Astrofizyka zagadnienia na egzamin Notatki na podstawie wykładu prof. Edwarda Malca spisane przez: Marcin Abram a, Marcin Fizia b, Andrzej Kądzielawa c 2 grudnia 29 a marcin.abram@uj.edu.pl b marcin.fizia@uj.edu.pl c andrzej.kadzielawa@uj.edu.pl
Spis treści Spis treści. Elementy kosmografii 2 2. Nukleosynteza pierwotna. Zapadanie grawitacyjne pyłu, czas kolapsu. Zastosowania 4 4. Twierdzenie wiralne. Energia i stabilność 6 5. Całkowita energia obłoku politropy... 8 6. Kryterium niestabilności Jeansa 8 7. Scenariusz powstawania pregwiazd. Warunek zapłonu 9 8. Fuzje termojądrowe w Słońcu. Neutrina... 9. Ewolucja ciężkich gwiazd i nukleosynteza ciężkich pierwiastków. Wielkości gwiazdowe. Wykres Hertzsprunga-Russela. Gaz doskonały - ciśnienie i równanie stanu. Warunek klasyczności i degeneracji 2. Gaz elektronowy w gwiazdach 5. Gaz fotonowy w gwiazdach 8 4. Równania Saha. Zastosowania 9 5. Termiczny transport energii w gwiazdach... 2 6. Konwekcja (unoszenie) w gwiazdach. Warunek konwekcji 22 7. Równania struktury gwiazd 2 8. Model Claytona i ograniczenie na masę... 24 9. Białe karły. Charakterystyka obserwacyjna 24 2. Granica Chandrasekhara 24 2. Zapadanie grawitacyjne w późnych stadiach rozwoju ewolucji ciężkich gwiazd. 25 22. Charakterystyka gwiazd neutronowych 28 2. Czarne dziury 28 24. Charakterystyka obserwacyjna czarnych dziur 28
. Elementy kosmografii 2. Elementy kosmografii Obiekt Masa (kg) Promień (m) Gęstość (kg/m ) Słońce M = 2 R = 7 8 ρ =,4 Ziemia M Z = 6 24 R Z = 6,5 6 ρ Z = 5,5 Tabela : Podstawowe wartości liczbowe dla Ziemi i Słońca [2]. Masę Słońca wyznaczono na podstawie znajomości okresu obiegu Ziemi wokół Słońca. Porównując siłę przyciągania Ziemi do Słońca z siłą odśrodkową otrzymujemy: M = ( 2π r T )2 (.) G Obiekt Znaczek Masa Promień Odległość od (M Z ) (R Z ) Słońca (a.u.) Słońce, 5 Merkury,6,4,4 Wenus,8,95,7 Ziemia Mars,,5,5 Jowisz 2 5,2 Saturn 95 9,5 9,5 Uran 4 4 9 Neptun 7 4 Pluton,2,2 9 Tabela 2: Podstawowe względne wartości liczbowe dla Układu słonecznego [2]. Planety skaliste mają gęstość około 5 kg, gazowe od,7 kg m m,7 kg (Neptun). m Charakterystyczne odległości: (Saturn) do jednostka astronomiczna: a.u =,5 m (odległość Słońce Ziemia); rok świetlny: ly = 9,46 5 m = 6, 4 a.u.; parsek: pc =,26 ly = 6 m (odległość, z jakiej a.u. widać pod kątem ); rozmiar układu Słonecznego: 4 AU (promień orbity Plutona); zakres oddziaływania Słońca: ly (pas Kuipera); Najbliższa gwiazda Proxima Centauri:,4pc. Struwe, Bessel wyznaczenie odległości do pierwszych gwiazd, W odl. 7 pc są 2 gwiazdy. W odległości 5 pc gwiazd w około 8 układach. W promieniu pc 2,5 miliona gwiazd.
2. Nukleosynteza pierwotna Droga Mleczna, galaktyka, w której znajduje się Układ Słoneczny, ma rozmiar ok. kpc. Ma ona sferyczny rozkład masy. Widzialna część masy rozłożona jest w kształcie dysku. Znajduje się w niej gwiazd. w odległości do 5 kpc znajdują się galaktyki, które łącznie należą do tzw. małej grupy lokalnej. W odległości 2 4 Mpc znajduje się gromada galaktyk Panna ( 4 M ). Znajdują się w niej najdalej widzialne indywidualnie gwiazdy oraz cefeidy. Z pomiarów można wyznaczyć prędkość ucieczki Panny od Drogi Mlecznej. Z własności cefeid można wyznaczyć wartość stałej Hubble a. Coma (inaczej: Warkocz Bereniki) odległość ok. 9 Mpc. Gwiazdy tworzą tam strukturę związaną. Większa część materii jest materią nieświecącą. 2. Nukleosynteza pierwotna Materia wszechświata składa się głównie z wodoru i helu ( m He m H = ). Hel znajdujący się we Wszechświcie nie został wyprodukowany tylko w gwiazdach, ale przede wszystkim w czasie pierwszych kilku minut istnienia Wszechświata. Proces ten nazywa się pierwotną nukleosyntezą. Scenariusz nukleosyntezy (zarys przedstawiony w pracy αβγ): t= Wielki Wybuch; 4 s 5 s inflacja; znamy równania fizyki w tym czasie, ślady tej epoki są obserwowane w kosmicznym promieniowaniu tła (Penzias, Wilson); 9 s etap QCD, istnieją cząstki elementarne, gdy temperatura spada poniżej 4 K cząstki zaczynają anihilować, natomiast kwarki łączyć się tworząc protony i neutrony; s istnieją neutrony, protony, elektrony, pozytony, neutrina i fotony. Gdy temperatura spadła do ok. K (t s) neutrina przestały oddziaływać z materią. W wyniku ekspansji Wszechświata neutrina te mają dziś temperaturę 2.6 K, nie można ich dziś wykrywać, bo mają za małą energię; s tworzenie się lekkich jąder; s rekombinacja, tworzenie się atomów, Wszechświat przeźroczysty względem fotonów (wtedy 4 K, dziś te fotony mają temperaturę K kosmiczne promieniowanie tła CMBR). Synteza helu: Gdy temperatura Wszechświata była rzędu K jedynymi cząstkami były protony i neutrony. W wyniku reakcji powstawały np. deuterony, ale były one szybko rozszczepiane w wyniku kolizji z innymi cząstkami, gdyż energie tych cząstek były większe od energii wiązania neutron-proton (2,2 M ev).
