Wykład 23. Dyfrakcja światła. WARIANT ROBOCZY Zasada Huygensa - Fresnela.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 1 Wykład 3 3.1 Zasada Huygensa - Fresnela. Dyfrakcja światła. WARIANT ROBOCZY. Dyfrakcją nazywamy omijanie przez fale przeszkód, na które natrafiają one na swojej drodze, lub szerzej dowolne odchylenie od praw optyki geometrycznej podczas rozprzestrzeniania się fal. Dzięki dyfrakcji Rysunek 3.1 fale mogą trafiać w obszar cienia geometrycznego, uginać się na przeszkodach (to znaczy odchylać się od pierwotnego kierunku rozchodzenia), przechodzić przez niewielkie otworki w ekranach itd. Na przykład dźwięk jest dobrze słyszany za rogiem domu ze względu na ugięcie się fal dźwiękowych. Zjawisko dyfrakcji wyjaśnia się za pomocą zasadą Huygensa zgodnie, z którą każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala staje się źródłem fali wtórnej, a obwiednia tych fal określa płożenie frontu fali w chwili następnej. Jako przykład zastosowania zasady Huygensa rozpatrzmy padanie fali płaskiej na przegrodę z otworem (Rysunek 3.1). Kiedy front fali dociera do przegrody, to każdy punkt otworu staje się źródłem fal wtórnych i obwiednia tych fal określa front fali po jej przejściu przez otwór. Z rysunku widać, że front tej fali tylko w części środkowej jest frontem fali płaskiej, a przy granicy otworu następuje zakrzywianie frontu falowego, co oznacza, że fala dociera do obszaru cienia geometrycznego uginając się na granicy otworu. Zjawisko dyfrakcji jest charakterystyczne dla procesów falowych. Dlatego też, jeżeli światło jest falą, to powinno obserwować się proces dyfrakcji, tzn. fala świetlna trafiając na jakąś przeszkodę powinna uginać się na niej (a tym samym docierać w obszar cienia). Z doświadczenia, jednak, wiadomo, że przedmioty oświetlane światłem, pochodzącym od

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki punktowego źródła, dają ostrą granicę cienia, a co za tym idzie światło nie odchyla się od kierunku prostoliniowego. Dlaczego powstaje ostry cień, jeżeli światło posiada naturę falową? Niestety na to pytanie teoria Huygensa nie była w stanie odpowiedzieć. Zasada Huygensa, będąc czysto geometrycznym sposobem tworzenia powierzchni falowych, daje pogląd o kierunku rozchodzenia się światła, jednak nic nie mówi o amplitudzie rozchodzącej się fali, a tym samym o jej natężeniu w różnych kierunkach. Fresnel dodał do zasady Huygensa sens fizyczny, uwzględniający zjawisko interferencji światła. Zgodnie z zasadą Huygensa Fresnela (czyt. Frenela), fala świetlna, wytworzona przez dowolne źródło S, może być przedstawiona jako wynik superpozycji koherentnych fal wtórnych wysyłanych przez fikcyjne źródła światła. Takimi źródłami mogą być nieskończenie małe elementy dowolnej powierzchni zamkniętej, obejmującej sobą źródło światła S. Zwykle jako taką powierzchnię wybiera się jedną z powierzchni falowych, dlatego wszystkie elementy tej powierzchni zachowują się jak źródła mające jednakową fazę. W ten sposób, fale rozchodzące się od źródła są wynikiem interferencji wszystkich, spójnych fal wtórnych. Fresnel wykluczył możliwość powstawania odwrotnych fal wtórnych i założył, że jeżeli między źródłem fali i punktem obserwacji znajduje się nieprzezroczysty ekran z otworem, to na powierzchni ekranu amplituda fal wtórnych jest równa zero, a w otworze taka jak gdyby nie było ekranu. Uwzględnienie amplitud i faz fal wtórnych pozwala dla każdego konkretnego przypadku znaleźć amplitudę (natężenie światła) sumarycznej fali w dowolnym miejscu przestrzeni, a tym samym określić prawidłowości rozprzestrzeniania się światła. W ogólnym przypadku obliczanie interferencji fal wtórnych jest dość złożone i pracochłonne, jednak, jak okaże się niżej, dla szeregu przypadków znajdowanie amplitudy fali sumarycznej sprowadza się do sumowania algebraicznego i geometrycznego. 3. Metoda stref Fresnela. Prostoliniowe rozprzestrzenianie się światła.zasada Huygensa Fresnela na bazie teorii falowej powinna wytłumaczyć prostoliniowe rozchodzenie się światła. Fresnel rozwiązał ten problem rozpatrując wzajemną interferencję fal wtórnych i stosując podejście zwane metodą stref Fresnela. Znajdźmy w dowolnym punkcie M amplitudę fali świetlnej, Rysunek 3.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 3 rozchodzącej się w jednorodnym optycznie ośrodku, pochodzącej od źródła punktowego S (Rysunek 3.). Zgodnie z zasadą Huygensa Fresnela, zamieńmy działanie źródła S działaniem myślowo wybranych źródeł rozłożonych na pomocniczej powierzchni Φ, będącej frontem fali pochodzącym ze źródła S (powierzchnia sfery o środku w S). Fresnel rozbił powierzchnię falową Φ na pierścieniowe strefy o takich rozmiarach, aby odległości od granicy strefy do punktu M różniły się o λ/, tzn. P 1 M P 0 M = P M P 1 M = P 3 M P M =... = λ/. Podobne rozbicie frontu fali na strefy można wykonać, prowadząc ze środka M sfery o promieniach b,b,b 3,...,b m. Ponieważ drgania, pochodzące od sąsiednich stref, trafiają do punktu M przebywając drogi różniące się o λ/, to w punkcie M mają przeciwne fazy i nakładając się, wzajemnie osłabiają się. Dlatego, też amplituda wypadkowego drgania w punkcie M może być zapisana jako: A A, 3.1 1 A A3 A4... Am gdzie A 1, A, A 3,...A m amplitudy drgań wywołane przez pierwszą, drugą i następne strefy Fresnela. W celu oceny wielkości amplitud drgań znajdźmy pole powierzchni stref Fresnela. Zewnętrzna granica m tej strefy wydziela czaszę na powierzchni falowej o wysokości h m (Rysunek3.3). Oznaczając powierzchnię tej czaszy przez σ m możemy zapisać, że powierzchnia m-tej strefy Fresnela jest równa Δσ m = σ m - σ m-1. Z rysunku wynika, że Rysunek 3.3 r m a a h b b h m m m. 3. Po prostych przekształceniach, uwzględniając, że λ << a i λ << b, otrzymamy Powierzchnia czaszy h m bm a b 3.3

