VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa. log + log 0. log 6 + log C. log 6 log D. log 0 log 6 Zadanie. ( pkt) Liczba 0 to p% liczby 80, zatem. p < 0. p = 0 C. p =,5 D. p >,5 Zadanie 5. ( pkt) % liczby x jest równe 6, zatem. x = 50. x < 50 C. x = 0 D. x > 0 Zadanie 6. ( pkt) Liczba y to 0% liczby x. Wynika stąd, że. y = x+ 0,. y = x+ 0, x C. x= y 0, D. x = y 0, y Zadanie 7. ( pkt) Rozwiązaniem równania x = x jest liczba.. C. 8 D. 8 90
Zadanie 8. ( pkt) Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x + 5x+ 6= 0 jest. 6. C. D. Zadanie 9. ( pkt). Wynika stąd, że. m = 0. m = C. m = D. m = Liczba jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) = ( m) x + Zadanie 0. ( pkt) x + dla x < Funkcja f jest określona wzorem f( x) =. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? x dla x. 0. C. D. Zadanie. ( pkt) Rysunek przedstawia wykres funkcji f ( x) y y =. y = f ( x) 0 x Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji = f ( x +).. y y y. 0 x 0 x C. D. y y 0 x 0 x 9
Zadanie. ( pkt) Który z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności x?.. C. 5 0 x 0 x 0 5 x D. 0 5 x Zadanie. ( pkt) Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y = x + x.. x =. x = C. x = D. x = Zadanie. ( pkt) Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział (,.. f x ( x ) ( ) = +. f x ( x) ( ) = + C. f x ( x ) ( ) = + D. f x ( x) ( ) = Zadanie 5. ( pkt) Zbiorem rozwiązań nierówności. ( 5) ( 5, + ) x 5 jest,. ( 5 5, + ), C. 5,+ ) D. 5,+ ) Zadanie 6. ( pkt) Wykres funkcji kwadratowej f x ( x ) o równaniu ( ) = + nie ma punktów wspólnych z prostą. y =. y = C. y = D. y = 5 9
Zadanie 7. ( pkt) Prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f( x) = x + 6x 0. Wynika stąd, że. a =. a = 0 C. a = D. a = Zadanie 8. ( pkt) Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f ( x) = x + x w przedziale 0,?. 7. C. D. Zadanie 9. ( pkt) Dane są wielomiany równy W( x) = x x, V( x) = x + x. Stopień wielomianu W( x) V( x) jest. 6. 5 C. D. Zadanie 0. ( pkt) Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie 5x = 0?.. C. D. Zadanie. ( pkt) Wskaż liczbę rozwiązań równania x = 0. x. 0. C. D. Zadanie. ( pkt) Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = x 7.. y = x + 7. y = x+ 5 C. y = x+ D. y = x Zadanie. ( pkt) Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y = x + 5?. y = x +. y = x + C. y = x + D. y = x + Zadanie. ( pkt) Punkty = (,) i C = ( 7,9) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta CD. Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy. 0. 6 C. 5 D. 9
Zadanie 5. ( pkt) Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu ( x ) ( y ) + + = z osiami układu współrzędnych jest równa. 0. C. D. Zadanie 6. ( pkt) Środek S okręgu o równaniu x + y + x 6y = 0 ma współrzędne. S = (,). S = (, ) C. S = (,6) D. S = (, 6) Zadanie 7. ( pkt) Dane są długości boków C = 5 i C = trójkąta prostokątnego C o kącie ostrym β (zobacz rysunek). Wtedy β C.. sin β =. 5 sin β = C. 5 sin β = D. 5 sin β = Zadanie 8. ( pkt) Kąt α jest ostry i sinα =. Wówczas. cosα <. cosα = C. cosα = D. cosα > Zadanie 9. ( pkt) Kąt α jest kątem ostrym i. α < 0 tgα =. Jaki warunek spełnia kąt α?. α = 0 C. α = 60 D. α > 60 9
Zadanie 0. ( pkt) Kąt między cięciwą a styczną do okręgu w punkcie (zobacz rysunek) ma miarę α = 6. Wówczas S β α. β =8. β = C. β =8 D. β =5 Zadanie. ( pkt) Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa80. Jaka jest miara kąta środkowego?. 60. 90 C. 0 D. 5 Zadanie. ( pkt) Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa 0. Miara kąta przy krótszej podstawie tego trapezu jest równa. 0. 0 C. 80 D. 70 Zadanie. ( pkt) Odcinki C i DE są równoległe. Długości odcinków C, CE i C są podane na rysunku. Długość odcinka DE jest równa D C 6 E. 6. 8 C. 0 D. 95
Zadanie. ( pkt) Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu cm jest równe. 6 cm. cm C. 6 cm D. 8 cm Zadanie 5. ( pkt) Ciąg ( ) n n a jest określony wzorem n ( ) ( ) a = 9 n dla n. Wynika stąd, że. a = 8. a = 7 C. a = 0 D. a > 0 Zadanie 6. ( pkt) Liczby x, i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa.. C. D. 7 Zadanie 7. ( pkt) Liczby 8, i x + (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa.., 5 C. D. 5 Zadanie 8. ( pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 0, jest. 5. C. D. 0 Zadanie 9. ( pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5 jest. 6. 0 C. 5 D. 0 Zadanie 0. ( pkt) Liczba sposobów, na jakie la i artek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa. 5. 0 C. 5 D. Zadanie. ( pkt) Mediana danych: 0,,,,, jest równa..,5 C. D.,5 Zadanie. ( pkt) Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa wartość 0 liczebność 5. 0. 0,5 C. D. 5 96