. Zapadanie grawitacyjne pyłu, czas kolapsu. Zastosowania 4 W tak wysokiej temperaturze miały miejsca nie tylko reakcje rozpadu neutronu, ale również procesy odwrotne: n p + e + ν e (2.) p + ν e n + e + (2.2) n + ν e p + e (2.) W temperaturze ok. 9 K (t s) stosunek ilości neutronów do protonów ( m = m neutron m proton =, MeV ) wynosił: c 2 N n N p = exp ( mc2 k B T ) = 7 (2.4) W tym etapie rozwoju Wszechświata gęstości materii są na tyle duże, że mogą zachodzić sekwencje następujących reakcji (pierwsza z nich może zachodzić w drugą stronę, ale z mniejszym prawdopodobieństwem): n + p d + γ (2.5) (n,p) + d (t, He) + γ (2.6) (t, He) + (p,n) 4 He (2.7) Mamy więc, że z 4 protonów i 2 neutronów ( Nn N p = /7) powstawało jądro helu-4 oraz 2 jąder wodoru. Stosunek mas powstałych jąder wynosi zatem: m He m H = (2.8) We wczesnym Wszechświecie dominowała energia promieniowania. Jednak malała ona jak R 4, gdzie R to promień Wszechświata. Gęstość materii malała natomiast w tempie R. W czasie t = s nastąpiło zrównanie się tych dwóch gęstości. W dzisiejszym czasie gęstość energii materii dominuje nad gęstością energii promieniowania.. Zapadanie grawitacyjne pyłu, czas kolapsu. Zastosowania Weźmy sferycznie symetryczny rozkład masy. Posługując się sferycznym układem współrzędnych związanym ze środkiem masy zapisujemy: m(r) = r ρ(r )4πr 2 dr, (.) g(r) = Gm(r) r 2, (.2) gdzie ρ to gęstość, a g przyśpieszenie grawitacyjne. Rozważając mały fragment masy jak na rys. można zapisać równanie sił: F = d2 r M = g(r) M + P A (P + P ) A. (.) dt2
. Zapadanie grawitacyjne pyłu, czas kolapsu. Zastosowania 5 Rysunek : Sferycznie symetryczny rozkład masy i siły działające na jej mały fragment. Na rysunku g oznacza tak naprawdę g. Przechodząc z rozmiarami rozważanego fragmentu do zera, można zapisać P = r, natomiast M = ρ(r) r A. Dostajemy ostatecznie wyrażenie Eulera: dp dr d2 r dt = g(r) + dp 2 ρ(r) dr. (.4) Żądając, aby d2 r =, mamy, że dp <, czyli ciśnienie w jądrze gwiazdy jest dt 2 dr większe, niż np. w okolicach płaszcza. Spadek swobodny pyłu Rozważamy pył, który zapada się grawitacyjnie. W przypadku pyłu ciśnienie równe jest zero, więc otrzymujemy równanie postaci: du dt d2 r dt = Gm(r). (.5) 2 r 2 Spadający pył zyskuje energię kinetyczną kosztem energii potencjalnej. Rozważmy spadek cienkiej (sferycznie symetrycznej) warstwy pyłu w potencjale grawitacyjnym generowanym przez masę m. Można zapisać równość na zmianę potencjału: u 2 2 = Gm ( r r ), (.6) gdzie przyjęliśmy, że w czasie t = masa spoczywała w odległości r od środka masy układu. Otrzymujemy dalej, że: u = dr dt = ± 2Gm o ( r ) (.7) r o W związku z tym, że chcemy obliczyć czas kolapsu chmury gazu wybieramy rozwiązanie ze znakiem.
4. Twierdzenie wiralne. Energia i stabilność 6 Czas kolapsu masy można obliczyć z równania: t K = t K dt = = 2Gm r r dt dr dr = dr (2Gm ( r r )) r dr r r = y = r = r/2 r 2Gm /2 = dy y π/2 (.8) Stąd otrzymujemy czas kolapsu: Dla m = 4/πρr otrzymujemy: Zastosowania t K = π 2 t K = r /2 2Gm. (.9) π 2Gρ. (.) Zastosowanie opisu kolapsu pyłu przejawia się w dwóch sytuacjach: w opisie pierwszej fazy powstawania protogwiazd, gdy wyzwalana podczas kolapsu energia zużywana jest na dysocjacje i jonizację wodoru; podczas wybuchu supernowej. 4. Twierdzenie wiralne. Energia i stabilność Twierdzenie: gdzie P rozumiemy jako: Niech P to ciśnienie dla obłoku gazu, V jego objętość. Wtedy: P = GJ, (4.) V P = V dv P, (4.2) V zaś: J = 2 dv ρ φ = 4π dr r m(r) ρ (4.) V Dowód: Rozpatrujemy przypadek stacjonarny (du/dt = ), sferyczno-symetryczny. Z wzorów z poprzedniego punktu, dostajemy: G dv m(r)ρ r Zgodnie z sugestią prof. Malca Gm(r) = dp r 2 ρ dr, (4.4) = 4π dr r dp dr. (4.5)
4. Twierdzenie wiralne. Energia i stabilność 7 Całkując przez części prawą stronę mam: Stąd mamy, że: czyli: 4π dr r dp dr = 4π r P + +2π dr r 2 P = dv P. (4.6) = V dv P = G V dv m(r)ρ, (4.7) r P = V GJ = V E GR. (4.8) Wyrażenie GJ oznacza energię potencjalną (grawitacyjną) układu może być czasem oznaczane przez symbol E GR. Rozważmy nieoddziałujące cząsteczki w sześciennym pudełku o boku L. Rzutując ruch cząstki na oś OZ, możemy określić częstotliwość odbijania się cząstki od ścianek prostopadłych do osi OZ: 2L/v z. Przy każdym odbiciu przekazywany jest pęd 2p z. Strumień pędu przekazywany jednostce powierzchni wzdłuż osi OZ wynosi więc p z v z /L. Analogicznie dla osi OX i OY. Dla izotropowego gazu mamy: p i v i = v p, (4.9) co pozwala nam zapisać: P = n v p. (4.) Dla cząstek nierelatywistycznych (ɛ k = p v/2) mamy, że: Stąd z kolei mamy, że: Wobec tego całkowita energia: P = 2n ɛ k = 2N V ɛ k = 2 V E K. (4.) E K = 2 E GR. (4.2) E T = E K + E GR = 2 E GR <. (4.) Dla cząstek relatywistycznych (ɛ k = p c) mamy z kolei: Z twierdzenia o wirale wynika, że: P = V E K (4.4) E K = E GR, (4.5) stąd mamy, że całkowita energia E T =. Można się więc spodziewać, że relatywistyczne układy są niestabilne.
5. Całkowita energia obłoku politropy... 8 5. Całkowita energia grawitującego sferycznego obłoku politropy. Wyróżniona rola wykładnika politropy 4/ Równanie stanu politropy: P V λ = const. Zróbmy założenie, że układ ma tylko translacyjne stopnie swobody, tj: gdy ds =. P = (λ ) E IN V A stąd otrzymujemy, że: E K = U = E IN = P V λ = (λ )E K V E GR E IN = E K = (λ ) A zatem całkowita energia układu wynosi: = E GR V (5.) (5.2) (5.) E T = E K + E GR = (λ 4)E K (5.4) Stąd widać, że dla wartości λ > 4/ układ jest stabilny, natomiast dla wartości λ < 4/ układ jest niestabilny. 6. Kryterium niestabilności Jeansa Zakładamy, że E K = 2 E GR (z twierdzenia wirialnego), E T < oraz, że masa jest rozłożona sferycznie symetrycznie. Wtedy wiemy, że E GR GM 2 5 R Będziemy przybliżać energię do wartości E GR = GM 2 R W takim przypadku zapiszmy warunek stabilności układu: Wartość M = > E T E K GM 2 R (6.) GM 2 R > E K = NkT (6.2) 2 M > 2 G µ kt R (6.) M/N 2 kt R nazywa się masą Jeansa. Jest to minimalna masa G µ M/N jaką musi mieć układ, aby był on stabilny. Jeśli M = 4 ϱr mamy: R 9kT 8πGµϱ (6.4) 9kT ϱ (6.5) 8πGµR 2 Powyższe warunki nazywa się kryteriami Jeansa.