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 4 ab m ah m m, a b a powierzchnia m-tej strefy Fresnela ab m m 1. 3.4 a b Wyrażenie 3.4 nie zależy od m, a co za tym idzie dla niezbyt dużych m powierzchnie stref Fresnela są równe. W rezultacie konstrukcja stref Fresnela rozbija powierzchnię fali kulistej na równe strefy. Zgodnie z założeniem Fresnela, wpływ poszczególnych stref w punkcie M jest tym mniejszy im większy jest kąt φ m między normalną do powierzchni strefy n i kierunkiem do punktu M, oznacza to, że wpływ stref stopniowo maleje w miarę jak oddalamy się od strefy centralnej (wokół punktu P 0 ) do stref peryferyjnych. Oprócz tego, natężenie fali w kierunku M zmniejsza się wraz wzrostem m z powodu wzrostu odległości strefy do punktu M. Uwzględniając oba te czynniki, można zapisać: A 1 > A > A 3 > A 4 >... Ogólna ilość stref Fresnela mieszcząca się na pół sferze jest bardzo duża: na przykład dla a N ab a = b = 10cm i λ = 0,5μm otrzymamy 5 a b 8 10. Dlatego jako dodatkowe przybliżenie można przyjąć, że amplituda m-tej strefy Fresnela jest równa średniej arytmetycznej amplitud pochodzących od sąsiadujących z nią stref Am 1 Am 3.5 1 Am Wtedy wyrażenie 3.1 można zapisać w postaci A1 A1 A3 A3 A5 A A A4... 3.6 A 1 ponieważ, zgodnie ze wzorem 3.5, wyrażenia w nawiasach są równe zero, a ostatnia część amplitudy od ostatniej strefy A m / jest znikomo mała.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 5 Wynika stąd, że amplituda wywołana w dowolnym punkcie M kulistej powierzchni falowej jest równa połowie amplitudy wytworzonej przez jedną strefę centralną. W rezultacie wpływ całej powierzchni falowej na punkt M sprowadza się do wpływu jej małej części, mniejszej niż strefa centralna. m Jeżeli w wyrażeniu 3. założyć, że wysokość h m << a (dla niezbyt dużych m), to r ah. Podstawiając do tego wyrażenie 3.3 możemy znaleźć promień granicy m-tej m strefy Fresnela: r m ab m. 3.7 a b Dla a = b = 10cm i λ = 0,5μm promień pierwszej strefy wynosi r 1 = 0,158mm. W rezultacie rozchodzenie się światła od S do M zachodzi tak, jakby strumień świetlny rozchodził się wewnątrz bardzo wąskiego kanalika wzdłuż SM, tzn. prostoliniowo. W ten sposób zasada Huygensa Fresnela umożliwia objaśnienie prostoliniowego rozchodzenia się światła w jednorodnym ośrodku. Słuszność podziału frontu falowego na strefy Fresnela została potwierdzona eksperymentalnie. W tym celu stosuje płytki strefowe w najprostszym przypadku, składające się z układu na przemian ułożonych przezroczystych i nieprzezroczystych koncentrycznych pierścieni zbudowanych zgodnie z zasadą położenia stref Fresnela, których promień określony jest równaniem 3.7 przy zadanych wartościach a, b i λ (m = 0,, 4, dla przezroczystych i m = 1, 3, 5, dla nieprzezroczystych pierścieni). Jeżeli umieścić taką płytkę strefową w odległości a od źródła punktowego i w odległości b od punktu obserwacji, na linii łączącej te punkty, to dla światła o długości λ płytka zakryje parzyste strefy, a zostawi odkrytymi strefy nieparzyste, poczynając od centralnej. W rezultacie amplituda wypadkowa A = A 1 + A 3 + A 5 + powinna być większa, niż wtedy gdy wszystkie strefy są otwarte. Rzeczywiście, doświadczalnie pokazano, że płytka strefowe wielokrotnie wzmacnia natężenie światła w punkcie M i działa podobnie jak soczewka skupiająca. 3.3 Dyfrakcja Fresnela na okrągłym otworze i na krążku.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 6 Rozpatrzymy dyfrakcję fali kulistej lub dyfrakcję Fresnela, realizowaną w przypadku, gdy obraz dyfrakcyjny jest obserwowany w skończonej odległości od przeszkody powodującej dyfrakcję. 1. Dyfrakcja na okrągłym otworze. Fala kulista, rozprzestrzeniająca się ze źródła punktowego S, spotyka na swojej drodze ekran z okrągłym otworem. Obraz dyfrakcyjny obserwowany jest na ekranie (E) w punkcie B, leżącym na linii łączącej ś ze środkiem otworu (Rysunek 8.4). Ekran jest równoległy do płaszczyzny Rysunek 8.4 otworu i znajduje się od niego w odległości b. Postać obrazu dyfrakcyjnego zależy od ilości stref Fresnela, mieszczących się w otworze. W punkcie B, zgodnie z metodą stref Fresnela (patrz 3.1 i 3.6), amplituda drgań wypadkowych: A Am A 1, gdzie znak plus odpowiada nieparzystym m, a minus parzystym m. Jeżeli otwór odkrywa nieparzystą ilość stref Fresnela, wtedy amplituda (natężenie fali) w punkcie B będzie większa, niż podczas swobodnego rozchodzenia się fali, jeżeli parzystą, to amplituda (natężenie fali) będzie równa zero. Jeżeli w otworze mieści się tylko jedna strefa Fresnela, to w Rysunek 3.5 punkcie B amplituda A = A 1, tzn. dwa razy większa, niż kiedy nie ma nieprzezroczystego ekranu z otworem (natężenie światła jest większe cztery razy). Jeżeli w otworze mieszczą się dwie strefy Fresnela, to ich działania w punkcie B praktycznie znoszą się wzajemnie w wyniku interferencji. W ten sposób, obraz dyfrakcyjny w pobliżu punktu B będzie miał postać jasnych i ciemnych pierścieni ze środkami w punkcie B (jeżeli m będzie parzyste, to w środku będzie ciemny krążek, jeżeli m będzie nieparzyste, to w środku pojawi

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 7 się jasna plamka), przy czym natężenie maksimów będzie maleć wraz z odległością od środka (Rysunek 3.5). Obliczanie wypadkowej amplitudy w punktach poza osią ekranu jest znacznie trudniejsze, ponieważ odpowiadające im strefy Fresnela częściowo są zakryte przez nieprzezroczysty ekran. Jeżeli otwór oświetlać światłem nie monochromatycznym, ale białym, to pierścienie będą zabarwione (ilość stref Fresnela mieszczących się w otworze zależy od λ.. Dyfrakcja na krążku. Fala kulista rozprzestrzeniająca się z punktu S napotyka na swojej drodze krążek. Obraz dyfrakcyjny obserwuje się na ekranie (E) w punkcie B, leżącym na linii łączącej S z środkiem krążka (Rysunek 3.6). W tym przypadku zakrytą przez krążek część frontu fali należy wykluczyć przy Rysunek 3.6 rozpatrywaniu stref Fresnela i strefy te należy konstruować od brzegów krążka. Niech krążek zakrywa m pierwszych stref Fresnela. Wtedy amplituda wypadkowego drgania w punkcie B będzie równa Am 1 Am 1 Am 3 A Am 1 Am Am 3... Am... lub A A m 1, ponieważ wyrażenia znajdujące się w nawiasach są równe zero. W rezultacie w punkcie B zawsze będzie obserwowane maksimum interferencyjne (jasna plamka), odpowiadające połowie wpływu pierwszej otwartej strefy Fresnela. Środkowe maksimum będzie otoczone przez koncentryczne ciemne i jasne pierścienie i ich natężenie będzie maleć w miarę oddalania się od środka obrazu (Rysunek 3.7). Rysunek 3.7 3.4 Dyfrakcja Fraunhofera na szczelinie.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 8 Wyobraź sobie podział szczeliny na paski Przypadek dyfrakcji Fresnela Przypadek dyfrakcji Fraunhofera f Rysunek 3.8 Zajmiemy się teraz dyfrakcją na poziomej szczelinie o szerokości a. Niech na tę szczelinę pada płaska fala tak jak przedstawiono na rysunku 3.8. Zgodnie z zasadą Huygensa każdy element powierzchni szczeliny można traktować jako źródło fali wtórnej. W szczególności, wyobraźmy sobie, że dzielimy ją na szereg wąskich pasków o jednakowej szerokości. Dwa takie paski zostały pokazane na rysunku 3.8a. Na rysunku 3.8b ekran znajduje na prawo od szczeliny. Natężenie fali w punkcie P ekranu możemy obliczyć dodając wkłady pochodzące od poszczególnych fal wtórnych uwzględniając ich różne fazy i amplitudy. Obliczenia znacznie się upraszczają, jeżeli przyjąć, że ekran znajduje się tak daleko od szczeliny, iż promienie wychodzące z każdego punktu szczeliny są równoległe do siebie (Rysunek 3.8c). Równoważną sytuacją do tej jest układ przedstawiony na rysunku 3.8d, na którym promienie przed soczewką są równoległe, a soczewka tworzy obraz na ekranie, który bez soczewki powstał by w nieskończenie daleko. Moglibyśmy przypuszczać, iż w tym przypadku soczewka powoduje powstawanie dodatkowych różnic faz z powodu różnych dróg przebywanych przez fale w soczewce. Można jednak wykazać, że tak nie jest i wszystkie drogi mają jednakowe przesunięcie fazowe, co nie stwarza problemu. Każda szczelina zachowuje się jak cylindryczna fala wtórna P Cylindryczna soczewka skupiająca Ekran (a) (b) (c) (d) Ekran daleko - r 1 r x Rysunek 3.9 P Ekran O Ekran