Zadanie. ( pkt) Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa częstość w % 0 0 0 0 0 0 wartość.., C.,5 D.,8 Zadanie. ( pkt) Ze zbioru liczb {,,,,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez. Wtedy. p < 0, 5. p = 0, 5 C. p = D. p > Zadanie 5. ( pkt) O zdarzeniach losowych i są zawartych w Ω wiadomo, że i P ( ) = 0,. Wtedy, P ( ) = 0,7. P ( ) =. P ( ) = 0,7 C. P ( ) = 0, D. P ( ) = 0, Zadanie 6. ( pkt) Przekątna sześcianu ma długość. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe. 5. 6 C. 8 D. Zadanie 7. ( pkt) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe cm. Objętość tego sześcianu jest równa. 8 cm. 6 cm C. 7 cm D. 6 cm 97
Zadanie 8. ( pkt) Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 5 ma długość 5.. 9 C. D. 8 Zadanie 9. ( pkt) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa 6. 8 π. 5 π C. 08 π D. 6 π Zadanie 50. ( pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 6. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe 6. π. 8 π C. 7 π D. 6 π 98
Zadanie 5. ( pkt) Rozwiąż równanie x =. x Zadanie 5. ( pkt) x+ y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = Zadanie 5. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZDNI OTWRTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 5. ( pkt) Rozwiąż równanie x x 6x + = 0. Zadanie 55. ( pkt) O funkcji liniowej f wiadomo, że f () = oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt P =,. Wyznacz wzór funkcji f. ( ) Zadanie 56. ( pkt) Oblicz miejsca zerowe funkcji x+ dla x 0 f( x) =. x + dla x > 0 Zadanie 57. ( pkt) Naszkicuj wykres funkcji x+ dla x 0 f( x) =. x + dla x > 0 Zadanie 58. ( pkt) Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f ( x) = x 6x+ w przedziale 0,. Zadanie 59. ( pkt) W x ax x + b Wielomiany ( ) = ( ) i V ( x) = x + x + x są równe. Oblicz a i b. Zadanie 60. ( pkt) x Wyrażenie x x + zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Zadanie 6. ( pkt) Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu x y = 0 i przechodzącej przez punkt P = (,). Zadanie 6. ( pkt) Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi Oy, którego środkiem jest punkt = (, 5) S. 99
Zadanie 6. ( pkt) Wyznacz równanie okręgu o środku = (, 5) S przechodzącego przez początek układu współrzędnych. Zadanie 6. ( pkt) Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta C, którego wierzchołkami =, = 6, C = 7,0. są punkty: ( ), ( ), ( ) Zadanie 65. ( pkt) W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości i, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sinα cos α. Zadanie 66. ( pkt) Kąt α jest ostry i sin α =. Oblicz + tg α. Zadanie 67. ( pkt) Punkt D leży na boku C trójkąta równoramiennego C, w którym D dzieli trójkąt C na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że (patrz rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta C. C C = C. Odcinek = D = CD D Zadanie 68. ( pkt) Oblicz pole trójkąta równoramiennego C, w którym = i C = C =. Zadanie 69. ( pkt) Liczby, 0, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c. Zadanie 70. ( pkt) Liczby 6, 0, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c. Zadanie 7. ( pkt) Liczby 6, 0, c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c. Zadanie 7. ( pkt) Liczby x, x, 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x. 00
Zadanie 7. ( pkt) Obwód czworokąta wypukłego CD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta D jest równy 6 cm, a obwód trójkąta CD jest równy 6 cm. Oblicz długość przekątnej D. Zadanie 7. ( pkt) Ile wyrazów ujemnych ma ciąg ( ) n a określony wzorem a n = n n dla n? Zadanie 75. ( pkt) Liczby, x, 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. Zadanie 76. ( pkt) Wyrazami ciągu arytmetycznego ( ) n 5 dają resztę. Ponadto a =. Oblicz a 5. a są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez Zadanie 77. ( pkt) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste? Uwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą. Zadanie 78. ( pkt) Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 5 lub 0? Zadanie 79. ( pkt) Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o większa od cyfry jedności? Zadanie 80. ( pkt) Na jednej prostej zaznaczono punkty, a na drugiej punkty (patrz rysunek). Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów? Zadanie 8. ( pkt) Średnia arytmetyczna liczb:,,, 0, x, 0 jest równa. Oblicz x. 0