7. Scenariusz powstawania pregwiazd. Warunek zapłonu 9 7. Scenariusz powstawania pregwiazd. Warunek zapłonu jądrowego Aby z obłoku gazów mogła powstać gwiazda, musi on spełniać warunki Jeansa. Gdy tak jest następuje swobodny kolaps grawitacyjny obłoku gazu. W takim przypadku wydzielana jest energia, gdyż całkowita energia obłoku gazu wynosi E T = GM 2. Widać zatem, że w miarę zmniejszania się promienia zmniejsza się również energia. Wydzielona w ten sposób energia ( E = E T E 2T = 2 R 2 GM 2 ( R 2 R )) może być wypromieniowana lub absorbowana przez materię obłoku. Gdy założymy, że materia składa się z wodoru, w wyniku absorpcji może dochodzić do dysocjacji cząsteczek wodoru na atomy (ε dys = 4.5eV ), a następnie jonizacji atomów na protony i elektrony (ε jon =.6eV ). Gdy cała energia zostaje wykorzystana na dysocjację i jonizację, temperatura i ciśnienie obłoku pozostaje bez zmian. Z tego warunku można obliczyć najmniejszy promień do którego cała energia jest wykorzystywana do jonizacji i dysocjacji wodoru: E = 2 GM 2 ( R 2 R ) = M m H ( ε dys 2 + ε jon) (7.) Następnym etapem powstawania gwiazdy jest zatem wirailizacji. W tym etapie w wyniku dalszego kolapsu uwalniana energia powoduje wzrost ciśnienia i temperatury wewnątrz obłoku. Zakładając, że R R 2 oraz z twierdzenia wirialnego E K = 2 E GR oraz korzystając z faktu, że energia kinetyczna jonów wynosi E K = M m H kt otrzymujemy: M 6kT = 2E K = E GR = M (ε dys + 2ε jon ) (7.2) m H 2m H A stąd otrzymujemy wyrażenie na temperaturę wewnątrz obłoku: kt = 2 (ε dys + 2ε jon ) = 2.6eV (7.) Zatem temperatura wynosi K. Dla obłoku gazu o masie słońca i temperaturze początkowej równej T = 2K promień Jeansa wynosi R J = 5 m. Faza swobodnego spadku wynosiłaby około t RR 2 = 2 4 lat. Obłok ten skurczyłby się do obłoku o promieniu R = m. Wirializacja trwałaby od 7 do 9 lat, a w tym czasie temperatura obłoku wzrastałaby. Należy się zastanowić, czy po tym okresie temperatura wzrosłaby na tyle, aby umożliwić reakcje termojądrowe ( 7 K). Z twierdzenia wirialnego i poprzednich rozważań można otrzymać wyrażenie na temperaturę gazu: kt = Gm H M 2/ ϱ / (7.4) Temperatura takiego gazu mogłaby być zatem dowolnie wysoka. Nie jest tak, gdyż mogą pojawić się ograniczenia kwantowomechaniczne. Ponieważ odległość pomiędzy molekułami powinna być dużo większa od fali de Broglie a, otrzymujemy, że ϱ m P λ B Zatem dostajemy ostatecznie, że: kt Gm H M 2/ ( m / P me kt ) h (7.5)
8. Fuzje termojądrowe w Słońcu. Neutrina... Ostateczne oszacowanie na temperaturę: kt G2 m 8/ H m e h 2 M 4/ (7.6) A stąd można obliczyć minimalną masę, dla której zachodzi zapłon termojądrowy: M min =.8M 8. Fuzje termojądrowe w Słońcu. Produkcja neutrin słonecznych. Problem neutrin słonecznych W erze rekombinacji powstawały jądra wodoru i helu, natomiast wiemy, że Wszechświat zbudowany jest również z atomów cięższych pierwiastków. Jądra tych pierwiastków produkowane są w wyniku fuzji termojądrowych w gwiazdach. W słońcu zachodzi następująca fuzja (zysk energetyczny Q = 24,6 MeV c 2 ): 4p 4 He + 2e + + 2ν e (8.) Dodatkowo następuje anihilacja elektronów i pozytonów, dlatego zysk można powiększyć o dodatkową porcję energii równą Mev/c 2. Przedstawiony powyżej przebieg nie jest prawdziwy, w rzeczywistości w słońcu zachodzi szereg reakcji: 2p d+e + +ν e zachodzi w wyniku oddziaływań słabych, proton potrzebuje 9 9 lat, aby taka reakcja zaszła, p + d He + γ zachodzi w wyniku oddziaływań elektromagnetycznych, Następnie są możliwe trzy kanały reakcji: He + He 4 He + 2p Q = 26.2MeV, w ten sposób zachodzi 85% reakcji, He+ 4 He 7 Be+γ Q = 25.2MeV w ten sposób zachodzi ok. 5% reakcji, następnie zachodzą reakcje: 7 Be + e 7 Li + ν e powstające w ten sposób neutrina nazywa się berylowymi neutrinami elektronowymi, 7 Li + p 2 4 He powstały beryl może reagować w jeszcze inny sposób: 7 Be + p 8 B + γ 8 B 8 Be + e + + ν e Q = 9.MeV /c 2 powstałe w ten sposób neutrina nazywa się borowymi neutrinami elektronowymi, w ten sposób następuje ok..2 % reakcji, Z liczby reakcji zachodzących w Słońcu na sekundę można obliczyć ile neutrin powinno ze Słońca być wypromieniowywanych (ok. 2 8 ). W wyniku eksperymentów Homestake (n. berylowe), Gallex (n.berylowe) oraz Kamiokande (n. borowe) stwierdzono, że neutrin elektronowych ze Słońca pada na ziemię za mało. Z tego można wysnuć wniosek, że neutrina oscylują (mają masę).