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 9 Jak wiemy sytuacja przedstawiona na rysunku 3.8b jest typem dyfrakcji Fresnela, a sytuacje na rysunkach 3,8c i d dyfrakcją Fraunhofera. Można całkiem prosto wyprowadzić najważniejsze cechy obrazu dyfrakcji Fraunhofera dla pojedynczej szczeliny. Po pierwsze rozważmy myślowo dwa cienkie paski, jeden bezpośrednio przy krawędzi szczeliny i drugi w środku szczeliny (Rysunek 3.9). Różnica dróg do punktu P wynosi (a/)sinθ, gdzie a jest szerokością szczeliny. Załóżmy, że ta różnica dróg wynosi λ/, wtedy światło z tych dwóch pasków dotrze do punktu P z różnicą faz π i te dwie fale ulegną wygaszeniu. Podobnie fale z dwu pasków znajdujących się bezpośrednio pod tymi dwoma także dotrą do punktu P z różnicą faz równą π. W rezultacie fala z każdego paska z górnej połowy szczeliny wygasza się z odpowiednią falą pochodzącą z dolnej części. Tak więc ciemne prążki pojawią się, gdy będzie spełniony warunek: a sinθ = ± λ lub sinθ = ± λ a 3.8 Znak ± wskazuje na fakt istnienia symetrycznych prążków po obu stronach punktu O. Podobne rozumowanie możemy przeprowadzić dzieląc szczelinę na cztery, sześć części itd. i wykazać, że ciemne prążki pojawiają się na ekranie jeżeli spełniony jest warunek: Rysunek 3.10 m = + m = +1 m = -1 m = + sinθ = m λ a gdzie m = ±1, ±, ±3, 3.9 Ciemne prążki dla pojedynczej szczeliny. Na przykład jeżeli szczelina ma szerokość a = 10λ, to ciemne prążki pojawią się gdy kąt θ będzie spełniać warunki sinθ = ± 1, ±, ± 3 10 10 10,. Między ciemnymi prążkami znajdują się jasne prążki. Zwróćmy uwagę, że dla sinθ = 0 mamy jasny prążek, ponieważ w tym wypadku wszystkie fale docierają do punktu P w tej samej fazie. Prążek centralny jest szerszy, jak pokazuje to rysunek 3.10. Dla przybliżenia dla małych kątów jest on dokładnie dwa razy szerszy.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 10 Dla światła widzialnego długość fali jest rzędu 500nm = 5 10 7 m. Jest to często znacznie mniej niż typowa szerokość szczeliny, która może być rzędu 0,1mm = 10 4 m. Dlatego też wartość θ w równaniu 3.9 jest na tyle mała, że przybliżenie sinθ θ jest całkiem dobre. W tym przypadku równanie to możemy przepisać w postaci: θ = m λ a gdzie m = a). Środek obrazu dyfrakcyjnego (θ = 0): wskazy w fazie. ±1, ±, ±3, gdzie θ jest w radianach. Również jeżeli odległość szczeliny od ekranu wynosi x (rysunek 3.9), a położenie m-tego ciemnego prążka jest y m, to tgθ = y m /x. Dla małych θ tangens również można zastąpić samym kątem. W rezultacie otrzymujemy: 3.10 y m = x mλ a b). Lekko za środkiem: β = całkowita różnica faz między pierwszym, a ostatnim wskazem. 3.5 Natężenie prążków w przypadku pojedynczej szczeliny. Możemy wyprowadzić równanie na rozkład natężenia światła dla pojedynczej szczeliny wykorzystując metodę wskazów przedstawioną w poprzednim wykładzie. W tym celu wyobraźmy sobie, że płaska fala pada na szczelinę podzieloną na dużą ilość cienkich pasków. Dodajmy wkłady pochodzące od fal ze wszystkich pasków w punkcie P na odległym ekranie znajdującym się pod kątem θ do normalnej do płaszczyzny szczeliny. Aby dokonać tego użyjmy wskaz, który reprezentuje zmieniające się sinusoidalnie pole E pochodzące od każdego paska. Wartość wektora będącego sumą wskazów w każdym punkcie P daje amplitudę E P wypadkowego pola w tym punkcie. Natężenie jest proporcjonalne do E P. W punkcie O (Rysunek 3.9a) odpowiadającemu środkowi obrazu (θ = 0), oddalonemu na tyle daleko od ekranu (x a), że różnice dróg są zaniedbywalne; wszystkie wskazy są w fazie (mają tę samą fazę, a zatem mają ten sam kierunek). Na rysunku 3.11a przedstawione są wszystkie wskazy w chwili t = 0 i ich wypadkowa amplituda w punkcie O oznaczona jako E 0. Na rysunku tym szczelinę podzieliliśmy na 14 pasków. c). Tak jak b. tylko w granicy-szczelina podzielona na nieskończoną ilość części. Rysunek 3.11 Rozważmy teraz fale cząstkowe docierające do punktu P na rysunku 3.9a pod kątem θ. Z powodu różnicy w długości dróg, pojawia się, w tym wypadku, różnica faz między falami

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 11 pochodzącymi z sąsiednich pasków; na rysunku 3.11b przedstawiono diagram wskazowy dla takiej sytuacji. Wektorowa suma wskazów jest teraz częścią obwodu wielokąta, a E P amplituda wypadkowego pola elektrycznego w punkcie P jest cięciwą. Kąt β jest całkowitą różnicą faz między falą pochodzącą od górnego paska na rysunku 3.9b, a falą pochodzącą z samego dołu szczeliny. Możemy wyobrazić sobie podział szczeliny na coraz węższe paski. W granicy otrzymamy nieskończoną liczbę nieskończenie cienkich pasków, dla których wskazy ułożą się na łuku okręgu (Rysunek 3.11c), którego długość będzie równa długości E 0 z rysunku 3.11a. Środek tego okręgu znajdziemy prowadząc prostopadłe w punkcie A i B. Korzystając z definicji kąta w mierze łukowej, otrzymujemy, że promień tego okręgu wynosi: R = E 0 β Amplituda wypadkowego pola w punkcie P jest równa cięciwie AB E P = Rsin β = E 0 β sin β Powyższą zależność możemy przepisać w postaci E P = E 0 sin β β 3.11 Amplituda dla pojedynczej szczeliny. Jak wiadomo, natężenie światła w każdym punkcie ekranu jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia pola. Jeżeli I 0 jest natężeniem fali w punkcie O (θ = 0), wtedy natężenie w dowolnym punkcie ekranu będzie dane zależnością: I = I 0 sin β β 3.1 Natężenie światła dla pojedynczej szczeliny. Możemy zapisać różnicę faz β w postaci związanej z wymiarami geometrycznymi, podobnie jak było to zrobione dla dwu szczelin w poprzednim wykładzie. Na podstawie wzoru.6 widzimy, że różnica faz fal pochodzących z górnej i dolnej krawędzi szczeliny jest równa: W rezultacie równanie 3.1 przybiera postać: β = πa sinθ 3.13 λ I = I 0 sin πa sinθ /λ πa sinθ /λ 3.14