Zadanie 8. ( pkt) Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości częstość w % 5 0 5 0 0 0 wartość Zadanie 8. ( pkt) Oblicz medianę danych: 0,,,,,,,. Zadanie 8. ( pkt) Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności wartość 0 liczebność Zadanie 85. ( pkt) Ze zbioru liczb {,,,,5,6,7,8,9,0,} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez lub przez. Zadanie 86. ( pkt) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 5. Zadanie 87. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5. Zadanie 88. ( pkt) i są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że Oblicz P ( ). Zadanie 89. ( pkt) i są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że Oblicz prawdopodobieństwo różnicy \. oraz P ( ) = 0, i ( ) = 0, P. oraz P ( ) = 0, i ( ) = 0, 7 P. 0
Zadanie 90. ( pkt) Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu. 9 Zadanie 9. ( pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości. Wysokość stożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka. 8 Zadanie 9. ( pkt) Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy. 0
Zadanie 9. ( pkt) Czworokąty CD i PQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że D C P = DR. Q R P Zadanie 9. ( pkt) Na boku C trójkąta C wybrano punkt D tak, by CD = dwusieczną kąta D. Udowodnij, że C C = CE. C. Odcinek E jest D E 0
ZDNI OTWRTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI Zadanie 95. Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru {0,,, }. Zadanie 96. Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego. Zadanie 97. Z miejscowości i oddalonych od siebie o 8 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości do miejscowości jedzie ze średnią prędkością mniejszą od 5 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości do miejscowości wyjeżdża o godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości przebył do tego miejsca 9 całej drogi z do. Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści? Zadanie 98. Uczeń przeczytał książkę liczącą 80 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę. Zadanie 99. Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 9. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a, b i c. Zadanie 00. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 0, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Zadanie 0. Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego CDS jest kwadrat CD. Pole trójkąta równoramiennego CS jest równe 0 oraz C : S = 0 :. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. 05
Zadanie 0. Podstawą ostrosłupa CDE jest kwadrat CD. Punkt F jest środkiem krawędzi D, odcinek EF jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że E = 5, E = 7. E F D C Zadanie 0. Dany jest trójkąt prostokątny C, w którym C = 0, C = 0, = 50. Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt C jest styczny do boku w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM. M W C Zadanie 0. Na zewnątrz trójkąta prostokątnego C, w którym C = 90 oraz C = 5, C = zbudowano kwadrat CDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej i kąt EH = 90. Oblicz pole trójkąta HE. D C E H Zadanie 05. Wykaż, że prawdziwa jest nierówność < 50 50 6 + +. 06
Zadanie 06. Udowodnij, że jeśli a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x + y xy. b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z =, to x + y + z. Zadanie 07. Punkt D leży na boku C trójkąta równoramiennego C, w którym D dzieli trójkąt C na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że = D (patrz rysunek). Udowodnij, że DC = 5 CD. C C = C. Odcinek D = CD oraz D Zadanie 08. Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio i CD (punkty,, C, D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że P + CRD = 80. R P C O D 07