9. Ewolucja ciężkich gwiazd i nukleosynteza ciężkich pierwiastków 9. Ewolucja ciężkich gwiazd i nukleosynteza ciężkich pierwiastków W Syriuszu wykorzystywany jest jeszcze inny kanał reakcji tzw. kanał CNO: p + 2 C N + γ (9.) N C + e + + ν e (9.2) p + C 4 N + γ (9.) p + 4 N 5 O + γ (9.4) 5 O 5 N + e + + ν e (9.5) p + 5 N 2 C + 4 He (9.6) ale istnieją również cykle, w których rolę węgla-2 odgrywa tlen-6. Dzieje się tak dlatego, że M Syriusz = 2M. Zatem to, który kanał spalania będzie wykorzystywany zależy od masy gwiazdy. Poniżej przedstawiona została tabela systematyzująca te wiadomości: M min [M ] Spalany surowiec Produkty spalania Temperaruta zapłonu [K].8 H He 7.5 He C,O 8 8 C C, Ne, Mg 5 8 8 Ne O,Mg 9 8 O Mg 2 9 Si wszystko (Fe) 9 Jądra o liczbie atomowej większej od żelaza (56) powstają albo w wyniku kanału endotermicznego (slow), albo w wyniku wybuchu supernowej (rapid). Dalsza ewolucja gwiazdy: białe karły (granica Chandrasekhara M.4M ) gwiazdy neutronowe (M ( 5)M ) czarne dziury M > 5M. Wielkości gwiazdowe. Wykres Hertzsprunga- Russela Wielkości gwiazdowe są to wielkości mówiące o jasności gwiazdy. M = 6 jest granicą widzialności ludzkiego oka. Konwencja obliczania wielkości gwiazdowych: f i = (R i -odległość obserwatora od gwiazdy, L i -światłość gwiazdy): Li 4πR 2 i M M 2 = 2,52log f f 2 (.)
. Wielkości gwiazdowe. Wykres Hertzsprunga-Russela 2 Rysunek 2: Wykres Hertzsprunga-Russela. Wielkość gwiazdowa absolutna jest to wielkość gwiazdowa dla odległości R = pc. Wielkości gwiazdowe na ziemi: Słońce : M = 26,7 pełny Księżyc : M = 2,6 Crab : M = 6 (w chwili wybuchu) Wenus : M =,8 Mars : M = 2, Syriusz M =,47 Najsłabsze obiekty widziane przez teleskop Hubble a mają M =. Wielkość gwiazdowa absolutna słońca wynosi 4,7. Więc wielkości gwiazdowe absolutne dla innych gwiazd wynoszą: M = 4.7 2.52log L L (.2)
. Gaz doskonały - ciśnienie i równanie stanu. Warunek klasyczności i degeneracji Znajomość M oraz L pozwala na obliczenie odległości źródła od Ziemi. Można definiować również wielkości gwiazdowe dla wybranego zakresu długości fal. Wielkości gwiazdowe dla całego zakresu długości fal nazywa się wielkościami gwiazdowymi bolometrycznymi. Wykres z zaznaczonymi gwiazdami, gdzie na osiach znajdują się temperatura (oś odciętych) oraz światłość (oś rzędnych) nazywa się wykresem Hertzsprunga Russela. Przez środek wykresu przechodzi tzn ciąg główny, w którym znajduje się Słońce. Istnieją również obszary na tym rysunku odpowiadające czerwonym gigantom i białym karłom.. Gaz doskonały - ciśnienie i równanie stanu. Warunek klasyczności i degeneracji Definicja: Gaz doskonały jest zbiorem cząstek (atomów, jonów, elektronów, fotonów... ), dla których można zaniedbać wzajemne oddziaływania między cząstkami (przybliżenie takie jest zasadne, jeśli rozważamy gaz kwantowy, dla którego gęstość obsadzeń stanów jest mała). Przypomnienie z fizyki fazy skondensowanej Przed dalszym omówieniem tematu należy przypomnieć sobie kilka podstawowych faktów z fizyki fazy skondensowanej. Rozważając cząski w sześciennym pudełku o objętości V = L, rozwiązując równanie Schrodingera niezależne od czasu z warunkami brzegowymi φ k S =, gdzie S jest powierzchnią pudełka, dostajemy skwantowany wektor falowy dla cząstek 2 : k = n i π L, dla n i > gdzie i {x, y, z}. (.) Gęstość w przestrzeni pędów wynosi: ρ k = ( L π ) dk = ( L 4πk 2 dk π ), (.2) 8 gdzie czynnik 8 wziął się stąd, że dla warunków brzegowych φ k S = nasza kula fermiego jest w rzeczywistości tylko ósmą częścią geometrycznej kuli (mamy warunek k i > ). Uwzględniając, degenerację kwantową g s (generalnie g s = 2S+, jednak neutrina mają g s =, ponieważ mają tylko jedną polaryzację, zaś fotony mają g s = 2, ponieważ dopuszczalne są tylko 2 niezależne mody poprzeczne) oraz fakt, że p = kh, zapisujemy gęstość stanów kwantowych: g(p)dp = g s V h 4πp2 dp. (.) Oznaczając przez f(ɛ p ) gęstość liczby cząstek o energii ɛ p, możemy zapisać całkowitą liczbę cząstek N i całkowitą energię E: N = E = + + f(ɛ p )g(p)dp, (.4) ɛ p f(ɛ p )g(p)dp. (.5) 2 Zauważ, że dla periodycznych warunków brzegowych mielibyśmy k = n i 2π L dla n i =, ±, ± 2... Nie dostalibyśmy jednak tak naprawdę niczego nowego. Liczba dostępnych stanów dla cząstek nie zmieniłaby się (zamiast sumować od do N sumowalibyśmy od N/2 do N/2).