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 1 Natężenie światła dla pojedynczej szczeliny. Zależność 3.14 przedstawiona jest na wykresie na rysunku 3.1. Zwróćmy uwagę, że centralne maksimum jest znacznie większe od pozostałych. Oznacza to, że większość energii fali pozostaje zawarta między kątem θ spełniającym równość sinθ = λ a (Pierwsze minimum dyfrakcyjne). Ciemne prążki w obrazie dyfrakcyjnym pojawiają się, gdy I = 0. Zachodzi to dla punktów, w których licznik wyrażenia 3.1 jest równy zero, czyli wtedy gdy β jest wielokrotnością π. Podstawiając ten warunek do 3.13 otrzymujemy: ±1, ±, ±3, lub asinθ λ = m, gdzie m = ±1, ±, ±3, 3.15 sinθ = m λ a, gdzie m = Oczywiście zgadza się to z 3.9. Zwróćmy uwagę, że dla β = 0 (odpowiadającemu θ = 0) wyrażenie 3.14 nie osiąga minimum. Korzystając z metody L Hôpitala otrzymujemy, że dla β = 0 I = I 0, jak należało oczekiwać. Maksima dla dyfrakcji na jednej szczelinie. W celu znalezienia położeń i natężeń kolejnych maksimów należy użyć równania 3.1. Nie jest to jednak tak łatwe jak mogłoby się wydawać. Moglibyśmy oczekiwać, że maksima pojawią się w położeniach, dla których β = ±π, ±3π, ±5π,, lub ogólnie gdy β = ± m + 1 π gdzie m = ±1, ±, ±3, 3.16 Jest to w przybliżeniu prawdziwe, jednak z powodu czynnika (β/) w mianowniku równania 3.1 maksima nie wypadają dokładnie w tych punktach. Aby rozwiązać dokładnie to równanie ze względu na β konieczne jest użycie metod numerycznych. Okazuje się wtedy, że rzeczywiście nie ma maksimum dla β = ±π. Pierwsze maksimum po obu stronach maksimum centralnego pojawia się w pobliżu β = ±3π, a dokładnie dla ±,860π. Drugie maksimum występuje w pobliżu β = ±5π, a dokładnie w β = ±4,918π itd. Rysunek 3.13 przedstawia diagram fazowy dla pierwszego maksimum dyfrakcyjnego. Jak widać różnica faz między pierwszą, Rysunek 3.1 E 1 Rysunek 3.13 E 1 = 3π E 0

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 13 a ostatnią falą, w tym wypadku, wynosi 360 0 + 180 0. Dlatego też wypadkowa amplituda E 1 jest równa średnicy okręgu powstałego z zakreśla 3 obrotu. Przy czym zakreślona długość jest równa E 0 : Stąd E 0 = 3 π E 1 E 1 = 3π E 0 Podnosząc to do kwadratu, otrzymujemy ostatecznie: I 1 = 3π I0 = 0,047I 0 Postępując analogicznie dla dalszych maksimów znajdziemy, że przybierają one wartości: I = 0,0165I 0, I 3 = 0,0083I 0, itd. Zwróćmy uwagę, że natężenia maksimów bocznych maleją gwałtownie, jak widać to na rysunku 3.1. Nawet dla pierwszego maksimum jego natężenie stanowi niecałe 5% natężenia maksimum centralnego. Szerokość obrazu dyfrakcyjnego dla pojedynczej szczeliny. Dla małych kątów szerokość kątowa obrazu dyfrakcyjnego jest odwrotnie proporcjonalna do szerokości szczeliny a, a dokładniej do stosunku a do długości fali λ. Rysunek 3.14 przedstawia rozkład natężenia fali w funkcji θ dla różnych wartości a/λ. W przypadku fal świetlnych długość fali jest często znacznie mniejsza niż szerokość szczeliny, a wartości θ w wyrażeniach 3,13 i 3.14 są na tyle małe, że przybliżenie sinθ = θ jest całkiem dobre. W tym przybliżeniu, położenie θ 1 pierwszego minimum obok maksimum centralnego, odpowiadające β/ = π z równania 3.14 jest równe: Rysunek 3.14 θ 1 = λ a 3.17 Wielkość ta charakteryzuje szerokość maksimum centralnego, która jak widzimy jest odwrotnie proporcjonalna do szerokości szczeliny a. Dopóki przybliżenie dla małych kątów jest słuszne, dopóty maksimum to jest dwukrotnie szersze od maksimów bocznych. Kiedy szczelina jest rzędu centymetrów lub więcej, wtedy całe światło zbiega się w geometryczne ognisko. Jeżeli jednak, a jest mniejsze od λ, wtedy maksimum centralne rozprzestrzenia się na cały ekran (θ >180 0 ) i nie obserwuje się obrazu dyfrakcyjnego.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 14 Ważne jest, aby uświadamiać sobie, że dyfrakcja występuje w przypadku wszystkich rodzajów fal. Dźwięk ulega dyfrakcji kiedy przechodzi przez szczelinę, czy otwór taki na przykład jak zwykłe drzwi. Fale dźwiękowe używane w rozmowie mają długość fali rzędu metra lub więcej, a typowe drzwi mają szerokość 1m lub mniej. W takiej sytuacji a jest mniejsze od λ i natężenie centralnego maksimum rozciąga się na całe 180 0. Dlatego właśnie dźwięki dochodzące zza otwartych drzwi są dobrze słyszalne przez dobrze ukrytego podsłuchiwacza. 3.6 Dyfrakcja na wielu szczelinach. W poprzednim wykładzie analizowaliśmy obraz interferencyjny pochodzący od dwu bardzo wąskich (punktowych) źródeł, w związku z czym zaniedbaliśmy efekty związane ze skończoną (niezerową) szerokością szczeliny. Wyżej zajmowaliśmy się efektami dyfrakcyjnymi, które pojawiają się gdy światło przechodzi przez pojedynczą szczelinę. Oprócz tego ciekawe zjawiska występują, gdy światło przechodzi przez dwie szczeliny o skończonych szerokościach, lub gdy mamy cały szereg bardzo cienkich szczelin. Dwie szczeliny o skończonej szerokości. Przyjrzyjmy się jeszcze raz przypadkowi dwu szczelin w bardziej realnym przypadku kiedy mają one określoną szerokość. Jeżeli szczeliny są wąskie w porównaniu z długością fali, wtedy możemy przyjąć, że światło z każdej szczeliny rozprzestrzenia się równomiernie we wszystkich kierunkach na prawo od (c) (d) (e) Rysunek 3.15 szczelin. Przyjęliśmy to założenie w poprzednim wykładzie i stwierdziliśmy, że w tym wypadku obraz interferencyjny składa się z jednakowo odległych i o jednakowym natężeniu maksimów interferencyjnych. Jednak w przypadku gdy dwie szczeliny mają skończone rozmiary, obraz interferencyjny ulega modulacji przez obraz dyfrakcyjny charakterystyczny dla rozmiarów każdej szczeliny. Rysunek 3.15a przedstawia rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym pochodzącym od pojedynczej szczeliny o szerokości a. Minia dyfrakcyjne oznaczone są jako m d = ±1, ±,,

