamika replikatorowa A B U = A a b B c d p A (t) liczba osobników grających strategią A w czasie t p B (t) liczba osobników grających strategią B w czasie t U A = ax + b(1-x) U B = cx + d(1-x) Proponujemy p A (t+ε)=(1-ε)p A (t) + εp A (t)u A (t) U av = xu A +(1-x)U B
p A (t+ε) = (1-ε)p A (t) + εp A (t)u A (t) p B (t+ε) = (1-ε)p B (t) + εp B (t)u B (t) p(t+ε) = (1-ε)p(t) + εp(t)u av (t)
dx/dt = x(1-x)(u A U B ) Polowanie na jelenia J Z J 5 0 Z 3 3 Gołąb - Jastrząb 0 3/ 5 1 wewnętrzny stan stacjonarny jest niestabilny J G J -1 2 G 0 1 0 1/2 1 wewnętrzny stan stacjonarny jest stabilny
Opóźnienie czasowe Opóźnienie typu społecznego Zakładamy, że gracze w czasie t replikują się proporcjonalnie do średniej wypłaty w czasie t-τ Proponujemy x *
Odpowiednie równanie replikatorowe w czasie ciągłym ma następująca postać może być też zapisane jako Twierdzenie (Jan Alboszta i JM, J. Theor. Biol. 231: 175-179, 2004) x * jest asymptotycznie stabilny dla odpowiednio małego τ x * jest asymptotycznie niestabilny dla odpowiednio dużego τ
Opóźnienie czasowe typu biologicznego Zakładamy, że dzieci rodzą sięτjednostek czasu po tym jak ich rodzice grali i otrzymali wypłaty. Proponujemy Twierdzenie (JA i JM, JTB 2004) x * jest asymptotycznie stabilny dla każdego opóźnienia τ
Komórka matematyczna DNA mrna Ø białko Ø
Poziom makroskopowy DNA mrna Ø białko Ø
Poziom mikroskopowy r - liczba cząsteczek mrna p - liczba cząsteczek białka prawdopodobieństwo zajścia w czasie (t,t+h) proces urodzin i śmierci
Symulacje numeryczne algorytm Gillespiego rozkład wykładniczy czasu oczekiwania na zajście reakcji biochemicznej krok 1 - czekamy na zajście jakiejkolwiek reakcji krok 2 - wybór reakcji prawdopodobieństwo, że powstanie jedna cząsteczka białka
Opóźnienia czasowe Reakcje biochemiczne są rozciągnięte w czasie Przykłady: średnia prędkość transkrypcji - 20 nucleotydów/s średnia prędkość translacji - 2 kodony/s średnia długość ludzkiego genu - 55 000 nukleotydów, transkrypcja trwa 2750 sekund średnia długość kodującego regionu - 2700 nukleotydów, translacja trwa 450 sekund
Opóźnienia czasowe 1 opóźniona degradacja DNA białko Ø 2 DNA mrna Ø białko opóźniona degradacja Ø Cel: wariancja (p)
Model 1 opóźniona degradacja DNA białko Ø Zakłada się niejawnie, że cząsteczka która zaczęła degradować może znowu zostać wylosowana do następnej reakcji degradacji. Powyższy model był badany w Bratsun et al. PNAS 102: 14593 (2005). Problem: ujemne rozwiązania
Nasze podejście JM, J. Poleszczuk, M. Bodnar, U. Foryś Bulletin of Mathematical Biology 2011 reakcje konsumujące reakcje niekonsumujące Załóżmy, że degradacja jest konsumująca x cząstki aktywne y wszystkie cząstki Rozwiązujemy układ równań różniczkowych i dostajemy brak oscylacji
Dziękuję za uwagę