. Gaz doskonały - ciśnienie i równanie stanu. Warunek klasyczności i degeneracji 4 Gęstość liczby cząstek f(ɛ p ) jest dana przez rozkład Fermiego-Diraca (dla fermionów) lub przez rozkład Bosego-Einsteina (dla bozonów): f(ɛ p ) = e β(ɛp µ) ±, + dla fermionów, gdzie { dla bozonów., (.6) gdzie β = /(kt ), zaś µ to potencjał chemiczny. W granicy klasycznej, tj. dla (ɛ p µ) kt oba rozkłady sprowadzają się do rozkładu Maxwella-Boltzmana. Ciśnienie gazu doskonałego Wychodzimy od wzoru znanego z mechaniki statystycznej: Dostajemy stąd: P = E V S,N de = T ds P dv + µdn. (.7) = + dɛ p dv f(ɛ p)g(p)dp. (.8) Wykonano tu nietrywialne przejście, w którym skorzystano z faktu, że skoro liczba cząstek jest zachowana, to przy zmianie rozmiaru układu liczba cząstek w danych stanach kwantowych nie będzie się zmieniać, a jedynie energia tych stanów. Całkę obliczamy zmieniając zmienne: dɛ p dv = dɛ p dp dp dv = pc2 ( p ɛ p V ), (.9) gdzie skorzystano z faktu, że ɛ 2 p = m 2 c 4 + p 2 c 2 oraz z faktu, że p p V /. Zapisując pc2 ɛ p = v p, dostajemy: P = + V pv p f(ɛ p )g(p)dp = N V pv p. (.) W granicy klasycznej ɛ p mc 2 + p2 2m oraz v p = p m, dostajemy: P N V p p m = 2 E k V. (.) W granicy ultrarelatywistycznej ɛ p pc oraz v p = c, dostajemy: Równanie stanu gazu doskonałego P N V pc = E k V. (.2) W granicy małego obsadzenia stanów kwantowych, zapisujemy jawnie równanie na ciśnienie P : P = V eβµ kt V eβµ + + pv p e βɛp g s V h 4πp2 dp = (.) e βɛp g s V h 4πp2 dp (.4)
2. Gaz elektronowy w gwiazdach 5 gdzie w drugim kroku wykonano całkę przez części zapisując dɛ p = v p dp. Korzystając, że w naszej granicy: N = e βµ + V e βɛp g s h 4πp2 dp, (.5) dostajemy równanie stanu gazu doskonałego w granicy małego obsadzenia stanów kwantowych: P = N kt = nkt. (.6) V Korzystając z wyników poprzedniego punktu, mamy, że w granicy klasycznej na cząstkę przypada kt, zaś w granicy ultrarelatywistycznej kt. 2 Warunek klasyczności gazu Wychodzimy z wzoru (.5). Kładąc ɛ p = mc 2 + p 2 /2m dostaję (po wykonaniu całki): N = e β(µ mc2) g s V h (2πmkT )/2. (.7) Zapisując inaczej mam: µ mc 2 = kt ln ( g sn Q n ), (.8) gdzie n Q nazywamy kwantową koncentracją, która wynosi: n Q = ( 2πmkT /2 ). (.9) h 2 Podobne obliczenia, tylko że w granicy ultrarelatywistycznej (ɛ p = pc), dadzą nam: µ = kt ln ( g sn Q n ), (.2) n Q = 8π ( kt hc ), (.2) gdzie w pierwszym równaniu pominęliśmy mc 2. Gaz można uważać za klasyczny, jeśli koncentracja cząstek n spełnia warunek: n n Q. Odpowiada to sytuacji, w której odległość między cząstkami jest dużo większa, niż długość fali de Broglie a. 2. Gaz elektronowy w gwiazdach. Równania stanu nierelatywistycznego i ultrarelatywistycznego gazu zdegenerowanego Gaz staje się zdegenerowany gdy gęstość obsadzonych stanów kwantowych znacznie przewyższa n Q wyprowadzone w poprzednim rozdziale. Innym słowy, warunek zdegenerowania gazu sprowadza się do warunku: ang. quantum concentration []. kt h2 n 2/ 2πm. (2.)
2. Gaz elektronowy w gwiazdach 6 Oznacza to, że gaz zdegenerowany jest gazem chłodnym (przy czym nie chodzi nam tu o temperaturę bezwzględną, a raczej o porównanie temperatury z gęstością obsadzonych stanów kwantowych jak zobaczymy gaz elektronowy można ciągle uważać za klasyczny nawet w temperaturach przewyższających 6 K, o ile n jest odpowiednio małe). W zdegenerowanym gazie elektronów, obsadzone są stany kwantowe o możliwie najmniejszej energii (z zachowaniem zakazu Pauliego). Gdy T funkcja gęstości liczby elektronów f(ɛ p ) Θ(ɛ F ɛ p ), gdzie ɛ F jest energią Fermiego, czyli energią najwyżej obsadzonego stanu dla T =. Używając ogólnych wzorów z poprzedniego rozdziału, dostajemy: N T p F g s V h 4πp2 dp = 8πV h p F, (2.2) gdzie przyjęto g s = 2, co jest poprawną wartością dla elektronów. Z powyższego wzoru dostajemy warunek na p F : p F = ( n 8π ) h. (2.) Dostajemy stąd, że dla maksymalnie zdegenerowanego gazu długość fali de Broglie a elektronów λ = h/p F jest proporcjonalna do n /, czyli do odległości między elektronami. Przypadek gazu zdegenerowanego, nierelatywistycznego Dla zdegenerowanego, nierelatywistycznego gazu można z wzoru (.5) obliczyć E: p F V E = ɛ p g s h 4πp2 dp = N (mc 2 + p2 F m ). (2.4) Z wzoru (.) dostajemy, że w przypadku zdegenerowanego, nierelatywistycznego gazu, jego ciśnienie wyraża się przez: P = n p2 F 5m = K NRn 5/, gdzie K NR = h2 5m ( 8π ) 2/. (2.5) Przypadek gazu zdegenerowanego, ultrarelatywistycznego Dla zdegenerowanego, ultrarelatywistycznego gazu, po analogicznych rachunkach co powyżej, dostajemy: Z wzoru (.2) dostajemy, natomiast: P = n 4 p F c = K UR n 4/, E = N 4 p F c. (2.6) gdzie K UR = hc 4 ( 8π ) /. (2.7) Różne formy gazu elektronowego przedstawione zostały na wykresie. W przypadku naszego Słońca, sytuacja wygląda następująco: - w chwili obecnej zarówno elektrony jak i jony we wnętrzu Słońca można uważać za klasyczne,
2. Gaz elektronowy w gwiazdach 7 Rysunek : Ilustracja, które przedziały temperatur i koncentracji elektronowej odpowiadają przypadkom gazu klasycznemu/zdegenerowanemu, relatywistycznemu/nierelatywistycznemu. Poszczególne linie odpowiadają równaniom: (i) n = n QNR 2 2 T /2 m, (ii) n = n QUR 8 6 T m, (iii) n = (mc/h) 7 4 T /2 m, (iv) T = mc 2 /k 6 9 K.