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 15 ( d dla dyfrakcji). Rysunek 3.15b obraz dyfrakcyjny powstały w wyniku interferencji pochodzącej od dwu bardzo cienkich szczelin odległych o d od siebie. W tym wypadku d jest cztery razy większe od a d = 4a.Maksima interferencyjne oznaczone są jako m i = 0, ±1, ±, ( i dla interferencji). Zwróćmy uwagę, że odległości między kolejnymi minimami w obrazie pochodzącym od pojedynczej szczeliny są cztery razy większe niż te odległości w obrazie pochodzącym od dwu cienkich szczelin. Wyobraźmy sobie teraz, że rozszerzamy każdą z dwu cienkich szczelin do szerokości a, takiej samej jaka daje obraz dyfrakcyjny na rysunku 3.15a. Rysunek 3.15c przedstawia obraz pochodzący od dwu szczelin o szerokości a, oddalonych od siebie (od środków) o d = 4a. Wypadkowy efekt pochodzący od dwu szczelin o skończonych rozmiarach jest złożeniem tych dwóch obrazów, tzn. wymnożeniem dwu natężeń w każdym punkcie. Maksima pozostają w tych samych położeniach co poprzednio, jednak ich natężenia są zmodulowane przez obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny. Zależność pokazana na rysunku 3.15c jest proporcjonalna do iloczynu dwu czynników: wyrażenia dla bardzo cienkich szczelin. i wyrażenia dla pojedynczej szczeliny 3.1: I = I 0 cos φ sin β β 3.18 gdzie tak jak poprzednio: Dwie szczeliny o skończonej szerokości. φ = πd λ πa sinθ i β = sinθ λ Zwróćmy uwagę, że na rysunku 3.15c brakuje co czwartego maksimum interferencyjnego (m i = ±4, ±8, ), ponieważ miejsca te pokrywają się minimami dyfrakcyjnymi (m d = ±1,±, ). Widać to również na rysunku 3.15d, który jest fotografią obrazu dyfrakcyjnego zrobioną dla przypadku gdy d = 4a. Przekonajmy się osobiście, że rzeczywiście brakuje zawsze maksimum, gdy d jest pomnożone przez liczbę całkowitą. Rysunki 3.15c i 3.15d pokazują, że gdy oddalamy się od wyraźnego maksimum centralnego dla dwu szczelin, wtedy natężenie maksimów maleje. Jest to spowodowane modulacyjnym wpływem obrazu dyfrakcyjnego pochodzącego od pojedynczej szczeliny z rysunku 3.15a; w podejściu matematycznym- zmniejszenie natężenia spowodowane jest czynnikiem (β/) w mianowniku wyrażenia 3.18. Dla porównania na rysunku 3.15e przedstawiono fotografię obrazu dyfrakcyjnego wtedy, gdy światło przechodzi tylko przez jedną szczelinę. Zmniejszenie natężenia światła widać również na rysunku.7a. Im węższe

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 16 są szczeliny tym szerszy jest obraz dyfrakcyjny, a tym samym zmniejsza się natężenie od jednego maksimum do następnego. Czy powinniśmy nazwać obraz na rysunku 3.15d obrazem interferencyjnym, czy dyfrakcyjnym? W zasadzie jest on i tym i tym, ponieważ jest wynikiem nałożenia fal pochodzących części dwóch otworów. Mówiąc ogólnie nie ma jakiegoś podstawowego rozróżnienia między dyfrakcją, a interferencją. Szereg szczelin. Rozpatrzmy teraz obraz powstający w przypadku, gdy mamy szereg bardzo cienkich szczelin. Jak się przekonamy, taki układ cienkich szczelin posiada ogromne praktyczne znaczenie w spektroskopii, pozwalając określić dokładnie długość fali świetlnej docierającej ze źródła. Załóżmy, że szczeliny są na tyle małe w Rysunek 3.16 porównaniu z długością fali, iż obraz dyfrakcyjny pochodzący od każdej ze szczelin daje jednorodne natężenie światła (Rysunek3.14a). Rysunek 3.16 przedstawia układ ośmiu cienkich szczelin oddalonych od siebie o d. Wzmocnienie interferencyjne (interferencja konstruktywna) pojawia się, gdy promienie padają pod kątem θ do normalnej i docierają do punktu P z różnicom dróg między sąsiednimi szczelinami: dsinθ = mλ (m = 0, ±1, ±, ) Oznacza to, że wzmocnienie następuje wtedy, gdy różnica faz ϕ w punkcie P światła pochodzącego od sąsiednich szczelin jest wielokrotnością π. Oznacza to, że maksima w obrazie pojawiają się w tych samych położeniach jak dla przypadku dwu szczelin, a Rysunek 3.17 zatem są oczywiście w tych samych odległościach od siebie. A co znajduje się między maksimami? W obrazie pochodzącym od dwu szczelin mamy jedno minimum natężenia światła dokładnie pomiędzy dwoma maksimami odpowiadające kątom ugięcia, dla których różnica faz między falami z dwu szczelin wynosi π, 3π, 5π itd. W przypadku obrazu od ośmiu szczelin również pojawiają się minima, ponieważ światło z sąsiednich szczelin wygasza się parami jak widać na rysunku 3.17a. Nie są to jednak jedyne minima w tym obrazie. Na przykład gdy różnica faz między sąsiednimi szczelinami wynosi π/4 diagram wskazowy wygląda tak jak na rysunku 3.17b; całkowity (wypadkowy) wskaz

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 17 jest równy zero i natężenie fali jest zerowe. Kiedy ϕ jest równe 90 0, wtedy diagram jest taki jak na rysunku 3.17c i tym razem również wypadkowy wskaz wynosi zero, a natężenie światła jest zerowe. Ogólnie, natężenie światła staje się zawsze równe zeru, gdy ϕ jest wielokrotnością π/4, oprócz, gdy ϕ = π. Zatem istnieje siedem minimów po każdym maksimum. Szczegółowe obliczenia pokazują, że obraz z ośmiu szczelin wygląda tak jak na rysunku 3.18b. Duże maksima zwane maksimami głównymi znajdują się tych samych położeniach jak dla dwu szczelin na rysunku 3.18a, ale są bardziej cienkie. Jeżeli różnica faz ϕ między Rysunek 3.18 sąsiednimi szczelinami różni się niewiele od π, wtedy fale ze szczeliny 1 i będą tylko trochę różnić się fazą, jednak różnica faz między szczeliną 1 i 3 będzie większa, ta między 1 i 4 jeszcze większa itd. Prowadzi to do częściowego wygaszania dla kątów, które tylko niewiele różnią się od kąta dla maksimum dając w rezultacie cienkie maksima na rysunku 3.18b. Maksima są jeszcze cieńsze dla szesnastu szczelin (Rysunek 3.18c). Reasumując, w przypadku N szczelin mamy (N 1) minimów pomiędzy każdą parą maksimów głównych i minima pojawiają się, gdy ϕ jest wielokrotnością π/n (oprócz ϕ będącego wielokrotnością π, kiedy mamy maksimum główne). Między minimami znajdują się małe maksima poboczne, stają się one coraz mniejsze wraz ze wzrostem N. Im większa wartość N, tym cieńsze są maksima główne. Z punktu widzenia energii całkowita energia jest proporcjonalna do N. Wysokość każdego maksimum jest proporcjonalna do N, zatem z zasady zachowania energii szerokość każdego maksimum głównego musi być proporcjonalna do 1/N. Jak zobaczymy w dalszej części, cienkość głównych maksimów w wieloszczelinowym obrazie ma bardzo duże praktyczne znaczenie w fizyce i astronomii. 3.7 Siatka dyfrakcyjna.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 18 Widzieliśmy właśnie, że zwiększanie ilości szczelin (przy utrzymaniu stałej odległości między nimi) powoduje powstawanie obrazu interferencyjnego, w którym maksima znajdują się ciągle w tych samych miejscach, ale stopniowo stają się ostrzejsze (węższe). Dzięki temu że, maksima te są tak ostre można mierzyć z dużą precyzją ich położenie a tym samym długość fali. Ma to duże praktyczne znaczenie. Ciąg dużej ilości równoległych szczelin posiadających jednakową szerokość a i oddalonych od siebie o d nazywamy siatką dyfrakcyjną. Pierwsza zbudowana przez Fraunhofera składała się z drucików. Siatki mogą być wykonane poprzez nacięcie diamentową końcówkom na szkle szeregu równoległych rowków lub poprzez wykonanie pomniejszonej fotografii narysowanych na papierze białych i ciemnych pasków. W przypadku siatki często używa się pojęcia linie zamiast szczeliny. Na rysunku 3.19 GG jest przekrojem poprzecznym siatki transmisyjną (przepuszczającej światło). Rysunek pokazuje tylko sześć szczelin, w rzeczywistości siatki dyfrakcyjna może posiadać ich kilka tysięcy. Odległość między środkami sąsiednich szczelin nazywamy stałą siatki. Płaska fala monochromatyczna pada prostopadle na siatkę. Będziemy się zajmować typem dyfrakcji Fraunhofer, to znaczy, gdy obraz tworzy się na ekranie, który jest na tyle daleko, że można przyjąć iż promienie biegną równolegle. W poprzedniej części stwierdziliśmy, że maksima główne tworzą się w tych samych położeniach jak w przypadku dwu szczelin. Zatem położenie maksimów będzie określone zależnością: Rysunek 3.19 dsinθ = mλ m = 0, ±1, ±, 3.19 Siatka dyfrakcyjna położenia maksimów. Wykresy natężeń w przypadku dwu, ośmiu i szesnastu szczelin pokazane są na rysunku 3.18 i obrazują wzrastającą ostrość maksimów. Kiedy siatka zawierająca setki lub tysiące linii jest oświetlona przez równoległą wiązkę światła monochromatycznego obraz interferencyjny jest zbiorem ostrych linii (prążków) obserwowanych pod kątami określonymi przez 3.19. Linie (prążki) m = ±1 nazywają się liniami (prążkami) pierwszego rzędu, m =± drugiego rzędu itd. Jeżeli siatka jest oświetlona światłem białym o ciągłym rozkładzie długości fal, wtedy każda wartość m związana jest z widmem ciągłym obrazu. Kąt dla każdej długości fali określony jest przez równanie 3.19 dla

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 19 danego m; fale dłuższe (czerwony koniec widma) leżą pod większymi kątami (czyli są bardziej odchylone od kierunku pierwotnego padania) niż fale krótsze z fioletowego końca widma. Jak pokazuje równanie 3.19 sinusy kątów odchyleń maksimów są proporcjonalne do λ/d. Jeżeli odchylenia te mają być znaczne, to stała siatki d powinna być rzędu długości fali λ. Siatki używane do światła widzialnego (λ od 400nm do 700nm) mają zwykle około 1000 linii na milimetr; wartość d jest zatem odwrotnością ilości linii na jednostkę długości, czyli d jest rzędu 1 1000 mm = 1000nm. W siatkach odbiciowych ciąg równoodległych szczelin jest zastąpiony przez szereg równoodległych rowków lub prążków na odbijającym ekranie. Odbite światło posiada maksima natężeń fal dla kątów, przy których różnica faz między falami świetlnymi odbitymi od sąsiednich rowków lub prążków jest wielokrotnością π. Jeżeli światło o długości fali λ pada prostopadle na siatkę odbiciową o stałej siatki d (odległość między sąsiednimi wyżłobieniami lub wypukłościami), wtedy kąt odbić, dla których powstaje wzmocnienie są określone równaniem 3.19. Opalizujące kolory niektórych motyli biorą się stąd, że na skrzydłach tych motyli znajdują się mikroskopijne wypukłości, które tworzą siatkę dyfrakcyjną. Tęczowe odbicie, które widzimy na powierzchni płyt CD ROM lub DVD jest również efektem odbicia od siatki odbiciowej (Rysunek 3.0). Rowkami są w tym wypadku maleńkie wgłębienia o głębokościach 0,1μm na powierzchni dysku ze stałą radialną odległością między nimi równą d = 1,60μm = 1600nm. Informacja jest zakodowana na CD dzięki zmiennej długości wgłębień; a odbiciowy aspekt dysku ma charakter jedynie estetyczny. Rysunek 3.0 Spektroskopia interferencyjna. Siatki dyfrakcyjne znajdują szerokie zastosowanie w spektroskopach przyrządach mierzących widmo światła wysyłanego przez różne źródła. Światło padające na siatkę o znanej stałej siatki ulega rozczepieniu na widmo. Mierzy się kąty odpowiadające maksimom i na podstawie równania 3.19 określa się długość fali. Używając siatek z wieloma szczelinami można w ten sposób otrzymywać bardzo ostre maksima i precyzyjnie mierzyć ich kąty. Ważną dziedziną zastosowań spektroskopii jest astronomia. Kiedy światło wytworzone we wnętrzu gwiazdy przechodzi przez jej atmosferę, określone długości fal ulegają pochłonięciu. W rezultacie na tle ciągłego widma gwiazdy obserwujemy za pomocą siatki widmo

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 0 Rysunek 3.1 Rysunek 3. absorpcyjne (Rysunek 3.1). Na podstawie badań laboratoryjnych wiemy jakim pierwiastkom odpowiadają dane widma. Poprzez porównanie tych widm z widmem otrzymanym z gwiazdy możemy określić skład chemiczny atmosfery gwiazdy. W ten sam sposób można przeprowadzić analizę chemiczną galaktyk odległych o miliony lat świetlnych. Rysunek 3. przedstawia projekt spektroskopu używanego w astronomii. Stosuje się w tym celu zarówno siatki transmisyjne (jak na rysunku), jak i odbiciowe. W starszych spektroskopach stosowane były pryzmaty. Jednak w przypadku pryzmatów nie istnieje prosty związek między kątem ugięcia, a długością fali. Poza tym pryzmaty pochłaniają część światła przechodzącego przez nie i są mało wydajne dla szeregu długości fal z poza zakresu widzialnego. Z tych powodów stosuje się głównie siatki dyfrakcyjne do precyzyjnych pomiarów. Zdolność rozdzielcza siatek dyfrakcyjnych. Ważnym czynnikiem określającym precyzyjność spektrografu w odróżnianiu niewiele się różniących długości fal jest zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej R: R = λ Δλ 3.0 Chromatyczna zdolność rozdzielcza. gdzie Δλ jest minimalną różnicą długości fal, które mogą być rozróżnione przez siatkę (spektrograf). Dla przykładu: pobudzone do świecenia atomy sodu emitują fale żółte o długościach 589,00nm i 589,59nm. Spektroskop, który może ledwie odróżnić te dwie linie (zwane