. Gaz fotonowy w gwiazdach 8 - w momencie gdy zapali się w Słońcu jądro helowe, elektrony będzie trzeba uważać za zdegenerowane. Jony nadal będzie można opisywać w ramach klasycznej teorii, - na etapie czerwonego olbrzyma elektrony będzie można uważać za chłodne (mimo, że temperatura sięgnie 8 K). - w białym karle elektrony będą zdegenerowane (o ile temperatura białego karła będzie utrzymywać się poniżej 9 K) i częściowo relatywistyczne. W przypadku cięższych gwiazd, na prawie wszystkich etapach ewolucji gaz elektronowy można uważać za klasyczny. Jest to związane z tym, że: kt GM m R M 2/ ρ /. (2.8) Oznacza to, że dla gwiazdy o większej masie, potrzeba mniejszej gęstości gazu do wytworzenia temperatury zapłonu. A to powoduje, że warunek na degenerację gazu (2.) może być łatwiej niespełniony.. Gaz fotonowy w gwiazdach Potencjał chemiczny dla gazu fotonowego wynosi µ =. Oznacza to, że liczba cząstek (fotonów) jest niezachowana. Można przepisać większość większość wyników z poprzednich 2 punktów, zakładając wszędzie µ = oraz ɛ p = pc: n N V = + V f(ɛ p )g(p)dp = + V = x = pc kt = 8π (kt hc ) + gdzie b 2, 7 K m. Podobnie obliczamy: u E V = + V ɛ p f(ɛ p )g(p)dp = + V = x = pc kt = 8π (kt hc ) kt e βɛp g V s h 4πp2 dp = x 2 = 8π (kt e x hc ) Γ()ζ() = bt, + ɛ p e βɛp g V s h 4πp2 dp = x = 8π (kt e x hc ) Γ(4)ζ(4) = at 4, (.) (.2) gdzie a 7,6 6 JK 4 m. Ostatni wynik zgadza się z prawem Stefana- Boltzmana. Powyższe wyniki można złączyć, dostając: u 2,7nkT, (.) co można porównać z wynikami dla klasycznych elektronów (u NRe = kt ) i dla 2 ultrarelatywistycznych elektronów (u URe = kt ). Przyczynki do ciśnienia gwiazdy Zgodnie ze wzorem (.2) mam, że ciśnienie radiacyjne P r (wywierane przez fotony) wynosi: P r = u = at 4. (.4)
4. Równania Saha. Zastosowania 9 Podstawiając wartości liczbowe dostajemy, że na powierzchni gwiazdy ciśnienie to jest zaniedbywalnie małe (dla Słońca około, P a). Dla małych gwiazd ciśnienie w radiacyjne w jądrze jest mniejsze o kilka rzędów od ciśnienia jonów i elektronów (dla Słońca w jądrze P r, 2 P a dla porównania ciśnienie od jonów i elektronów jest rzędu 4 P a). Dla ciężkich gwiazd sytuacja jednak się zmienia i ciśnienie radiacyjne zaczyna przeważać. Jest to spowodowane tym, że ciśnienie od jonów i elektronów jest proporcjonalne do M 2 /R 4, a od fotonów do M 4 /R 4. 4. Równania Saha. Zastosowania W Słońcu zachodzi jonizację wodoru zgodnie z równaniem: γ + H n e + p, (4.) gdzie H n oznacza atom wodoru z elektronem wzbudzonym do n-tej powłoki. Równowaga zachodzi, gdy: Zgodnie z wzorem (.8) mam: µ(γ) + µ(h n ) µ(e ) + µ(p). (4.2) µ(e) = m e c 2 kt ln ( g en Qe n e ), (4.) i analogicznie dla p i H n. Potencjał chemiczny dla fotonu µ(γ) =. Ponieważ: n Q = ( 2πmkT /2 ), (4.4) h 2 można założyć, że n QH = n Qp, ponieważ m(h n ) m(p). 4 Wstawiając wszystkie te wartości do równania (4.2) i przekształcając, dostajemy równanie Saha: n(h n ) n e n p = g n n Qe e βɛn. (4.5) Aby mówić o koncentracji wszystkich niezjonizowanych atomów wodoru, należy wysumować powyższy wzór po n: n(h) = n e n p + n= g n n Qe e βɛn. (4.6) Oznaczając teraz n(h + ) n p, można przepisać powyższe równanie: n(h) n(h + ) = n + e e βɛ g n e β(ɛn ɛ), (4.7) n Qe gdzie ɛ,6 ev oznacza energię stanu podstawowego elektronu w atomie wodoru. Sumę w powyższym równaniu często oznacza się literą Z i nazywa sumą statystyczną lub funkcją rozdziału. W praktycznych rachunkach często 4 Przybliżenie to używamy tylko dla n Q, w samym wzorze (4.2) zapisujemy już m(h n) = m ec 2 + m pc 2 + ɛ n. n=
5. Termiczny transport energii w gwiazdach... 2 przyjmuje się Z =, tłumacząc to tym, że w suma jest obcinana dla dużych n, gdy odległość elektronu od atomu jest porównywalna z odległościami między atomami. Można więc ostatecznie zapisać, jaka część atomów ulega jonizacji: lub równoważnie: n(h + ) n(h) = n Qe n e e β ɛ, (4.8) ln ( n(h+ ) n(h) ) = F ɛ kt, gdzie F = ln (n Qe n e ). (4.9) Mamy więc, że dla gazu klasycznego (a takim jest np. gaz elektronowy w Słońcu) n e n Qe i dla kt = ɛ mamy gwałtowną jonizację wszystkich atomów wodoru. F 5. Termiczny transport energii w gwiazdach - przewodnictwo jonowe, elektronowe i dyfuzja promienista Zakładamy, że wewnątrz gwiazdy istnieje gradient temperatury. Można obliczyć prąd termiczny przepływający przez płaszczyznę o współrzędnej x jako różnicę energii przechodzących cząstek przez tę granicę (w przypadku nierelatywistycznym). j(x) = 6 vu(x l) 6 vu(x + l) = du vl dx = du dt vl dt dx (5.) Gdzie v prędkość poruszania się cząstek, du = C ciepło właściwe gazu, l dt średnia droga swobodna. Wprowadzając K = vlc mamy: j(x) = K dt dx (5.2) Widać zatem, że prędkość transportu energii jest wprost proporcjonalna do gradientu temperatury.. Przewodnictwo elektronowe: Dla elektronów prawdziwe są relacje (w przypadku nierelatywistycznym): u e = C e = v e = 2 n ekt (5.) 2 n ek (5.4) kt (5.5) m e Średnia droga swobodna jest równa: l = n i σ i (5.6)