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 1 dubletem sodowym) posiada zdolność rozdzielczą R = (590,00nm)/(0,59nm) = 1000. (Długości tych fal możemy dostrzec podczas gotowania wody na gazie. Jeżeli woda rozleje się na palnik, to rozpuszczony sód z soli kuchennej emituje światło żółtego koloru). Wyprowadzimy wyrażenie na zdolność rozdzielczą siatki dyfrakcyjnej. Dwie długości fali dają maksima pod niewiele różniącymi się kątami. Jako rozsądne (chociaż arbitralne) kryterium przyjmijmy, że możemy rozróżnić te dwa maksima jako oddzielne prążki, jeżeli maksimum jednego pokrywa się z pierwszym minimum drugiego. Z poprzednich rozważań wiemy, że maksimum m-tego rzędu pojawia się, jeżeli różnica faz wynosi ϕ = πm. Pierwsze minimum obok tego maksimum pojawi się, jeżeli ϕ = πm + π/n, gdzie N jest ilością szczelin. Wiemy również, że ϕ jest dane zależnością ϕ = (πd sinθ)/λ, a zatem kątowy przedział dθ różniczkując wyrażenie na ϕ: odpowiadający małemu przyrostowi dϕ przesunięciu fazy można obliczyć dφ = πcos θdθ λ Jeżeli dϕ = π/n, to odpowiada mu zmiana kąta ugięcia dθ między maksimum, a pierwszym minimum. Zatem π N = πdcosθdθ λ lub dcosθdθ = λ N 3.1 Znajdźmy teraz zmianę kątową dθ między maksimami dwu trochę różnych długości fal. W tym celu wystarczy zróżniczkować dsinθ = mλ: dcosθdθ = mdλ 3. Zgodnie z naszym kryterium granicę rozdzielczości otrzymamy, gdy obie te odległości kątowe będą równe. Porównując 3.1 i 3. otrzymujemy: λ Δλ = Nm Jeżeli Δλ jest małe, to możemy podstawić zamiast dλ Δλ i wtedy zdolność rozdzielcza będzie równa: R = λ = mn 3.3 λδ Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej. Widać że, im większa ilość szczelin, tym większa zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej i im większy rząd widma m maksimum dyfrakcyjnego, tym również lepsza zdolność rozdzielcza. 3.8 Dyfrakcja na otworze kołowym i zdolność rozdzielcza.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki Zajmowaliśmy się do tej pory dyfrakcją na długiej i wąskiej szczelinie lub na zespole takich szczelin. Jednak dyfrakcja powstaje zawsze bez względu na kształt szczelin. Bardzo ważnym przypadkiem jest dyfrakcja na otworze kołowym, ponieważ pozwala odpowiedzieć na pytanie, z jaką graniczną dokładnością różne przyrządy optyczne mogą rozróżniać szczegóły. W zasadzie moglibyśmy policzyć natężenie fali w danym punkcie P obrazu dyfrakcyjnego poprzez podzielenie obszaru otworu na małe części, znaleźć amplitudę i fazę fali wypadkowej i następnie scałkować po powierzchni otworu znajdując tym samym wypadkową amplitudę i natężenie w punkcie P. W praktyce takie podejście jest niewykonalne przy wykorzystaniu podstawowych funkcji. Zamiast tego opiszemy otrzymywany obraz i przytoczymy parę liczb. Obraz dyfrakcyjny utworzony przez otwór kołowy składa się z centralnego jasnego krążka otoczonego szeregiem białych i ciemnych pierścieni, jak jest to pokazane na rysunku 3.3. Opiszemy powstały obraz poprzez podanie kątów θ reprezentujących kątowy promień każdego z pierścieni. Jeżeli średnica otworu wynosi D i długość fali λ, wtedy kątowy promień θ 1 pierwszego ciemnego pierścienia dany jest przez Plamka Airyego Rysunek 3.3 sinθ 1 = 1, λ D 3.4 Dyfrakcja na otworze kołowym. Promienie kątowe następnych dwóch ciemnych pierścieni dane są przez sinθ =,3 λ D sinθ 3 = 3,4 λ D 3.5 Między nimi znajdują się jasne pierścienie, których promienie kątowe określone są przez sinθ = 1,63 λ D,68 λ D 3,70 λ D 3.6 itd. Centralny jasny dysk nazywa się plamką Airyego. Jego promień kątowy określony jest przez równanie 3.4.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 3 Natężenie jasnych pierścieni spada bardzo gwałtownie wraz ze wzrostem kąta. Jeżeli D jest znacznie większe niż długość falo λ, wtedy natężenie pierwszego pierścienia stanowi tylko 1,7% natężenia w środku plamki Airyego, a drugiego pierścienia tylko 0,4%. Większość energii światła (85%) przypada na plamkę Airyego. Rysunek 3.3 pokazuje obraz dyfrakcyjny na kołowym otworze o średnicy 1mm. Dyfrakcja ma bardzo duży wpływ na obrazy powstające przy użyciu soczewek i zwierciadeł. W wykładzie poświęconym optyce geometrycznej zakładaliśmy, że równoległa wiązka światła jest ogniskowana przez z soczewkę o ognikowej f w punkcie w odległości f od soczewki. To (a) (b) (c) Rysunek 3.4 założenie pomija efekty dyfrakcyjne. Teraz widzimy, że to co otrzymujemy nie jest punktem, a obrazem dyfrakcyjnym opisanym przed chwilą. Jeżeli mamy dwa punktowe obiekty, wtedy ich obraz nie jest dwoma punktami, a dwoma obrazami dyfrakcyjnymi. Kiedy przedmioty są dostatecznie blisko siebie, to ich obrazy dyfrakcyjne zachodzą częściowo na siebie; jeżeli są jeszcze bliżej, to zachodzą na siebie w stopniu uniemożliwiającym ich rozróżnienie. Zjawisko to pokazane jest na rysunku 3.4, który przedstawia trzy, bardzo małe punktowe źródła światła. Na rysunku 3.4a obraz po lewej stronie jest wyraźnie oddzielony od pozostałych dwóch, jednak obrazy środkowego źródła i prawego uległy zlaniu. Na rysunku 3.4b przekrój otworu D jest większy i przez co mniejsza plamka Airyego i dwie prawe plamki są widoczne wyraźniej. Na rysunku 3.4c średnica otworu jest jeszcze większa i wszystkie są dobrze widoczne. Szeroko stosowanym kryterium służącym do rozróżnienia dwu punktowych obiektów jest kryterium Rayleigha. Mówi ono, że dwa obiekty są jeszcze rozróżnialne, jeżeli środek obrazu dyfrakcyjnego jednego obiektu pokrywa się z pierwszym minimum drugiego. W tym przypadku odległość kątowa między brzegami obrazów określona jest przez równanie 3.4. Kątowa odległość przedmiotów jest taka sama jak kątowa odległość obrazów wytworzonych przez takie przyrządy jak teleskop, mikroskop lub inny przyrząd optyczny. Schematycznie

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 4 jest to pokazane na rysunku 3.5. Zatem dwa punkty są jeszcze rozróżnialne, zgodnie z kryterium Rayleigha, jeżeli ich odległość kątowa dana jest wyrażeniem 3.4. Minimalna odległość między dwoma obiektami, które mogą być rozróżnialne przez Rysunek 3.5 przyrząd optyczny nazywa się granicą rozdzielczości instrumentu. Im mniejsza wartość granicy rozdzielczości, tym większa rozdzielczość (zdolność rozdzielcza) instrumentu. Dyfrakcja powoduje, że rozdzielczość soczewek jest skończona. Z optyki geometrycznej moglibyśmy wyciągnąć wniosek, że obraz można powiększać w nieskończoność. Rzeczywiście możemy go powiększać jednak nie spowoduje to, iż zobaczymy więcej szczegółów. Zdjęcia z rysunków 3.4 nie staną się ostrzejsze, jeżeli je powiększymy. Kryterium Rayleigha wraz z równaniem 3.4 pokazuje, że zdolność rozdzielcza polepsza się wraz z zwiększeniem średnicy; staje się również większa jeżeli maleje długość fali. Mikroskopy ultrafioletowe mają większą rozdzielczość niż zwykłe mikroskopy wykorzystujące światło widzialne. W mikroskopach elektronowych rozdzielczość określona jest przez długość fali związanej z elektronem. Te długości fal mogą być 100000 razy mniejsze niż długości światła widzialnego. Jednym z powodów budowy dużych teleskopów jest zwiększenie ich średnic, a co za tym idzie zminimalizowanie efektów dyfrakcyjnych. Dyfrakcja ma duże znaczenia podczas konstruowania talerzy parabolicznych anten do odbioru satelitarnych Rysunek 3.6 programów telewizyjnych. Talerze satelitarne powinny odbierać program satelitarny z dwóch satelitów nadającej na tej samej częstości, które znajdują się w odległości kątowej paru stopni od siebie. Potrzeba rozdzielenia takich transmisji determinuje minimalną średnicę anten. Na przykład, jeżeli satelity znajdują się o 5 0 od siebie i nadają w zakresie 7,5cm mikrofal, wtedy minimalna średnica talerza potrzebna do ich odróżnienia jest równa około1m (zgodnie z kryterium Rayleigha). Efektywna średnica teleskopów może być zwiększona w szeregu przypadkach poprzez użycie zespołu mniejszych teleskopów. VLA (The Very Large Array) jest układem 7 teleskopów, które są rozstawione w kształcie litery Y na 36km (Rysunek 3.6). W rezultacie otrzymuje się koło o średnicy 36km i dającą VLA graniczną rozdzielczość mniejszą niż

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 5 3 10 7 rad. Jest to porównywalne w zakresie optycznym z odczytywaniem dolnej linii optycznej tablicy druku z odległości 7km! NASA projektuje umieszczenie dużej liczby teleskopów na podczerwień, które stworzyły by układ o szerokości 6000km. Uzyskana w ten sposób rozdzielczość umożliwiła by ujrzenie kontynentów na planetach odległych o wiele lat świetlnych. Przykład. Soczewki aparatu fotograficznego o ogniskowej f = 50cm maksymalnej średnicy (przesłona f/) tworzą obraz przedmiotu umieszczonego w odległości 9,0m. a) Jeżeli rozdzielczość jest ograniczona przez dyfrakcję, to jaka będzie minimalna odległość między dwoma punktami przedmiotu, które jeszcze mogą być rozróżnialne, i jaka jest odległość między obrazami tych punktów? Jak zmieni się sytuacja, gdy zwiększymy przesłonę do f/16? Przyjmij, że λ = 500nm w obu przypadkach. Analiza problemu. Liczba f (f-number) oznacza, że ogniskowa f jest podzielona przez średnicę przesłony D. Użyjemy tę informację do obliczenia D, następnie korzystając z 3.4 obliczymy odległość kątową θ między ledwie rozróżnialnymi punktami przedmiotu. Użyjemy wiadomości o tworzeniu się obrazów w optyce geometrycznej i obliczymy odległość między tymi punktami i odległość między obrazami tych punktów. Rozwiązanie. (a) 1. Średnica jest równa: D = f = 50mm liczba f. Kątowa odległość θ tych punktów: θ sinθ = 1, λ D = 1, 500 10 9 m 5 10 3 m 3. Niech s i s będą odległościami przedmiotu i obrazu od obiektywu, a y i y rozmiarami przedmiotu i obrazu, wtedy: Odległość kątowa przedmiotu i obrazu jest taka sama. Ponieważ przedmiot znajduje się s znacznie większej niż f = 50mm, to s jest praktycznie równa f. W rezultacie: 4. θ = y s y = θ s = 5mm = 5 10 3 m y = y s s y =,4 10 5 9,0m = 0,mm =,4 10 5 rad 5. θ = y s (b) y = θ s y =,4 10 5 50mm = 0,00mm 1 800 mm

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 6 Tym razem średnica przesłony jest równa (50mm)/16, albo 1/8 średnicy poprzedniej. Odległość kątowa między ledwie odróżnialnymi punktami jest osiem razy większa i w związku z tym wartości y i y są również 8 razy większe niż poprzednio. A zatem: y = 1,8mm y = 0,0096mm 1 100 mm Uwaga: Wielu fotografów zawsze najniższą możliwą średnicę przesłony, aby osiągnąć maksymalną ostrość, ponieważ aberracja soczewek powoduje, że światło, które pada daleko od osi optycznej skupia się w innym punkcie niż światło w pobliżu tej osi. Robiący zdjęcia muszą być jednak świadomi, tego iż efekty dyfrakcyjne stają się większe przy dużej przesłonie. Należy umiejętnie zbalansować obie przyczyny nieostrości obrazu. 3.9 Holografia. Holografia (tj. zapis całościowy od greckiego: holos cały, grafo piszę) jest szczególnym sposobem zapisu, a następnie odtworzenia pola falowego, opartego na rejestracji obrazu interferencyjnego. Powstawanie obrazu holograficznego tłumaczy się na gruncie praw optyki falowej prawami interferencji i dyfrakcji. Ten całkowicie nowy sposób utrwalania i odtwarzania przestrzennego obrazu przedmiotów został odkryty przez angielskiego fizyka D.Gabora w 1947roku. Jednak rozwój metod holograficznego zapisu obrazu nastąpił w latach sześćdziesiątych ubiegłego stulecia, po wynalezieniu lasera. Rozpatrzymy podstawowe zasady holografii, tzn. zapis i odtworzenie informacji o przedmiocie. W celu zapisu i odtwarzania fali konieczna jest umiejętność rejestracji i odtwarzania amplitudy i fazy fali rozprzestrzeniającej się od przedmiotu. Jest to możliwe, ponieważ rozłożenie natężenia w obrazie interferencyjnym opisywane wzorem Zwierciadło Przedmiot b a Obraz pozorny Laser Laser Hologram Przesłona Obraz rzeczywisty Rysunek 3.7

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 7 E E 1 E E E cos 1 (patrz poprzedni wykład i I ~ E ), jest określone zarówno przez amplitudę, jak i przez różnicę faz interferujących fal. Dlatego też, do zapisu informacji amplitudowej i fazowej, oprócz fali pochodzącej od przedmiotu (wiązka przedmiotowa), wykorzystuje się dodatkowo falę spójną z wiązką przedmiotową - pochodzącą od źródła światła (wiązkę odniesienia). Idea holografii polega na tym, że fotografuje się rozkład natężenia światła w obrazie interferencyjnym powstającym podczas nakładania się falowego pola obiektu i spójnej z nim fali odniesienia o znanej fazie. Jeżeli wytworzyć z kolei dyfrakcję światła na zarejestrowanych poczernieniach kliszy fotograficznej, można odtworzyć pole falowe przedmiotu i tym samym oglądać ten przedmiot w postaci obrazu przestrzennego. Idea ta może być zrealizowana praktycznie za pomocą uproszczonego schematu przedstawionemu na rysunku 3.7a. Wiązka z lasera zostaje podzielona na dwie części; jedna część wiązki odbija się od zwierciadła i pada na kliszę fotograficzną (wiązka odniesienia), a druga pada na kliszę fotograficzną po odbiciu się od przedmiotu (wiązka przedmiotowa). Wiązki przedmiotowa i wiązka odniesienia są spójne i nakładając się na siebie, tworzą na kliszy obraz interferencyjny. Po wywołaniu kliszy fotograficznej tworzy się zapis interferencyjny zwany hologramem. W celu odtworzenia obrazu (Rysunek 3.7b) hologram umieszcza się w tym samym miejscu, w którym się znajdował przed zapisem. Następnie oświetla się go za pomocą wiązki odniesienia z tego samego lasera (drugą część wiązki lasera zasłania się przesłoną). W wyniku dyfrakcji światła na strukturze interferencyjnej hologramu powstaje kopia fali przedmiotowej, tworząca pozorny, objętościowy (ze wszystkimi charakterystycznymi cechami przedmiotu) obraz przedmiotu, w miejscu gdzie przedmiot był umieszczony podczas tworzenia hologramu. Hologram jest na tyle realny, że wręcz chciało by się go dotknąć. Oprócz tego, powstaje dodatkowo rzeczywisty obraz przedmiotu, który posiada strukturę odwrotną do struktury przedmiotu, tzn. miejsca wypukłe zostają, zamienione przez miejsca wklęsłe i na odwrót. Zwykle korzysta się z pozornego obrazu holograficznego, który odbierany wzrokiem daje pełne złudzenie istnienia realnego przedmiotu. Na obraz z hologramu można patrzeć z różnych stron. Jeżeli podczas zapisu hologramu przedmioty leżące bliżej zasłaniały przedmioty znajdujące się dalej, to przesuwając się w bok, można zaglądać za najbliższy przedmiot (a ściślej za jego obraz) i zobaczyć przedmioty za nim ukryte. Wyjaśnia się to tym, 1