5. Termiczny transport energii w gwiazdach... 2 Gdzie σ i przekrój czynny na zderzenie elektron-jon. Zakładamy oczywiście, że na transport nie mają wpływu zderzenia elektron-elektron (są mniej prawdopodobne od zderzeń jon-elektron). Jeśli energia oddziaływania elektromagnetycznego pomiędzy elektronem i jonem będzie porównywalna do energii termicznej można przybliżyć σ i = πr 2. Promień można obliczyć porównując dwie energie: Ze 2 kt (5.7) 4πε o r Podstawiając wszystkie wartości otrzymujemy wyrażenie na współczynnik proporcjonalności K e : K e = k n e [ kt 2 2 4πε o kt ] ( ) 2π n i m e Ze 2 (5.8) Podobna wartość dla jonów wynosić będzie: /2 K i = K e Z (m e ) 2 m i (5.9) Jeśli Z > oraz m e m i mamy, że K i K e Z tych rozważań można wyciągnąć wniosek, iż w gwiazdach elektrony przenoszą więcej ciepła niż jony. Jest to spowodowane tym, że jony poruszają się wolniej niż elektrony. Transport za pomocą elektronów i jonów ważny jest właściwie tylko w przypadku białych karłów (w każdej innej gwieździe ten transport jest mały w porównaniu z innymi możliwościami transportu).w białych karłach równania te należy zmodyfikować, gdyż w nich elektrony tworzą gęsty gaz, jak w metalach. Prędkość i średnia droga swobodna w tych gwiazdach jest większa niż w innych. Z kolei ciepło właściwe jest mniejsze. Mimo to transport elektronowy w białych karłach jest najważniejszym sposobem transportu ciepła w tym rodzaju gwiazd. 2. Przewodnictwo fotonowe. Dla fotonów prawdziwe są relacje: u = at 4 (5.) C = 4aT (5.) K fot = 4 clat (5.2) l = n e σ T (5.) Na średnią drogę swobodną ma wpływ (w gwiazdach o dużych temperaturach i małych gęstościach) rozpraszanie Tompsona: σ T = 8π ( e 2 2 4πε o m e c ). (5.4) 2 Można napisać zależność współczynników dla fotonów i elektronów: K fot K e = Z P r ( m ec 2 5 2 P e kt ) (5.5)
6. Konwekcja (unoszenie) w gwiazdach. Warunek konwekcji 22 Dla Słońca okazuje się, że: K fot 2 5 K e (5.6) Widać zatem, że dla takich gwiazd jest to dużo bardziej efektywny sposób transportu ciepła. DOKOŃCZYĆ!! 6. Konwekcja (unoszenie) w gwiazdach. Warunek konwekcji Ciepło w gwiazdach może być przenoszone za pomocą konwekcji. Ten proces jest bardziej wydajny niż przewodnictwo jonowe czy elektronowe, Zachodzi ono jednak tylko wtedy, gdy gradient temperatury spełnia pewien warunek zwany warunkiem konwekcji. Aby zachodziła konwekcja gaz musi być poddany działaniu jakiejś siły. Gaz w gwieździe znajduje się oczywiście w polu grawitacyjnych. Zakładamy, że gęstość gazu wynosi: ϱ P T ϱ ϱ = P P T T (6.) Rozpatrujemy teraz dwa punkty w gwieździe o współrzędnych odpowiednio x oraz x + x. Zakładamy, że w miejscach tych panują następujące warunki: w punkcie x (ϱ, P, T ) oraz w punkcie x + x (ϱ + ϱ, P + P, T + T ). Następnie rozpatrujemy gaz znajdujący się w balonie w punktach x i x+ x. Gdy znajduje się on w punkcie x odpowiednio długo jego parametry są takie same jak parametry punktu x, a zatem (ϱ, P, T ). Załóżmy teraz, że jest możliwe przeniesienie do punktu x+ x gaz w balonie będzie mieć parametry (ϱ+δϱ, P +δp, T +δt ). Zakładamy teraz, że gaz w balonie szybko wyrównuje ciśnienia (δp = P ) oraz, że rozpręża się on w sposób adiabatyczny (P ϱ γ δϱ ϱ Warunkiem konwekcji jest aby: = γ δp P ). δϱ < ϱ δϱ ϱ < ϱ ϱ γ δp P < P P T T (6.2) dt T < γ γ P P dt dx < γ dp T γ dx P (6.) (6.4) Zarówno gradient temperatury jak i gradient ciśnienia jest wielkością ujemną. Zatem widać, że wartość gradientu temperatury musi być większa od pewnej wartości granicznej. Wartość krytyczna zależy T, P, od gradientu ciśnienia oraz od współczynnika adiabaty. Dla gazu doskonałego współczynnik adiabaty zależy w następujący sposób od ilości stopni swobody gazu (s): γ = 2 + s s (6.5)
7. Równania struktury gwiazd 2 Widać więc, że współczynnik adiabaty maleje wraz ze wzrostem liczby stopni swobody. Zatem, gdy gaz tworzący gwiazdę ma oprócz stopni translacyjnych wewnętrzne stopnie swobody (wibracyjne, rotacyjne) lub też składa się z molekuł mogących dysocjować lub jonizować współczynnik adiabaty jest mniejszy od gazu nie posiadającego takich stopni swobody. Co za tym idzie graniczna wartość gradientu temperatury jest mniejsza dla gazu z dodatkowymi stopniami swobody. Gdy założymy następującą zależność gradientu ciśnienia od położenia: dp dx = gϱ(x) (6.6) Widoczne jest, że dla gwiazd, w których przyspieszenie grawitacyjne jest mniejsze, mniejsza jest również wartość graniczna gradientu temperatury, a co za tym idzie konwekcja jest łatwiejsza. 7. Równania struktury gwiazd Podstawowe równania struktury gwiazd to (zakładamy sferyczną symetrię gwizady i wybieramy sferyczny układ współrzędnych związany ze środkiem masy): dp dr dm dr dt dr dl dr = Gm(r)ρ(r) r 2, (7.) = 4πr 2 ρ(r), (7.2) = ac κ(r)ρ(r) L(r) T (r) 4πr, (7.) 2 = 4πr 2 ε(r). (7.4) gdzie L(r) jest mocą generowaną przez obszar gwiazdy zawarty w kuli o promieniu r, ε(r) jest gęstością mocy generowanej przez gwiazdę. Wzór 7. jest warunkiem na stabilność gwiazdy grawitacyjne przyciąganie fragmentu gwiazdy musi być równoważone przez ciśnienie wywierane na ten fragment. Wzór 7.2 pozwala, znając gęstość ρ(r), obliczyć masę m(r) części gwiazdy, zawartej w kuli o promieniu r. Podobnie wzór 7.4 pozwala, znając gęstość mocy ɛ(r) obliczyć moc wytwarzaną przez kulę o promieniu r, czyli L(r). Jednie wzór 7. wymaga dłuższego wyjaśnienia. W sekcji dotyczącej termicznego transportu energii w gwiazdach, zapisaliśmy, że prędkość transportu energii j(x) dla fotonów wynosi: gdzie: j(x) = 4 c lat dt dx, (7.5) l = n e σ e + e i σ i, (7.6) gdzie l to średnia droga swobodna, n e i n i to kolejno koncentracja elektronów i jonów, a σ e i σ e to przekróe czynny na rozpraszanie fotonu na kolejno elektronie (proces Thompsona) i jonie. Ponieważ zarówno σ e, jak i σ e są proporcjonalne
8. Model Claytona i ograniczenie na masę... 24 do ρ, można zapisać: n e σ e + e i σ i = κρ, gdzie κ to jakiś współczynnik. Zgodnie z prawem Kramera: κ ρt,5. (7.7) Typowymi wielkościami dla l to 5 m dla gwiazd w temperaturze 2 6 K lub m dla 7 K. Łącząc powyższe wzory dostajemy 7.. 8. Model Claytona i ograniczenie na najmniejszą i największą masę gwiazd 9. Białe karły. Charakterystyka obserwacyjna 2. Granica Chandrasekhara Granica Chandraskehara to najwyższa masa, jaką może osiągnąć nierotujący biały karzeł, tak aby grawitacyjna zapaść mogła być równoważona przez ciśnienie gazu elektronowego, wynosi: M CH =,44M. (2.) Jako pierwszy rachunek przedstawił indyjski astrofizyk Subramanyana Chandrasekhar. Na początku wyznaczmy zależność pomiędzy gęstością centralną (ρ C ), a masą. W tym celu zapiszmy wyrażenie: n e = Y e ρ C m H, (2.2) gdzie Y e oznacza liczbę elektronów przypadających na jedną cząstkę. Jednocześnie wstawiając to do równania dla gazu ultrarelatywistycznego: P = K UR n 4 e = K UR [ Y 4 eρ C ] m H (2.) i przyjmując, że to ciśnienie będzie równoważyć grawitacyjne zapadanie się struktury: K UR [ Y 4 eρ C π ] [ m H 6 ] 2 GM 4 ρ C. (2.4) UWAGA: Profesor kazał skomentować, skąd się bierze wzór 2.4. Wiedząc, że: K UR = hc 4 [ 8π ], (2.5) otrzymujemy przy ρ C (gęstość centralna jest dużo większa niż m H /(h/m e c) ):
2. Zapadanie grawitacyjne w późnych stadiach rozwoju ewolucji ciężkich gwiazd. 25 M CH = [ 6 2 π ] 2 Y e [ ] [ K UR m H G ] 2, (2.6) M CH =,44M. (2.7) Rysunek 4: Wykres zależności gęstości centralnej od masy dla gazu nierelatywistycznego i ultrarelatywistycznego. 2. Zapadanie grawitacyjne w późnych stadiach rozwoju ewolucji ciężkich gwiazd. Gwiazda o masie wiekszej niż mas słońca przechodzi przez wszystkie stadia syntezy jądrowej: synteza wodoru (2 7 K) synteza helu synteza węgla synteza neonu
2. Zapadanie grawitacyjne w późnych stadiach rozwoju ewolucji ciężkich gwiazd. 26 synteza tlenu synteza krzemu ( 9 K). Po ostatniej fazie powstaje żelazne jądro otoczone powłokami krzemu, tlenu, neonu, węgla, helu i wodoru, ponieważ energia nie może być emitowana przez reakcje termojądrowe żelaza, gwiazda zaczyna się kurczyć. Krzem przechodzący w węgiel przyśpiesza zmniejszanie rozmiarów i tak przy osiągnięciu granicy Chandrasekhara, elektrony zaczynają być ultrarelatywistyczne i przestają przeciwdziałać kurczeniu się. Energia grawitacyjna zamieniana jest na energię kinetyczną. Wraz ze wzrostem energii kinetycznej możliwe są dwa scenariusze:. dochodzi do fuzji egzotermicznej, ciśnienie zaczyna przeciwdziałać kurczeniu się gwiazdy, 2. dochodzi do absrobcji energii, w skutek czego ciśnienie przestaje przeciwdziałać kurczeniu się, a gwiazda zapada się. Znamy dwa mechanizmy absorbcji energii kinetycznej prowadzace żelazne jądra gwiazd do zapaści: fotodezintegracja jąder atomowych, wychwytywanie elektronów poprzez odwrócony rozpad β. Czas takiej zapaści zależy silnie od gęstości w jądrze, kiedy zapadanie jest wyzwolone (ok. 2 kg/m ): Fotodezintegracja jądrowa π 2 t F F = [ ] ms (2.) 2Gρ C Wraz ze wzrostem energii w jądrze gwiazdy fotony zaczynają fotodezintegrować jadra żelaza. Istnieje co prawda wiele możliwych schematów, jednak przyjmujemy, ze etap fotodezintegracji jest osiągnięty gdy jadra żelaza 56 F e koegzystują z helem 4 He i neutronami: Fotodezintegracja absorbuje: γ + 56 F e 4 He + 4n (2.2) Q = (m 4 + 4m m 56 ) = 24,4MeV, (2.) na jeden rozpad. Odpowiada to absorbcji 5 kiloton trotylu przez kilogram żelaza. Zakładamy, że reakcja (2.2) jest w równowadze termodynamicznej, więc: gdzie: µ A = m A kt ln [ ga ] n A µ F e = µ He + 4µ n, (2.4) 2 [ 2πm AkT ] h 2 koncentracja kwantowa nq A. (2.5)
2. Zapadanie grawitacyjne w późnych stadiach rozwoju ewolucji ciężkich gwiazd. 27 Otrzymujemy: (n 4 ) (n ) 4 = (g 4) (g ) 4 (nq 4 ) (nq ) 4 e Q kt. (2.6) n 56 g 56 nq 56 Czynniki g A zależą od momentu obrotowego cząstki. Dla neutronu g wynosi 2, dla jąder helu żelaza, przy założeniu, że w większości mają spin. Z równania (2.6) wynika, że przy zadanej wczesniej gęstości i temperaturze T = K rozpada się trzy czwarte jąder żelaza. W wyższych temeraturach zachodzi fotodezintegracja Helu: γ + 4 He 2p + 2n. (2.7) Możemy oszacować całościową absorpcję energii przez masę Chandrasekhara: E fotodez,4 45 J, (2.8) co jest równowazne energii wyemitowanej przez nasze słońce w ciągu lat. Wychwyt elektronów W normalnych okolicznościach wiemy, że neutron rozpada się na proton, elektron i antyneutrino: n p + e + ν e. (2.9) Elektron i neutrino mają wspólnie energię,m ev (różnice mas neutronu i protonu). Jednak jeśli nie będzie możliwe wyprodukowanie elektronu o energii do,mev, na przykład w wyniku zanurzenia neutronów w odpowiednim gazie elektronowym rozpad nie nastąpi. Właściwy ped elektronów w takim gazie możemy wyliczyć: p F = h [ n e 8π ]. (2.) Jeśli uzyskamy odpowiednią gęstość, neutrony nie mogą się rozpadać, istnieją natomiast elektrony o energiach odpowiednich do wychwytu przez protony w odwróconym rozpadnie β: e + p n + ν e. (2.) Taki wychwyt bywa też nazywany neutronizacją. W praktyce w jądrze masywnej gwiazdy są jądra żelaza 56 F e, wychwytujące elektrony zgodnie z: e + 56 F e 56 Mn + ν e, (2.2) co jest możliwe, gdy ciśnienie w jądrze gwiazdy osiągnie, 2 kg m, kiedy energia Fermiego jest równa progowej energii zajścia reakcji wychwytu przez jądra żelaza: m e +,7 MeV. Normalnie 56 Mn rozpada się β przy czasie połowicznego rozpadu 2,6 godziny, jednak w jądrze gwiazdy wychwytuje kolejne elektrony dając 56 Cr. Ta faza możliwa jest przy gęstości,5 kg m. Kiedy gęstość przekracza 4 kg m wychwyt elektronów staje się coraz częstszy, ciśnienie pochodzące od elektronów zanika (powstające neutrina słabo oddziaływują z materią), a gwiazda się zapada. Energia zaabsorbowana przez masę Chandrasekhara w wyniku odwróconego rozpadu beta wynosi: E beta,6 45 J. (2.) Energia ta jest unoszona przez neutrina elektronowe. Tu jeszcze trzeba wspomnieć, że gwiazda może wybuchnąć jako supernowa, zamienić się w gwiazdę neutronową, czarną dziurę itd...
22. Charakterystyka gwiazd neutronowych 28 22. Charakterystyka gwiazd neutronowych 2. Czarne dziury 24. Charakterystyka obserwacyjna czarnych dziur UWAGA: Profesor polecał artykuły przeglądowe Narayana do opracowania ostatnich pytań. Literatura [] A. C. Phillips The physics of stars John Wiley & Sons, 994, Chichester, ISBN: -47-9455-7 [2] Tablice Fizyczno-Astronomiczne wyd. Adamantan, wyd. II rozsz., 24, Warszawa, ISBN: 8-75--